valores medios y eficaces de las magnitudes alternas sinusoidal

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VALORES MEDIOS Y EFICACES DE LAS MAGNITUDES ALTERNAS SINUSOIDALES
Las magnitudes alternas sinusoidales que nos interesan son:
V = Vo sen (wt + ϕ)  Valor instantáneo de la tensión en voltios.
i = Io sen (wt)  Valor instantáneo de la intensidad en amperios
p = v . i = Vo Io sen (wt + ϕ) . sen wt  Valor instantáneo de la potencia en watios
Se ha supuesto la intensidad con fase inicial nula por sencillez, ya que no por ello se pierde generalidad en los resultados a los que llegaremos. El ángulo ϕ sea positivo, la tensión “adelanta” a la intensidad).
La expresión de la potencia instantánea es conveniente escribirla, sin más que tener en cuenta relaciones trigonométricas elementales, como se indica a continuación:
P = [Vo .Io /2 ][cos ϕ ­ cos (2st + ϕ)]
(12.6)
Puede verse fácilmente que la onda de potencia tiene frecuencia doble que las de tensión y corriente y, por tanto, período mitad.
Como se sabe, el valor medio de una función periódica de período T se define mediante la relación
fmed = 1/T ∫T0 f (t). dt (12.7)
Es evidente que el valor medio de una magnitud senoidal pura es nulo. Como se verá más adelante, a efectos de definir lo que se denomina “factor de forma”, es conveniente calcular el valor medio de una sinusoide en un semiperíodo (para evitar que sea nulo); este valor medio así calculado sería, realmente el correspondiente a una senoide rectificada en doble semisenoidal.
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En resumen, se tiene: Vmed = 0
(12.8)
Si se considera un semiperíodo Vmed = (2/π) Vo (12.9)
I med = 0
(12.10)
Si se considera un semiperíodo I med = (2/π) Io
(12.11)
Pmed = [(Vo . Io)/2]. cos ϕ
(12.12)
Es importante destacar que la gran utilidad práctica de las corrientes y de los voltajes alternos como transportadores de energía, estriba en el hecho de que el valor medio de la potencia instantánea (que, de acuerdo con la relación (12.6), es pulsante con el tiempo) es distinto de cero. La potencia media Pmed da una idea de la habilidad para entregar energía de las corrientes y voltajes alternos.
El calor disipado por efecto Joule en una resistencia, es la base para definir lo que llamamos valor eficaz de una corriente periódica. En efecto, se dice que una corriente periódica tiene un valor eficaz de I amperios cuando la potencia que disipa en una resistencia dad (por efecto Joule) es la misma que la que disiparía una corriente contínua de I amperios.
Los valores eficaces, por ser los más utilizados, los indicaremos en lo sucesivo con letra mayúscula (para indicar que son constantes con el tiempo) y sin subíndices.
La potencia disipada por una corriente contInua de I amperios en una resistencia de R ohmios es : I2 R.
Para expresar la potencia disipada, en la resistencia R, por una corriente periódica, deberá considerarse la energía media por ciclo, es decir:
I2 R = 1/T ∫T0i2 . R. dt
I = { 1/T ∫TO i2 . dt]1/2
(12.13)
Por consiguiente, el valor eficaz de una corriente periódica es la raíz cuadrada del valor medio cuadrático (raíz cuadrática media).
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Por generalización, el valor eficaz de una tensión (o fuerza electromotriz) periódica se define de igual manera que el de una corriente.
Para el caso de magnitudes alternas sinusoidales, que son las que más nos interesan, aplicando la definición (12.13) se tiene:
I = { 1 / 2π ∫2π0 I2o . sen2 (wt) . d(wt)}1/2 = Io / √ 2
(12.14)
V = Vo / √ 2
(12.15)
Teniendo en cuenta las dos anteriores relaciones, la (12.12) que da la potencia media se convierte en:
Pmed = P = V I cos ϕ
(12.16)
El factor de forma de una magnitud periódica se define como el cociente entre los valores eficaces y medio de la misma.
Para una sinusoide, ya se ha dicho que el valor medio es cero. Para salvar esta dificultad, en este tipo de ondas, se suele tomar el valor medio en un semiperíodo positivo (valor medio de un semiciclo), que calculado resulta (2/π) Io, siendo i = Io sen wt.
En definitiva, el factor de forma para una magnitud alterna sinusoidal es:
f = V/Vmed = I/Imed = π/2√2 = 1,11
(12.17)
El empleo de valores eficaces suele tener ventajas sobre el uso de valores máximos, de forma que, en corriente alterna, cuando se habla de una tensión, por ejemplo, de 440 V, sin indicar si se trata del valor máximo o del eficaz, se sobreentiende que se refiere a éste. Las corrientes también se suelen dar, si no se indica lo contrario, por sus valores eficaces.
Por último señalar que los aparatos de medida utilizados en alterna (de hierro móvil, electrodinámicos, etc.) miden valores eficaces.