SOBRE LA FORMULACION LAGRANGIANA DE LA MECÁNICA

APLICANDO EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
Carlos S. Chinea
SOBRE LA FORMULACION LAGRANGIANA DE LA
MECÁNICA. APLICANDO EL PRINCIPIO DE LOS
TRABAJOS VIRTUALES.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
COORDENADAS GENERALIZADAS Y ESPACIO DE CONFIGURACIÓN.
DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES.
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.
EL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT.
ENERGÍA CINÉTICA.
ECUACIONES DE LAGRANGE.
1. COORDENADAS GENERALIZADAS Y ESPACIO DE CONFIGURACIÓN:
Si consideramos un sistema de N partículas, mj, j=1,...N, entendemos que al tener
cada una de ellas un vector de posición de 3 componentes, todo el sistema tendrá,
en ausencia de restricciones o ligaduras, un total de 3N componentes
independientes o dimensiones.
r r
r j = rj ( x1 , y1 , z1 ,..., x N , y N , z N , t ), j = 1,..., N
Si el sistema tiene k ligaduras holónomas, esto es, expresables mediante
ecuaciones, ya sean reónomas (dependientes del tiempo) o no, el total de grados
de libertad viene definido por la diferencia entre el número total de dimensiones y
ese número k de ligaduras:
φ1 ( xi , yi , zi , t ) = 0
... ... ... ...
... ... ... ...
φk ( xi , yi , zi , t ) = 0
n = 3.N - k
Si llamamos q1 ,..., q n a las n variables independientes, los N vectores de posición
correspondientes a las N partículas del sistema se pueden expresar por
r r
r
r
r1 = r1 (q1 ,..., q n , t ), ... , rN = rN (q1 ,...q n , t )
En general, pues, siempre se pueden tomar n parámetros arbitrarios, q1 ,..., q n , ya
sean longitudes, ángulos, etc., de modo que en función de estos parámetros
puedan expresarse unívocamente los vectores de posición de las partículas del
1
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sistema. Estos parámetros independientes, q1 ,..., q n , se denominan coordenadas
generalizadas del sistema.
De forma abreviada, podemos escribir:
 j = 1,...N ( N partículas )
r r
r j = r j (qi , t ) 
i = 1,..., n (n gr. de libertad )
(qi son las coordenadas generalizadas, tales como longitudes, momentos, ángulos,
o cualquier otra magnitud)
Espacio de configuración:
El espacio de configuración es un hiperespacio curvilíneo de n dimensiones (tantas
como grados de libertad del sistema). Cada uno de sus puntos
corresponde a una posición del sistema, posición definida por
r r
r j = r j (q1 ,..., q n , t )
(q1 ,..., q n )
j = 1,..., N
y la velocidad en este espacio viene definida por:
r
r
r
r
r
dr j ∂r j dq1
∂r j dq n ∂r j
∂r j
r
vj =
=
+ ... +
=
q&1 + ... +
q& n .
∂q n
dt
∂q1 dt
∂q n dt
∂q1
de lo que se deduce que
r
r
∂v j ∂rj
,
=
∂q&i ∂qi
r
r
d  ∂r j  ∂v j
=

