Apuntes de Ciencia y método. Capítulo 3: Las ciencias exactas.

Capítulo 3
Ciencias exactas
Existe un tipo especial de ciencias, que se
suelen denominar “ciencias exactas”. A diferencia de la filosofía y de lo que habitualmente conocemos como ciencias, no tratan sobre
la realidad, sino que emplean el método axiomático.
Del mismo modo que hemos hecho hasta ahora, partiremos de la observación de la
realidad de esta ciencia para llegar a algunas conclusiones sobre ella. Partiremos de
la demostración que Euclides hizo del teorema de Pitágoras, que se puede encontrar
en Wikipedia en la dirección http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pitágoras, que
resumiremos a continuación.
Figura 3.1: Postulado I.41 de Euclides: triángulos de la misma base y altura tienen la misma superficie.
triángulos que permiten mostrar que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos.
Como esta demostración, hay otras muchas que, partiendo de las propiedades de un
objeto geométrico, demuestran las propiedades de otro.
3.1. Teorema de Pitágoras
La demostración de Euclides parte de uno
de sus postulados geométricos, que afirma
que “Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las
mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo”. Dicho de otro modo: dos
triángulos cualesquiera, que tengan la misma
base y altura (es decir, que la base esté en una
recta y el otro vértice en una paralela a él) tienen la misma superficie, que es la mitad del
paralelogramo correspondiente (véase 3.1).
Si esto es así, podemos construir sobre los
lados de un triángulo rectángulo los cuadrados correspondientes a sus lados y, desde el
ángulo recto, una línea que divida en dos el
cuadrado de la hipotenusa (véase 3.2). Sobre
esa figura, se pueden dibujar una serie de
3.2. El método axiomático
Esta demostración nos muestra una serie
de cualidades que son comunes a todas las
ciencias que emplean el método axiomático.
La más llamativa, es la ya mencionada:
las ciencias axiomáticas no tratan sobre cosas
reales, sino sobre cosas imaginadas, independientemente de la realidad; así sucede con la
extensión o con las cantidades.
Cuando pensamos sobre estos aspectos,
pero sin referirnos a ninguna realidad concreta (por ejemplo, cuando pensamos “2 + 2
= 4”, pero sin ponerle a esa suma el apellido de “2 manzanas + 2 manzanas = 4 manzanas”), tenemos auténticos pensamientos,
conocimientos intelectuales propiamente hu-
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Figura 3.2: Demostración de Euclides del teorema de Pitágoras: los triángulos marrones
son iguales (rotando sobre A se superponen)
y los verdes también (rotando sobre B).
manos, pero éstos no se refieren a la realidad,
sino sólo a algo pensado o imaginado, a lo
que se suele llamar un ente de razón.
Las ciencias que no parten de la realidad
para elaborar su cuerpo de conocimientos
son las matemáticas, las geometrías y la lógica simbólica. Su punto de partida es algo meramente pensado, y toda su realidad está en
el pensamiento de quien lo piensa. Por decirlo con un ejemplo sencillo, las rectas o planos
de los que habla la geometría, sin grosor, perfectos, no están en ninguna parte del mundo
real, sólo pueden existir en la imaginación y
el pensamiento del hombre, no fuera. Toda la
demostración del teorema de Pitágoras es sólo algo pensado.
Para elaborar estas ciencias, se parte de
afirmaciones no contradictorias, coherentes
con el resto de las que son punto de partida de esa ciencia, que se toman como presupuesto para elaborarla. Esas afirmaciones se
llaman axiomas. Un ejemplo clásico en geometría es el postulado de Euclides: Desde un
CAPÍTULO 3. CIENCIAS EXACTAS
punto exterior a una recta sólo se puede trazar
una paralela a dicha recta. Este axioma es uno
de los que da lugar a la geometría euclídea.
