ejercicios resumen

Aplicación: INFERENCIA ESTADÍSTICA
EJERCICIOS RESUMEN
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Nota técnica preparada por: Mayte Zaragoza Benítez
Fecha: 13 de mayo de 2013
Escuela de Negocios de Extremadura
DESCRIP
Ejercicio 1
Los siguientes son los números
eros de cambios de aceite de los últimos 7 días en el taller de Ford.
41
15
39
54
31
15
33
Calcule la moda.
Solución.
Observando los datos el número 15 se presenta con mayor frecuencia (dos veces). Por tanto,
la moda es 15.
Ejercicio 2
El número
mero de capuchinos vendidos en el local de Starbucks del aeropuerto de Madrid entre las
cuatro y las siete de la tarde de una muestra de 5 días el año
o pasado fue de 20, 40, 50, 60 y 80.
En el aeropuerto de Lisboa, el número
nú
de capuchinos vendidos en el local de Starbucks entre
las cuatro y la siete de la tarde de una muestra de 5 días el año
o pasado fue de 20, 49, 50, 51 y
80. Determine la media, la mediana, el rango y la desviación
n media de cada local.
Solución.
Madrid la media, la mediana y el rango son:
En el caso del local de Madrid,
Media 50 capuchinos por día
Mediana 50 capuchinos por día
Rango 60 capuchinos por día
La desviación
n media es la media de las diferencias entre las observaciones individuales y la
media aritmética. En el caso del local de Madrid,
Madrid se calcula primero las diferencias entre cada
observación y la media,
y la suma se divide entre el número
nú
de observaciones.
En el caso del aeropuerto de Lisboa, la media, la mediana, el rango y la desviación media son:
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El resultado es la diferencia media entre
entre las observaciones y la media = 80/5=16.
La desviación mediaa es de 16 capuchinos al día: el número
número de capuchinos vendidos se desvía,
en promedio, 16 unidades de la media de 50 capuchinos al día.
La media y la mediana de las dos tiendas son exactamente las mismas, 50 capuchinos al día. El
rango en ambas tiendas también es el mismo, 60. Sin embargo, recuerde que el rango
proporciona información limitada sobre la dispersión de la distribución.
Observe que las desviaciones medias no son las mismas porque se basan en las diferencias
entre todas las observaciones y la media aritmética, que muestra la relativa proximidad o
acumulación de los datos concerniente a la media o centro de la distribución. Compare la
desviación media del local de Madrid de 16 con la desviación del local de Lisboa de 12.4. Sobre
la base de la desviación media, es posible decir que la dispersión de la distribución de ventas
de Lisboa se encuentra más concentrada cerca de la media de 50 que en el local de Madrid.
Ejercicio3
El número de multas de tráfico durante los pasados cinco meses en Badajoz, es de 38, 26, 13,
41 y 22. ¿Cuál es la varianza de la población?
Solución
Ejercicio 4
Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una
moneda. Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras y tres caras. ¿Cuál es la
distribución de probabilidad del número de caras?
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Solución
Hay ocho posibles resultados. En el primer lanzamiento puede aparecer una cara, una cruz en
el segundo lanzamiento y otra cruz en el tercer lanzamiento de la moneda. O puede obtener
cruz, cruz y cara, en ese orden.
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Observe que el resultado cero caras ocurre solo una vez; una cara ocurre tres veces; dos caras,
tres veces, y el resultado tres caras ocurre una sola vez. Es decir, cero caras se presento una de
ocho veces. Por consiguiente, la probabilidad de cero caras es de un octavo; la probabilidad de
una cara es de tres octavos, etc.
La distribución de probabilidad se muestra en la siguiente tabla:
Ejercicio 5
P(A1) = 0.20, P(A2) = 0.40 y P(A3) =0 .40. P(B1| A1) = 0.25. P(B1| A2) = 0.05, y P(B1| A3) =0 .10.
Aplique el teorema de Bayes para determinar P(A3| B1).
3|1 =
1|3(3)
=
1|33 + 1|22 + 1|1(1)
0.10 ∗ 0.40
=
= 0,3636
0.10 ∗ 0.40 + 0.05 ∗ 0.40 + 0.25 ∗ 0.20
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Solución
P(A1) = 0.20, P(A2) = 0.40 y P(A3) =0 .40. P(B1| A1) = 0.25. P(B1| A2) = 0.05, y P(B1| A3) =0.10.
