INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
A continuación se obtiene la interpretación geométrica del concepto de derivada de una función en
f ( x ) - f (xo )
.
un punto, f '( xo ) = lim
x − xo
x → xo
Si dibujamos la gráfica de y = f ( x ) podemos observar en la siguiente figura que el cociente
f ( x ) - f (xo )
incremental
es la pendiente de la recta secante PQ a la curva y = f ( x ) , que pasa por
x − xo
los puntos P = ( xo , f( xo )) y Q = (x, f(x)), es decir, mPQ =
f (x ) − f (xo )
.
x − xo
Repitiendo este proceso con sucesivos puntos Q1, Q2 , ..., Qi , ... cada vez más próximos al punto
P=( xo , f( xo )) se deduce que:
- la recta tangente a la curva en el punto P es la recta límite de una series de rectas secantes a
dicha curva que pasan por el punto P y otros puntos Q1 , Q2 , Q3... que van aproximándose a P.
- la pendiente de la recta tangente será el límite, si existe, de las pendientes de las rectas
secantes a la curva que pasan por los puntos PQ1 , PQ2 ,…, cuando Qi está cada vez más próximo
a P.
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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
Cuando x → xo , es decir, Qi → P , si existe lim mPQ = lim
Qi → P
i
x → xo
f ( x ) − f ( xo )
nos da la pendiente de la
x − xo
recta tangente a la curva y = f ( x ) en P.
Por tanto, teniendo en cuenta que f '( xo ) = lim
x → xo
f ( x ) - f (xo )
, se concluye que la derivada de f en el
x − xo
punto xo es la pendiente a la recta tangente a la curva y = f ( x ) en P.
La ecuación de la recta tangente a la curva y = f ( x ) en el punto xo , conocida su pendiente, se
puede escribir de la forma:
y − f ( xo ) = f '( xo )( x − xo )
Ejemplo 5: Hallar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x ) = x 2 − 1 en el punto x = 2.
f ( x) − f (2)
x2 − 1 − 3
x2 − 4
( x − 2)( x + 2)
= lim
= lim
= lim
= lim (x + 2) = 4
x →2
x →2
x →2 x − 2
x →2
x →2
x −2
x −2
x −2
La pendiente es f '(2) = lim
La ecuación de la recta tangente es y − f (2) = f '(2)(x − 2) , es decir, y − 3 = 4(x − 2) , y operando queda y = 4 x − 5 .
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