Ecuaciones diferenciales en la Qu´ımica. Modelos.

Capı́tulo 1
Ecuaciones diferenciales en la Quı́mica.
Modelos.
1.1
Introducción.
Muchos fenómenos naturales (fı́sicos, quı́micos, biológicos, etc. ) responden, en sus resultados, a formulaciones matemáticas en las que intervienen una función desconocida y sus derivadas, relacionadas entre sı́
mediante una ecuación llamada ecuación diferencial. Por ejemplo, la ley fundamental de la dinámica puede
expresarse mediante la ecuación:
f uerza = masa · aceleración = m · y(t)
(1.1)
siendo y(t) la función de desplazamiento del objeto, t el tiempo y m su masa.
Ası́, en primer lugar hacemos una primera clasificación de las ecuaciones diferenciales atendiendo a su
tipo, distinguiremos entre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.); es decir, la función desconocida
sólo depende de una variable independiente, y Ecuaciones en Derivadas Parciales (E.D.P.) cuando la función
desconocida depende de 2 ó más variables independientes. Por otro lado, para ecuaciones diferenciales del
mismo tipo se tiene en cuenta, para su análisis, el orden máximo de derivación que aparece en la ecuación
diferencial que se llama orden de la ecuación diferencial.
Ejemplo 1.1
Algunas ecuaciones diferenciales clasificadas por su tipo y orden son:
Ecuación
T ipo
Orden
E.D.O.
E.D.P.
1
2
xy 0 + y = 2x
E.D.O.
p 0
k
00
y + my + my = 0
E.D.O.
00
00
2
2
zx2 − zy2 = x − y z E.D.P.
1
2
2
xdx + ydy = 0
∂2z
+ ∂y
2 = ysen(x)
∂2z
∂x2
Nos centramos, a partir de ahora, en el estudio de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.). Más
concretamente,
1
2
Capı́tulo 1: E.D.O.
Definición 1.1
Una E.D.O. de orden n es toda ecuación de la forma:
F x, y, y 0 , . . . , y n) = 0
(1.2)
donde x es la variable independiente, y = y (x) es una función desconocida n-veces derivable y F una función
de n+2 variables definida en dominio abierto de Rn+2 y valores en R.
Ası́ como, para una ecuación estándar, el objetivo es hallar el valor o valores de las incógnitas que
satisfacen la ecuación, nuestro propósito es dar técnicas que permitan resolver una E.D.O.; es decir, obtener
sus soluciones. Para ello, en primer lugar definimos los conceptos de solución, solución general, solución
particular, etc.
Definición 1.2
Una función f (x) n-veces derivable en un abierto de R es Solución de la E.D.O. (1.2) si, y sólo si, F x, f (x), f 0 (x), . . . , f
0
Aclaramos este concepto con algunos ejemplos concretos y simples.
Ejemplo 1.2
x
La función y = e− 2 es una solución de la ecuación diferencial 2y 0 + y = 0.
En efecto,



y = e−x/2
y 0 = − 21 e−x/2
1
⇒ 2y + y = 2 − e−x/2

2

0
+ e−x/2 = −e−x/2 + e−x/2 ≡ 0;
es decir, satisface la E.D.O.
x
Es fácil comprobar que cualquier función de la forma y = Ce− 2 es solución de la E.D.O. 2y 0 + y = 0.
Una solución para la E.D.O. de orden 2, y 00 − y 0 − 2y = sen(x) es:
y=
1
(−3sen(x) + cos(x))
10
También lo son las funciones:
y
y
y
y
=
=
=
=
1
10
1
10
1
10
1
10
(−3sen(x) + cos(x)) + e2x
(−3sen(x) + cos(x)) + e−x
(−3sen(x) + cos(x)) + 3e2x − e−x
(−3sen(x) + cos(x)) + Ae2x + Be−x , con A, B ∈ R
Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que una E.D.O. puede tener más de una solución, de hecho
puede poseer infinitas soluciones (o no tener solución) por lo que se requieren algunos conceptos adicionales
antes de proceder a la resolución de una E.D.O.
Apuntes de J. Lorente
3
Definición 1.3
Una familia n-paramétrica de curvas G(x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0 que define implı́citamente soluciones de
(1.2) independientemente de las ctes Ci la llamamos Solución General de la E.D.O. Si asignamos valores
concretos a las ctes entonces la solución obtenida recibe el nombre de Solución Particular. Por el contrario,
si una solución no se puede obtener desde una solución general se llama Solución Singular.
