FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DINÁMICO

DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA MECÁNICA,
ENERGÉTICA
Y DE MATERIALES
TEMA 2 – NOTACIÓN Y DEFINICIONES
Notación y
Definiciones
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES
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TEMA 2 – NOTACIÓN Y DEFINICIONES
ABSORBEDOR DINÁMICO DE VIBRACIONES o AMORTIGUADOR DINÁMICO:
se trata de un sistema mecánico masa-resorte(-amortiguador) que se añade al
sistema a estudio, diseñándolo de tal forma que las frecuencias naturales del
sistema resultante se encuentren alejadas de la frecuencia de excitación. La
selección de la masa m2 y la rigidez k2 del absorbedor se realiza de forma que:
ω 2 = k 2 m2 = k1 m1
siendo ω la frecuencia de excitación que coincide, o casi, con la frecuencia natural
del sistema original: ω2 = k 1 m1
AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO: parámetro intrínseco de un sistema de un grado
de libertad amortiguado. Su valor es: c = 2mω , siendo m la masa del sistema y ω
su frecuencia natural.
AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL: se denomina así a aquella hipótesis de
modelización del amortiguamiento que permite desacoplar las ecuaciones del
movimiento de sistemas de N gdl. En tal caso, la matriz [C] debe poder ser
diagonalizada junto con [K] y [M]. Por ello, en la expresión que se adopte para [C]
deberán intervenir [K] y [M]. Así, [C] será diagonalizable cuando pueda ser
expresada como combinación lineal de las matrices de rigidez e inercia:
[C] = α 0 ⋅ [M] + α1 ⋅ [K ]
AMORTIGUAMIENTO RELATIVO o RELACIÓN DE AMORTIGUAMIENTO:
relación de amortiguamiento (ξ) de un sistema es el cociente entre el
amortiguamiento del sistema c y el valor de su amortiguamiento crítico ( c ):
ξ=
c
c
=
c 2mω
ANÁLISIS MODAL: es el proceso de determinación de las características dinámicas
inherentes a un sistema mecánico y necesarias para la posterior formulación de un
modelo matemático del comportamiento dinámico de dicho sistema. Esta
modelización dinámica se lleva a cabo en base a los parámetros modales
(frecuencias naturales, modos naturales de vibración y relaciones de
amortiguamiento) propios del sistema, y que dependen de la distribución de sus
características de masa, rigidez y amortiguamiento.
ANTIRESONANCIA: fenómeno que tiene lugar cuando la amplitud de vibración de
la máquina o sistema mecánico es cero.
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COORDENADAS NATURALES: Es el sistema de coordenadas resultante de
aplicar al sistema mecánico a estudio un cambio de coordenadas basado en la
matriz de modos X :
[]
{x} = [X ]⋅ {~x}
En estas nuevas coordenadas {~x}, el sistema de N ecuaciones diferenciales con N
incógnitas se desacopla y transforma en N ecuaciones de una sola incógnita; es
decir, en N problemas de 1 gdl.
DESALINEAMIENTO: El desalineamiento es una de las principales causas de
avería en las máquinas. Se suele hablar de desalineamiento en los casos de ejes
de una máquina unidos entre sí mediante un acoplamiento, pudiendo presentarse
cuando los ejes la máquina son paralelos entre sí estando en el mismo plano
(desalineamiento paralelo) o cuando los ejes no son paralelos entre sí
(desalineamiento angular).
DESEQUILIBRIO: El desequilibrio constituye la principal causa de avería de tipo
mecánico en máquinas rotativas. Este fenómeno es debido a la distribución no
uniforme de masas sometidas a rotación.
DESGASTE: El desgaste mecánico constituye otra de las causas frecuentes de
avería en elementos de máquinas debiéndose a la fricción existente entre diversas
partes de los componentes de las máquinas, como por ejemplo entre el eje y el
metal de un casquillo antifricción de un cojinete, o entre una parte del rotor y la
carcasa de un motor eléctrico.
DESPLAZAMIENTO ESTÁTICO: es el desplazamiento que tendría lugar en un
sistema de un grado de libertad de rigidez k y sometido a la acción de una carga f0
aplicada estáticamente (frecuencia de excitación ω = 0). Su valor es: f0/k.
