T 01 Campo gravitatorio

Campo gravitatorio
Concepto de campo:
Se define un campo como una zona del espacio en la que se deja sentir una magnitud; a cada
punto del espacio se le puede dar un valor de esa magnitud en un instante determinado.
Los campos pueden ser:
Escalares: Si la magnitud que se deja sentir es escalar (p.ej: la temperatura)
Vectoriales: Si la magnitud que se deja sentir es vectorial. Los campos gravitatorio,
eléctrico y magnético son vectoriales (la magnitud que se deja sentir es una fuerza).
Centrales: El vector de la magnitud que define el campo está dirigido siempre hacia el
mismo punto.
Conservativos: Si el trabajo para trasladar un cuerpo de un punto a otro depende solo de
los puntos inicial y final y no del camino recorrido.
Uniformes: Si la magnitud que define el campo permanece constante.
Estacionarios: Si no dependen del tiempo.
Ley de Newton de la gravitación
Deducida por Newton a partir de las leyes de Kepler dice que la fuerza de atracción entre dos
masas es directamente proporcional al valor de las masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia:
m1
F12 m2
F21
FG
d
m1m2
d2
La constante G vale 6,67·10-11Nm2kg-2
Si un cuerpo gira alrededor del otro, la fuerza de atracción entre ellos es la fuerza centrípeta:
2
FA  FCP  m
v 2 m  2d 
4 2m  d3  4 2m
 

k

 
d
d T 
d2  T2 
d2
luego la fuerza de atracción depende del cuadrado de la distancia.
Las fuerzas de atracción gravitatoria:
Tienen como dirección la recta que une los centros de los cuerpos.
Aparecen por pares F12  F21 (acción y reacción)
Para masas discretas la fuerza de atracción es despreciable.
Principio de superposición
m1
Cuando una masa es atraída por varias masas la fuerza resultante es la
m2
F14
m4
F34
F24
suma de todas las fuerzas individuales que la atraen.
F14  G
m1·m4
r142
F24  G
m2 ·m4
r242
F34  G
m3 ·m4
r342
FTOT  F14  F24  F34
m3
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Campo gravitatorio
Intensidad de campo gravitatorio
Se representa por g y se define, en un punto del espacio, como la fuerza
g
que actúa por unidad de masa:
F
M
G 2
m
r
Es un vector que va dirigido hacia el centro del cuerpo que atrae y se
mide en N·kg-1.
El campo gravitatorio se representa por líneas de fuerza (cada una de
las trayectorias seguidas por la unidad de masa cuando se abandona en
un punto).
Si el campo es uniforme las líneas son paralelas.
Las líneas de fuerza no se cortan y el campo es más fuerte si las líneas están más juntas.
Variación de la gravedad con la altura.
Tenemos que tener en cuenta que estemos donde estemos quien nos va a atraer es la esfera que
estamos pisando en cada momento. De acuerdo con esto:
En el exterior de la Tierra:
h
RT
El cuerpo es atraído por la esfera en la que está apoyado. Su
masa es la terrestre pero su radio es RT+h
Luego g será: g  G
MT
R T  h 
2
Disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre y
se hace cero en el infinito.
En el interior de la Tierra:
El cuerpo es atraído por la esfera en la que está apoyado. Si
suponemos que la densidad de la Tierra  es uniforme:
R
RT
4
 R 3
M
V
4
gG 2 G 2 G 3 2
  G  R  cte·R
3
R
R
R
La gravedad es una función lineal del radio de la esfera y varía
desde cero en el centro de la Tierra hasta 9,8 ms-2 en la superficie.
Representando el valor de g frente a la
g
distancia, tenemos que es cero en el centro de
9,8
la Tierra y crece linealmente hasta llegar a la
superficie, donde alcanza el valor máximo. A
partir de ahí la gravedad disminuye con la
altura y se hace cero en el infinito.
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RT
distancia
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Campo gravitatorio
Variación de la gravedad con la latitud.
Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta cada punto de la
superficie describe una trayectoria circular de radio R T cos y se
v  R T cos  . La fuerza
mueve con una velocidad lineal
centrífuga hace que la fuerza neta de atracción de la Tierra sea

menor. Esa disminución es máxima en el ecuador y mínima en los
polos. Por lo que la gravedad en el ecuador (9,78 ms-2) es menor
que en los polos (9,83 ms-2).
Energía potencial gravitatoria
El trabajo necesario para desplazar una masa m desde un
punto A hasta un punto B es: W  F·x en donde F es la
fuerza y x la distancia entre los dos puntos. Si la fuerza no es
M
m
constante y varía con la distancia, como es el caso de la
A
B
fuerza en un campo gravitatorio, tendremos que integrar
desde la posición inicial hasta la final:
B
B
A
A
W   F·dx   G
B
B
 1
Mm
dx
1
1 
·dx

GMm
 GMm 
 GMm  


2
2

x
x
xA
 xB x A 
A
Si quisiéramos trasladar esa masa desde la superficie de la Tierra hasta el infinito, el trabajo
necesario sería:
W