Aplique el teorema de Bayes para determinar P(A3| B1).
Ejercicio 6
La profesora ha enseñado estadística básica por varios años. Ella sabe que 80% de los
estudiantes terminará los problemas asignados. También determinó que entre quienes hacen
sus tareas, 90% pasará el curso. Entre los que no hacen su tarea, 60% pasará el curso. Miguel
cursó estadística el semestre pasado con la profesora y pasó. ¿Cuál es la probabilidad de que
haya terminado sus tareas?
Solución
P(terminar la tarea)=0.8, entonces P(no terminar la tarea)=1-0.8=0.2
P( pasar curso| terminar la tarea)=0.9
P(pasar curso|no terminar la tarea)= 0.6
P(terminar la tarea|pasar curso)=?
|
|
(
)
=
|
+ |
)
0,9 ∗ 0.8
==
= 0.8571
0.9 ∗ 0.8 + 0.6 ∗ 0.2
Ejercicio 7
Una muestra de cinco trabajadores de Hacienda revisaron el siguiente número de expedientes
fiscales durante la última hora: 73, 98, 60, 92 y 84. Calcule la media, la mediana y la desviación
estándar.
Ejercicio 8
Una oficina contrata a cinco ejecutivos. Los salarios mensuales iniciales de estos fueron de
3 536, 3 173, 3 448, 3 121 y 3 622 euros.
a) Calcule la media de la población.
b) Estime la varianza de la población.
c) Aproxime la desviación estándar de la población.
d) Otra oficina contrata a cinco empleados y el salario mensual promedio fue de 3 550 y la
desviación estándar de 250. Compare los dos grupos.
Solución
b)
ଷହଷ଺ାଷଵ଻ଷାଷସସ଼ାଷଵଶଵାଷ଺ଶଶ
ହ
ଶ =
=
ଵ଺ଽ଴଴
ହ
= 3380
(ଷହଷ଺ିଷଷ଼଴)మ ା(ଷଵ଻ଷିଷଷ଼଴)మ ା(ଷସସ଼ିଷଷ଼଴)మ ା(ଷଵଶଵିଷଷ଼଴)మ ା(ଷ଺ଶଶିଷଷ଼଴)మ
ହ
= 39490,8
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a) =
c) √ ଶ 198.72
d) Hay más variación en la oficina segunda porque la desviación estándar (250) es mayor.
La media también es mayor en la oficina segunda.
Ejercicio 9
Iberia tiene cinco vuelos diarios de Madrid a Barcelona. Supongamos que la probabilidad de
que cualquier vuelo llegue tarde sea de 0.20. ¿Cuáll es la probabilidad de que ninguno de los
vuelos llegue tarde hoy?,, ¿Cuál
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue
tarde hoy?
Solución
Aplicando la fórmula. La probabilidad de que un vuelo llegue tarde es de p=0.20, y hay cinco
vuelos, n = 5, y x, la variable
able aleatoria, se refiere al número
nú
de éxitos que en este caso un
éxito consiste en que un avión
n llegue tarde. Como no hay demoras en las llegadas, x = 0.
La probabilidad de que exactamente uno de los cinco vuelos llegue tarde hoy es de 0.4096,
que se calcula de la siguiente manera:
manera
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n de probabilidad binomial se puede obtener a través de Excel:
La distribución
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Ejercicio 10
Debido a las elevadas tasas de interés, una empresa reporta que el 30% de sus cuentas por
cobrar de otras empresas están vencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria de
cinco de esas cuentas, determine la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos,
utilizando la fórmula de la probabilidad binomial:
a) Ninguna de las cuentas está vencida
b) Exactamente dos cuentas están vencidas,
c) La mayor parte de las cuentas están vencidas
Solución
Se trata de Bi(5,0.30)
a) = 0 = ହ଴0.3଴ 0.7ହ
b) = 2 = ହଶ0.3ଶ 0.7ଷ
≥ 3 = = 3 + = 4 + = 5
5
5
5
= 0.3ଷ 0.7ଶ + 0.3ସ 0.7ଵ + 0.3ହ 0.7଴
4
5
3
Ejercicio 11
Los empleados de una empresa obtienen calificaciones mensuales de eficacia con base en
productividad, actitud y asistencia. La distribución de las calificaciones tiene una distribución
de probabilidad normal. La media es de 400, y la desviación estándar, de 50.
a) ¿Cuál es el área bajo la curva normal entre 400 y 482? Exprese el área en notación
probabilística.
b) ¿Cuál es el área bajo la curva normal para calificaciones mayores de 482? Exprese el área en
notación probabilística.
c) Muestre un diagrama expresando el área de los dos apartados.
