D - Canek

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Ley de Newton de cambio de temperaturas.
E: Luis invitó a Blanca a tomar café en la mañana. Él sirvió dos tazas de café. Blanca le agregó
crema suficiente como para bajar la temperatura de su café 1 ı F. Después de 5 min, Luis agregó
suficiente crema a su café como para disminuir su temperatura en 1 ı F. Por fin, tanto Luis como
Blanca empezaron a tomar su café. ¿Quién tenía el café más frío?
D: H Sean TL .t/ y TB .t/ las temperaturas de los cafés de Luis y Blanca, respectivamente, t minutos después de haberse servido. Suponiendo que la constante de proporcionalidad k es la
misma siempre en ambas tazas y que Ta es la temperatura del medio ambiente. Las temperaturas se obtienen resolviendo una ED como en los problemas anteriores:
T 0 .t/ D kŒT .t/
dT
dT
D k.T Ta / )
D k dt )
dt
T Ta
Z
Z
dT
)
Dk
dt ) ln.T Ta / D k t C C )
T Ta
) T Ta D e ktCC D e kt e C D e kt C ) T Ta D C e kt ) T .t/ D Ta C C e kt :
Ta  )
Si T0 es la temperatura a la que fueron servidos los cafés, entonces, la temperatura del café de
Luis es
TL .t/ D Ta C C e kt & TL .0/ D T0 ) Ta C C e 0 D T0 ) C D T0
Ta )
Ta /e kt :
) TL .t/ D Ta C .T0
Por otro lado, la temperatura del café de Blanca es
TB .t/ D Ta C C e kt & TB .0/ D T0
1 ) Ta C C e 0 D T0
) TB .t/ D Ta C .T0
1 ) C D T0
1
1
Ta )
Ta /e kt :
y a los 5 min:
TL .5/ D b
T L D Ta C .T0
Ta /e 5k
TB .5/ D b
T B D Ta C .T0
&
1
1
Ta /e 5k :
Por lo que:
b
TB
b
T L D ŒTa C .T0
D Ta C .T0
D e
Analizamos la diferencia b
TB
5k
1/e 5k 
Ta
Ta /e
C1D1
bL D 1
T
e 5k < 1 ) 0 < 1
5k
e
5k
ŒTa C .T0
Ta
.T0
Ta /e 5k
Ta /e
5k
1 D
C1D
5k
e :
e 5k , teniendo presente que k < 0.
e 5k D b
TB
b
TL ) b
TL < b
T B:
La temperatura del café de Blanca es mayor que la del café de Luis. ¡El café más frío es el de
Luis!
5. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010