Aparentemente, esta afirmación geométrica parece extraerse de cómo son los cuerpos
materiales (con planos, rectas, etc.), pero no
es así, pues los cuerpos reales nunca tienen
la perfección que se atribuye a las rectas, planos, y demás figuras con que se elabora la
geometría: las rectas reales son todas más o
menos gordas y onduladas, los planos están siempre abollados. El geómetra idealiza
a partir de la observación de la realidad, y se
queda dentro de sus ideas. No está hablando
de la realidad.
Pero los axiomas de las matemáticas o la
geometría no tienen por qué ser extraídos de
la realidad material que observamos e idealizados a continuación. Así, cabría establecer
en geometría el siguiente postulado: Desde
un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela a dicha recta. O también el
siguiente: Desde un punto exterior a una recta
se pueden trazar infinitas paralelas a dicha recta.
Aunque dichas afirmaciones no casen aparentemente con la geometría que intuitivamente nos parece la real, la de los cuerpos
que nos rodean, cumplen con las condiciones que hemos establecido (son afirmaciones
no contradictorias, coherentes con otras afirmaciones geométricas); de hecho, estos dos
axiomas que hemos mencionado dan origen
a ramas de la geometría que, por no cumplir con el postulado de Euclides, se denominan geometrías no euclídeas. Evidentemente,
no guardan correspondencia aparente con la
geometría de las cosas, pero son geometrías
coherentes.
Para su desarrollo, estas ciencias exactas
cuentan con dos modos de progresar. Uno,
la deducción lógica de nuevas afirmaciones a
partir de los axiomas previamente existentes.
Esta deducción es la demostración matemática o geométrica. La segunda vía para progresar viene dada por la invención de nuevos
axiomas o postulados, coherentes con los que
ya existían, pero que no se obtienen por de-
3.3. CUALIDADES DE LAS CIENCIAS EXACTAS
mostración a partir de los previamente existentes.
En el conjunto de axiomas que forman una
ciencia (las matemáticas, una rama de la geometría) siempre cabe añadir más axiomas
que no pueden ser demostrados con el conjunto de axiomas preexistente. Esto fue demostrado por Gödel a finales del siglo XIX,
y se cumple con todos los sistemas axiomáticos: matemáticas, geometrías y lógicas simbólicas. Como consecuencia, las ciencias no
empíricas siempre podrán seguir adelante,
aumentando el número de axiomas que las
componen.
Muchos trabajos que se publican en matemáticas o geometría consisten en intentos de
demostración de axiomas ya existentes a partir de otros. A veces tienen éxito, otras veces no, pero no tienen por qué tener éxito
pues, como demostró Gödel, siempre se podrán añadir axiomas indemostrables a partir
de los anteriores. Un ejemplo bien conocido
es la conjetura de Fermat, que sólo se ha conseguido demostrar a partir de otros axiomas
hace muy pocos años, y que llevaba casi tres
siglos sin demostrar. Su formulación es la siguiente: “No hay números enteros x, y, z y n
(siendo n >2) tales que xn + y n = z n ”. Aunque esta conjetura se ha demostrado, podría
igualmente no haberse demostrado, y eso no
hubiera supuesto ningún problema para las
matemáticas, muchos de cuyos axiomas son
indemostrados y nunca se demostrarán.
3.3. Cualidades de las ciencias
exactas
Los conocimientos que proporcionan las
ciencias que parten de axiomas son muy peculiares, pues no son ni verdaderos ni falsos.
Esto es así porque son ciencias que no están
haciendo afirmaciones sobre la realidad, sino
solamente sobre entes de razón, inventados
por el hombre para elaborar dichas ciencias.
Por tanto, no existe una realidad que nos permita dilucidar si una afirmación matemática
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o geométrica es verdadera o no, pues dicha
realidad no existe. Por poner un ejemplo, sucede algo parecido a los cuentos o las novelas: el relato de Caperucita roja no es verdad
ni mentira, pues no pretende, en ningún momento, ser una descripción de unos hechos
reales. Es solamente un ente de razón. Igualmente, las matemáticas y la geometría sólo
existen en el pensamiento de quienes las elaboran, y no existen en la realidad1 .
