4. Funciones racionales e irracionales

4.
Funciones racionales
e irracionales
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
160
1.
Hipérbolas: tendencias y
asíntotas
2.
Fracciones algebraicas
3.
Funciones definidas a trozos
4.
Funciones raíz
5.
Ecuaciones irracionales
Funciones racionales e irracionales
1. HIPÉRBOLAS: TENDENCIAS Y ASÍNTOTAS
 LA PALANCA
La palanca es un dispositivo mecánico que consiste en una barra rígida apoyada sobre un eje,
alrededor del cual puede girar.
Si el brazo largo es de longitud doble que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto es
doble que el que levanta el brazo largo.
Si el brazo largo es de longitud triple que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto es
triple que el que levanta el brazo largo.
a) En general, si a y b son las longitudes de cada brazo de la palanca, y m y n los pesos respectivos
en sus extremos, escribe la relación que hay entre a, b, m y n.
b) Imagina que a=1 metro y m= 1 kg. Escribe la relación entre b y n. Dibuja una gráfica que muestre
la variación de n al variar b. ¿Toca la gráfica a los ejes de coordenadas?.

VELOCIDAD CONSTANTE
Un vehículo debe recorrer 180 km a velocidad constante. Busca una fórmula que relacione la
velocidad V con el tiempo T. Representa gráficamente esta relación dando a T los valores oportunos.

ÁREA CONSTANTE
2
Un rectángulo de base x cm. tiene 25 cm de superficie. Expresa la altura Y del rectángulo en función
de la base y representa gráficamente esta relación funcional.

HIPÉRBOLAS
a) Dibuja la gráfica de la función y 
1
para valores positivos y negativos de x. ¿Qué le ocurre a la
x
función para valores de x alejados de cero (tanto positivos como negativos)?. ¿Y para valores de
x próximos a cero (por la derecha y por la izquierda)?
161
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
La gráfica obtenida para la función y 
1
se llama HIPÉRBOLA EQUILÁTERA y tiene las
x
siguientes propiedades:
1)
Es simétrica respecto del origen de coordenadas (se trata de una función impar).
2)
Presenta un salto infinito en x=0. No es continua en x=0. Es discontinua en x=0.
3)
Dom(f)=R{0}=(, 0) (0, +).
4)
Cuando x tiende a 0 por la derecha, los valores de y son cada vez más grandes y
positivos; mientras que cuando x tiende a 0 por la izquierda, los valores de y son cada
vez más grandes y negativos. Se expresa esto de la siguiente forma:
+
Si x 0 , entonces y +
Si x 0, entonces y 
1
  y
x
x  0
lim
Se escribe:
1
 
x
x  0
lim
Se dice que la recta x=0 (eje de ordenadas) es ASÍNTOTA VERTICAL de la curva.
5)
Para valores de x alejados de 0 y positivos, los valores de y son cada vez más
pequeños y positivos, es decir tienden a 0 por la derecha; mientras que para valores de
x alejados de 0 y negativos, los valores de y son cada vez más pequeños y negativos,
es decir tienden a 0 por la izquierda. Se expresa esto de la siguiente forma:
Si x  +, entonces y  0
+
Si x  , entonces y  0
Se escribe:
lim
x  
1
 0 y
x
lim
x  
1
 0
x
Se dice que la recta y = 0 (eje de abcisas) es ASÍNTOTA HORIZONTAL de la curva.
Una ASÍNTOTA es una recta hacia la cual se acerca más y más la curva (se dice que
la curva "tiende" a la asíntota).
6)
162
Es decreciente en todo su dominio y no tiene máximos ni mínimos.
Funciones racionales e irracionales
b) Utilizando la gráfica de la función y 
3
x5
, dibuja la gráfica de la función y 
. Haz un estudio
x
x2
completo de estas funciones, indicando crecimiento, decrecimiento, asíntotas,…
La división de polinomios
x5
da de cociente 1 y de recto 3. Teniendo en cuenta que
x2
DIVIDENDO = DIVISOR  COCIENTE + RESTO, tenemos que:
x  5  1 x  2   3  y 
x5
3
 1
x2
x2
Por tanto, para dibujar la gráfica hemos de seguir los siguientes pasos:
3
.
x
1)
Dibujar la gráfica de y 
2)
Trasladar la gráfica anterior 2 unidades hacia la derecha, dibujando así la función
y
3
.
x2
3
.
x2
3)
Dibujar la simétrica respecto del eje OX, esto es, y  
4)
Trasladar la gráfica anterior 1 unidad hacia arriba, obteniendo así y  1 
3
x2
163
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
 GRAFICAS
a) Representa gráficamente las siguientes funciones:
b) Representa gráficamente las siguientes funciones:
La gráfica de la función y =
propiedades:
y=
y=
2
;
x
2
+5;
x
y=
6
.
x
y=
5
3 .
x
a
es una curva llamada hipérbola que tiene las siguientes
x
1) No existe para x = 0, es decir su dominio es R-{ 0 }=(, )
2) Para valores de x cercanos a 0 (por la izquierda o por la derecha) los valores de y se
hacen cada vez mayores y positivos (o negativos), lo que se expresa así:
Si x  0+ entonces y  +  (y  -  )
Si x  0- entonces y  -  (y  +  )
Se dice que la recta x = 0 (eje de las y) es asíntota vertical de la curva.
3) Para valores de x alejados de 0 (por la izquierda y por la derecha), los valores de y se
hacen cada vez más cercanos a 0 (por la izquierda o por la derecha); se expresa así:
Si x  +  entonces y  0+ (y  0- )
Si x  -  entonces y  0- (y  0+ )
Se dice que la recta y = 0 (eje de las x) es una asíntota horizontal de la curva.