Ası́, en el ejemplo anterior hemos dado diversas soluciones para las respectivas E.D.O. consideradas
donde,
1
(−3sen(x) + cos(x)) + Ae2x + Be−x
y=
10
es Solución General de la ecuación y 00 − y 0 − 2y = sen(x) mientras que las soluciones restantes;
y=
y=
y=
1
10
1
10
1
10
(−3sen(x) + cos(x)) + e2x
(−3sen(x) + cos(x)) + e−x
(−3sen(x) + cos(x)) + 3e2x − e−x
son Soluciones Particulares sin más que tomar, en la solución general, los valores de A y B siguientes:
A=1, B=0; A=0, B=1; y A=3, B=-1 para cada solución respectivamente.
Observación 1
Por las caracterı́sticas de esta E.D.O. (lineal de orden 2 y coeficientes Ctes) puede demostrarse que
toda solución de la ecuación se obtiene desde la Solución General propuesta. En la práctica la búsqueda de
soluciones particulares proviene del de obtener la solución (si existe) a un problema llamado de Valores o
Condiciones Iniciales (C.I.); a saber, Integrar o resolver una ecuación diferencial
F x, y, y 0 , . . . , y n) = 0 con las C.I.











y(x0 ) = y0
y 0 (x0 ) = y1
..
.
(1.3)
y n−1) (x0 ) = yn−1
Cuando n = 1, el problema (1.3) se conoce por el nombre de Problema de Cauchy.
En general, el número de condiciones es el orden de la ecuación diferencial, sin perjuicio de que en algunos
casos puntuales dicha E.D. posea en si misma alguna cte. adicional, en cuyo caso serı́a necesario imponer
alguna otra condición para la determinación de esa(s) cte.(s) suplementarias.
Si bien nuestro propósito es resolver ecuaciones diferenciales (algunas), conviene que el lector se familiarice con éstas de un modo gradual observando cómo aparecen para describir familias paramétricas de
curvas o ciertos modelos matemáticos que involucran diversas magnitudes relacionadas mediante ciertas
razones de cambio. A continuación, se muestran varias situaciones.
Ejemplo 1.3
√
1. La familia de circunferencias centradas en el origen y radio arbitrario R con R ≥ 0 se describe
mediante la ecuación siguiente: x2 + y 2 = R.
4
Capı́tulo 1: E.D.O.
Derivando, implı́citamente, respecto de la variable x se tiene la igualdad:
2x + 2yy 0 = 0 es decir, se satisface la E.D.O. de orden 1:
x + yy 0 = 0, equivalentemente, xdx + ydy = 0
2. Para la familia de polinomios trigonométricos y = Asen(x) + B cos(x)
derivando dos veces respecto de x se tendrán las igualdades siguientes:
y 0 = A cos(x) − Bsen(x)
y 00 = −Asen(x) − B cos(x)
de aquı́ se pueden obtener las ctes A y B en función de y 0 e y 00 ; a saber,
A = cos(x)y 0 − sen(x)y 00
B = −sen(x)y 0 − cos(x)y 00
y, finalmente, sustituyéndolas en la familia inicial se obtiene la ecuación diferencial ordinaria de orden
2: y 00 + y = 0
Familias ortogonales.
El estudio de trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada tiene, no sólo, un interés geométrico
sino también en meteorologı́a, dinámica de fluidos, campos magnéticos, etc. Ahora bien, ¿qué significa que
dos familias de curvas sean ortogonales? Pues, esto quiere decir lo siguiente: Todas las curvas de una familia
cortan ortogonalmente a todas las de la otra familia; es decir, las tangentes respectivas en cada punto de
corte son perpendiculares. Esta condición se traduce, usando sus pendientes, en:
m1 m2 = −1
que se puede expresar, para familias diferenciables, mediante derivadas. Supongamos, pues, una familia
de curvas, G(x,y,C) =0, para el cálculo de su familia ortogonal que llamamos trayectorias ortogonales, se
procede como sigue:
1. Obtención de una ecuación diferencial para la familia inicial. Sea ésta:
F (x, y, y 0 ) = 0
(1.4)
2. Expresar la condición de ortogonalidad usando derivadas; es decir, sustituimos en la ecuación (1.4)
y 0 por − y10 obteniendo una nueva E.D.O. de primer orden:
F
1
x, y, − 0
y
=0
3. La familia buscada será la solución general de la ecuación (1.5).
(1.5)
Apuntes de J. Lorente
5
Ejemplo 1.4
Determinemos la familia de trayectorias ortogonales de las circunferencias de radio R y centro (a, b).