RT
RT
 F·dx 
G


 1
M Tm
dx
1
1
·dx

GMm
 GM Tm 
 GM Tm   
2
2

x
x
x RT
  RT
RT

M Tm
G
RT

La energía potencial se define como el trabajo necesario para trasladar una masa desde el
infinito hasta la posición que ocupa en un instante dado. Así la energía potencial gravitatoria de
un cuerpo de masa m situado en la superficie terrestre será el trabajo anterior cambiado de
signo puesto que el trabajo se realiza ahora a favor de las fuerzas del campo:
M Tm
RT
La energía potencial de un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre la superficie terrestre
EP  G
es:
EP  G
M Tm
R T  h 
Esta energía siempre es negativa (suponemos el cero de energía potencial en el infinito).
Potencial gravitatorio
Se define como el trabajo necesario para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta la
posición que ocupa.
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Campo gravitatorio
V
EP
MT
 G
m
R T  h 
V se mide en
J
kg
Al lugar geométrico de los puntos del espacio que tienen el mismo potencial se le llama
superficie equipotencial que tiene las siguientes características:
Por un punto solo puede pasar una superficie equipotencial.
En el caso del campo gravitatorio son esferas con centro en el centro del planeta.
El vector intensidad de campo es perpendicular a la superficie equipotencial.
El trabajo para mover un cuerpo de un punto a otro de la misma superficie es 0.
Leyes de Kepler
Utilizando los datos sobre movimiento relativo de los planetas, recopilados por Tycho Brahe
durante años, enuncia las tres leyes que explican el movimiento de los planetas alrededor del
Sol.
Kepler 1: Ley de las órbitas
Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol que ocupa uno de los focos. Las
órbitas son planas y su excentricidad es próxima a la de una circunferencia.
La excentricidad de una elipse se define como el
F
a
F
b
cociente e 
c
a 2  b2
a
c

a
Varía entre 0 (circunferencia, a=b) y 1 (recta, b=0) .
a
La excentricidad de la órbita terrestre es 0,0168.
Kepler 2: Ley de las áreas
El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La
velocidad del planeta es mayor cuando está cerca del Sol y menor cuando está lejos.
El área del triángulo es dS 
S2
S1
1
r  dr
2
; si definimos la
velocidad areolar como el área barrida por unidad de
tiempo: v A 
dS 1
dr 1
 r
 rv
dt 2
dt 2
recordando que el momento angular es L  r  mv y que se
r+dr
dr
r
mantiene constante podemos decir que la velocidad areolar
se mantiene constante.
vA 
1
L  cte
2m
Afelio es el punto de la órbita más alejado del Sol y perihelio el más próximo. La velocidad lineal
que lleva el planeta es mayor cuando está más cerca del Sol. El momento angular se mantiene
constante
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Campo gravitatorio
L AF  LPER  rAFmv AF  rPERmvPER  rAF v AF  rPER vPER
como rAF  rPER  v AF  vPER
Kepler 3: Ley de los periodos
Para los cuerpos que dan vueltas alrededor de la misma estrella, el resultado de dividir el
cuadrado del periodo entre el cubo del radio orbital es una constante.
Las dos fuerzas que actúan sobre el planeta son iguales
FA  FCF
FA
FCF

G
Mm
v2

m
R
R2
2
G
M
4 2
 2 
 v 2  (R)2   R   2 R 2
R
T
 T 
2
2
T
4

 cte
3
R
GM
Satélites
Un satélite es cualquier cuerpo que da vueltas alrededor de un planeta. Los satélites pueden ser
naturales o artificiales.
Las fuerza de atracción es la fuerza centrípeta:
FA  FCP
h
FA
G
FCF
M Tm
R T  h 
2
m
v2
R T  h 
y despejando v, tenemos la velocidad orbital del satélite:
v
A esta velocidad se le suele llamar primera
GM T
R T  h 
velocidad cósmica, cuando h=0.
El tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta alrededor del planeta (periodo) es:
L 2 R T  h 
T 

v
GM T
4 2  R T  h 
R T  h 
3
GM T
Un satélite geoestacionario es aquel que tiene un periodo de 24 h, gira a la misma velocidad que
la Tierra y está siempre en la misma vertical. Los satélites geoestacionarios se encuentran en
órbita ecuatorial a una altura aproximada de 36000 km.
T
4 2R 3O
GM T
 RO 
3
G M T T2
, como T=86400 s
4 2
RO  42265km  h  35895km
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Campo gravitatorio
Energía de un satélite
La energía cinética de un satélite en su órbita es:
EC 
GM T
1
1
1 GM Tm
mv 2  m

2
2 R T  h  2 R T  h 
La energía potencial es:
EP  G
M Tm
R T  h 
La energía total de un satélite en su órbita será la suma de las dos:
ET  EC  EP 
GM Tm
1 GM Tm
1 GM Tm


2  R T  h  R T  h 
2 R T  h 
El trabajo necesario para poner en órbita un satélite es la diferencia de energías entre la
posición final y la inicial. Al principio el satélite está en reposo en la superficie terrestre:
E0  EP0  G
EF  EPF  ECF


 1
MT m
M m
1 

 G T  G MT m

 W  EF  E0  G

M m
2R O
RT
 R T 2R O 
 G T 
2R o 
MT m
RT
Velocidad de escape
Se define como la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo para que no vuelva a
caer sobre la superficie del planeta. Para el caso de la Tierra, sabemos que el trabajo necesario
para enviar un cuerpo de masa m hasta el infinito es:

W
G
RT


M Tm
M m
dx
1
·dx  GMm  2  GM Tm 
G T
x2
x
x
RT
RT
RT
Ese trabajo hay que comunicárselo al cuerpo en forma de energía cinética:
WG
M Tm 1
 mv 2 ,despejando v 
RT
2
2 G MT
m
 11190
RT
s
segunda velocidad cósmica
Podemos hacer el mismo razonamiento por energías:
La energía cuando el cuerpo sale de la Tierra es ET  EC  EP 
M m
1
mv 2  G T , cuando llega al
2
RT
infinito no tiene energía potencial (origen de energía potencial) ni cinética (podemos suponer
que se para) por lo que la energía total será cero. Aplicando el principio de conservación, la
energía total también será cero en la superficie terrestre y al igualar obtenemos:
ET  EC  EP 
M m
1
mv 2  G T  0
2
RT
M m
GM T
1
mv 2  G T
 v 2
2
RT
RT
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