REGRESION LINEAL SIMPLE

REGRESION LINEAL SIMPLE
Jorge Galbiati Riesco
Se dispone de una muestra de observaciones formadas por pares de variables:
(x1, y1), (x2, y2), .., (xn, yn)
A través de esta muestra, se desea estudiar la relación existente entre las dos variables X e Y.
Es posible representar estas observaciones mediante un gráfico de dispersión, como el siguiente
También se puede expresar el grado de asociación mediante algunos indicadores, que se verán
a continuación.
MEDIDAS DE ASOCIACION DE VARIABLES
Covarianza entre las variables X e Y. Es una medida de la variación conjunta. Se define como
cov( X , Y ) =
1
1
( xi − x)( yi − y ) = S xy
∑
n
n
Puede tomar valores positivos o negativos.
Positivo, significa que ambas variables tienden a variar de la misma forma, hay una asociación
positiva.
Negativo, significa que si una aumenta, la otra tiende a disminuir, y vice versa.
Covarianza cercana a cero indica que no hay asociación entre las variables.
1
Ejemplo 1
DATOS DEL CLUB DE SALUD
Datos correspondientes a 20 empleados del club de salud de una empresa
X
Y
pulsasiones or minuto en reposo
tiempo en correr 1 milla ( reg)
Fuente: S. Chatterjee - A. Hadi: " Sentivity Analysis in Linear Regression"
obs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Promedios:
X
67
52
56
66
65
80
77
65
68
66
70
59
58
52
64
72
57
59
70
63
64,3
Y
481
292
357
396
345
469
425
393
346
401
267
368
295
391
487
481
374
367
469
252
382,8
2
Calcularemos de la covarianza entre estas dos variables.
Covarianza
Valores centrados y productos:
obs
X-64,3
1
2,7
2
-12,3
3
-8,3
4
1,7
5
0,7
6
15,7
7
12,7
8
0,7
9
3,7
10
1,7
11
5,7
12
-5,3
13
-6,3
14
-12,3
15
-0,3
16
7,7
17
-7,3
18
-5,3
19
5,7
20
-1,3
Promedio :
La covarianza entre las
variables X e Y es igual a
Y-382,8
98,2
-90,8
-25,8
13,2
-37,8
86,2
42,2
10,2
-36,8
18,2
-115,8
-14,8
-87,8
8,2
104,2
98,2
-8,8
-15,8
86,2
-130,8
prod
265,14
1116,84
214,14
22,44
-26,46
1353,34
535,94
7,14
-136,16
30,94
-660,06
78,44
553,14
-100,86
-31,26
756,14
64,24
83,74
491,34
170,04
239,41
239,41
Coeficiente de correlación lineal.
La covariaza tiene el inconveniente de que su valor no es acotado, por lo que, a partir de él es
dificil juzgar si es grande o pequeña.
Se define la correlación, que es una medida de asociación lineal independiente de las unidades
de medida.
Es igual a la covarianza dividida por las desviaciones estándar:
corr ( X , Y ) =
cov( X , Y )
=
dsX * dsY
∑ ( x − x)( y − y )
∑ ( x − x) ∑ ( y − y )
i
i
2
i
i
2
=
S xy
S xx S yy
3
El valor de la correlación entre cualquier par de variables es un número entre -1 y 1. n valor alto
de correlación no indica que existe alguna relación de causa-efecto entre las variables.
Ejemplo (continuación)
Coeficiente de
Correlación
Se deben calcular las desviaciones standard.
Para ello se deben elevar al cuadrado las observaciones centradas
y promediar, obteniéndose las varianzas.
Las desviaciones standard son las raíces cuadradas de éstas.
obs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Promedios :
(varianzas)
cuadrados de
X-64,3 Y-382,8
7,3
9643,2
151,3
8244,6
68,9
665,6
2,9
174,2
0,5
1428,8
246,5
7430,4
161,3
1780,8
0,5
104,0
13,7
1354,2
2,9
331,2
32,5
13409,6
28,1
219,0
39,7
7708,8
151,3
67,2
0,1
10857,6
59,3
9643,2
53,3
77,4
28,1
249,6
32,5
7430,4
1,7
17108,6
54,11 4896,46
Las desviaciones standard son
dsX =
7,36 ds Y =
69,97
Para obtener las correlaciones se debe
dividir la covarianza por las desviaciones standard:
corr(X,Y) = 239.41 / ( 7.36 * 69.97
)=
0,465
4
El siguiente es un gráfico de dispersión que muestra estos datos.
Tiempo en recorrer 1 milla
Club de Salud
600
500
400
300
200
100
0
0
20
40
60
80
100
Pulsaciones por minuto
La interpretación del coeficiente de correlación puede ilustrarse mediante los siguientes gráficos.