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Solución
ସ଼ଶିସ଴଴
a) P(400<calificación<482)=P(0<Z< ହ଴ ) = 0 < < 1.64 = 0.4495
b) P(calificación>482)=0.5-0.4495=0.0505
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Ejercicio 12
Considerando ingreso semanal de los supervisores una distribución normal con μ =1000, σ =
100, ¿cuál es el área bajo la curva normal entre 1150 y 1250?
Solución
Calculamos el valor z relacionado con un salario semanal de 1250:
=
1250 − 1000
= 2.50
100
Enseguida determine el valor z para un salario semanal de 1150:
=
1150 − 1000
= 1.50
100
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De acuerdo con las tablas de la normal, el área relacionada con un valor z de 2.50 es de 0.4938.
Así, la probabilidad de un salario semanal entre 1000 y 1250 es de 0.4938. De manera similar,
el área asociada con un valor z de 1.50 es 0.4332; de este modo, la probabilidad de un salario
semanal entre 1000 y 1150 es de 0.4332. La probabilidad de un salario semanal entre 1150 y
1250 se calcula al restar el área asociada con un valor z de 1.50 (0.4332) de la probabilidad
asociada con un valor z de 2.50 (0.4938). Por consiguiente, la probabilidad de un salario
semanal entre 1150 y 1250 es de 0.0606. En notación probabilística:
P(1150 < ingreso semanal< 1250) = 0.4938 –0.4332 =0.0606.
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Ejercicio 13
Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye
aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40
horas. Encuentre la probabilidad
probabilid de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida
promedio de menos de 775 horas.
Solución:
La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea
menor a 775 horas es de 0.0062.
Ejercicio 14
Bumy es una franquicia de comida rápida,
rá
la cual se especializa en hamburguesas, y
sandwiches
es de pescado y de pollo. También ofrece refrescos.
refrescos. El departamento de organización
de Bumy informa que la distribución
distribuc
de ventas diarias de los restaurantess tiende a seguir la
distribución normal. La desviación
desviació estándar de la distribución de ventas diarias es de 3000.
Una muestra de 40 mostró que las ventas medias diarias son de 20000.
a) ¿Cuáll es la media de la población?
poblac
b)) ¿Cuál es la mejor estimación de la media de la población? ¿Qué nombre recibe este valor?
c)) Construya un intervalo de confianza de 99% para la media poblacional.
d)) Interprete el intervalo de confianza.
Solución Ejercicio 1
a) Desconocido. Se trata del valor que se desea calcular.
b) 20000,
000, estimador puntual de la media poblacional
c)
utilizando la fórmula
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d) Los puntos extremos del intervalo de confianza son 18 776 y 21 224. Aproximadamente
99% de los intervalos construidos
ruidos de forma similar incluirían
incluirí la media poblacional
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Ejercicio 15
La Casa Fondant hornea y vende galletas en 50 pueblos. La dueña de la empresa está
interesada en el ausentismo entre sus trabajadoras.
trabajadoras. La siguiente información
informació se refiere al
número de días
as de ausencias de una muestra de 10 trabajadoras durante el último
ú
periodo de
pago de dos semanas.
a) Determine
etermine la media y la desviación estándar
está
de la muestra.
b)) ¿Cual es la media de la población? ¿Cuál es la mejor estimación
estimació de dicho valor?
c)) Construya un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional.
d) Explique la razón por la que se utiliza la distribución
distribució t como parte del intervalo de confianza.
e) ¿Es razonable concluir que la trabajadora común no falta ningún día
día durante
duran un periodo de
pago?
Solución
a)
b) La media poblacional no se conoce. El mejor estimador ess la media de la muestra, 1.8 días.
dí
c) Utilizando la fórmula
Los puntos extremos son 0.99 y 2.61.
d) Se utiliza t porque no se conoce la desviación
desviació estándar.
e) El valor de 0 no se encuentra en el intervalo. No es razonable concluir
ir que la cantidad media
de días de ausencias laborales sea de 0 por empleado.
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