Capítulo 1 SERIES DE NÚMEROS REALES

Capítulo 1
SERIES DE NÚMEROS
REALES
1) Series convergentes. Comportamiento algebraico. Ejemplos notables.
Condición necesaria de convergencia
2) Criterio de comparación. Convergencia absoluta.
3) Criterios de convergencia para series de términos no negativos.
4) Series de términos cualesquiera. Criterio de Leibnitz. Criterios de
Dirichlet y Abel.
1
1 1
1 1 1
Si consideramos las sumas sucesivas 1 + ; 1 + + ; 1 + + + ; :::
2
2 4
2 4 8
es fácil comprobar por inducción que
1 1 1
1
1
1 + + + + ::: + k = 2 ¡ k ; 8k 2 N.
2 4 8
2
2
1
tiene límite cero, podríamos ”intuir” que
2k
1
si sumamos todos los números de la forma k para k = 0; 1; 2; :::, la suma
2
debería ser 2. Puesto que tenemos in…nitos sumandos, no podemos calcular
todas las sumas, pero sí podemos ser conscientes de lo que ”debería ser”.
Además hay sucesiones cuyos términos no pueden ser sumados de esta forma,
por ejemplo, si consideramos las sumas 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... entonces la
suma de los k primeros términos no tiene límite …nito cuando k ! 1; y
el problema no es la no acotación de esa sucesión de sumas parciales como
pone de mani…esto el hecho de que tampoco podemos asociar una suma a la
sucesión 1; 1 ¡ 1; 1 ¡ 1 + 1; :::: la clave es la convergencia de la tal sucesión
de sumas.
Por tanto, como la sucesión
1
2
CAPÍTULO 1. SERIES DE NÚMEROS REALES
De…nición. Sea (an ) una sucesión de números reales, y notemos por Sn
a la sucesión Sn = a1 + a 2 + ::: + a n (n 2 N).
Se llama serie de números reales a todo par ordenado de sucesiones
de números reales ((an ); (Sn )) de manera que se cumpla:
S1 = a1
Sn+1 = Sn + an+1; 8n 2 N:
La sucesión (an) recibe el nombre de término general de la serie, mientras que (Sn) recibe el nombre de sucesión de sumas parciales. Puesto
que dada una sucesión de números reales (an ), existe una única serie de números reales cuyo término general es (a n), de ahora en adelante denotaremos
P
la serie ((an ) ; (Sn )) por an: Si (Sn) tiene límite …nito cuando n ! 1;
P
diremos que la serie an es convergente,
y en cualquier otro caso, si (Sn)
P
es divergente, se dice que la serie an es divergente y oscilante si lo es su
sucesión de sumas parciales.
En el caso de que sea convergente, si Sn ! s; cuando n ! 1; decimos
P
que s es la suma de la serie y lo notamos por s = 1
n=1 an.
P
El símbolo
se suele usar para denotar una suma, por tanto cuando haP
blamos de la serie an , nos referimos al proceso de sumaciónPde los
términos de la sucesión (an ). Debemos notar que la sentencia ” an es
convergente” se re…ere al comportamiento de la sucesión Sn y no dice
P
nada directamente de la sucesión an. La notación 1
n=1 an es usada para un númeroPy cuando la usamos estamos reconociendo implícitamente
que la serie an es convergente.
Para el estudio nos pueden ayudar los siguientes ejemplos:
1. 1.- Series geométricas. Dados a y r 2 R ¡ f0g ; se llama serie geoP
métrica de razón r y primer término a a la serie ar n¡1. Como sabemos para r 6= 1; se veri…ca que la sucesión de sumas parciales es
Sn = a + a ¢ r + a ¢ r 2 + ¢ ¢ ¢ + a ¢ rn¡1 = a
1 ¡ rn
1¡r
suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r
y primer término a. Por tanto, podemos estudiar la convergencia de la serie
geométrica según la razón, distinguiendo los siguientes casos:
Si jrj < 1; entonces (rn ) ! 0; y así
3
µ
(Sn ) = a
1 ¡ rn ¶
1¡0
a
¡! a ¢
=
:
1 ¡r
1¡r
1¡r
De manera que podemos asegurar en este caso que la serie geométrica
converge y su suma es conocida:
1
X
ar n¡1 =
n=1
1
X
arn =
n=1
a
:
1¡r
Si jrj > 1; entonces:
Si r > 1 tenemos que (rn ) ! +1; y así
µ
(Sn ) = a
P
¶
1 ¡ rn
¡! +1
1¡r
n¡1
y por tanto la serie ar
diverge.