Solución.
En primer lugar, la familia original puede describirse por la ecuación:
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
Ahora, procediendo como se ha descrito, se tendrá:
• La ecuación diferencial asociada a las circunferencias es: (x − a) + (y − b) y 0 = 0
• Las trayectorias ortogonales tendrán por ecuación:
(x − a) − (y − b)
1
= 0;
y0
es decir,
1
1
dy =
dx
(y − b)
(x − a)
• Es fácil obtener, desde la ecuación anterior, que la familia de curvas solución es:
y − b = K (x − a) con K = cte
Observe, en la figura siguiente ambas familias.
Figura 1.1: Trayectorias ortogonales (circunferencias y rectas)
Ejemplo 1.5
Determinemos las trayectorias ortogonales para la familia de hipérbolas equiláteras xy = C.
Solución
La ecuación diferencial asociada a la familia es: y + xy 0 = 0 ó ydx + xdy = 0
Las trayectorias ortogonales tendrán por ecuación (y 0 ↔ − y10 ):
1
y+x − 0
y
= 0 ó ydy = xdx
6
Capı́tulo 1: E.D.O.
Es fácil obtener, desde la ecuación anterior, que la familia de curvas solución es:
y 2 − x2 = K ó (y − x) (y + x) = K
En la figura siguiente se muestran ambas familias (hipérbolas en ambos casos).
Figura 1.2: Hipérbolas mutuamente ortogonales.
Descripción de curvas a través de E.D.O.
En ocasiones suele darse alguna condición geométrica que caracteriza cierta familia de curvas en términos
tales que pueden interpretarse fácilmente con ayuda de cierta ecuación diferencial. Veamos algunos ejemplos
sencillos.
Ejemplo 1.6
Determine la familia de curvas cuyas tangentes en cada punto son de pendiente proporcional a su abscisa.
Solución
Teniendo en cuenta que la pendiente de la tangente a una curva en el punto (x, y) viene dada por su
derivada (y 0 = y 0 (x)), entonces las curvas con la condición impuesta satisfarán la E.D.O.:
y 0 = kx
donde k es la cte. de proporcionalidad.
Esta ecuación conduce a la familia de curvas solución siguiente:
y=
k 2
x +C
2
Por tanto, las curvas que satisfacen la condición impuesta son parábolas cuyo vértice está en el eje de
ordenadas y de abertura k2 (ver la Figura 1.3).
Apuntes de J. Lorente
7
Figura 1.3: Familia de parábolas solución (caso k > 0)
1.1.1
Ecuaciones de primer orden.
Ante una E.D.O. de primer orden , F (x, y, y 0 ) = 0 se presenta el problema de obtener, si es posible, en
forma explı́cita y = f (x, C) una Solución General o familia de curvas, (en ocasiones una solución general
puede expresarse en la forma implı́cita g (x, y, C) = 0).
Para tal fin, se utilizan técnicas de integración o cálculo de primitivas. Sin embargo, aun siendo la E.D.O.
relativamente simple no siempre es posible dar una solución general en términos de funciones elementales
incluso para tipos particulares de ecuaciones para los que sı́ se conoce una expresión teórica de su Solución
General. Ası́, esta sección está dedicada a analizar la resolución o integración de ciertos casos particulares
de E.D.O. de primer orden; a saber:
Ecuaciones en variables separadas o separables (E. V. S.).
Diremos que una E.D.O., F (x, y, y 0 ) = 0 , es de variables separadas o separables (e.v.s.) si se puede expresar
en la forma estándar:
f (x)
y0 =
ó g(y)dy = f (x)dx
(1.6)
g(y)
en cuyo caso, obtener una Solución General pasa por realizar una integración miembro a miembro en la
segunda forma estándar (respecto de las variables correspondientes); obteniéndose:
Z
Z
g(y)dy =
f (x)dx + C
Ejemplo 1.7
Resuelva la E.D.O. xy 0 + ln (x) y = 0 y calcule la solución particular que verifica: y(1) = 1.
Solución.