HIPÉRBOLAS
Para dibujar la gráfica de la función
y=
a
+ c empezamos dibujando la gráfica de
x+b
a
y = . A continuación trasladamos esta gráfica b unidades hacia la izquierda, obteniendo la
x
a
gráfica de y =
. Por último, trasladamos esta segunda gráfica c unidades hacia arriba,
x+b
obteniendo como resultado la gráfica buscada.
El dominio de la función es R  { b}=(, b)(b, )
Representa gráficamente las siguientes funciones:
164
a) y =
1
3
x +2
b) y =
3
+5
x4
Funciones racionales e irracionales
 FUNCIONES HOMOGRAFICAS
Las funciones de la forma
y=
ax + b
cx + d
se llaman funciones homográficas. Antes de
dibujar la gráfica , efectuamos el cociente de polinomios, obteniendo como cociente un
número m y como resto un número n. Teniendo en cuenta que DIVIDENDO=DIVISOR x
COCIENTE + RESTO, podemos escribir:
ax + b = mcx + d + n
de donde:
ax + b
n
=m+
cx + d
cx + d
La gráfica de la función inicial coincide con la de la función y = m +
n
. Para dibujar
cx + d
esta, seguieremos los mismos pasos que en el problema anterior, representando
inicialmente la función y =
hacia la derecha.
n
y trasladándola d unidades hacia la izquierda y m unidades
cx
ax + b
se obtiene hallando los valores de x que
cx + d
d
anulan el denominador, en este caso x = - . Por lo tanto el dominio es R {  d / c }.
c
El dominio de la función homográfica y =
Dibuja las gráficas de las funciones:
a) y =
x +1
x +2
b) y =
3x + 1
x 2
 MÁS HIPÉRBOLAS
Representa gráficamente las siguientes funciones:
a) y =