P n¡1
Si r < ¡1; la serie ar
oscila entre +1 y ¡1:
Por último para el caso jrj = 1 distinguimos nuevamente dos casos:
Si r = 1; entonces Sn = a + a + a + ::::::: + a = a ¢ n y la serie diverge
positivamente.
1 ¡ (¡1)n
Si r = ¡1; entonces Sn = a
cuyas parciales de términos pares e
2
impares son respectivamente S2n = 0 y S2n¡1 = a; y por tanto la serie oscila
entre 0 y a.
En resumen, la serie geométrica de razón r y primer término a es oscilante
a
en ]¡1; ¡1] ; convergente a
en ]¡1; 1[ y divergente en ]1; +1[ :
1¡r
2.- Series Telescópicas.
Se dice que una serie x1 + x2 + x3 + ::::: + xn + ::::es telescópica, asociada
a una sucesión a1; a2 ; ::::::; an::::si se veri…ca que xn = an ¡ an+1 para n 2 N.
P
Esta serie xn es convergente sí y sólo si (an ) tiene límite …nito y, entonces,
su suma es
1
1
X
X
xn =
(an ¡ an+1) = a 1 ¡ n!1
lim a n:
n=1
n=1
3.- Series armónicas.
1
La serie cuyo término n-ésimo es xn = , que recibe el nombre de serie
n
armónica es divergente (a pesar de que su término general tiende a 0) , esto
es:
1
X
1
1 1
1
= 1 + + + ::::: + + :::: = +1:
2 3
n
n=1 n
4
CAPÍTULO 1. SERIES DE NÚMEROS REALES
Dado p 2 R; se llama serie armónica (armónica generalizada) de exponente p a la serie
P ¡p
n
=
P
1
:
np
que es convergente para p > 1 y divergente para p · 1; esto es:
8
>
<
convergente si p > 1
1
1
1
1 + p + p + ::::: + p + ::::es >
2
3
n
:
divergente si p · 1
P
4.- La serie n es divergente. Téngase en cuenta que la sucesión de
sumas parciales es una progresión aritmética de diferencia 1 y primer término
también 1. Por tanto,
lim Sn = n!1
lim (1 + 2 + ¢ ¢ ¢ + n) = n!1
lim
n!1
P
(1 + n) n
= +1
2
5.- La serie (¡1)n es oscilante, pues su término general es una sucesión
oscilante.
P
1
P
1
6.- La serie
es convergente y 1
= 1. En este
n=1
n (n + 1)
n (n + 1)
1
1
1
1
caso como
= ¡
, se tendrá que sn = 1 ¡
k (k + 1) k k + 1
n+ 1
No son usuales las series para las que podemos encontrar, como en los
ejemplos anteriores, una conveniente expresión para sn . Normalmente tendremos que demostrar que s n es convergente usando métodos alternativos.
El resultado más sencillo en el estudio de las series es el siguiente
P
Teorema. Si la serie an es convergente entonces an ! 0.
Para demostrarlo basta notar que an = s n ¡ sn¡1 ! s ¡ s = 0, siendo
P
s = 1
no caracteriza), es decir,
n=1 an :El recíproco es falso (la propiedad
P
existen sucesiones an ! 0 y sin embargo an es divergente, como pone de
P 1
mani…esto la serie
que es divergente.
n
Antes de comenzar a desarrollar la parte principal de la teoría de series
de números reales comentaremos algunos resultados obvios:
Proposición. Sean (a n) y (bn ) sucesiones de números reales y ¸ una
constante.
5
P
Si
an y
Además
y
P
bn son convergentes, también lo son
1
X
¸an = ¸
n=1
1
X
1
X
P
¸a n y
P
(an + bn ).
an
n=1
(an + bn ) =
n=1
1
X
an +
n=1
1
X
bn :
n=1
Basta la correspondiente propiedad de linealidad del límite de sucesiones
de números reales para probar lo anterior. Otra importante propiedad de
las series es que su carácter no está determinado por un número …nito de
términos, como cabía sospechar por lo que ya sabemos de sucesiones:
Proposición. Supongamos que existe un número natural n0 de manera
P
P
que si n 2 N con n ¸ n 0; se tenga an = bn: Entonces a n y bn son ambas
convergentes o ambas divergentes.