En primer lugar observamos que las variables x e y están ligadas por operaciones de producto lo que es
dy
un primer indicativo del modelo de E.V.S. Para contrastarlo, escribimos y 0 = dx
y manipulamos convenien-
8
Capı́tulo 1: E.D.O.
temente la ecuación (intentamos legalmente separar las variables que intervienen); a saber,
xy 0 + ln (x) y = 0 ⇒ y 0 =
dy
dx
dy
⇒ x dx
+ ln (x) y = 0 ⇒
⇒ ( separamos las variables) ⇒
dy
y
= − ln(x)
x dx
se observa, por tanto, que la última ecuación es una E.V.S. cuya solución general será:
R
1
y dy
=−
R
ln(x)
x dx
+ C ⇒ ln (|y|) = − 12 ln2 (|x|) + C
que describe la familia uniparamétrica de curvas solución de la E.D.O. dada.
Para calcular la solución particular, basta calcular el valor de la cte. C que cumple la condición dada; a
saber,
1
y(1) = 1 ⇒ ln (1) = − ln2 (1) + C ⇒ C = 0
2
p
2
Ası́, la solución se puede expresar como: y = e− ln (x) para x > 0.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
6
Figura 1.4: Curva solución que pasa por (1, 1).
Ecuaciones Homogéneas.
Otro tipo de E.D.O. de primer orden cuya integración no presenta más problema que el de calcular primitivas es el siguiente.
Se dice que F (x, y, y 0 ) = 0 es una Ecuación Homogénea si, y sólo si, puede reducirse a la forma
estándar siguiente:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
donde las funciones M (x, y), N (x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.
(1.7)
Apuntes de J. Lorente
9
Para la resolución de (1.7) realizamos un cambio de variable que la transforma en ecuación en variables
separables; a saber,
y
Si tomamos u = ⇒ (y = ux) ⇒ dy = udx + xdu;
x
y, sustituimos en obtenemos:
M (x, ux)dx + N (x, ux) [xdu + udx] = 0
m si n es el grado de homogeneidad
n
n
x M (1, u)dx + x N (1, u) [xdu + udx] = 0
que, simplificando, proporciona la ecuación:
−
N (1, u)
1
du = dx
M (1, u) + N (1, u)u
x
(1.8)
La ecuación (1.8) es una E.V.S respecto de las variables x, u (u = u(x)) que se integrará como tal para,
finalmente, obtener la solución general de restituyendo las variables iniciales.
Ejemplo 1.8
Integración de la ecuación xy 0 =
2x2 −y 2
x+2y
y obtención de la curva solución que pasa por el punto (1, 1).
Solución.
Observe, en primer lugar, que las variables de la ecuación tienen ligaduras de sumas y restas por lo que
no se podrán separar las variables. Escribamos, pues, la ecuación agrupando términos en dx y términos en
dy; a saber,
2 −y 2
2 −y 2
⇒ xdy = 2xx+2y
dx ⇒ x (x + 2y) dy = 2x2 − y 2 dx ⇒
xy 0 = 2xx+2y
⇒
−2x2 + y 2 dx + x (x + 2y) dy = 0
Luego, la ecuación es homogénea con funciones:
M (x, y) = −2x2 + y 2 ;
N (x, y) = x (x + 2y)
que son homogéneas de grado 2.
Ahora, aplicamos el cambio de variable y resolvemos:
−2x2 + y 2 dx + x (x + 2y) dy = 0
⇓y=ux,dy=xdu+udx
−2x2 + x2 u2 dx + x (x + 2xu) [xdu + udx] = 0
Entonces, simplificando:
−2 + u2 dx + (1 + 2u) [xdu + udx] = 0
⇓ separamos var
1 + 2u
1
du = − dx
2
3u + u − 2
x
Integrando en ambos miembros de la última igualdad; es decir,
10
Capı́tulo 1: E.D.O.
Z
Z
1 + 2u
1
du = − dx + C ⇒
2
3u + u − 2
x
(Z
)
Z
3/5
7/5
1
du = − ln (|x|) + C
du +
3
u+1
u − 23
por tanto, 3 ln (|u + 1|) + 7 ln (|u − 2/3|) = −15 ln (|x|) + C es la Solución General en las variables x, u.
Luego, en las variables originales será:
y + x
3y − 2x = −15 ln (|x|) + C
3 ln + 7 ln x 3x Finalmente, la curva solución que pasa por (1, 1) es:
y + x
3y − 2x = −15 ln (|x|)
3 ln + 7 ln 2x x que tras simplificar se puede escribir en la forma (en un entorno apropiado de x = 1):
x5 (x + y)3 (3y − 2x)7 = 8
Ecuación Lineal de primer orden.