EXCITACIÓN SÍSMICA: se dice que se está ante un caso de excitación sísmica
cuando las vibraciones de un sistema mecánico analizado no vienen generadas por
la aplicación externa de unas cargas exteriores que sean función conocida del
tiempo, sino por unos movimientos conocidos (al menos hasta cierto punto) del
soporte o base sobre la que se encuentra el sistema. Los terremotos y la
transmisión de vibraciones de sistema a otro, son ejemplos significativos de este
tipo de solicitaciones.
FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA (D): es la relación existente entre la
amplitud de las vibraciones de un sistema de un grado de libertad sometido a una
excitación de tipo armónico y el desplazamiento estático (cuando la carga es
aplicada estáticamente). El valor de D es:
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D=
1
(1 − β ) + (2ξβ)
2 2
2
FRECUENCIA DE ADQUISICIÓN DE DATOS: La frecuencia de adquisición de
datos viene dada por la necesidad de establecer una base de datos que de lugar al
conocimiento tanto de las condiciones iniciales de funcionamiento de una máquina,
como de la tendencia de las averías y tiempo estimado para que estas se
presenten. La frecuencia de adquisición de datos varía desde 2 hasta 10 semanas
por ciclo según el tipo de máquina.
FRECUENCIA DE EXCITACIÓN: Es la frecuencia (Hz) asociada a una acción
exterior actuante sobre el sistema mecánico a estudio y que varía armónicamente
en un problema de vibraciones forzadas debidas a una excitación armónica. Si ω es
la frecuencia natural del sistema y ω la de excitación, a la relación entre ambas
frecuencias se le llama β: β = ω ω .
FRECUENCIA NATURAL (frecuencia propia): En sistemas mecánicos de 1 gdl es
la frecuencia del movimiento armónico que resulta al introducir un desplazamiento
y/o una velocidad inicial a un sistema de un grado de libertad, que está en posición
de equilibrio, y dejarlo vibrar libremente sin amortiguamiento (problema de
vibraciones libres no amortiguadas). Su valor es:
ω = k m (Hz)
En sistemas con N grados de libertad, cada modo natural de vibración (vector
propio) tendrá una frecuencia natural (valor propio) asociada que será la del
movimiento armónico resultante al desplazar los nudos del sistema respecto de su
posición de equilibrio estático en la forma del modo natural correspondiente. Cada
frecuencia natural será el cociente entre la rigidez modal y la inercia modal
correspondiente:
ωr2 = k r mr
En cualquier caso, la o las frecuencias naturales constituyen un parámetro modal
intrínseco al sistema y sólo dependerán de la rigidez (k) e inercia (m) del sistema (y
de su distribución por el sistema en el caso del N gdl), pero no del tiempo ni de las
condiciones iniciales. Sean cuales sean estas condiciones iniciales, el sistema
siempre tendrá la misma o mismas frecuencia.
FRECUENCIA NATURAL AMORTIGUADA: frecuencia del movimiento armónico
que resulta al introducir un desplazamiento y/o una velocidad inicial a un sistema de
un grado de libertad amortiguado, que está en posición de equilibrio, y dejarlo vibrar
libremente (problema de vibraciones libres amortiguadas). Su valor es:
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ωD = ω 1 − ξ 2 (Hz)
No es la frecuencia natural, pero cabe esperar que sea muy parecida si la relación
de amortiguamiento (ξ) es pequeña.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (función compleja de respuesta en frecuencia):
dado un sistema de 1 grado de libertad sometido a una excitación armónica:
f (t ) = f0 e i ω t
la Función de Transferencia - H(ω ) - es aquella función, tal que la respuesta del
sistema ante dicha solicitación puede expresarse:
x(t ) = H(ω )f0 e i ω t
El valor de H(ω ) es:
H(ω ) =
1k
1 − β + 2ξβ i
2
GRADOS DE LIBERTAD (GDL): o coordenadas generalizadas de un sistema
mecánico son los parámetros independientes que definen la posición y la
configuración deformada de dicho sistema.
INERCIA MODAL (mr): escalar asociado al modo natural de vibración “r” y obtenido
{ } [M]{X }= m δ
del triple producto X s
T
r
r rs .
MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO [C]: Está constituida por los coeficientes de
amortiguamiento cij: fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i para
que aparezca una velocidad unidad según el grado de libertad j y cero según todos
los demás grados de libertad.
MATRIZ DE INERCIA [M]: Está constituida por los coeficientes de inercia mij:
fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i para producir una
aceleración unidad según el grado de libertad j y cero según todos los demás
grados de libertad.
[]
MATRIZ DE MODOS X : matriz cuyos vectores columnas son los modos naturales
de vibración. En virtud de las propiedades de ortogonalidad de los modos, se
cumple que:
{X } [M]{X }= m δ y {X } [K]{X }= k δ
s T
r
r rs
s T
r
r rs
donde mr, y kr, son las llamadas inercia y rigidez modal.
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TEMA 2 – NOTACIÓN Y DEFINICIONES
Si los modos se dicen normalizados con respecto a la matriz de inercia, ello
equivale a escalar los modos haciendo que mr = 1 para todos ellos. En tal caso, la
condición de ortogonalidad asociada a la matriz de rigidez tomará la forma:
{X } [K]{X }= ω δ
s T
r
2
r rs
MATRIZ DE RIGIDEZ [K]: Está constituida por los coeficientes de rigidez kij:
fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i para producir un
desplazamiento unidad según el grado de libertad j, y cero según todos los demás
grados de libertad.
MATRIZ DE TRANSFERENCIA [H(ω
ω)]: Es una matriz que juega en los sistemas
con N grados de libertad el mismo papel que la función de transferencia juega en
los sistemas con 1 grado de libertad: la respuesta de un sistema con N grados de
libertad ante una excitación armónica se obtiene multiplicando el vector de
amplitudes de las fuerzas excitadoras por la matriz de transferencia:
{x(t )} = {X}⋅ eiωt = [H(ω)]⋅ {f0 }⋅ e iωt
Si las fuerzas de excitación {f(t)} no son armónicas, pero admiten transformada de
Fourier (TDF), el vector {f(t)} podrá expresarse como suma de infinitas componentes
armónicas de frecuencias distintas, y la matriz de transferencia [H(ω)] relacionará
directamente la TDF de la excitación y de la respuesta:
{X (ω)} = [H(ω)]⋅ {F(ω)}
La matriz de transferencia puede expresarse en función de los modos y frecuencias
de vibración (en el caso en que no exista amortiguamiento) en la forma:
[H(ω)] =
n
r =1
{X }⋅ {X }
r
r T
2
ö
æ
k r ç1− ω 2
ωr
è
MODO NATURAL DE VIBRACIÓN: Los modos naturales de vibración de un
sistema mecánico no son otra cosa sino los posibles movimientos armónicos que
pueden tener lugar en el sistema en condiciones de excitación nula. Habrá tantos
modos naturales como grados de libertad tenga el sistema. Al tratarse de un
problema de vibraciones libres, vendrán dados (cuando no haya amortiguamiento)
por la resolución del sistema de ecuaciones:
(− ω [M] + [K ])⋅ {X}= {0}
2
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TEMA 2 – NOTACIÓN Y DEFINICIONES
problema de valores y vectores propios generalizado en el que los vectores propios
son los modos naturales.
Cada modo (vector propio) establece la relación existente entre las amplitudes de
los movimientos armónicos síncronos (cuando no se considera la presencia de
amortiguamiento) de los diferentes grados de libertad del sistema.
Si se desplaza el sistema respecto de su posición de equilibrio estático en la forma
de un modo natural o vector propio X i , el sistema comienza a oscilar
armónicamente alrededor de dicha posición de equilibrio, siendo la posición
adoptada por el sistema en cualquier instante de tiempo el resultado de multiplicar
el modo natural correspondiente por un determinado valor escalar. Estas
oscilaciones se producen a la frecuencia natural (ωi) asociada ese modo.
{}
MOVIMIENTO ARMÓNICO SÍNCRONO: movimiento que tiene lugar en un sistema
constituido por dos o más masas y caracterizado por que todas ellas vibran, en
fase, con la misma frecuencia.