Es claro que bajo las hipótesis anteriores 8n ¸ n 0 sn = tn + C de lo
cual se deduce lo deseado.
Observación
Si no queremos ó no podemos tener en cuenta los términos los k primeros
términos de la sucesión (a n), a1; :::; ak , a la hora de sumar dicha sucesión tiene
sentido la siguiente de…nición.
P
De…nición. Sea la serie
an y k 2 N. Se llama resto k-ésimo a la
serie que resulta de sumar todos
los términos de la sucesión an excepto los
P1
k primeros, y se denota por n>k
an.
_
Ejemplos.
µ
¶
1
i) La sucesión
no tiene sentido para n = 1 luego no tiene
n2 ¡ 1
1
P
sentido de…nir la serie
pero si podemos considerar su resto 1-ésimo
2
n ¡1
P1
1
.
n>1 2
n ¡1
ii) Al igual que podemos quitarle a la serie un número …nito de términos
podemos añadirle un número …nito
P1
1
n¸0 n!
:= e 1
que es la serie asociada a la sucesión
1
1
para todo n 2 N [ f0g.
n!
Ya hemos visto, en el apartado dedicado a las sucesiones, que podemos de…nir también
el número e como límite de la sucesión (1 + n1 )n .
6
CAPÍTULO 1. SERIES DE NÚMEROS REALES
iii) La serie geométrica de primer
término a y de radio r también se puede
P1
expresar de la siguiente manera n¸0 ar n.
Proposición. El carácter de una serie no cambia si se suprimen o añaden
un número …nito de sus términos. En particular podemos decir
que el carácter
P
de una serie es el mismo de todos sus restos y que la serie an es convergente
P
si y solo sí 1
n¸p an para todo número natural k. En tal caso
P1
n=1 an
1.1
= a 1 + a2 + ::: + ak +
P1
n=k+1 an
Criterios de convergencia para series de
términos no negativos
Comenzaremos ahora con el estudio de las series de términos no negativos,
cuyo comportamiento es más simple que en el caso general.
Por serie de términos no negativos entendemos una serie de números reales
P
an tal que an ¸ 0; 8n 2 N. La sucesión de sumas parciales de una tal
serie es creciente, luego probar su convergencia equivale a probar que está
mayorada (en el caso que así sea, su suma es sup fSn : n 2 Ng) y si no está
acotada superiormente la serie es divergente (positivamente). Por tanto una
serie de términos no negativos nunca puede ser oscilante. Este hecho hace
que las series de términos no negativos sean sencillas de tratar y se disponga
de numerosos criterios de convergencias para ellas.
P
Por una proposición
vista
anteriormente,
la
convergencia
de
la
serie
an
P
equivale a la de (¡anP
), luego los criterios que vamos a obtener permiten
estudiar también series an que veri…quen a n · 0; 8n 2 N.
Conviene observar que la condición an ¸ 0; 8n 2 N puede debilitarse
exigiendo solamente que:
9 p 2 N: n > p ) an ¸ 0
P
P
ya que la convergencia de an equivale a la de n>p an y esta última es
una serie de términos noPnegativos.
Proposición. Sea an una serie de términos no negativos. Entonces
P
an es convergente si, y sólo si, la sucesión de sumas parciales está acotada,
P
es decir existe una constante K de manera que 8N 2 N N
n=1 an · K;
lo que se deduce, obviamente, de que s n+1 = sn + an+1 ¸ sn ; 8n 2 N.
Aplicando la complitud de R a la sucesión de sumas parciales de una
serie de números reales, obtenemos el denominnado criterio de Cauchy para
la convergencia de series de números reales.
1.1. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS
7
P
Teorema. Sea an una serie de números reales. Entonces las siguientes a…rmaciones son equivalentes:
P
i) an es convergente
ii) Para cada " 2 R+, existe m 2 N tal que
n; h 2 N; n ¸ m ) jzn+1 + :::: + zn+hj · ":
El resultado anterior nos conduce a nuestro primer criterio de convergencia de series de términos positivos, que nos dirá que, en general, una serie de
términos no negativos será convergente si la sucesión de término general an
converge a cero ”su…cientemente rápido”:
Criterio
de Comparación
(por acotación).