dt  ∂q&i  ∂qi
i = 1,..., n, j = 1,..., N
2. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES:
D’Alembert fue el primero en proponer la consideración de un desplazamiento
infinitesimal del radio vector de cada partícula, compatible con las fuerzas aplicadas
y con las fuerzas de ligadura, como un desplazamiento puramente geométrico para
el cual el tiempo no transcurre, en torno a cada estado cinemático del sistema, sin
romper en modo alguno las ligaduras, que podemos considerar esclerónomas ya
que la variación del radio vector con respecto al tiempo es nula:
∂rj
∂t
=0
r
Representaremos el desplazamiento virtual del vector de posición rj por
r
δrj :
r
r
∂rj
r ∂rj
δrj =
δq1 + ... +
δqn
∂qn
∂q1
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Ejemplo de determinación de los desplazamientos virtuales:
Sea una estructura en forma parabólica que gira alrededor de su eje de simetría
con velocidad angular constante ω, y una anilla de masa m que se desplaza por
ella. Se tiene:
Las ligaduras que sufre la anilla son
holónomas (se describen mediante
ecuaciones) y esclerónomas (no
dependen del tiempo). El radio
vector de la anilla, a la vista de la
figura es:
(
r
r = ρ . cos ωt , ρ .senωt , ρ 2
)
r
dr = (dρ . cos ωt − ρωsenωt.dt ,
dρ .senωt + ρω cos ωt.dt ,2 ρ .dρ )
Desplazamiento virtual (dt=0):
r
dr = (dρ . cos ωt , dρ .senωt , 2 ρ .dρ )
que representa un desplazamiento infinitesimal de la anilla a lo largo de la parábola
supuesta ésta inmóvil.
δx = dρ . cos ωt , δy = dρ .senωt , δz = 2 ρ .dρ
3. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES:
El principio de los Trabajos Virtuales afirma la ortogonalidad del desplazamiento
virtual con la dirección de la fuerza de ligadura actuante sobre cada partícula:
N
rl r
j .δr j = 0
∑F
j =1
Teorema: Si un sistema está en equilibrio se verifica que el trabajo virtual realizado
por las fuerzas aplicadas es nulo.
En efecto:
Si el sistema está en equilibrio, la fuerza total actuante sobre cada partícula (suma
de la fuerza aplicada y la fuerza de ligadura) ha de ser cero:
r
r
r
F j = F ja + F jl = 0
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en un desplazamiento virtual
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r
δrj :
N
(
r
r
)
r
δW = ∑ F ja + F jl .δrj = 0
j =1
N
y como, por hipótesis, es
rl r
j .δr j = 0 , se tiene:
∑F
j =1
N
ra r
j .δr j = 0
∑F
j =1
Expresión en coordenadas generalizadas qi:
r
r
r
n
r a r N r a  n ∂rj
 N  n r a ∂r j
 n  N r a ∂rj 
δW = ∑ F j .δrj =∑ F j . ∑
δqi  =∑  ∑ F j . δqi  =∑  ∑ F j . .δqi =∑ Qi .δqi =0
∂qi
∂qi 
j =1
j =1
i =1
 i =1 ∂qi
 j =1  i =1
 i =1  j =1
N
Habiendo llamado Fuerza Generalizada según la coordenada qi a la expresión:
r
N
r a ∂rj
∂x j
∂y j
∂z j 


Qi = ∑ F j .
= ∑  F jxa
+ F jya
+ F jza
∂qi j =1 
∂qi
∂qi
∂qi 
j =1
N
las dimensiones de Qi pueden ser variadas, dependiendo de las dimensiones de las
coordenadas generalizadas qi. Por ejemplo:
-
si qi es una longitud, entonces Qi es una fuerza.
Si qi es un ángulo, entonces Qi es un momento dinámico.
Si qi es una superficie, entonces Qi es una tensión.
Si qi es un volumen, entonces Qi es una presión.
Ejemplo de aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales:
Sea una bolita de masa m que se
desplaza sobre una hélice circular de eje
vertical y unida elásticamente al origen
O en un campo gravitatorio g. El punto O
está en el eje del cilindro y la fuerza
r
elástica es − k .r
Ecuación de la hélice:
x = r. cos φ
y = r.senφ
H
z=
.φ
2π
r 
φ 
r =  R. cos φ , R.senφ ,
H
2π 

El radio vector de posición:
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r
r
r φ
r
r H r
r
r 
r = R cos φ .i + R.senφ . j −
H .k ⇒ δr =  − R.senφ .i + R cos φ . j −
k .δφ
2π
2π 

Y la fuerza aplicada:
r
ra
r
r kφH
r
r
F = −k .r − m.g = − kR cos φ .i − kRsenφ . j +
− mg.k
2π
Por tanto:
r
 kφH
 H
− mg . .δφ = 0
 2π
 2π
r
δW = F a .δr = k .R 2 .senφ . cos φ .δφ − kR 2 . cos φ .senφ .δφ − 
kφH
2πmg
− mg = 0 ⇒ φ =
kH
2π
4. EL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT:
D’Alembert generalizó el Principio de los Trabajos Virtuales a sistemas en
movimiento fuera de las condiciones de equilibrio.
La fuerza de inercia actuante sobre cada partícula es la suma de la fuerza aplicada
y la fuerza de ligadura
r
r
r
r
r
F j = F ja + F jl = m j a j = p& j
En cada instante el estado mecánico puede considerarse formalmente equivalente a
ra
rl
un estado de equilibrio entre las fuerzas aplicadas, F j , las fuerzas de ligadura, F j ,
r
& y se le puede aplicar el Principio de los Trabajos
y las fuerzas de inercia, p
j
Virtuales. Si suponemos un desplazamiento virtual,
∑ (F
ra
N
j =1
j
r
δr j , se tiene:
)
r r r
+ F jl − p& j .δrj = 0
y siendo:
rl r
N
∑ F .δr
j =1
será:
∑ (F
N
j =1
ra
j
j
=0
j
)
r r
− p& j .δrj = 0
o bien:
r
dv j
 ra
 F j − m j .
∑
dt
j =1 
N
 r
.δr j = 0