NORMALIZAR LOS MODOS: Como las amplitudes de un modo natural de
vibración no están determinadas más que en la relación existente entre ellas, es
una práctica habitual normalizarlos con respecto a la matriz de inercia haciendo que
la inercia modal sea igual a la unidad para todos ellos de forma que se cumpla:
{X } ⋅ [M]⋅ {X }= 1
j T
j
j = 1, …, N
NUDOS: conjunto de puntos empleados para llevar a cabo la discretización de un
sistema continuo. Los grados de libertad que se consideren en esos puntos
(habitualmente los desplazamientos) serán los grados de libertad del problema. Un
sistema con N gdl es aquél que precisa de N parámetros o coordenadas para que
su posición y configuración deformada quede definida. La hipótesis de
discretización realizada para pasar del sistema continuo a uno de N gdl implica que
el desplazamiento de un punto cualquiera puede ser calculado a partir de los
desplazamientos de dichos nudos.
RÉGIMEN ESTACIONARIO: un sistema dinámico se dice que está en régimen
estacionario cuando su variación con el tiempo reviste un carácter periódico. Todas
las variables que caracterizan el problema repiten valores cada T segundos
(T=periodo).
RÉGIMEN TRANSITORIO: un sistema dinámico se dice que está en régimen
transitorio cuando la dependencia temporal de las variables del problema es
arbitraria o carece del carácter periódico.
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RESONANCIA: se dice que un sistema está en condición de resonancia o que tiene
lugar un fenómeno de resonancia, cuando la frecuencia de la excitación que actúa
sobre el mismo ( ω ) coincide con alguna de sus frecuencias naturales (ω). Es decir,
en el caso de sistemas con 1 gdl, en la resonancia β=1. Para frecuencias de
excitación próximas a alguna frecuencia natural, la amplitud del desplazamiento
resultante puede ser varias veces el desplazamiento estático que se obtendría
aplicando estáticamente una fuerza de la misma amplitud. Así mismo, en la
resonancia, el desfase de la respuesta del sistema respecto a la excitación es
siempre de 90º (independientemente del valor del amortiguamiento relativo ξ).
RIGIDEZ MODAL (kr): escalar asociado al modo natural de vibración “r” y obtenido
{ } [K]{X }= k δ
del triple producto X s
T
r
r rs
.
SISTEMA CONTINUO: sistema mecánico que precisa de un número infinito de
grados de libertad para determinar su posición deformada.
SISTEMA DISCRETO: sistema mecánico cuya posición deformada puede
determinarse mediante un número finito de grados de libertad.
TRANSMISIBILIDAD (Tr): puede definirse como el cociente entre la amplitud de la
fuerza transmitida por un sistema y la de la fuerza de excitación que se introduce en
el mismo.
Al analizar el problema de la transmisión de vibraciones de un sistema mecánico a
su base o soporte, se define el concepto de transmisibilidad como la relación entre
el módulo de la fuerza transmitida al soporte Ft y el módulo de la fuerza excitadora
f0. Recordando la definición del Factor de Amplificación Dinámica (D):
Tr =
Ft
2
= D 1 + (2ξβ)
f0
Al analizar el problema de la transmisión de vibraciones de una base o soporte a su
sistema mecánico, se define el concepto de transmisibilidad como la relación entre
la amplitud del desplazamiento del sistema de masa m y la del desplazamiento de la
base. La expresión correspondiente en este caso para Tr sigue siendo la misma.
VIBRACIONES ALEATORIAS: vibraciones que tienen lugar debido a la aplicación
sobre el sistema de unos esfuerzos exteriores de los que, como mucho, todo lo que
se puede aspirar a conocer es algunos valores estadísticos tales como su valor
medio, su varianza, su composición en frecuencia, etc.
VIBRACIONES DETERMINISTAS: vibraciones que tienen lugar debido a la
aplicación sobre el sistema de unos esfuerzos exteriores conocidos.
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TEMA 2 – NOTACIÓN Y DEFINICIONES
VIBRACIONES FORZADAS: vibraciones que tienen lugar debido a la presencia de
fuerzas exteriores variables con el tiempo actuando sobre el sistema - f(t) ≠ 0 -.
VIBRACIONES LIBRES: vibraciones que tienen lugar en ausencia de fuerzas
exteriores - f(t) = 0 - y sólo son debidas a unas determinadas condiciones iniciales
de desplazamiento y/o velocidad - x 0 = x(t 0 ), x 0 = x (t 0 ) -.
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