5
REGRESION LINEAL SIMPLE
Ahora asumiremos que si hay una relación de causalidad de la variable X (causa) hacia la
variable Y (efecto). Además, se sabe que esa relación es de tipo lineal, dentro del rango de los
datos.
Estableceremos un modelo para explicar la cai¡usa (Y) en términos del efecto (X), del tipo
siguiente:
Yi = a + bX i + ei
para i = 1,2,..., n
en que a y b son dos cantidades fijas (parámetros del modelo) y los ei son cantidades aleatorias
que representan las diferencias entre lo que postula el modelo
a + bx
y lo que realmente se
observa, y.
Por esa razón a los e los llamaremos "errores" o "errores aleatorios". Se asume que tienen valor
esperado 0 y desviación estándar común
σ
.
Ejemplo 2
Venta de automóviles
Se piensa que si aumentan el porcentaje de comisión pagada
al vendedor de automóviles, aumenta la venta.
Estudio sobre 15 concesionarios similares
X
Comisiones pagadas a vendedores de autos en un mes (%)
Y
Ganancias netas por ventas, en el mismo mes (Millones de $)
obs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
X
3.6
5.2
5.3
7.3
5.0
5.2
3.0
3.1
3.2
7.5
8.3
6.1
4.9
5.8
7.1
Y
11.28
14.74
18.46
20.01
12.43
15.37
9.59
11.26
8.05
27.91
24.62
18.80
13.87
12.11
23.68
Representación de los datos en un gráfico de dispersión:
6
Ganancias netas versus com isiones
Ganancias (MM$)
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
com isión (%)
Se puede apreciar la relación lineal existente entre ambas variables observadas.
Nuestro problema es estimar los parámetros a, b y
σ2
para poder identificar el modelo.
Para estimar a y b se utiliza el método de Mínimos cuadrados, que consiste en encontrar
aquellos valores de a y de b que hagan mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones de
las observaciones respecto de la recta que representa el modelo, en el sentido vertical.
En la figura, son los cuadrados de los segmentos verticales cuya suma de cuadrados se debe
minimizar, para determinar a y b. Estos segmentos representan los errores e del modelo. b se
llama pendiente de la recta que representa los datos y a se llama intercepto sobre el eje vertical.
La solución está dada por las siguientes fórmulas:
b=
∑ ( x − x)( y − y) = S
S
∑ ( x − x)
i
i
xy
2
i
xx
7
a = y − bx
Ejemplo 2 (continuación)
Calculamos los promedios de ambas variables y se las restamos a los valores.
Promedio de la X :
Promedio de la Y :
5.4
16.1
Desviaciones respecto de las medias, sus cuadrados y productos:
obs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
sumas
X-5.4
-1.8
-0.2
-0.1
1.9
-0.4
-0.2
-2.4
-2.3
-2.2
2.1
2.9
0.7
-0.5
0.4
1.7
0.0
Y-16.1
-4.9
-1.4
2.3
3.9
-3.7
-0.8
-6.6
-4.9
-8.1
11.8
8.5
2.7
-2.3
-4.0
7.5
0.0
cuadrados
3.1
23.7
0.0
2.0
0.0
5.3
3.7
14.9
0.1
13.8
0.0
0.6
5.6
42.9
5.2
23.8
4.7
65.6
4.5
138.5
8.6
71.8
0.5
7.0
0.2
5.2
0.2
16.3
3.0
56.8
39.6
488.3
Sxx
Syy
Entonces utilizando las fórmulas de arriba,
b=
3.18
a=
prod.
8.6
0.2
-0.2
7.4
1.4
0.1
15.6
11.1
17.6
25.0
24.8
1.9
1.1
-1.7
13.0
126.1
Sxy
-0.96
El modelo, para estos datos, es
Yi = −0.96 + 3,18 X i + ei
para i=1,2,.. 15
Representa una recta, cuyo intercepto con el eje vertical es -0.96, y su pendiente es 3.18, o sea,
si el porcentaje de comisión X aumenta en 1%, la ganancia neta Y aumenta en 3.18 Millones de
pesos.
8
Ganancias netas versus com isiones
30.00
Ganancias (MM$)
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
-5.00
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
com isión (%)
VALORES AJUSTADOS AL MODELO.
El modelo de regresión lineal se puede utilizar para obtener valores de Y ajustados al modelo,
Los valores puntuales se obtienen mediante la fórmula
Yi = a + bX i
en que a y b son los valores estimados por el procedimiento indicado anteriormente, y Xi toma
los valores de la muestra. Los puntos que representan estos valores en el gráfico de dispersión,
yacen sobre la recta.