4
x
b) y = 
4
x
c) y =
4
x-3
d) y =
4
2
x-3
e) y =
3x + 2
x +1
DOMINIO Y ASÍNTOTAS
Para determinar el dominio de una función racional f ( x) =
p( x)
hallaremos los valores
q( x)
de x que anulan el denominador, resolviendo la ecuación q(x) = 0, es decir hallando las
raices del polinomio q(x). Para dichos valores de x la función no está definida.
Asíntotas verticales: Se determinan hallando los valores de x que anulan el denominador.
4
tiene como asíntota vertical la recta de ecuación x = 0 (eje
x
de ordenadas), ya que se cumple: Si x  0+ , entonces y  +  y si x  0- , entonces
y  -.
Por ejemplo, la función y =
Asíntotas horizontales: Se determinan estudiando el comportamiento de la función para
valores de x alejados de 0. La recta de ecuación y = a es una ásíntota horizontal de la
función si: cuando x  +  y cuando x  -  , ocurre que y  a + o bien y  a- . Por
2x
tiene como asíntota horizontal la recta y = 2, ya que si
x +1
x  +  , y  2- y si x  -  , y  2+ .
ejemplo, la función
y=
165
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Asintotas oblícuas: Se determinan también estudiando el comportamiento de la función
para valores de x alejados de 0. Para hallar las asíntotas oblicuas de la función y =
x2
,
x +1
empezamos efectuando la división de polinomios, obteniendo x-1 como cociente y resto 1.
Teniendo en cuenta que DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO, resulta
x 2 = x + 1x - 1 + 1, de donde obtenemos:
y=
x2
1
= x - 1 +
x +1
x +1
Para valores de x alejados de 0, el cociente
1
tiende a 0, de forma que la función se
x +1
comporta como la recta y = x - 1, ya que se acerca a ella cada vez más. Decimos entonces
que la recta de ecuación y = x - 1 es una asíntota oblícua de la curva.
Una función racional no está definida para aquellos valores de x que anulan el denominador.
Por tanto, para hallar el dominio de una función racional hay que obtener las raíces del
denominador. El dominio estará formado por todos los números reales que no sean raíces
del denominador.
Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones. Halla las asíntotas verticales, horizontales y
oblicuas, si tienen:
a) y =
e) y =
i)y =
x2 + 1
x
x
2
x -1
1
3
x -x
b) y =
f) y =
j) y =
x2
x -1
x3
2
x -4
3x 2 - 2
x -3
c) y =
4x
x2 + 4
g) g(x) =
k) p(x) =
5
2
x -4
d) y =
x2
x2 - 1
h) h(x) =
x -1
2
x - 5x + 6
2x + 5
x -3
 EQUILIBRIO
Las funciones de oferta, q = S(p), y demanda, q = D(p), que determinan la cantidad q para un
260000
D(p) =
S(p) = p  20
producto, en función del precio p, son respectivamente:
p
a) Encuentra el precio de equilibrio (cuando la oferta y la demanda se igualan) y el correspondiente
número de unidades demandadas.
b) Dibuja las gráficas en el mismo sistema de ejes cartesianos.
 POBLACION
Se estima que el movimiento de la población de una comunidad urbana obedecerá a la función:
P(t) = 200000 +
50000
, donde t se mide en años y P(t) es el número de habitantes.
t
a) ¿Cuál es el significado de P(0) ?.
b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Es acotada?.
c) Representa gráficamente la función.
166
Funciones racionales e irracionales
 DEMANDA
50
, donde D es el número de artículos
p  10
demandados y p el precio unitario, que siempre es superior a 10 y alcanza, a lo sumo, 30. Dibuja la
gráfica de la función y estudia sus características.
La función de demanda de cierto producto es D(p) = 100 +
 COSTE DE UN ARTICULO
El coste de un determinado artículo varía según el número de unidades fabricadas, de acuerdo con la
siguiente tabla:
o
n unidades fabricadas
precio por unidad
1
60
10
55
20
52
30
50
40
48
50
45
60
39
70
36
Representa gráficamente la relación precio unidad / número de unidades fabricadas.
La variación del precio por unidad, ¿ es directa o inversamente proporcional al número de unidades
fabricadas?.
 CADENA DE MONTAJE
Una empresa dedicada a montajes en cadena ha determinado que la media, M(t), de montajes
realizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrenamiento, de acuerdo con la
función:
M(t) =
50 t
, donde t es el tiempo en días.
t+4
a) ¿Cuántos montajes realizará el primer día?. ¿Y el décimo?. ¿Y el vigésimo?.
b) Traza una gráfica aproximada de M(t).
c) Conforme aumenta la experiencia del trabajador, ¿cómo evoluciona el número medio de
montajes?.