Además de no ser ni verdaderas ni falsas,
las matemáticas y las demás ciencias exactas son conocimientos incompletos. Con esta
expresión se quiere decir que, a un conjunto de axiomas dado siempre se podrán incorporar axiomas nuevos, que serán coherentes
con el conjunto de axiomas existentes. Es lo
que hemos mencionado en el apartado anterior a propósito de la demostración de Gödel: a un sistema de axiomas siempre se le
pueden añadir más, bien sea demostrándolos, bien sea sin relación demostrada con los
existentes. Esto hace que las ciencias exactas nunca puedan estar acabadas, pues siempre pueden incorporarse nuevos axiomas al
cuerpo de los existentes.
Por último, los conocimientos de las ciencias axiomáticas son absolutamente certeros,
siempre que no se cometan errores al deducir
unas cosas de otras. Por esta razón, las ciencias que trabajan a partir de axiomas (matemáticas y geometría) se denominan ciencias
exactas, nombre que ha tenido la licenciatura
en Matemáticas hasta hace muy poco tiempo.
Sin embargo, esa certeza absoluta no implica que sean verdad en ningún sentido, como
hemos visto anteriormente, pues se trata de
entes de razón.
Cabría pensar que, como las ciencias axiomáticas no dan un conocimiento de cosas
reales, propiamente no se las podría llamar
ciencias, pues no aportan ningún conoci1
Aunque cabría pensar que los entes geométricos
existen en la realidad física, nos damos cuenta de que
no es así si consideramos los objetos sobre los que trabaja. Por ejemplo, con líneas sin grosor, perfectamente
rectas, que no son ningún objeto real.
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miento sobre la realidad. Esto es cierto, pero sí que son un cierto conocimiento (aunque sea sólo de algo pensado); y, como se demuestran unas afirmaciones a partir de otras,
podemos decir que, con esas demostraciones,
se conoce la causa de las afirmaciones axiomáticas. Por tanto, es un cierto conocimiento
por causas, que es lo que habíamos dicho que
eran las ciencias (aunque no dejen de ser un
grupo de ciencias muy peculiar). Por supuesto, si no hay errores en las demostraciones, su
certeza es absoluta, y de ahí la denominación
de ciencias exactas.
3.4. Ciencias exactas aplicadas
Aunque las matemáticas y las geometrías
trabajan con entes de razón, no existe inconveniente en tomar las fórmulas matemáticas
o las expresiones geométricas y en aplicarlas a facetas reales de las cosas. Así, podemos hacer cálculo de estructuras arquitectónicas, de resistencia de materiales, etc. Quienes desarrollaron esas fórmulas matemáticas, que luego han tomado arquitectos e ingenieros para aplicarlas a sus respectivas tecnologías, les interesaba solamente su realidad abstracta, no sus aplicaciones; de hecho,
existen multitud de fórmulas matemáticas y
construcciones geométricas para las que no
existe ninguna aplicación en el mundo real.
Esto ha sucedido con las matemáticas o
la geometría euclidiana, relacionadas de manera relativamente directa con los aspectos
morfológicos o cuantitativos de la realidad física. De hecho, éstas ciencias exactas se emplearon, por esta razón, desde muy pronto,
para la elaboración de los modelos2 relativos
a los movimientos de los cuerpos celestes, o
para la ingeniería y la mecánica.
Sin embargo, también se han encontrado
aplicaciones de matemáticas aparentemente
poco relacionadas con la cantidad de las co2
Puede verse más adelante la cuestión de los modelos, cuando hablemos de las ciencias que siguen el
método hipotético-deductivo.
CAPÍTULO 3. CIENCIAS EXACTAS
sas reales a otros aspectos de la realidad que
no tienen que ver directamente con la morfología o las dimensiones de los objetos; y otro
tanto ha sucedido con cuestiones de geometría no euclidiana. Sus fórmulas parecen funcionar razonablemente bien en dichos contextos. Sin embargo, como hemos mencionado anteriormente, las fórmulas, en sí mismas,
no tienen ninguna relación con la realidad;
eso son aplicaciones posteriores, que los matemáticos nunca intentaron.