P
P
Sean
an y
bn dos series de términos no negativos y supongamos
P
P
que an · bn 8n 2 N. Entonces, si la serie
b es convergente,
a n es
P
P n
convergente; y, si la serie a n es divergente, bn es divergente.
P
Este resultado lo podemos usar para mostrar que la serie n12 es convergente.
P
P
1
2
Usando para ello que n(n+1)
es convergente y por tanto también n(n+1)
2
y claramente n12 · n(n+1)
8n 2 N:
P 1
1
p es
Además, como 0 · n · p1n 8n 2 N, podemos deducir que
n
P1
divergente ya que así lo es n .
Corolario.-(Criterio de comparación por paso al límite)
Sea (an ) una sucesión de números reales no negativos y (bn ) una sucesión
de números reales positivos.
³ ´
i) Supongamos que abnn converge a un número real positivo. Entonces,
P
P
la serie ³ an´ converge sí y sólo si, lo hace bn .
P
P
ii) Si abnn ¡! 0 y bn es convergente, entonces an converge.
³
´
P
P
iii) Si abnn ¡! +1 y an es convergente, entonces bn converge.
La desventaja del criterio de comparación es que necesitaremos conocer
la posible convergencia de un gran número de series para poder comparar.
Criterio de Condensación de Cauchy. Supongamos
que (an ) es una
P
sucesión de términos positivos
decreciente. Entonces an es convergente si
P
y solo si lo es la serie 2n a2n .
P
Ejemplo.- n1p converge si p > 1 y diverge si p · 1:
Aunque ya hemos establecido su…cientes herramientas para ser capaces
de resolver gran número de ejemplos, aún no son su…cientes para estudiar la
gran mayoría de ellos. Por ello aumentaremos nuestro repertorio de técnicas
con aquellas que nos permitan estudiar series de términos variando de signo.
8
CAPÍTULO 1. SERIES DE NÚMEROS REALES
1.2
Convergencia absoluta y convergencia
condicional
Introducimos ahora la convergencia absoluta de series como elemento que,
entre otras virtudes, tendrá la de poder facilitarnos la conmutatividad de las
suma de ciertas series.
P
De…nición. Una serie de números P
reales
an se dice absolutamente
convergente si la serie de números reales jan j es convergente.
P
El criterio por comparación (por acotación) garantiza que toda serie an
P1
absolutamente
convergente
es
convergente,
y
se
veri…ca
que
j
n=1 a nj ·
P1
n=1 ja nj ; esto es,
P
P
Proposición. Si
an es una serie de números reales y jan j es conP
vergente, también lo será an .
Se tiene pues,
P
P
Proposición. Si
an una serie de números reales y
bn una serie
convergente de términos no negativos y supongamos que para algún N se
P
tiene janj · bn, 8n ¸ N entonces an es (absolutamente) convergente.
La desventaja del criterio de comparación es que requiere usar una serie
con la que comparar la serie dada. Ahora desarrollaremos algunos criterios
más rutinarios. Los dos principales, criterio del cociente y criterio de la raíz
están basados en la comparación con una serie geométrica.
P
Criterio del Cociente. Sea
an una serie de números reales para la
cual
¯
¯
¯ an+1 ¯
¯ a ¯ ! L:
n
Entonces:
si L < 1 la serie converge (absolutamente).
si L > 1 la serie diverge.
si L = 1 no obtenemos ninguna información.
Por su posterior relevancia merece destacarse el siguiente
P n
Ejemplo. Para todo número real x; xn! es convergente.
La misma tesis se sigue del
P
Criterio de la Raíz. Sea an una serie de números reales de manera
que
jan j1=n ! L:
1.2. CONVERGENCIA ABSOLUTA
9
Entonces:
si L < 1 la serie converge (absolutamente).
si L > 1 la serie diverge.
si L = 1 no obtenemos ninguna información.
De manera análoga al teorema anterior, es posible probar que jan j <
P
P
(L + ")n y como L + " < 1 la serie (L + ")n es convergente, y así janj es
convergente por el criterio de comparación.
Notemos que en los criterios anteriores, en la forma en que los hemos exP
presado, sólo ofrecen información si los términos de an son su…cientemente
regulares para que sendos límites existan. En la práctica esto ocurre en la
mayoría de los casos, pero no obstante observemos que en la demostración
P
del criterio del cociente mostraría que an es absolutamente convergente
¯
¯
¯
si existiesen una constante k < 1 y N 2 N tales que 8n ¸ N ¯¯ an+1
an ¯ · k.