Ejemplo 2 (continuación)
La tabla siguiente contiene los valores de Y ajustados , para cada valor de X, además de los
valores de Y observados, a modo de comparación. Los ajustados se obtienen por la fórmula
Yi = −0.96 + 3.18 X i
9
obs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
promedio
X
3.6
5.2
5.3
7.3
5.0
5.2
3.0
3.1
3.2
7.5
8.3
6.1
4.9
5.8
7.1
5.4
Y
11.28
14.74
18.46
20.01
12.43
15.37
9.59
11.26
8.05
27.91
24.62
18.80
13.87
12.11
23.68
16.1
Yajust.
10.50
15.59
15.91
22.28
14.96
15.59
8.59
8.91
9.23
22.92
25.46
18.46
14.64
17.50
21.64
16.1
dif
0.78
-0.85
2.54
-2.27
-2.52
-0.23
1.00
2.36
-1.18
5.00
-0.84
0.34
-0.77
-5.40
2.04
0.00
Se puede observar que el promedio de los valores ajustados es igual al promedio de los valores
observados, y que el promedio de las diferencias es cero.
La raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y
ajustados, es una estimación de la varianza del error,
σ . En el ejemplo, la suma de las
diferencias al cuadrado es 19.8, luego la estimación de la desviación estándar del error es igual
a
1
19.8 = 1.32 = 1.15
15
σ =
Millones de pesos
Coeficiente de determinación. Es una medida de bondad de ajuste del modelos de regresión
lineal a los datos.
Es deseable que los valores de Y ajustados al modelo, sean lo más parecidos posible a los
valores observados. Una medida de lo parecido que son, es el coeficiente de correlación.
Se define el coeficiente de determinación, R2, como el cuadrado del coeficiente de correlación
entre los valores de Y observados y los valores de Y ajustados. Sin embargo se puede demostrar
que es igual a la siguiente expresión:
R =
2
S xy2
S xx S yy
=
[∑ ( x
[∑ ( x
i
i
− x)( y i − y )
− x) 2
][∑ ( y
i
]
2
− y) 2
]
El rango de R2 es entre 0, cero ajuste, hasta 1, ajuste perfecto (cuando los puntos aparecen en
un línea recta).
10
Ejemplo 2 (continuación)
Más arriba se calcularos las sumas de cuadrados y de productos, y dieron los siguientes valores:
Sxx = 39.6 ,
Syy = 488.3 , Sxy = 126.1
Entonces el coeficiente de determinación es
R2 =
(126.1) 2
= 0.82
39.6 * 488.3
que señala que el ajuste del modelo a los datos es bueno.
Ejemplo 3
Los datos siguientes corresponde al Indice de Producción Física de la Industria Manufacturera,
por agrupación, de los meses de mayo de 2002 y mayo de 2003, entregado por el Instituto
Nacional de Estadísticas. Es un índice cuya base 100 es el promedio de producción de cada
agrupación, en el año 1989.
Agrupaciones
Fabricac. de productos alimenticios
Industrias de bebidas
Industria del tabaco
Fabricac. de textiles
Fabricac. prendas de vestir, excepto calzado
Industria del cuero; produc. de cuero y sucedáneos
Fabricac. de calzado, exc. de caucho o plástico
Industria de madera y sus productos exc. muebles
Fabricac. de muebles y accesorios, exc. metálicos
Fabricac. de papel y productos de papel
Imprentas, editoriales e industrias conexas
Fabricac. de sustancias químicas industriales
Fabricac. de otros productos químicos
Refinerías de petróleo
Fabricac. prod. derivados de petróleo y carbón
Fabricac. de productos de caucho
Fabricac. de productos plásticos
Fabricac. de objetos de loza y porcelana
Fabricac. de vidrio y productos de vidrio
Fabricac. otros productos minerales no metálicos
Industrias básicas de hierro y acero
Industrias básicas de metales no ferrosos
Fabricac. prod. metálicos exc. maquinaria y equipo
Construcción de maquinaria, exc. la eléctrica
Construcción máq., aparatos y acces. eléctricos
Construcción de material de transporte
Fabricac. equipo profesional y artículos oftálmicos
Otras industrias manufactureras
Mayo 02
140.2
134.6
151.1
70.9
34.7
59.3
52.6
132.3
114.0
189.5
107.5
229.4
212.4
136.0
143.2
141.4
305.8
68.2
268.6
185.6
123.1
119.8
153.6
282.5
87.0
103.4
67.7
66.0
Mayo 03
133.5
133.7
140.5
70.3
30.5
56.7
45.3
141.6
132.4
205.3
108.0
231.4
209.6
165.2
156.2
177.4
399.7
61.1
266.4
186.5
167.1
108.7
153.5
289.7
83.0
73.4
64.1
67.5
11
El gráfico de dispersión es el siguiente:
Prod. Física Industria Manufacturera
Indice mayo 2003
600
400
200
0
0
100
200
300
400
Indice m ayo 2002
Cálculos parciales, en que X es el índice mayo 2002, Y el índice mayo 2003:
n = 28
x = 136.6
y = 144.9
S xx = ∑ ( xi − x) 2 = 134,913.6
S yy = ∑ ( y i − y ) 2 = 187,813.7
S xy = ∑ ( xi − x)( yi − y ) = 154,350.8
Estimación de los parámetros del modelo:
b=
S xy
S xx
=
154,350.8
= 1.14
134,913.6
a = y − b x = −13.61
Bondad de ajuste:
R2 =
S xy2
S xx S yy
=
(154,350.8) 2
= 0.940
(134,913.6) * (187,350.8)
que indica un muy buen ajuste. El siguiente gráfico muestra de recta de regresión estimada:
12
Prod. Física Industria Manufacturera
Indice mayo 2003
600
400
200
0
0
100
200
300
400
-200
Indice m ayo 2002
Predicción por bandas de confianza.
