1. Breve resumen de optimización sin restricciones en varias

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES G.A.D.E.
CURSO 2012/2013
Práctica 2:
Aplicaciones a la Optimización.
En esta práctica se introducen las herramientas que nos ofrece el programa Mathematica para optimizar funciones de una o
más variables.
1. Breve resumen de optimización sin restricciones en
varias variables.
Pretendemos resolver el problema de calcular puntos críticos de una función f y clasificarlos.
Paso 1: Cálculo de puntos críticos. Los puntos críticos de la función son aquellos puntos que anulan su vector gradiente.
Paso 2: Estudiar la matriz hessiana evaluada en los puntos críticos:
Criterio 1: Determinantes o menores principales.
Criterio 2: Autovalores o valores propios.
Se recuerda que si la matriz hessiana evaluada en un punto crítico está asociada a una forma cuadrática definida positiva,
entonces éste será un mínimo local y si es definida negativa, un máximo local. En el caso de que sea indefinida, será un
punto de silla (no nos interesa en la optimización).
2. Cálculo de puntos críticos y clasificación.
Para el cálculo de puntos críticos de una función, emplearemos la sentencia
Solve@8derivada1 Š 0, derivada2 Š 0, ...<, 8variable1, variable2, ...<D
donde derivada1, derivada2,... corresponden a las derivadas parciales de orden uno respecto de la primera, segunda,....
variables.
Ÿ Ejercicio 1
Calcula y clasifica los puntos críticos de la función gHx, y, zL = x2 + y2 + Hz - 1L2 .
Paso1: Se define la función:
g@x_, y_, z_D := x ^ 2 + y ^ 2 + Hz - 1L ^ 2
Paso2: Se calculan las derivadas parciales de la función y se igualan a cero, así obtenemos los puntos críticos:
SolveA9¶x g@x, y, zD Š 0, ¶y g@x, y, zD Š 0, ¶z g@x, y, zD Š 0=, 8x, y, z<E
Se obtiene el punto crítico (0,0,1).
2
Practica2.nb
Se obtiene el punto crítico (0,0,1).
Paso 3: Para la clasificación del punto crítico, debemos construir en primer lugar la matriz Hessiana:
¶x,x g@x, y, zD ¶x,y g@x, y, zD ¶x,z g@x, y, zD
hessiana@x_, y_, z_D =
¶y,x g@x, y, zD ¶y,y g@x, y, zD ¶y,z g@x, y, zD
¶z,x g@z, y, zD ¶z,y g@x, y, zD ¶z,z g@x, y, zD
Paso 4: Se evalúa la matriz Hessiana en el punto crítico obtenido. Con el comando Eigenvalues determinamos sus valores
propios y por tanto su carácter.
hessiana@0, 0, 1D
Eigenvalues@hessiana@0, 0, 1DD
Todos los valores propios son positivos, luego la matriz es definida positiva, y el punto crítico es un mínimo local. Para hallar
el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico:
g@0, 0, 1D
Ÿ Ejercicio 2
Optimiza la función f Hx, yL = x2 + y x + y2
Paso1: Se define la función:
f@x_, y_D := x ^ 2 + x y + y ^ 2
Paso2: Se calculan las derivadas parciales de la función y se igualan a cero, así obtenemos los puntos críticos:
SolveA9¶x f@x, yD Š 0, ¶y f@x, yD Š 0=, 8x, y<E
Se obtiene el punto crítico (0,0).
Paso 3: Para la clasificación del punto crítico, debemos construir en primer lugar la matriz Hessiana:
hessiana@x_, y_D =
¶x,x f@x, yD ¶x,y f@x, yD
¶y,x f@x, yD ¶y,y f@x, yD
Paso 4: Se evalúa la matriz Hessiana en el punto crítico obtenido. Con el comando Eigenvalues determinamos sus valores
propios y su carácter.
hessiana@0, 0D
Eigenvalues@hessiana@0, 0DD
Todos los valores propios son positivos, luego la matriz es definida positiva, y el punto crítico es un mínimo local. Para hallar
el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico:
f@0, 0D
Practica2.nb
3
Luego tenemos un mínimo local en (0,0) con valor f H0, 0L = 0. Para visualizar dicho mínimo podemos recurrir al comando
Plot3D estudiado en la práctica anterior:
Plot3D@f@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D
Ÿ Ejercicio 3
Calcula y clasifica los puntos críticos de la función hHx, y, zL = Hx - 1L2 + Hy - 2L4 + z2 + x y.
