ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES
Un espacio vectorial sobre K es una conjunto V que cumple:
1) Existe una regla que asocia a dos elementos u, v ∈ V su suma
que se denota por u + v, que es también elemento de V y que
cumple
a) u + v = v + u
∀ u, v ∈ V .
b) u + (v + w) = (u + v) + w
∀ u, v, w ∈ V .
c) Existe un elemento de V llamado 0 (vector cero) tal que
v+0=v
∀ v ∈ V.
d) Para todo v en V existe un v0 en V (opuesto de v) tal
que
v + v0 = 0.
2) Existe una regla que asocia un escalar α a un vector v ∈ V
su producto αv, que es tambien un elemento de V y cumple
e) α(βv) = (αβ)v
f) 1v = v
∀ α, β ∈ K, ∀v ∈ V .
∀v ∈ V (1 es el escalar unidad).
g) (α + β)v = αv + βv
∀ α, β ∈ K, ∀ v ∈ V .
h) α(v + w) = αv + αw
∀ α ∈ K, ∀ v, w ∈ V .
Ejemplos:
1. R2 , R3 , Rn .
2. Polinomios de grado n.
3. Funciones continuas en un intervalo.
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Propiedades:
En cada espacio vectorial existe un único vector cero.
Todo elemento v de un espacio vectorial posee un único elemento opuesto (que se denota por −v).
0v = 0
∀ v ∈V.
α0 = 0
∀α∈K
(−1)v = −v
∀ v ∈V.
Se dene la resta de dos vectores u y v como u − v = u + (−v).
SUBESPACIOS
Denición: Un subespacio vectorial de un espacio vectorial
V es un subconjunto U de V que es por si mismo un espacio
vectorial sobre el mismo conjunto de escalares y para las mismas
operaciones que V .
Proposición: Un subconjunto no vacio S de un espacio vectorial
V es subespacio de V si y sólo si
i) x + y ∈ S
ii) αx ∈ S
∀ x, y ∈ S
∀α∈K∀x∈S
o, de forma equivalente,
αx + βy ∈ S
∀ α, β ∈ K, ∀ x, y ∈ S.
Ejercicio: ¾Qué conjuntos son subespacios de R2 o R3?
a)
c)
e)
g)
A = {(0, y) : y ∈ R},
C = {(x, y) : xy = 0},
E = {(x, y, z) : sen x = 0},
G = {(x, y, z) : x = y = 2}
2
b) B = {(x, y) : 2x − 3y = 1},
d) D = {(x, y, z) : 2x − y + z = 0},
f) F = {(x, y, z) : x ≤ y},
BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO
VECTORIAL
Denición: Sea S = {x1, x2, . . . , xn} un subconjunto no vacio
de un espacio vectorial V . Una combinación lineal de S es un
vector de la forma
α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn
αi ∈ K.
El conjunto de todas las combinaciones lineales de S se denota
por L(S) y se llama envoltura lineal de S .
Proposición: La envoltura lineal de cada subconjunto no vacio
S de un espacio vectorial V es una subespacio de V .
Denición: Dado S ⊆ V se dice que su envoltura lineal L(S) es
el subespacio generado por S . Si U es un subespacio de V , un
generador de U es un subconjunto S de V tal que U = L(S).
Denición: Sea S = {x1, x2, . . . , xn} un subconjunto de un espacio vectorial V . Se dice que S es linealmente dependiente si
existen unos escalares αk , i = 1, 2, . . . , n, no todos nulos, tal que
α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = 0.
Proposición: Un conjunto S es linealmente dependiente si y
sólo si existe un elemento x ∈ S que es combinación lineal de los
demás.
Denición: Un conjunto de vectores S se dice linealmente independiente si no es linealmente dependiente.
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Denición: Sean f1, f2, . . . , fn funciones reales denidas en [a, b]
derivables hasta el orden n − 1, entonces se llama wronskiano
de tales funciones a



W (x) = det 

f1(x)
f1(x)0
...
f2(x)
f2(x)0
...
···
···
fn(x)
fn(x)0
...



.

f1(x)(n−1) f2(x)(n−1) · · · fn(x)(n−1)
Teorema: Si existe un punto x0 ∈ [a, b] tal que W (x0) 6= 0, entonces las funciones f1 , f2 , . . . , fn son linealmente independientes.
Denición: Una base de un espacio vectorial es un conjunto
linealmente independiente que lo genera.
Teorema: Si un espacio vectorial V tiene una base formada por
n elementos, entonces
a) Cada conjunto linealmente independiente de n vectores es una
base.
b) Cada conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente.
c) Cada base de V tiene n elementos.
Denición: Se dice que la dimensión de un espacio vectorial es
n si cada una de sus bases está formada por n elementos.
Teorema: Sea V un espacio de dimensión n. Si k < n, todo
conjunto independiente de k elementos puede completarse hasta
formar una base
Denición: Un espacio vectorial se dice que es de dimensión
innita si cada para cada número natural n, contiene un subconjunto linealmente independiente de n elementos.
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ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Denición: Sea B = {b1, b2, . . . , bn} una base de un espacio
vectorial V . Si el vector v de V se escribe como combinación
lineal de la base B de la forma
v = x1b1 + x2b2 + · · · + xnbn
se dice que los coecientes de esta combinación lineal son las
componentes de v respecto de la base B .
Proposición: En un espacio de dimensión n cada vector tiene
un único juego de componentes.
Proposición: Las componentes del vector suma de dos vectores son las sumas de sus componentes. Las componentes de un
múltiplo de un vector son los múltiplos de sus componentes.
Nota: Se suele denotar a las coordenadas de v respecto de B por



[v]B = 


x1

x2 
...  .

xn
CAMBIOS DE BASE
Sea U un espacio vectorial de de dimensión n. Consideremos dos
bases B = {u1 , u2 , . . . , un } y B 0 = {u01 , u02 , . . . , u0n } bases de U
tales que
u1 = p11u01 + p21u02 + · · · + pn1u0n
u2 = p12u01 + p22u02 + · · · + pn2u0n
...
...
...
...
un = p1nu01 + p2nu02 + · · · + pnnu0n
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Dado u ∈ U lo podemos expresar en la base B y en la base B 0



x01
x02
x1



 x2 

[u]B =  ..  , [u]B0 =  ..
 . 
 .
xn
x0n



.

Por lo tanto
u = x1 u1 + x2 u2 + · · · + xn un = x1 (p11 u01 + p21 u02 + · · · + pn1 u0n ) +
x2 (p12 u01 + p22 u02 + · · · + pn2 u0n ) + · · · + xn (p1n u01 + p2n u02 + · · · + pnn u0n ) =
(p11 x1 + p12 x2 + · · · + p1n xn ) u01 + (p21 x1 + p22 x2 + · · · + p2n xn ) u02 + · · · +
(pn1 x1 + pn2 x2 + · · · + pnn xn ) u0n .
Igualando coordenadas se obtiene
x01 = p11x1 + p12x2 + · · · + p1nxn
x02 = p21x1 + p22x2 + · · · + p2nxn
...
...
...
...
x0n = pn1x1 + pn2x2 + · · · + pnnxn
Deniendo



P =


p11 p12 · · · p1n

p21 p22 · · · p2n 
...
... . . . ... 

pn1 pn2 · · · pnn
se tiene
[u]B0 = P · [u]B
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