Se pueden hacer predicciones de valores Y para valores X que no están en el conjunto de
observaciones, dentro o fuera de su rango, utilizando la fórmula de la regresión lineal, con los
parámetros a y b estimados.
También se pueden hacer predicciones por intervalos de confianza verticales, que tienen la
ventaja de proporcionar una cuantificación del error de predicción. Los intervalos tienen la
propiedad de ser de diferente ancho, según el valor de X, siendo más angostos cuando X es
igual al promedio, ensanchándose a medida que nos alejamos del promedio. Cuando se sale del
rango de los datos, se ensanchan más fuertemente. Esto significa que mientras más nos
alejamos del centro de los valores de la variable X, más imprecisas serán nuestras estimaciones
del valor de la variable Y, lo que parece razonable.
Si unimos los extremos superiores (o los inferiores) de todos los intervalos de confianza, se
obtienen dos curvas con forma de hipérbola, como se muestra en la figura:
13
El gráfico siguiente muestra las bandas de confianza de coeficiente 95%, para el ejemplo de la
producción física manufacturera.
Mientras mayor es el coeficiente de determinación R2, más angostas son las bandas de
confianza; lo mismo mientras mayor es la desviación estándar de las X, y lo mismo si el tamaño
muestral aumenta. Y a medida que nos alejamos del promedio de las X, se ensanchan las
bandas.
14
PREGUNTAS
1.
Se miden dos variables, x e y. Se calcula su coeficiente de correlación. ¿Qué mide este
coeficiente?
2.
Se tienen dos variables, relacionadas con las publicaciones en revistas de profesores
universitarios:
X = Número de publicaciones.
Y = Número de veces que ha sido citado.
Utilizando regresión lineal, se estimó, en base a una muestra, que estas variables están
relacionadas mediante el siguiente modelo lineal:
Y = 0.3+ 2.6 X
¿Cómo se interpretan los dos parámetros de este modelo ?
3.
¿Qué mide el coeficiente de correlación lineal de dos variables.
4.
Se tiene un conjunto de pares de datos (x,y), a los que se les estima una recta de
regresión. La variable independiente es x, su rango es entre 150 y 230. Se hacen dos
estimaciones de y por intervalos de confianza de coeficiente 95%, una para x=190 y otra para
x=250. ¿Cuál es más precisa?
5.
Se tienen dos variables, observadas en una muestra de estudiantes egresados de la
enseñanza media:
X = promedio de notas de los cuatro años de enseñanza media.
Y = puntos PSU historia.
Utilizando regresión lineal, se estimó, en base a una muestra, que estas variables están
relacionadas mediante el siguiente modelo lineal:
Y = 60 + 100 X
¿Cómo se interpretan los dos parámetros de este modelo ?
6.
La relación entre el tiempo, en días, dedicado a elaborar un proyecto y el costo del
proyecto se modeló mediante una regresión lineal, estimándose la siguiente expresión:
costo = 23 + 0.52 * tiempo
¿Cómo interpreta el número 23 ?
¿Cómo interpreta el número 0.52 ?
7.
¿Qué mide el coeficiente de determinación, en un modelo de regresión lineal?
15
8.
Se tienen dos variables, observadas en trabajadores de la salud:
X = años de servicio.
Y = asignaciones salariales actuales (miles de pesos).
Utilizando regresión lineal, se estimó, en base a una muestra, que estas variables están
relacionadas mediante el siguiente modelo lineal:
Y = 200+ 15 X
¿Cómo se interpretan los dos parámetros de este modelo ?
9.
¿Cómo se interpreta el coeficiente de determinación, en una regresión lineal?
10.
Una institución ha encargado una serie de proyectos. Con los datos históricos, se quiso
relacionar los montos de los proyectos con los tiempos de ejecución, obteniéndose los siguientes
resultados:
Monto (M$) = 12620+ 476 x Tiempo (días) con un coeficiente de determinación R2 = 0.86
Explique qué mide el coeficiente R2. ¿Un valor de 0.62 sería mejor o peor, y por qué?
16