Vectores deslizantes en cuadrante de circunferencia

Departamento: Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla
Fundamentos Físicos de la Ingeniería. (Industriales)
Vectores deslizantes en cuadrante de circunferencia.
En cada punto P de un cuadrante de circunferencia de radio a, se define un vector
G
deslizante ( dv ; ∆p ) , cuya recta soporte es la tangente a la circunferencia en P, su módulo
G
es dv = y dx , y su sentido el indicado en la figura. Considerando el sistema continuo de
∆P
Y
P
vectores deslizantes que generan todos los puntos del cuadrante, determinar:
a) Resultante de dicho sistema.
b) Momento resultante respecto del origen.
c) Momento mínimo y eje central.
y
a
θ
dv
θ
O
x
X
Vectores en cuadrante de circunferencia
Solución
a) Resultante del sistema
Expresión analítica de los vectores elementales
Las coordenadas cartesianas de cada punto del cuadrante de la circunferencia deben expresarse en función del ángulo θ
x = a cos θ , y = a senθ ,
G
G G
G
podemos ahora expresar analíticamente los vectores elementales dv = dv u , donde u es un vector unitario en la
G
dirección de dv
G
Cálculo de dv = y dx
dx =
dx
dθ ,
dθ
dx = − a senθ dθ ,
dx = a senθ dθ
Debe tenerse en cuenta que dx debe mantenerse positivo en el intervalo de validez, para ello es
necesario que dθ también sea positivo. En consecuencia θ ha de ser creciente y el intervalo de
integración ( 0, π / 2 )
G
dv = a senθ ( a senθ dθ ) = a 2 sen 2θ dθ
G
Cálculo de u
G
Proyectando un vector unitario en la dirección de dv , en las direcciones OX y OY se obtiene
G
G
G
u = senθ i − cos θ j
G
G
G
dv = a 2 sen 2θ ( senθ i − cosθ j ) dθ
La resultante de un sistema de vectores es la suma vectorial de todos ellos. En el caso que nos ocupa, el sistema es
continuo y la suma de todos los vectores elementales debe hacerse mediante el cálculo integral
G
G
G
π /2
R = ∫ a 2 sen 2θ ( senθ i − cosθ j ) dθ
0
∫
π /2
0
sen 2θ senθ dθ = ∫
π /2
0
∫
π /2
0
(1 − cos 2 θ ) senθ dθ = ∫
π /2
0
π /2
senθ dθ = [ − cosθ ]
0
senθ dθ − ∫
=1
π /2
⎡ cos3 θ ⎤
cos 2θ senθ dθ = ⎢
⎥
0
⎣ 3 ⎦0
π /2
2
2
∫0 sen θ senθ dθ = 3
−∫
−∫
π /2
0
π /2
π /2
⎡ sen3θ ⎤
sen 2θ cosθ dθ = ⎢ −
⎥
3 ⎦0
⎣
=−
=−
1
3
1
3
G a2 G G
R = (2i − j )
3
b)
Momento resultante respecto del origen de coordenadas
Debemos calcular el momento elemental
JJJG G
G
G
G
G
G
d M O = OP × dv = ( x i + y j ) × a 2 sen 2θ ( senθ i − cosθ j ) dθ
π /2
0
cos 2θ senθ dθ
Vectores Deslizantes
Cuadrante de circunferencia
G
i
JJJ
G
G
G
d M O = OP × dv = a 3 sen 2θ a cos θ
senθ
G
j
a senθ
− cosθ
G
k
0 dθ ,
0
G
G
d M O = − a 3 sen 2θ dθ k
la suma de todos los momentos elementales se efectúa mediante la integral definida
G
G
π /2
1 − cos 2θ
M O = − k a 3 ∫ sen 2θ dθ . Esta integral se calcula mediante la función del ángulo doble sen 2θ =
0
2
G
a3 G π / 2
M O = − k ∫ (1 − cos 2θ )θ dθ
0
2
∫
π /2
0
dθ = [θ ]π / 2 =
0
π
2
,
∫
π /2
0
π /2
⎡ sen 2 θ ⎤
− cos 2 θ dθ = − ⎢
⎣ 2 ⎥⎦ 0
=0
G
π a3 G
MO = −
k
4
c) Momento mínimo
Esta magnitud
es la proyección del momento sobre la resultante
G
G R
m = MO ⋅
R
G
G
Como M O ⊥ R ,
m=0
d) Eje Central del sistema
El eje central puede expresarse mediante la ecuación vectorial de una recta
JJJG JJJG
G
OC = OC * + λ R
Donde C*
representa a un punto del eje central.. Este se calcula mediante la expresión
G G
JJJG
R × MO
OC* =
R2
5
R2 = a4
9
JJJG
G
G
9 a 2 G G −π a 3 G
3
(2 i − j ) ×
OC* = 4
k = π a (i + 2 j )
5a 3
4
20
Con lo cual la ecuación vectorial del eje central queda
JJJG 3
G
G
G G
OC = π a (i + 2 j ) + λ (2 i − j )
20
G
donde en lugar de R para expresar la dirección de la recta se ha utilizado un vector paralelo con forma mas sencilla.
Fundamentos Físicos de la Ingeniería
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