GUÍA : Factorial de un Número.

El factorial de un número entero positivo se define como el producto de
todos los números naturales anteriores o iguales a él.
Se escribe n!, y se lee "n factorial".
Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1
Además 1!=1
Algunos Factoriales:
n
n!
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5.040
8
40.320
9
362.880
10
3.628.800
15
1.307.674.368.000
20
24.32.902.008.176.640.000
25
15.511.210.043.330.985.984.000.000
50
30.414.093.201.713.378.043.612.608.166.064.768.844.377.641.568.960.512.000
.000.000.000
70
1,19785717... × 10100
450
1,73336873... × 101.000
3.249
6,41233768... × 1010.000
25.206
1,205703438... × 10100.000
100.00
2,8242294079... × 10456.573
De otro modo ésta definición queda expresada por:
“ Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto
de todos los naturales desde 1 hasta n”:
Que, de un modo resumido, se puede expresar como:
, El símbolo П, Se lee “Producto”
Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para
n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue
popularizada por el matemático francés Christian Kramp.
Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada
combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma
desarrollada de (a + b)n:
(a + b)n = an + n × an − 1 × b + Cn, 2 × an − 2 × b2 + ... + n × a × bn − 1 + bn
Donde:
𝑚!
𝐶𝑛𝑚 = 𝑛 ! 𝑚 −𝑛 !
Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las
probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del
desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales
con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.
Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial
de n, dado por la fórmula de Stirling:
𝑛! ≈ 2𝜋𝑛 𝐶𝑒𝑛
𝑛
La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto,
permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.
El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la Función
gamma de manera que:
∞
𝑡 𝑛 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡
𝑛! =
0
Productos similares
Doble factorial
Se define el doble factorial de n como:
Por ejemplo:
8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.
La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de
números negativos:
Y esta es la sucesión de dobles factoriales para
:
El doble factorial de un número negativo par no está definido.
Algunas identidades de los dobles factoriales:
1.
3.-
2.4.-
Actividad 1.
Calcula en tu cuaderno el factorial de los diez primeros números
naturales y comprueba el resultado conel cuadro dados más arriba .
Actividad 2.
Simplifica las siguientes expresiones:
Actividad 3.
Calcula en tu cuaderno los siguientes números combinatorios y
comprueba después el resultado con la escena:
Actividad 4.
Observa el desarrollo y el cálculo de los números combinatorios de la
actividad anterior. ¿Puede obtenerse en algún caso un número racional?
Hoy en día, con la utilización de la calculadora, es fácil calcular
cualquier número combinatorio, sin embargo resulta bastante
interesante el cálculo de números combinatorios con el siguiente
triángulo, conocido entre otros nombres como Triángulo de Pascal, en
la que cada número combinatorio se obtiene sumando los dos que
tiene encima. En la siguiente escena aparecen las cinco primeras
filas.
En el triángulo se pueden apreciar algunas propiedades
interesantes de los números combinatorios, que se pueden
comprobar accediendo a los coeficientes del binomio de Newton.
Lista de ejercicios:
Simplifique cada expresión que contiene factoriales:
1.- 4! + 3!
2.- 8! -3! +4! +3.2!
3.- 5!.3! + (2x3)! – 6!
4.-
5.7.9.-
16!
6.-
12!.4!
8!
5!
2!
3!
11.-
+
−
2
3!
9!
6!
−
5!
2!
3!
4
4!
3!.4!
20!
15!.2!
1
2!
10.-
4!
−
8.-
12!
+
5
2!
+
+
30!
25!.3!
1
3!
10!
5!.2!
+
7!
4!.2!
−
6!
3!
12.- 3!.2!-6!
Calcule la combinatoria de los siguientes números:
1.- 𝐶24
2.- 𝐶26
3) 𝐶57
4.- 𝐶26
5.- 𝐶47
6.- 𝐶55
8.- 4𝐶44 - 3 𝐶28 + 2 𝐶58
7.- 𝐶24 + 2 𝐶25 - 4 𝐶57
Calcule los coeficientes del binomio de Newton para las siguientes
potencias:
1.- 𝑎 + 𝑏
3
2.- 𝑎 − 𝑏
3
3.-
𝑎+𝑏
5
4.- 𝑎 + 𝑏
6
2.- 𝑎 − 𝑏
4
3.-
𝑎−𝑏
5
Simplifique las siguientes expresiones:
2𝑥!
1.-
4.-
7.-
𝑥−1 !
3! 2𝑥+1 !
2! 2𝑥−1 !
𝑛 2𝑛 +1 !
10.-
13.-
(2𝑛 )!
𝑛 −4 !. 𝑛 +3 !
𝑛 −5 !. 𝑛 +2 !
2!𝑛 2 . 𝑛 −1 !
𝑛!
2.-
5.-
(𝑥−1)!
𝑥−3 !
2𝑎 2 (3𝑎 −2)!
6.-
3𝑎 −4 !
𝑥(𝑥−4)!
8.-
9.-
𝑥−6 !
11.-
14.-
3.-
4!. 𝑛 +8 !
2!. 𝑛 −1 ! 4! 𝑛 +2 !
𝑛!
4 𝑥−1 !
𝑛 −3 ! 𝑛 −1 !
𝑛 −4 ! 𝑛 −2 !
3𝑛 ! 2𝑛 +2 ! 3𝑛 −2 !
3𝑛 −1 ! 3𝑛 −3 ! 2𝑛 +1 !
12.-
2!. 𝑛 +6 !
+
2(𝑥−3)!
𝑛 +3 !
15.-
10!.𝑛 !
8!. 𝑛 −2 !
(𝑛 −4)!
𝑛 −3 !
−
𝑛 +2 !
𝑛 +3 !