MONTAJES
En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador
sin experiencia depende de los días de entrenamiento según la función: M(t) 
30 t
(t en días).
t4
a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día?. ¿Y el décimo?.
b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes.
c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si nunca acabara el entrenamiento?.
167
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

MEMORIZACIÓN
En una clase de psicología se realizó el siguiente experimento de memorización. A cada estudiante
se le dio una lista de 40 palabras y un día para memorizarlas. Durante 20 días seguidos cada
estudiante escribía todas las palabras de la lista que era capaz de recordar. Se halló la media de
aciertos y se determinó que una buena aproximación de esta media venía dada por la función
R(x) 
5d  30
(d en días).
d
a) ¿Cuántos aciertos se producen el cuarto día? ¿Y el décimo?.
b) Dibuja la gráfica de esta función y estudia sus características.
c) Si el número de días sigue aumentando, ¿qué tendencia se observa en el número de aciertos?.
2. FRACCIONES ALGEBRAICAS

SIMPLIFICA
Una expresión del tipo
f ( x)
, donde f(x) y g(x) son polinomios se llama fracción
g( x)
algebraica. Una fracción algebraica solamente está definida para aquellos valores de x que
no anulan al denominador g(x).
Para simplificar una expresión algebraica se deben utilizar las técnicas conocidas de
polinomios: sacar factor común, suma por diferencia, etc. Además hay que asegurarse que
la simplificación se puede hacer y que no estamos dividiendo entre 0. Veamos dos
ejemplos:


x 4 + x x x3 + 1 x3 + 1
=
=
donde hemos sacado factor común x en el numerador. La
xx + 2 xx + 2 x + 2
simplificación es válida, siempre que x  0.
1)
x 2 - 4 x + 2x - 2
=
= x + 2 donde hemos usado que suma por diferencia es diferencia
x-2
x-2
de cuadrados. La simplificación es válida siempre que x - 2  0, es decir x  2.
2)
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a)
x3 + x
x +1
b)
x2 - 9
x-3
c)
4x + 3
4x + 12
d)
x3 + 8
x+2
 EQUIVALENTES
Dos fracciones algebraicas
r
p r
p
= .
y
son equivalentes si
q s
q s
¿Son equivalentes las fracciones
x -1
x-2
y
x 2 - 2x + 1
x 2 - 3x + 2
?.
Sugerencia: Factoriza previamente el numerador y el denominador de la segunda fracción y
trata de simplificar dicha fracción todo lo que puedas.
168
Funciones racionales e irracionales
 COMUN DENOMINADOR
Reducir dos fracciones algebraicas a común denominador consiste en transformar dichas fracciones
en otras equivalentes que tengan el mismo denominador.
Reduce a común denominador las fracciones:
1
1
1
y
.
,
2
x -1 x +1
x -1
Sugerencia: ¿Por qué expresión has de multiplicar numerador y denominador de cada
fracción para que todas ellas tengan el mismo denominador?. Recuerda que suma por
diferencia es diferencia de cuadrados.

OPERACIONES
Para efectuar sumas y restas combinadas de fracciones algebraicas, es conveniente
reducirlas previamente a común denominador. Después se suman y restan los numeradores
de las fracciones, dejando como denominador el denominador común.
Ejemplo: Reduciendo a común denominador tenemos:
x
5
2x
xx - 3 5x + 3
2x
x 2 - 3x + 5x + 15 - 2x x 2 + 15
+
=
+
=
=
x + 3 x - 3 x2 - 9 x2 - 9
x2 - 9 x2 - 9
x2 - 9
x2 - 9
Efectúa las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:
a)
c)
1 1
1
+ 2 + 3
x x
x
3
4
3
+
x2 - 9 x - 3 x + 3
-
b)
1
1
1
x -1 x +1 x -1
d)
3
2
x -1
+

x x +1 x + 2
2
-
 SIMPLIFICA OTRA VEZ
Simplifica, cuando sea posible, las siguientes fracciones algebraicas:
a)
3x 2 - 15x + 18
3x - 9
b)
x 2 - 4x - 21
2x + 6
Sugerencia: Factoriza previamente numerador y denominador de cada fracción.