(Principio de D’Alembert)
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Al aplicar el Principio de D’Alembert, que no contiene en su expresión a las
r
restrictivas fuerzas de ligadura, es necesario entender que los δr j no son
arbitrarios, por lo que la suma nula anterior no implica que todos los sumandos han
de ser nulos. En general, es:
r
r
ra
dv j
Fj − m j .
= − F jl
dt
5. ENERGÍA CINÉTICA:
La energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de todas las
partículas del sistema:
N
1 r
Γ = ∑ m j v j2
j =1 2
Teorema: La energía cinética Γ del sistema de partículas se puede expresar en
función de las coordenadas y velocidades generalizadas por
n
n
n
Γ = Γ0 + Γ1 + Γ2 = α 0 + ∑ α i .q&i + ∑∑ α ik q&i q& k
i =1
i =1 k =1
siendo:
r
1  ∂rj
α = ∑ m j 
j =1 2
 ∂t
N
r r
r r
2
N
N
∂r j ∂r j
∂rj ∂rj

1
1
 , α i = ∑ m j
, α ik = ∑ m j
∂qi ∂t
∂qi ∂qk
j =1 2
j =1 2

en efecto:
r
r
r
n ∂r
dr j
∂r j
r
j
.q& i +
, se tiene:
=∑
siendo v j =
dt
∂t
i =1 ∂q i
r
1 r 2 N 1  drj
Γ = ∑ m j v j = ∑ m j 
j =1 2
j =1 2
 dt
N
r
r 2
2
N
∂rj 

1  n ∂rj
 = ∑ m j ∑
.q&i +

q
∂
∂t 
j =1 2
i
=
1

i

o sea:
r
1  ∂r j
Γ = ∑ m j 
j =1 2
 ∂t
N
r r
r r
2
n  N
n
n  N
∂rj ∂r j 
∂rj ∂rj 

1
1
.q&i .q& k
.q&i + ∑∑  ∑ m j
 + ∑  ∑ m j

∂qi ∂qk 
∂qi ∂t 
i =1 k =1  j =1 2
 i =1  j =1 2
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Teorema: Se verifica, para la energía cinética Γ de un sistema de partículas, que,
para cada coordenada generalizada qi, es:
r r
N
dv j ∂r j
d ∂Γ ∂Γ
−
= ∑mj.
.
dt ∂q& i ∂qi
dt ∂qi
j =1
i = 1,..., n
En efecto:
r
r r
N
∂v j r
∂rj dr j
r2  N
∂Γ
∂  N 1
 ∑ m j .v j  = ∑ m j .
.v j = ∑ m j
.
=

