Solución.

Métodos Matemáticos de Especialidad.
Especialidad de Construcción. Curso 2011-2012
VIBRACIONES ALEATORIAS
Examen 3 junio 2013
SOLUCION
1.
a) Según las propiedades de la T. Fourier
1 + 2 + a + 5 = 12 ⇒ a = 4
c = −3 − 3i
1 − 2 + a − 5 = b ⇒ b = −2
b) y(t) tiene como frecuencias 1 Hz y 2 Hz. Al muestrear con ∆t=0.1 seg, la frecuencia de Nyquist es
5 Hz. Por tanto no habrá aliasing.
2. Un proceso {X(t)} se denomina débilmente estacionario si

E[X(t)] = cte

V ar[X(t)] = cte

Cov[X(t), X(t + h)] = f (h)
Para resolver el problema tenemos en cuenta
Figura 1: Función de densidad de θ.
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos2 A =
1 + cos 2A
2
Función de medias
E[X(t)] = E[α cos(ωt − θ)] = αE[cos(ωt − θ)] = αE[cos ωt cos θ + sin ωt sin θ] = 0
Ya que
E[cos θ] =
Z
∞
Z
∞
cos θfθ (θ)dθ = k
2π
Z
2π
cos θdθ = 0
0
−∞
E[sin θ] =
Z
sin θfθ (θ)dθ = k
0
−∞
1
sin θdθ = 0
Función de varianzas
V ar[X(t)] = E[X(t)2 ] − (E[X(t)]) 2 = E[X(t)2 ]
1 + cos 2(ωt − θ)
α2 α2
2
2
2
2
E[X(t) ] = E[α cos (ωt − θ)] = α E
+
E [cos 2(ωt − θ)]
=
2
2
2
Por otra parte
E[cos 2(ωt − θ)] = E[cos 2ωt cos 2θ + sin 2ωt sin 2θ] = 0
ya que E[cos 2θ] = E[sin 2θ] = 0. Por tanto
V ar[X(t)] =
α2
2
Función de autocovarianzas
Cov[X(t), X(t + h)] = E[X(t)X(t + h)] − E[X(t)]E[X(t + h)] = E[X(t)X(t + h)]
E[X(t)X(t + h)] = α2 E[cos(ωt − θ) cos(ω(t + h) − θ)]
= α2 E[cos(ωt − θ) cos(ωt − θ + ωh)]
= α2 E[cos(ωt − θ)(cos(ωt − θ) cos(ωh) − sin(ωt − θ) sin(ωh))]
= α2 E[cos2 (ωt − θ) cos(ωh) − sin(ωt − θ) cos(ωt − θ) sin(ωh)]
1 + cos 2(ωt − θ)
sin 2(ωt − θ)
2
=α E
cos(ωh) −
sin(ωh)
2
2
α2
cos(ωh)
=
2
ya que E[cos 2(ωt − θ)] = E[sin 2(ωt − θ)] = 0. En resumen


E[X(t)] = 0

2
V ar[X(t)] = α2

 Cov[X(t), X(t + h)] = α2 cos(ωh)
2
Por tanto, X(t) es débilmente estacionario.
3. % datos
m=1;
k=900*pi^2;
z=0.05;
c=2*z*sqrt(m*k);
a) % a). Densidad espectral
dt=0.02;
fnq=1/(2*dt); % Hz
f=(0:0.0001:0.5);
GF=18./(1.8125-2.25*cos(2*pi*f)+cos(4*pi*f));
% se corrigen las frecuencias
f1=f/dt;
GF1=GF*dt;
h1=figure;
2
2.5
2
GF (N2 s)
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
f (Hz)
Figura 2: Representación de GF (f).
plot(f1,GF1,’linewidth’,1)
xlabel(’f (Hz)’)
ylabel(’G_F (N^2 s)’)
b) % b) Funcion de transferencia
for r=1:length(f)
Hf(r)=(k+1i*c*2*pi*f1(r))/(k-m*(2*pi*f1(r))^2 + 1i*c*2*pi*f1(r));
end
% modulo
Hfmod=abs(Hf);
h2=figure;
plot(f1,Hfmod)
xlabel(’f (Hz)’)
ylabel(’|H_f|’)
c) % c) Varianza de la fuerza transmitida a la base
% función de densidad espectral de la fuerza transmitida a la base
Gy=(Hfmod.^2).*GF1;
h3=figure;
plot(f1,Gy)
xlabel(’f (Hz)’)
ylabel(’|H_f|’)
df=f1(2)-f1(1);
3
12
10
|HF|
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
f (Hz)
Figura 3: Representación de HF (f).
nf=length(f1);
var_psd=0;
for r=1:nf-1
trapecio=(Gy(r)+Gy(r+1))*df/2;
var_psd = var_psd + trapecio;
end
var_psd
74.9269 N^{2}
d) % d) simulacion de una realizacion
nt=100*(1/dt);
% remuestreamos GF a las frecuencias adecuadas
f2=(0:nt-1)*(1/nt);
for r=1:nt/2+1
GF2(r)=18/(1.8125-2.25*cos(2*pi*f2(r))+cos(4*pi*f2(r)));
end
% se corrigen las frecuencias
f3=f2(1:nt/2+1)*(1/dt);
GF3=GF2*dt;
Xn=zeros(1,nt);
Xn(1)=0;
Xn(nt/2+1)=sqrt(nt/(2*dt)*GF3(nt/2+1))*randn(1);
4
25
20
Gy
15
10
5
0
0
5
10
15
f (Hz)
Figura 4: Representación de Gy (f).
for r=2:nt/2
An=sqrt(nt/(4*dt)*GF3(r))*randn(1);
Bn=sqrt(nt/(4*dt)*GF3(r))*randn(1);
Xn(r)=An+1i*Bn;
Xn(nt+2-r)=An-1i*Bn;
end
% realizacion de Ft simulada
Ft=ifft(Xn);
% se comprueba
figure
plot(f3,GF3)
hold on
[pw,fw]=pyulear(Ft,2);
plot(fw/(2*pi*dt),pw*(2*pi*dt),’r’)
% respuesta del sistema a Ft
t=(0:nt-1)*dt;
y0=0; % posicion inicial 0
v0=0; % velocidad inicial 0
[y,a,v]=Fincremental(m,k,c,y0,v0,t,Ft);
% fuerza transmitida a la base
Ftr=c*v+k*y;
h4=figure;
subplot(2,1,1)
plot(t,Ft)
5
20
25
xlabel(’tiempo (s)’)
ylabel(’F (N)’)
subplot(2,1,2)
plot(t,y)
xlabel(’tiempo (s)’)
ylabel(’y (m)’)
var(Ftr)
66.3811
20
15
10
F (N)
5
0
−5
−10
−15
0
10
20
30
40
50
tiempo (s)
60
70
80
90
100
10
20
30
40
50
tiempo (s)
60
70
80
90
100
−3
4
x 10
y (m)
2
0
−2
−4
0
Figura 5: Simulación de F(t).
e) % e) Estimacion de la funcion de densidad espectral
[ptr,ftr]=pyulear(Ftr,8);
h5=figure;
plot(f1,Gy)
hold on
plot(ftr/(2*pi*dt),ptr*(2*pi*dt),’r’)
xlabel(’f (Hz)’)
ylabel(’G_y’)
legend(’G_y’,’G_y estimada’)
6
25
Gy
Gy estimada
20
Gy
15
10
5
0
0
5
10
15
20
f (Hz)
Figura 6: Función de densidad espectral estimada
7
25