PDF (Parte 1) - Universidad Nacional de Colombia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MA NIZA LES
FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
Bernardo
Acevedo
Profesor
Manizales,
Frías
Asociado
Junio 1994
I.S.B.N. 958-9322-16-6
Autor
Bernardo Acevedo Frías
Matemático
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales.
Revisado p o r
Profesor Femando Pío Betancourt López, Ing. Electricista
Profesor Ornar Evelio Ospina Arteaga, Matemático, Ms. Se
Impreso por:
Centro de Publicaciones
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
Junio de 1994
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTRODUCCION
El presente texto ha sido elaborado para q u e sirva de apoyo didáctico en
el curso de matemáticas II q u e se dicta en la facultad d e Ciencias y
Administración en la Universidad Nacional seccional Manizales.
En la primera parte se definen los diversos tipos d e Integrales Impropias,
sus criterios d e convergencia y en la s e g u n d a parte se tratan las funciones
Eulerianas G a m m a y Beta, con una b u e n a cantidad de ejemplos resueltos y
propuestos para q u e sirvan de a p o y o a c o m p r e n d e r y clarificarlos aspectos
teóricos.
B e r n a r d o A c e v e d o Frias
(profesor asociado)
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
1. INTEGRALES
IMPROPIAS
b
En
el
estudio
de
la
integral
definida
J f ( x ) dx
se
ha
a
sobrentendido,
1. Los
ahora
que :
límites de integración
2 . La f u n c i ó n
Si
hasta
son n ú m e r o s
f(x) es continua
f es d i s c o n t i n u a
e n el
debe ser acotada
finitos.
intervalo
en e s t e
[a,b].
intervalo.
C u a n d o se e l i m i n a una de e s t a s dos c o n d i c i o n e s , se d i c e
la
integral
resultante
es una
integral
impropia;
en
que
otras
b
palabras,
Jf(x)dx;
la i n t e g r a l
se d i c e
impropia
si:
a
1 . a = -°° ó £ > = + <»; ó
2 . f(x) no es acotada
ambos.
en uno o m á s p u n t o s de
[a,b].
b
Cuando
en la i n t e g r a l
J f (x) dx-,
f continua;
a=-«>, ó b=+<»
a
ó
ambos;
impropias
a éste tipo
de primera
de integrales
se l l a m a r á n
integrales
especie.
b
Si
en
la
integral
Jf(x)
dx,
a
1
f ( x ) no es a c o t a d a
en
uno
o
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
más puntos de
[ a , b ] , s e d i c e q u e la i n t e g r a l
J £ ( x ) dx,
una integral impropia de segunda especie. Y si la integral f f(x)
presenta
integral
las
dos
impropia
condiciones
de tercera
anteriores,
es
dx
se
llamará
x d x
'> son
especie.
Ejemplos.
oo
0
2
Jcosx dx
;
oo
oo
x
fsenxdx
¡ Je~ dx
;
f
-oo
integrales
Las
impropias de primera
,
integrales
integrales
-OO
10
r dx
/
J-1 x
especie.
10
;
r
dx —/ —
——
J-5 (x-1) (x-5)
impropias de segunda
16
r dx
J x-1
;
/
son
especie.
oo
Y
las
integrales
integrales
f
;
J-1 X
f
Jo
^
(X-1)
impropias de tercera
S e h a r á un e s t u d i o d e t a l l a d o
(x-2)
;
f
J
;
y ^ T
especie.
de cada una de
ellas
Son
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
1.1
Sea
INTEGRALES
f (x)
[a,b].
IMPROPIAS
acotada
e
DE P R I M E R A
integrable
en
un
ESPECIE.
intervalo
cerrado
Se defi ne :
00
b
ffix) dx = limffix)
a
a
dx
00
La i n t e g r a l
f fix)
dx
J
s e d i c e c o n v e r g e n t e si l i m / fix)
dx
¿>„00 Ja
00
existe;
en
caso
contrario
la
integral
Jfix)dx
se
d
i c e
di v e r g e n t e .
b
Cuando
limi f (x) dx = AG®.
; se
dice
q u e el
0
b-*°a
00
integral
f f (x) dx
En f o r m a
análoga
b
=
A
se d e f i n e
la
integral
b
f fix) dx = lim í fix) dx,
valor
de
la
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejemplo
1.
oo
Mostrar
que J e
X
d x
es c o n v e r g e n t e
y hallar
su
valor,
o
Solución.
oo
x
= lim fe Xdx =- lim-e
fexdx
J
lim (l-e"b)
=
1
¿>-00 ~
00
Luego
la i n t e g r a l
Je
X
d x
c o n v e r g e y su v a l o r
es
1.
o
Ejemplo
2.
00
M o s t r a r q u e la i n t e g r a l
f —
l
e
x
s
convergente y hallar
e +l
val o r .
Soluci ón.
x
e +l
J
= l i m f-ÊL.
bh-oo«l
e +l
limf (i—^-)dx
x
-coJ
b
e +l)
= lim f (e*+l-e*)dx
x
h-00 ¿
b^oo
4
x
e +l
[x-ln(e*+l)]
-
su
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
lim [jb-ln(e ¿ +l) +ln2] = lim
+
= ln2
oo
cbc
fI —!±2_
¿X
x
l e +l
Y a s;í
í
es
convergente
OO
y
Ejemplo
=
ln2 •
3.
oo
/
i
dx
x(x+l)
es c o n v e r g e n t e
y hallar
su
valor
Soluci ón.
b
00
f
1
X (X + 1 )
= lim f
= lim f ( x + l - x >
x
¿.oo { X ( x + 1 )
limfí-- —W
¿>
oo
.oo-í1 \ X
l ™
=1Ím
{
X (x+1}
r
11
X+1./
lim (liib-ln (¿>+1 ) +ln(2) ) = l i m lnl-A_) + in2 = l n 2
5
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
oo
y asi
luego es
f
J x(x+l)
=
ln2;
convergente.
