Ecuaciones del tipo ax + by = c.

TALLER DE MATEMÁTICAS 2008-2009
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Reciben el nombre de ecuaciones diofánticas aquellas ecuaciones polinómicas, con coeficientes enteros, cuyas soluciones son números enteros. Vamos a estudiar aquı́ dos tipos
de ecuaciones diofánticas.
Ecuaciones del tipo ax + by = c.
Las tres cuestiones que vamos a responder son:
1. Cuándo tiene solución.
2. Caso de tener solución, cómo encontrarla.
3. Cuántas soluciones tiene la ecuación.
Para responder a la primera pregunta, utilizamos el siguiente resultado.
Proposición. La ecuación diofántica ax + by = c tiene solución si y sólo si d|c, donde
d = mcd(a, b).
En caso de tener solución, existen infinitas y todas ellas se obtienen de la siguiente forma:
Si x0 , y0 es una solución particular de la ecuación, todas las soluciones están dadas por:
x = x0 + (b/d)t, y = y0 − (a/d)t, para t entero arbitrario.
Para encontrar una solución, y con ella todas las demás, necesitamos recordar el algoritmo
de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números a y b. Dicho algoritmo
consiste en el siguiente proceso:
a) Si a > b, mediante la división llegamos a que a = q1 b + r1 , con 0 ≤ r1 < b.
Si r1 = 0, entonces, b|a y mcd(a, b) = b.
b) Si r1 6= 0, se divide b por r1 y se obtiene b = q2 r1 + r2 , con 0 ≤ r2 < r1 .
Si r2 = 0, el proceso termina y mcd(a, b) = r1 .
c) Si r2 6= 0, se divide r2 por r1 , obteniendo r1 = q3 r2 + r3 , con 0 ≤ r3 < r2 .
d) Continuamos el proceso hasta que alguna división sea exacta. El proceso será finito
porque en la secuencia b > r1 > r2 > · · · ≥ 0 no puede haber más de b enteros.
e) En estas circunstancias, el máximo común divisor de a y b no es más que el último
residuo no cero del proceso anterior.
La validez del proceso anterior está garantizada por el siguiente resultado.
Proposición. Si a y b son enteros positivos con a > b y si a = qb + r, con 0 < r < b,
entonces mcd(a, b) = mcd(b, r).
Al recorrer el algoritmo de Euclides en sentido inverso se pueden obtener los valores x e
y para los cuales ax + by = d, donde d = mcd(a, b).
EJERCICIOS
1. ¿Tienen solución en Z las siguientes ecuaciones?
2x + 10y = 17.
5x + 6y = 8.
2. Hallar mcd(12378, 3054).
Observación. Un método equivalente al proporcionado por el algoritmo de Euclides consiste en formar una fracción continua, como sigue:
162
1
12378
1
= 4+
= 4 + 3054 = 4 +
3054
3054
18 +
162
= 4+
=4+
1
18 +
1
162
138
1
1
1
=4+
=4+
1
1
18 + 1+ 24
18 + 1+ 1
18 + 1+ 1 1
138
24
138
= 4+
138
162
1
18 +
1
1+
=4+
1
1
5+ 24
18
18
5+ 24
1
18 +
1
1+
1
5+
1
6
1+ 18
3. Utilizar el ejemplo anterior para encontrar enteros x e y que cumplan la
condición 6 = 12378x + 3054y.
Observación. Un método alternativo consiste en desarrollar la fracción continua
anterior eliminando la última fracción.
4+
1
18 +
1
1+
1
5+ 1
1
=4+
1
18 +
6
7
=4+
7
535
=
.
132
132
4. Una compañı́a compró cierto número de reliquias falsas a 17 euros cada
una y vendió algunas de ellas a 49 euros cada una. Si la cantidad comprada
originalmente es mayor que 50 y menor que 100 y la compañı́a obtuvo
una ganancia de 245 euros. ¿Cuántas reliquias faltan por vender?
5. Una mujer tiene un cesto de manzanas. Haciendo grupos de 3 sobran
2 y haciendo grupos de 4 sobran 3. Hallar el número de manzanas que
contiene el cesto sabiendo que están entre 100 y 110.
6. Hallar el menor número de cuatro cifras que dividido por 4, 7 y 11 da
resto 3, y que dividido por 13 da resto 1.
7. Encontrar las soluciones enteras de 2x + 3y + 5z = 11.(Por cierto, ¿tiene
esta ecuación alguna solución en los naturales?)
8. Hallar dos números, uno con 21 divisores y el otro con 10 divisores cuyo
máximo común divisor sea 18.
9. Un número N descompuesto en sus factores primos es de la forma N =
2x 3y 5z . Si se divide por 2, se suprimen 24 divisores. Si se divide por 3,
se suprimen 18 divisores. Si se divide por 5, se suprimen 12 divisores.
Hallar N .
10. La suma de dos números es 240 y su mı́nimo común múltiplo es 1768.
¿Cuáles son esos números?
11. Encontrar un número de 4 cifras divisible por 9, sabiendo que sus cifras
van disminuyendo de izquierda a derecha de unidad en unidad.
12. Si p y p2 +8 son números primos primos, demostrar que p3 +4 es también
primo.
13. Demostrar que todo entero de la forma 3s + 2 tiene un factor primo de
esa forma.
14. Demostrar que el único primo p, para el cual 3p+1 es cuadrado perfecto,
es p = 5.
15. Demostrar que 1/x − 1/y = 1/n tiene exactamente una solución si y sólo
si n es primo.
16. Demostrar que, si n es entero, entonces n(n2 − 49)(n2 + 49) es divisible
por 30.
Ecuaciones del tipo x2 + y 2 = z 2 .
Las soluciones enteras de la ecuación cuadrática x2 + y 2 = z 2 reciben el nombre de
ternas pitagóricas. El ejemplo más conocido es la terna (3, 4, 5), pero también son
válidas las ternas (5, 12, 13) y (7, 24, 25). Veamos cómo obtener todas las soluciones.
Podemos suponer que x, y, z son primos entre sı́ ya que, si x, y ,z es solución de
la ecuación, también lo es a · x, a · y, a · z, para cualquier a. De ahı́ se deduce que
encontrada una solución hay infinitas.
Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x, y, z primos entre sı́ no
pueden ser todos pares.
Transformamos la ecuación en z 2 − y 2 = x2 . Como z 2 − y 2 = (z − y)(z + y) = x2 ,
el problema se reduce a descomponer x2 como producto de dos números primos
entre sı́. Sean u y v estos números. De este modo, obtenemos y = (u2 − v 2 )/2,
z = (u2 + v 2 )/2.
Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un
número par.
Se llaman ternas pitagóricas primitivas aquellas para las que mcd(x, y, z) = 1. Para
ellas, es fácil comprobar que dos de los términos son impares y uno es par y que
exactamente uno de los términos x ó y es múltiplo de 3.
17. Encontrar tres ternas pitagóricas de la forma (16, y, z).
18. Encontrar todos los triángulos pitagóricos cuyas áreas son iguales a su
perı́metro.