PRODUCTOS Y COCIENTES
Para multiplicar dos fracciones algebraicas,
denominadores respectivos. Así:
p r pr
 =
.
q s qs
Para dividir dos fracciones algebraicas,
del divisor. Así:
p r
, , basta multiplicar los numeradores y los
q s
p r p s ps
: =  =
.
q s q r qr
p r
, , basta multiplicar el dividendo por el inverso
q s
169
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
a) Multiplica
c) Divide

x 2 + 3x
x 2 + 5x + 6
x+2
.
x +1
por
b) Multiplica
x-2
x2 - 4
entre
.
x +1
x2 - 1
2
x 2 - 5x - 24
por
.
8-x
x+3
x +1
x2 - 1
entre
.
x+2
x2 - 4
d) Divide
SIMPLIFICA
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
x  x - y 
a)
y  y - x 
d)

x2  x - 2
b) 2
x  4x  3
3a - 3b
2b 2  2a 2
e)
2a 2  5a - 12
c)
16 - a 2
x2  x
x 3  2x 2  x
f)
b  b2
a  ab
d)
xy x-y
:
x
3x 2
OPERACIONES
Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:
a)

4
x

x-2 x-2
2a
a -1

a 1
a
c)
2
x

x  1 x -1
b)
1
1
:
x  1 x -1
c)
y2
x
:
3x y - 2
b)
1  1

5   : 2 - 
x  x

b)
DIVISIONES
Efectúa las siguientes divisiones:
a)

x 2x
:
2 5
MÁS OPERACIONES
Opera y simplifica:
a)
1
1
:
2
x  y x -1
2
c)
xy - x ay - a
: 2
y
y
3. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
 A TROZOS
a) Representa gráficamente las funciones
f(x) x 3
comportamiento en las cercanías del punto x=2.
170
y

x, si x  2
g(x)   2

x , si x  2
y estudia su
Funciones racionales e irracionales
Se observa que la función g(x) presenta un salto en el punto x=2, a diferencia de lo que
ocurre con la función f(x) cuya gráfica no presenta saltos. Utilizando la calculadora,
completa la tabla siguiente:
x
f(x)
g(x)
1'9
1'99
1'999
1'9999
2
2'0001
2'001
2'01
2'1
En la función f(x) cuando x tiende a 2, bien por la izquierda o bien por la derecha, los valores
de y tienden al valor que toma la función cuando x=2.
Se dice entonces que dicha función es continua en x=2. En realidad es continua para todos
los valores de x.
En cambio, en la gráfica de g(x), cuando x tiende a 2 por la izquierda, los valores de y
tienden a 2, mientras que cuando x tiende a 2 por la derecha, los valores de y tienden a 4.
Por lo tanto, la función g(x) no es continua en x=2.
En general, una función y=f(x) es CONTINUA en x=a, si cuando x tiende a a, bien por la
izquierda o bien por la derecha, f(x) tiende a f(a). En caso contrario, se dice que f(x) es
DISCONTINUA en x=a.
b) Representa gráficamente las siguientes funciones y estudia en qué puntos son continuas y en
qué puntos son discontinuas:
x, si x  0
 x, si x  0
si 0  x  1
2x,
2  x, si 1  x  2
1) y=x= valor absoluto de x = 
2) y  

x  4, si x  3
3) y   2

si x  3
x ,
1,

4) y  x,
1,

si x  1
si  1  x  1
si x  1
171
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
 TROZOS
Dibuja la gráfica de la siguiente función, estudiando su continuidad y crecimiento:
si x  0
0,

F(x) =  x
, si x > 0

 x +1
 MÁS TROZOS
Escribe la fórmula de la siguiente función, sabiendo que el lado curvo corresponde a una función
polinómica de segundo grado que tiene un mínimo en el punto (0, 1). ¿Es continua?.
 EL TELÉFONO
Para que comience a funcionar un teléfono público se necesita una moneda de 10 céntimos; al cabo
de tres minutos, para continuar la comunicación, se tiene que introducir otra moneda de 10 céntimos
que permite hablar durante los tres minutos siguientes, y así sucesivamente.
Haz una gráfica que nos permita ver cómo varía el precio de una llamada telefónica (Y) según su
duración (X). ¿Es continua?.
 GASTO MENSUAL
En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio, G(x), en decenas de euros, está relacionado
con sus ingresos mensuales, x, en decenas de euros, a través de la siguiente función:
0'02 x - 1, si 0  x  100