Obsérvese que en el criterio de la ³raiz (respectivamente
del cociente) la hi´
p
an+1
n
pótesis i) se cumple si la sucesión
an (resp. an ) converge a un número
real
³ p L´más chico que uno. De la misma manera, ii) se cumple si la sucesión
an+1
n a
n (resp. an ) converge a un número real mayor que uno ó diverge positivamente. Está claro también que las series que cumplen una cualquiera
de las dos hipótesis del criterio del cociente, cumplen también su homóloga
en el criterio de la raiz. Esto quiere decir que si el criterio del cociente da
información acerca del carácter de una serie dada, entonces el criterio de la
raiz también lo da. Nótese que el recíproco es falso. El criterio de la raíz
ofrece información en los mismos casos que el del cociente y adicionalmente
en algunos más; por ello, desde el punto vista teórico este es más importante,
aunque la aplicación del criterio del cociente es más cómoda.
Con objeto de ilustrar el uso del criterio del cociente, vamos a estudiar
P
la convergencia absoluta de la serie npxn donde p es un número natural y
x es un númerro real. Si jxj ¸ 1; entonces el término general no converge a
cero, y por tanto, la serrie no es convergente, luego tampoco absolutamente
convergente. Si jxj < 1; entonces la serie de números reales no negativos
P p n
P
P
jn x j = n p jxjn es convergente (es decir, la serie np xn es absolutamente
convergente).
En efecto,
Ã
!
µ
¶
n+1
(n + 1) x
n+ 1
=
x ! x < 1;
nxn
n
y podemos aplicar el apartado i) del criterio del cociente. Por tanto, la
P
serie np xn es convergente, sí y sólo si, jxj < 1; y en este caso, la convergencia
es absoluta. Está claro que, como consecuencia, se tiene que (n pxn) ¡! 0:
10
CAPÍTULO 1. SERIES DE NÚMEROS REALES
P
Las series del tipo P (n)xn , donde P (n) es un polinomio no nulo con
coe…cientes reales, y x es un real cualquiera, reciben el nombre genérico de
series aritmético-geométricas. Es inmediato, después de lo que acabamos
P
de ver, que la serie P (n)xn es convergente, sí y sólo si, jxj < 1; y en tal caso,
la serie es absolutamente convergente. En particular, si jxj < 1; la sucesión
(P (n)xn) converge a cero. Además, estas series tienen la particularidad de
que su suma puede calcularse fácilmente. Hallemos, por ejemplo, la sumas
de las series del ejercicio 5 de la relación.
Para los casos en los que el criterio del cociente no nos de información,
es útil el criterio de Raabe, ³más
que este último, estudiando el com³ potente´´
portamiento de la sucesión n 1 ¡ an+1
:
an
Criterio de Raabe. Sea an una serie de números reales positivos, de
manera que
³ ³
n 1¡
an+1
an
´´
! L:
Entonces,
i) L > 1 ) an converge,
ii) L < 1 ) an diverge.
Si L = 1 vuelve a ser caso dudoso
³ ³
´´
Es claro que, la primera a…rmación se cumple si n 1 ¡ an+1
converan
ge a un
número real
³ ³
´´ mayor que 1 o diverge positivamente, y ii) se veri…an+1
ca si n 1 ¡ an
converge a un número real menor que uno o diverge
negativamente: El criterio de Raabe puede detectar que ciertas series cuyo
término general converge a cero no son convergentes, algo que no hacían ni
el criterio delPcociente ni el criterio de la raiz. Comprobemos esta a…rmación
con la serie n1 . Puesto que
µ µ
n 1¡
1
n+1
1
n
¶¶
³ ³
= n 1¡
n
n+1
´´
·1
8n 2 N
Criterio del producto (ó Pringsheim).- Sea an una serie de números
reales de manera que
(n pan ) ! L 2 R+ :
Entonces:
P
i)p · 1 ) an diverge
P
ii) p > 1 ) an converge
1.2. CONVERGENCIA ABSOLUTA
11
P
El siguiente criterio se obtiene por comparación con la serie ln n .
Criterio logarítmico. Sea an una serie de números reales positivos de
manera que
0
@
ln
³
1
an
ln n
´1
A
! L 2 R:
Entonces:
P
i) L > 1 ) Pa n converge.
ii) L < 1 ) a n diverge.