Paso1: Se define la función:
h@x_, y_, z_D := Hx - 1L ^ 2 + Hy - 2L ^ 4 + z ^ 2 + x y
Paso2: Se calculan las derivadas parciales de la función y se igualan a cero, así obtenemos los puntos críticos:
SolveA9¶x h@x, y, zD Š 0, ¶y h@x, y, zD Š 0, ¶z h@x, y, zD Š 0=, 8x, y, z<E
Se obtienen los puntos críticos H0, 2, 0L , K-
1
4
,
2
1
4
J8 +
2 N, 0O y K
1
4
,
2
1
4
J8 -
2 N, 0O .
Paso 3: Para la clasificación de los puntos críticos, debemos construir en primer lugar la matriz Hessiana:
¶x,x h@x, y, zD ¶x,y h@x, y, zD ¶x,z h@x, y, zD
¶y,x h@x, y, zD ¶y,y h@x, y, zD ¶y,z h@x, y, zD
hessiana@x_, y_, z_D =
¶z,x h@z, y, zD ¶z,y h@x, y, zD ¶z,z h@x, y, zD
Paso 4: Se evalúa la matriz Hessiana en los puntos críticos obtenidos. Con el comando Eigenvalues determinados sus valores
propios y su carácter.
Tomemos el punto crítico (0, 2, 0):
hessiana@0, 2, 0D
Eigenvalues@hessiana@0, 2, 0DD
N@%D
Hay valores propios positivos y negativos, luego la matriz es indefinida, y el punto crítico es un punto de silla.
NOTA : Se ha usado el comando N[%] para calcular el valor numérico de la expresión justamente anterior.
Consideremos a continuación el punto crítico K1
1
hessianaB-
,
4
2
4
J8 +
1
4
1
4
J8 +
2 N, 0O:
2 N, 0F
1
1
EigenvaluesBhessianaB-
,
4
,
2
2
4
J8 +
2 N, 0FF
N@%D
Todos los valores propios son positivos, luego la matriz es definida positiva, y el punto crítico es un mínimo local. Para hallar
el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico :
4
Practica2.nb
1
1
hB-
,
4
N@%D
4
2
J8 +
2 N, 0F
Consideremos a continuación el punto crítico K
1
1
hessianaB
,
4
2
4
J8 -
1
4
1
4
J8 -
2 N, 0O:
2 N, 0F
1
1
EigenvaluesBhessianaB
,
4
,
2
2
4
J8 -
2 N, 0FF
N@%D
Todos los valores propios son positivos, luego la matriz es definida positiva, y el punto crítico es un mínimo local. Para hallar
el valor del mínimo, evaluamos la función en el punto crítico :
1
hB
1
,
4 2
N@%D
4
J8 -
2 N, 0F
Luego tenemos dos mínimos locales y un punto de silla.
3. Optimización con restricciones de desigualdad e
igualdad usando WolframAlpha.com
La versión 3.0 de Mathematica no tiene una forma directa de resolver problemas de optimización con restricciones de
desigualdad o de igualdad. Así que vamos a usar la página web http://www.wolframalpha.com para resolver estos problemas.
Tenemos el problema de optimización con restricciones de desigualdad:
Opt. x3 + y3 + 4 x
s.a. 2 x2 + 4 y2 £ 7
x ³ 0, y ³ 0
Para resolverlo, debemos escribir en WolframAlpha la expresión:
optimize x ^ 3 + y ^ 3 + 4 x, 2 x ^ 2 + 4 y ^ 2 <= 7, x >= 0, y >= 0
Tenemos el problema de optimización con restricciones de igualdad:
Opt. x3 + y3 + 4 x
s.a. 2 x2 + 4 y2 = 7
Para resolverlo, debemos escribir en WolframAlpha la expresión:
optimize x ^ 3 + y ^ 3 + 4 x, 2 x ^ 2 + 4 y ^ 2 = 7
Incluso podemos resolver, claro está, un problema de optimización sin restricciones:
Opt. x2 + y2 + 4 x
Practica2.nb
Para resolverlo, debemos escribir en WolframAlpha la expresión:
optimize x ^ 2 + y ^ 2 + 4 x
5