Las ecuaciones diferenciales lineales tienen gran importancia en multitud de aplicaciones y, en particular,
las de primer orden. Estas, además, pueden resolverse completamente a partir del cálculo de primitivas (si
éste es posible). Más concretamente,
Definición 1.4
Diremos que una ecuación de primer orden es lineal si y, sólo si, puede escribirse en la forma:
y 0 + P (x)y = Q(x)
(1.9)
donde, P y Q son funciones continuas de la variable x en un dominio real apropiado.
La solución general de (1.9) se obtiene en dos etapas; a saber:
• Resolver la ecuación Homogénea asociada y 0 + P (x)y = 0;
• Buscar una solución particular de (1.9).
TEOREMA 1.1
Sea yh (x) una solución no nula de la ecuación homogénea asociada e yp (x) una solución de (1.9). Entonces,
y(x) = yp (x) + Cyh (x)
es la Solución General de la ecuación completa (1.9).
(1.10)
Apuntes de J. Lorente
11
Demostración.
Es sencillo probar este resultado sin más que sustituir en la ecuación diferencial. En efecto,
y(x) = yp (x) + Cyh (x) ⇒ y 0 (x) = yp0 (x) + Cyh0 (x) ⇒
0
yp (x) + Cyh0 (x) + P (x) [yp (x) + Cyh (x)] =
= yp0 (x) + P (x)yp (x) +C yh0 (x) + P (x)yh (x) = Q(x)
|
{z
}
{z
}
|
=0
=Q(x)
Luego, (1.10) es la solución general de la ecuación (1.9).
Desde este resultado se deduce que resolver la ecuación lineal de primer orden pasa por conocer una
solución particular de ésta y la solución de la homogénea; pero, ¿cómo calcular una solución particular?.
Hay varias formas de conseguir responder esta cuestión. Aquı́, se va a utilizar un método denominado
variación de ctes. Además, el procedimiento permite dar una expresión explı́cita de la Solución General.
Integración de la homogénea.
Consideramos la ecuación y 0 + P (x)y = 0 que es una ecuación V.S.; entonces,
y 0 + P (x)y = 0 ⇔
dy
y
= −P (x)dx ⇒
R
dy
y
R
R
= − P (x)dx ⇒ yh (x) = e− P (x)dx
Cálculo de una solución particular.
Para la obtención de yp (x) suponemos que es de la forma: yp (x) = kyh (x) donde k = k(x). Imponemos
que yp (x) sea solución de la ecuación completa; es decir,
yp0 + P (x)yp = k 0 yh + kyh0 + P (x)kyh = k 0 yh + k yh0 + P (x)yh = k 0 yh ≡ Q(x)
|
{z
}
=0
luego, yp (x) será solución si k = k(x) satisface la E.V.S.:
k 0 yh = Q(x) ⇔ k 0 = Q(x)e
R
P (x)dx
Por tanto, resolviendo (1.11) y sustituyendo se tiene:
Z n
o R
P (x)dx
yp (x) =
Q(x)e
dx yh (x)
(1.11)
(1.12)
Ası́, utilizando la discusión anterior y el TEOREMA 1.1 se puede dar la fórmula, para la solución general,
siguiente:
Z n
o
R
R
y(x) = e− P (x)dx
Q(x)e P (x)dx dx + C
(1.13)
Ejemplo 1.9
Resuelva la ecuación xy 0 − y = x3 y obtenga la curva solución que satisface la c.i. y(1) = 0.
Solución.
Procedemos según las etapas descritas anteriormente:
12
Capı́tulo 1: E.D.O.
1. Resolución de la ecuación lineal homogénea xy 0 − y = 0
R dy R dx
dx
En efecto, xy 0 − y = 0 ⇒ dy
y = x ⇒
y =
x ⇒ yh (x) = x
es solución.
2. Ahora ensayamos una solución particular yp = kx con k=k(x) Entonces,
xyp0 − yp = x k 0 x + k − kx = k 0 x2 ⇒ k 0 x2 = x3
luego, k(x) =
R
xdx = 21 x2 , e yp (x) = 12 x3
Ası́, la solución general de la ecuación completa es:
1
y(x) = x3 + Cx
2
(1.14)
3. Para calcular la solución particular usamos la C.I. y (1.14)
y(1) = 0 ⇒ 0 =
1
+ C ⇒ C = − 21
2
y, por tanto, y(x) = 12 x(x2 − 1) es la solución particular o curva solución del P.V.I. (vea la Figura 1.4).
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
Figura 1.5: Solución del P.V.I.
1.5