Ninguno de los criterios estudiados hasta ahora nos permite estudiar el
caso de series que sean convergentes pero no absolutamente convergentes,
con este propósito veremos el siguiente:
Teorema de las Series Alternadas.
Las series cuyos términos tienen signos alternativamente positivos y negativos se llaman series alternadas. Hay dos tipos:
Aquellas cuyos términos impares son negativos:
1
X
n=1
(¡1)n an = ¡a 1 + a2 ¡ a3 + a4 + :::::
aquellas cuyos términos pares son negativos:
1
X
n=1
(¡1)n+1 a n = a 1 ¡ a2 + a3 ¡ a4 + ::::
Se supone que a n > 0 en ambos casos.
Criterio de Leibniz para series alternadas
En general, el saber que limn!1 an = 0 dice poco sobre la convergencia
de la serie. En cambio, una serie alternada converge si el valor absoluto de
sus términos decrece monótonamente hacia cero. Leibniz mostró este hecho
ya en el siglo XVII. Concretamente se tiene:
Criterio de Leibniz para series alternadas
Si an > 0, entonces las dos series alternadas
1
X
n=1
(¡1)n an y,
1
X
n=1
(¡1)n+1 a n
12
CAPÍTULO 1. SERIES DE NÚMEROS REALES
convergen si satisfacen las dos condiciones siguientes:
i) limn!1 an = 0
ii) (an) es una sucesión decreciente, esto es, an+1 < an 8n 2 N.
Ejemplo.- Usando el teorema anterior es posible comprobar que la serie
(¡1)n
:
n
n=1
1
X
es convergente y sin embargo no es absolutamente convergente.
1
1
an = ; n ! 1liman = n ! 1lim = 0
n
n
1
1
y como
<
8n 2 N; la serie
n+ 1
n
(¡1)n
:
n
n=1
1
X
es convergente.
Las series in…nitas no son exactamente suma de una colección in…nita
de números, o al menos no es como fueron de…nidas. Debemos entonces ser
cuidadosos y no usar sin demostración propiedades de las sumas …nitas para
la suma de una serie. No obstante dichas propiedades se siguen veri…cando
bajo ciertas condiciones.
n¡1
P (¡1)
Ejemplo.- Consideremos la serie
sabemos por el teorema ann
terior que la sucesión de sumas parciales sn ! s y además que s 2 · s · s 3,
es decir, 12 · s · 56 , en particular s > 0: Sin embargo, si reordenamos
los términos de manera que sumemos un número positivo, después dos negativos, de nuevo un positivo, dos negativos,..., la serie resultante será:
1 ¡ 12 ¡ 14 + 13 ¡ 16 ¡ 18 + 15 ¡ :::; si denotamos por tn la sucesión de sumas
parciales de esta nueva serie y un = 1 + 12 + 13 + ::: + n1 entonces:
t3n = s 2n
µ ¶µ
1
¡
2
¶
µ ¶
1
1
1
1
+
+ ::: +
= s 2n ¡
(u2n ¡ un) =
n+ 1 n+2
2n
2
µ ¶µ
1
= s2n ¡
2
µ
un
u2n ¡ 2
2
¶¶
1
1
1
= s2n ¡ s2n = s 2n ! s 6= s:
2
2
2
Por tanto la serie reordenada converge a una suma diferente de la serie
original.
1.2. CONVERGENCIA ABSOLUTA
13
Pero no sólo ocurre en el caso anterior, también existen series como
(¡1)n que no es convergente, pero reordenando de dos en dos, (1 ¡ 1) +
(1 ¡ 1) + :::: + (1 ¡ 1) la serie converge y su suma es claramente cero.
Las patologías anteriores pueden ser una buena excusa para introducir la
convergencia conmutativa. En el siglo XVII las series eran vistas como una
”suma in…nita” considerarían dichos ejemplos como paradojas, ya que la poca
rigurosidad en las demostraciones usadas entonces tendía a contradecirlas. La
idea intuitiva esta más cerca de la convergencia absoluta, ”un reordenamiento
de una serie absolutamente convergente, converge a la misma suma que la
serie original”. Concretamente, se puede probar la
Proposición. Las series de términos positivos convergentes se pueden
reordenar arbitrariamente de modo que siguen siendo convergentes (se dicen
conmutativamente convergentes),
de donde:
Corolario. Las series absolutamente convergentes son conmutativamente comvergentes.
P