G(x) =  30x
, si 100 < x

 2x + 2300
a) Estudia la discontinuidad del gasto. ¿El gasto en ocio de una familia es sensiblemente distinto si
sus ingresos son “ligeramente” inferiores o superiores a los 1000 euros ?.
b) Justifica que el gasto en ocio es siempre creciente con los ingresos.
c) Justifica que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a los 150 euros.
172
Funciones racionales e irracionales
 LÍMITES
Dada una función y=f(x), decimos que el límite de dicha función cuando x tiende a a es el
número L si se cumple que:
Si xa , entonces yL, lo que se escribe así: lim f(x) L
+
xa

Si xa , entonces yL, lo que se escribe así: lim f(x) L
xa
Se escribe: lim f(x) L
xa
Para que exista el límite es necesario y suficiente que existan los dos límites laterales y que
sean iguales a L. Es decir, debe cumplirse:
lim f(x) L = lim f(x)
xa
xa
Si alguno de los límites laterales no existe, o son diferentes, entonces el límite no existe.
Puede ocurrir que a sea + o  y también puede ocurrir que L sea + o .
1) Dada la función y=f(x) cuya gráfica es la de la figura adjunta, calcula los siguientes límites:
a) lim f(x)
x
b) lim f(x)
x  2
c) lim f(x)
x 0
d) lim f(x)
x2
173
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
2) Esta es la gráfica de una función y=f(x). Calcula estos límites:
a)
lim f(x)
x  
b) lim f(x)
x  2
c) lim f(x)
x 0
d) lim f(x)
x2
e)
lim f(x)
x  
 TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Una función y=f(x) es continua en x=a si cuando x tiende a a, la función f(x) tiende a f(a), es
decir, si existe lim f(x) y se cumple lim f(x)  f(a)
xa
xa
Si una función es discontinua, puede presentar discontinuidades de distinto tipo:
a) Discontinuidad evitable: existe lim f(x) pero no coincide con f(a).
xa
b) Discontinuidad de primera especie o finita: los límites laterales existen, son finitos, pero
son distintos. La función presenta un salto finito.
c) Discontinuidad de segunda especie o infinita: alguno de los límites laterales es infinito y
la función presenta un salto infinito.
174
Funciones racionales e irracionales
 TRES TROZOS
Observando la gráfica, justifica los siguientes apartados:
a) Tipo de discontinuidad en x=2 y en x=4.
b) ¿Existe un a tal que lim f(x)   ?.
x a
xa
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.
 A TROZOS
Representa gráficamente la siguiente función, estudiando su continuidad y crecimiento:

x 2 + 1, si x  0
G(x) = 

si x < 0
x - 1,
 ENTRE 0 Y 3
Estudia en el intervalo (0, 3) la continuidad de la siguiente función:
x 2 , si 0 < x < 1

f(x)= 0,
si 1  x < 2
x - 1, si 2  x < 3

 PRECIOS
Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes
datos:
a 1 euro el kg
a 0,90 euros el kg
a 0,75 euros el kg
a 0,55 euros el kg
si
si
si
si
0  x<5,
5  x<10,
10  x<20,
20  x,
donde x es el peso en kg. Escribe la fórmula de la correspondiente función, represéntala gráficamente
y estudia su continuidad.
175
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
 TRES TROZOS
Representa gráficamente las siguientes funciones:
x + 2, si x  -1

f(x)= - x,
si - 1  x  1
3x - 4, si 1 < x

si x < 0
x - 2,

g(x) = 3x - 2,
si 0  x < 2
- 2x + 8, si 2  x

 DESCUENTOS
Un establecimiento comercial ofrece a sus clientes los siguientes descuentos: del 10 por 100 para
compras de hasta cien euros; del 15 por 100 para compras superiores a esa cifra, hasta doscientos
euros; del 20 por 100 para compras superiores a doscientos euros. Escribe la función
correspondiente, dibuja la gráfica y estudia su continuidad.
 MUROS
Los muros de las viviendas de una determinada urbanización se han construido con tres
revestimientos aislantes dispuestos de la siguiente forma:
Interior
vivienda
Muro 10 cm.
de aislante A
Muro 10 cm.
de aislante B
Muro 10 cm.
de aislante C
Exterior vivienda
al aire libre
Para un determinado instante de tiempo con una temperatura exterior de 5 grados centígrados la
siguiente función, f(x), describe la temperatura en un punto del muro situado a una distancia x cm. del
interior de la vivienda.
 0,8x + 22, si 0  x  10 cm