∂q&i ∂q&i  j =1 2
∂q&i
∂q j dt
j =1
 j =1
derivando con respecto al tiempo:
r
r
r
r r
r
∂v j 
drj d  ∂rj   N  dv j ∂rj
r
d  ∂Γ  N  d  drj  ∂rj
=
  = ∑ m j  .
+ mj
+ mj v j .
.    = ∑ m j
.
∂qi 
dt  ∂q&i  j =1  dt  dt  ∂qi
dt dt  ∂qi   j =1 
dt ∂qi
r
r
r
r
r
r
N
N
N
dv j ∂r j
dv j ∂r j
dv j ∂r j ∂Γ
1
∂ r2
∂  1 r2  N
= ∑mj
.
+ ∑ mj
.
+∑
.
vj = ∑mj
+
 m jv j  = ∑ m j
∂qi
dt ∂qi j =1 2
dt ∂qi j =1 ∂qi  2
dt ∂qi ∂qi
 j =1
j =1
j =1
N
por consiguiente:
r r
N
dv j ∂r j
d ∂Γ ∂Γ
−
= ∑mj.
.
dt ∂q& i ∂qi
dt ∂qi
j =1
i = 1,..., n
6. ECUACIONES DE LAGRANGE:
Utilizando las anteriores relaciones entre las derivadas de la energía cinética se
obtienen fácilmente desde el Principio de D’Alembert un conjunto fundamental de
ecuaciones que describen el movimiento del sistema y que se conoce como
Ecuaciones de Lagrange, que pueden simplificarse para el caso de que las fuerzas
aplicadas sean conservativas, esto es, dependientes de una función potencial.
Sea un sistema de N partículas de masas mj, j=1, ..., N, con k ligaduras
holónomas y, por consiguiente, con n=3N-k grados de libertad.
Del Principio de D’Alembert:
r
r
r r
N
n
dv j  r
dv j ∂rj 
 n r a ∂rj
 ra
.δqi =
.δrj = ∑  ∑ F j
0 = ∑  F j − m j
− ∑mj
dt 
∂qi i =1
dt ∂qi 
j =1 
j =1  i =1
r
r r
n  N r ∂r 
n  N
dv j ∂rj 
j
a
.δqi − ∑  ∑ m j
.δqi
= ∑  ∑ F j

dt ∂qi 
∂qi 
i =1  j =1
i =1  j =1
N
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Carlos S. Chinea
y siendo:
r
r a ∂r j
(Fuerza generalizada)
Qi = ∑ F j
∂qi
j =1
N
r r
N
dv j ∂r j
d ∂Γ ∂Γ
−
= ∑ mj
(Teorema anterior)
dt ∂q&i ∂qi j =1
dt ∂qi
se tiene, al sustituir:
n

