Caracterización de Funciones Cóncavas y Convexas

Caracterización de Funciones Cóncavas y Convexas
Alejandro Lugon
20 de agosto de 2010
1.
Definiciones y preliminares
1.1.
Concavidad
Una función:
f : S −→ R
con dominio S ⊂ Rn convexo, es:
Cóncava si para todos x, y ∈ S y λ ∈ [0, 1] se tiene:
f ((1 − λ)x + λy) ≥ (1 − λ)f (x) + λf (y)
Estrictamente Cóncava si para todos x, y ∈ S, x 6= y y λ ∈]0, 1[ se tiene:
f ((1 − λ)x + λy) > (1 − λ)f (x) + λf (y)
Convexa si para todos x, y ∈ S y λ ∈ [0, 1] se tiene:
f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y)
Estrictamente Convexa si para todos x, y ∈ S, x 6= y y λ ∈]0, 1[ se tiene:
f ((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)f (x) + λf (y)
Todas estas definiciones son relativas al conjunto S, es decir lo apropiado serı́a decir “cóncava/convexa
en S”.
Toda función estrictamente cóncava es cóncava y toda función estrictamente convexa es convexa. Podemos
tener funciones que no sean ni cóncavas ni convexas y funciones que sean cóncavas y convexas, estas ultimas
son las funciones afı́n-lineales: f (x) = a · x + b.
1
CVX
CCV
AFIN
STCCV
1.2.
STCVX
Hessiana
Si el dominio S es abierto y la función f es de clase C 2 podemos definir la matriz Hessiana de segundas
derivadas:
∂2f
∂x1 ∂xn

∂2f
∂x2 ∂xn
···
···
..
.
..
.
∂2f
∂xn ∂x2
···
∂2f
∂xn ∂xn







∂2f
∂x1 ∂x1
∂2f
∂x1 ∂x2


∂2f

Hf (x) = D f (x) =
(x) = 

∂xi ∂xj

∂2f
∂x2 ∂x1
∂2f
∂x2 ∂x2
2
2
..
.
∂2f
∂xn ∂x1
..
.
2
f
f
la cual es simétrica ( ∂x∂i ∂x
= ∂x∂j ∂x
)
j
i
A partir del Hessiano determinamos los menores principales de la siguiente manera. Consideremos un
subconjunto no vacı́o cualquiera I ⊂ {1, 2, ..., n} del conjunto de ı́ndices, si consideramos solamente las filas
y columnas de Hf (x) con ı́ndices en I y calculamos el determinante, tenemos un menor principal:
2 ∂ f ∆I (x) = ∂xi ∂xj i,j∈I
El número de elementos en I es el orden del menor principal.
Por lo tanto tenemos tantos menores principales como subconjuntos no vacı́os de {1, 2, ..., n}, es decir
2n − 1.
Si consideramos subconjuntos de ı́ndices de la forma I = {1, 2, ..., k} para k = 1, 2, . . . , n tenemos los
menores principales dominantes:
Dk(x) =
2 ∂ f Dk (x) = ∂xi ∂xj i,j≤k
=
∂2f
∂x1 ∂x1
∂2f
∂x1 ∂x2
∂2f
∂x2 ∂x1
∂2f
∂x2 ∂x2
..
.
∂2f
∂xk ∂x1
···
∂2f
∂xk ∂x2
···
..
.
..
.
∂2f
∂x1 ∂xk
···
∂2f
∂xk ∂xk
∂2f
∂x2 ∂xk
..
.
Por lo tanto tenemos solamente n menores principales dominantes.
1.3.
Valores propios
Dada una matriz cuadrada A un valor propio (real) de A es un λ ∈ R tal que existe v ∈ Rn , v 6= 0 que
cumple:
Av = λv
2
Una matriz de orden n × n tiene a lo más n valores propios (reales).
Si la matriz es simétrica, como la Hessiana, tiene exactamente n valores propios (reales).
1.4.
Matrices Definidas
Una matriz simétrica A es:
Definida negativa si para todo x 6= 0 se tiene: xT Ax < 0.
Semidefinida negativa si para todo x se tiene: xT Ax ≤ 0.
Definida positiva si para todo x 6= 0 se tiene: xT Ax > 0.
Semidefinida positiva si para todo x se tiene: xT Ax ≥ 0.
Con estas definiciones toda matriz definida negativa es semidefinida negativa y toda matriz definida
positiva es semidefinida positiva. Podemos tener matrices indefinidas (que no son semidefinidas positivas ni
negativas) y la única matriz que es semidefinida positiva y negativa a la vez es la matriz nula.
2.
Caracterización para n general
Proposición 1 Dada una función f : S −→ R de clase C 2 con dominio S ⊂ Rn convexo y abierto. Sea Hf
su Hessiana. Son equivalentes:
1. f es cóncava en S.
2. Hf es semidefinida negativa en todo punto de S
3. Hf tiene todos sus valores propios no positivos (≤ 0) en todo punto de S
4. Todos los menores principales de Hf en todo punto de S cumplen
(−1)#(I) ∆I ≥ 0
Proposición 2 Dada una función f : S −→ R de clase C 2 con dominio S ⊂ Rn convexo y abierto. Sea Hf
su Hessiana. Son equivalentes:
1. f es convexa en S.
2. Hf es semidefinida positiva en todo punto de S
3. Hf tiene todos sus valores propios no negativos (≥ 0) en todo punto de S
4. Todos los menores principales de Hf en todo punto de S cumplen
∆I ≥ 0
Proposición 3 Dada una función f : S −→ R de clase C 2 con dominio S ⊂ Rn convexo y abierto. Sea Hf
su Hessiana. Son equivalentes:
3
1. Hf es definida negativa en todo punto de S
2. Hf tiene todos sus valores propios negativos (< 0) en todo punto de S
3. Todos los menores principales dominantes de Hf en todo punto de S cumplen
(−1)k Dk > 0
Cualquiera de estas propiedades implica (pero no es equivalente a) que f es estrictamente cóncava en S.
Proposición 4 Dada una función f : S −→ R de clase C 2 con dominio S ⊂ Rn convexo y abierto. Sea Hf
su Hessiana. Son equivalentes:
1. Hf es definida positiva en todo punto de S
2. Hf tiene todos sus valores propios positivos (> 0) en todo punto de S
3. Todos los menores principales dominantes de Hf en todo punto de S cumplen
Dk > 0
Cualquiera de estas propiedades implica (pero no es equivalente a) que f es estrictamente convexa en S.
De manera esquemática:
⇔ Hsdn
f ccv
⇑
f st − ccv
⇐
⇔ (−1)#(I) ∆I ≥ 0
⇑
⇑
Hdn
(−1) Dk > 0
k
⇔
⇔ λi ≤ 0
⇑
⇔ λi < 0
y
f cvx
⇔
⇑
f st − cvx ⇐
Hsdp
⇔
⇑
Hdp
∆I ≥ 0
⇑
⇔ Dk > 0
4
⇔ λi ≥ 0
⇑
⇔ λi > 0