f(x)=  0,4x + 18, si 10 < x  20 cm
 0,5x + 20, si 20 < x  30 cm

a) Representa gráficamente la función f(x).
b) ¿Qué material aislante soporta mayor cambio de temperatura entre sus extremos?. ¿Por qué?.
 VENTA DE CAFE
Un comerciante vende café de acuerdo con la siguiente tabla de precios:
a) Para cantidades inferiores a 3 Kg, el precio es de 7 euros por kilogramo.
b) Para cantidades superiores a las anteriores, pero sin llegar a los 10 Kg, el precio es de 6 euros por
kilogramo
c) Para cantidades superiores a estas últimas, con una limitación superior de 50 Kg, el precio es de 5
euros por kilogramo.
Construye la función que nos da la cantidad a pagar por la compra de café, tomando como variable el
peso de café comprado. Representa gráficamente dicha función y estudia su continuidad.
176
Funciones racionales e irracionales
4. FUNCIONES RAÍZ
 RECTANGULO
En un rectángulo de base x y de altura 6 cm, ¿cuál es la expresión que relaciona la diagonal con la
base?. Dibuja la gráfica de esta función.
 RECTANGULO INSCRITO
En una circunferencia de radio 10 m se inscribe un rectángulo.
Expresa el área del rectángulo en función del lado x de la base.
Intenta dibujar la gráfica de dicha función. ¿Cuál es su dominio?.
 CUADRADO Y RAIZ
Dibuja en los mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones f(x)= x 2
¿Qué relación existe entre ambas gráficas?.
y
g(x) = x .
 MAS DOMINIOS
Para hallar el dominio de una función raíz f ( x) = g(x) hay que obtener los valores de x
para los que el radicando es positivo o nulo, g(x)0.
Halla los dominios de las siguientes funciones:
a) f(x) =
d) y =
g) y =
1
1+x
2
x
x 2 - 3x + 2
1
x2 - 1
b) y = 5 - 2x
e) m(x) =
x +1
x
2
h) y = x 3 - 2x 2 - 3x
c) y = 1 - 1 - x2
f) n(x) =
i)y =
1
x
x2  1
x 2 + 4x - 5
 DOS GRAFICAS
Da toda la información posible de las siguientes funciones. Represéntalas gráficamente.
a) f(x)=
x
x-2
b) f(x)= + 9 - x 2
177
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
5. ECUACIONES IRRACIONALES

DOMINIO Y ASÍNTOTAS
1) Halla el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones: a) y 
2x 2
x 1
b) y 
x 1
.
x 1
2) Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de la función: y  2x  3  x  7  4 .
Llamamos ecuación irracional a la que tiene una incógnita bajo un signo radical.
Consideraremos sólo las ecuaciones irracionales con radicales de indice 2. Distinguimos
dos casos:
1) Si la ecuación irracional tiene un sólo radical, se aísla éste en un miembro y luego se
elevan al cuadrado los dos miembros de esta ecuación. Las soluciones obtenidas se
sustituyen en la ecuación primitiva, con el objetivo de econtrar la solución verdadera.
2) Si la ecuación irracional tiene dos radicales, se aísla uno de ellos en un miembro y se
eleva al cuadrado. De esta forma, haciendo operaciones, obtenemos una ecuación
irracional con un sólo radical y procedemos como en el caso anterior.

PENDULO
1)
Representa gráficamente la función T  2 L que da el periodo T de un péndulo en función de su
longitud L. ¿Es una función creciente o decreciente?. ¿Qué ocurre si L tiende a +oo?. ¿Tiene
asíntotas?.
2)
Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de la función y 

x  x  3 1 .
PUNTOS DE CORTE
Halla los puntos de corte de la siguientes funciones con los ejes coordenados:
a) y  2x - 3  1  x
b) y  x + 1  4  2x
c) y  2x  3 
d) y  x  x  3  1
e) y 
178
x+7  4
x 2  9 6  x 99


4
5
60
f) y  x  2  x