d ∂Γ ∂Γ 
.δqi
+
0 = ∑  Qi −
dt ∂q& i ∂qi 
i =1 
obteniéndose n ecuaciones de Lagrange (tantas como grados de libertad):
Qi −
d ∂Γ ∂Γ
+
=0
dt ∂q& i ∂qi
i = 1,..., n
Ecuaciones de Lagrange para sistemas sometidos a fuerzas conservativas:
Cuando las partículas del sistema están sometidas exclusivamente a fuerzas
ra
conservativas, es decir, a fuerzas F j que dependen de un potencial Vj, o sea de
una función de las coordenadas generalizadas exclusivamente, se tiene:
∂V j
r
r
F ja = −∇V j ,
∂q& i
=0,
N
V = ∑V j
j =1
y la fuerza generalizada:
r
r
N ∂V
N
r a ∂r j
r
∂r j
∂V
j
= ∑ − ∇V j
= −∑
Q = ∑ Fj .
=−
∂qi
∂qi
∂qi
j =1 ∂q i
j =1
j =1
c
i
N
(
)
Por lo cual, sustituyendo en las Ecuaciones de Lagrange anteriores:
Qic = −
o bien:
∂V
d ∂Γ ∂Γ
=
−
=0
∂qi dt ∂q& i ∂qi
d ∂ (Γ − V ) ∂ (Γ − V )
−
=0
dt ∂q&i
∂qi
i = 1,..., n
i = 1,..., n
Llamando L = Γ − V (Función de Lagrange):
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂q&i ∂qi
i = 1,..., n
(Ecuaciones de Lagrange para campos conservativos)
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Ecuaciones generales de Lagrange:
En el caso de un sistema de particulas sometido tanto a fuerzas conservativas
r
r
F jac como no conservativas F ja ' , se tendría, para la fuerza generalizada:
r
r
r
N ∂V
n r
N
r ac r a ' ∂r j
r
∂r j
∂r j
∂V
j
a'
Qi = ∑ ( F j + F j ).
= ∑ − ∇V j
+ ∑ Fj
= −∑
+ Qi' = −
+ Qi'
∂
q
∂
q
∂
q
∂
q
∂
q
j =1
J =1
j =1
j =1
i
i
i
i
i
(
N
por tanto:
−
y, en definitiva:
)
d ∂Γ ∂Γ
∂V
+ Q'i =
−
∂qi
dt ∂q&i ∂qi
d ∂L ∂L
−
= Qi'
dt ∂q& i ∂qi
i = 1,..., n
(Ecuaciones generales de Lagrange)
Ejemplo de obtención de las ecuaciones del movimiento:
Consideremos el ejemplo mostrado ya antes de la anilla m que se desplaza
ensartada en una estructura parabólica rígida que a su vez rota entorno a su eje de
r
simetría con un momento dinámico M .
Las coordenadas generalizadas,
esto es, los grados de libertad de
la anilla son dos: una, la dirección
r
ρ perpendicular al eje z de
rotación de la parábola, y la otra,
r
es el ángulo φ de variación en la
rotación de la parábola.
Determinaremos el vector de
posición, la velocidad, el cuadrado
de la velocidad, la variación
parcial del radio vector con
respecto a cada una de las dos
coordenadas generalizadas, la
fuerza
aplicada,
las
fuerzas
generalizadas, la energía cinética
y sus derivadas parciales, a fin de
poder escribir las ecuaciones de
Lagrange.
Vector de posición y velocidad:
r
r dr
v=
= cos φ .ρ& − ρsenφ .φ&, ρ&senφ + ρ cos φ .φ&, 2 ρ .ρ&
dt
(
r
r = ( ρ cos φ , ρsenφ , ρ 2 )
Cuadrado de la velocidad:
r 2
r
 dr 
v 2 =   = ρ& 2 + ρ 2φ& 2 + 4 ρ 2 ρ& 2
 dt 
(
)
)
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Fuerza aplicada y momento dinámico:
r
(
r
r
Fuerza sobre la estructura parabólica: F = − F .senφ , F . cos φ , 0
)
r
r
r r
Momento de la fuerza sobre la estructura parabólica: M = M .k = ρ . F .k
r
ra r
r
r
Fuerza aplicada sobre la anilla: F = F − mg .k = − F senφ , F cos φ , − mg
(
)
Derivadas parciales del radio vector con respecto a las dos coordenadas
generalizadas:
r
∂r
= (cos φ , senφ , 2 ρ )
∂ρ
r
∂r
= (− ρsenφ , ρ cos φ , 0)
∂φ
Fuerzas generalizadas:
r a ∂rr
r
r
Qρ = F .
= − F senφ . cos φ + F cos φ .senφ − mg.2 ρ = −2mgρ
∂ρ
r a ∂rr
r
r
r
Qφ = F .
= ρ F .sen 2φ + ρ F . cos 2 φ + 0 = ρ F = M
∂φ
Energía Cinética y sus derivadas parciales:
Γ=
∂Γ
= m ρ& + 4 ρ 2 ρ&
∂ρ&
(
( )
∂Γ
= m ρ 2φ&
&
∂φ
)
(
1 r2 1
m.v = m ρ& 2 + ρ 2φ& 2 + 4 ρ 2 ρ& 2
2
2
d ∂Γ
= m ρ&& + 8ρρ& 2 + 4 ρ 2 ρ&&
dt ∂ρ&
(
(
d ∂Γ
= m ρ 2φ&& + 2 ρρ&φ&
&
dt ∂φ
)
)
)
(
∂Γ
= m ρφ& 2 + 4 ρρ& 2
∂ρ
)
∂Γ
=0
∂φ
Las ecuaciones del movimiento:
(
Qρ =
d ∂Γ ∂Γ
+
⇒ −2mgρ = m ρ&& + 8ρρ& 2 + 4 ρ 2 ρ&& − m ρφ& 2 + 4 ρρ& 2
dt ∂ρ& ∂ρ
Qφ =
d ∂Γ ∂Γ
+
⇒ M = m ρ 2φ&& + 2 ρρ&φ& − 0
&
dt ∂φ ∂φ
(
(
)
)
)
Resultan:
(1 + 4 ρ 2 ).ρ&& + 4 ρ 2 ρ& 2 + 2 gρ = 0

2 &&
&
 mρ φ + 2mρρ& .φ − M = 0
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REFERENCIAS:
Rychlik, Marek: “Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana. Una breve introducción”:
http://alamos.math.arizona.edu/~rychlik/557-dir/mechanics/
MecFunNet: Apuntes Universidad Politécnica de Madrid, “Mecánica Lagrangiana”,
http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/Xitami/webpages/teoria/lag1.pdf
Goldstein, H.: "Mecánica clásica", Ed. Reverté, 1994.
Landau, L; Lifchitz, E.: “Mecánica”, Tomo 1 del Curso de Física Teórica, Ed. Reverté,
1980.
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