Ejemplo
4.
o
Mostrar
que
x
j e
d x
es c o n v e r g e n t e
y hallar
su
valor.
-00
Soluci ón.
0
x
f e dx
J
-oo
luego
^ ^J
oo
a.
aa
J Bxdx
la
Ejemplo
(exdx
=üm
e
s
=üme
aa —
0 0
convergente
x
,o
a
=lim(l-ea) = 1
a—00
y su v a l o r
es 1
5.
00
dx
/
p < 1 , si
X
p
e s c o n v e r g e n t e p a r a p>1 y d i v e r g e n t e
a>0.
Soluci ón.
6
para
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
00
c
p
f dx =lim fx~ dx
J VP
h^ooJ
X"p+1
=
x
1
-a -?
1 -p
+ 00
Y si
p=1
se tiene
= lim
P
SI
p> 1
si
p< 1
1 -P
que
b
f&£
J vP
[dx
h-00*' x
=1±m
=
i
i m
\b
lnx
= +00
lim(lnb-lna)
a
00
de
aquí
las
integrales;
f dx
J —
°°
son
1
.
f
/
J
y las i n t e g r a l e s
dx
^^
j
fx dx;
| xdx;
-t
divergentes
00
2
,
x2
2
,J 3
X
2
f dx
5
son
j" f(x)dx
se
,J
JI
convergentes.
D e f i ni ci ó n .
00
Si f ( x ) e s c o n t i n u a p a r a t o d o x , la i n t e g r a l
-00
7
INTEGRALES IMPROPIAS
define
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
por:
oo
oo
a
f f(x) dx = f f(x) dx + f f(x) dx,
- oo
siendo
_ oo
a cualquier
número
a
real.
00
a
Si
ambas
entonces
integrales
la
integral
J" f(x)dx
J" f(x)dx
y J f (x) dx
converge
y si
convergen
cualquiera
00
efe las integ-ales J f(x)
dx
y
j f {x) dx
diverge hiüjus J" f (x)
dx
00
diverge.
Si
j" f {x) dx
- A
y
00
J f(x) dx = A + B
-00
Ejemplo
1.
8
J f (x) dx
= B>
entonces
INTEGRALES IMPROPIAS
Mostrar
/
que
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
dx
x +l
es convergente y hallar
2
.00
su
Solución.
00
f dx
2
-S00 x + l
lim
=
r dx
2
+l
—J00 x
X +1
lim Arctanx
a
lim O-Arctan(a)
r dx
Ju X2 +1
+
+ üm
f 2
=
J x +l
¿-.00
+ lim Arctanx
£-.-00
+lim Are tan(b)
, - - 0 0
00
HHf)il u e g o 1r — ^
X
-
Ejemplo
2
+ l
es c o n v e r g e n t e
00
2.
9
y su v a l o r
e s ti,
valor.
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
oo
Mostrar que
j xdx
es
divergente.
_ oo
Solución.
oo
o
J" xdx
oo
= j" xdx + £xdx;
-00
Como
la
J xdx
integral
es
-00
divergente
ya
que
b
lim
i xdx
lim
* - lim
. —
b2
0
2
X'
A
se p u e d e c o n c l u i r
+ OO;
b~ oo
que:
oo
J* xdx
diverge.
oo
Nota
xdx
/
definición
= l i m I xdx
í-.
«J
¿-.00
= 0
requiere
de
la
di f e r e n t e s .
Observación
es
incorrecta,
pues
1
*
1.
10
evaluación
de
2
limites
INTEGRALES IMPROPIAS
Las
integrales
del
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
J f{x)dx
tipo
-
pueden
reducirse
a
oo
oo
integrales
impropias de
cambio de variable
En
Jhix)
la f o r m a
dx>
si
s e h a c e el
u=-x.
efecto:
^
o
J* f(x) dx = l i m j f(x) dx =
-a
oo
l i m f f(-u) du = f f(-u) du
Ejemplo
1.
o
Mostrar
que
r
J
la
I —
-
dx
x2+l
es
convergente,
oo
Solución.
Sea
u = - x ; d u = - d x y asi
o
dx
f - 2f ^
J X +l
= lim f2
^coJx
+l
11
=limf—gH_ =
U +1
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
oo
a
lim
a -»Q
que es
2
2
u +l
J u +1
convergente.
Ejemplo
2.
-i
Mostrar
que
J " e x d x
la
es
convergente
Soluci ón.
-i
-i
x
=lim-f e'udu =
= lim f e dx
f e dx
J
(siendo
i
x
a oo
u=-x y
OO
^
du=-dx)
oo
i
a
l i m - f e~udu
=lim f e~udu
= fe'udu
a
{
= f/ e~xdx
que es
i
convergente ;
-i
luego
Observación
Si
f(x)
es
J O
x
d x
es
convergent«
2.
continua
en
[a,b),
12
pero
no
acotada
en
[a,b);
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
b
entonces
la i n t e g r a l
especiejf(x)dx
impropia de segunda
a
p u e d e r e d u c i r s e a una integral
mediante
En
impropia de primera
el c a m b i o d e v a r i a b l e
U=
especie,
^
b-x
efecto:
i>
f f(x) dx = lim f f(x) dx =
J
c
-
b~
a
-é-
1\ du
b-c
2
b-a.
Si
f ( x ) es c o n t i n u a
b-a
en
(a,b],pero
no a c o t a d a
en
(a,b],
la
b
integral
i m p r o p i a J f(x)
impropia
de p r i m e r a
En
dx
especie
se p u e d e r e d u c i r a una
haciendo
U-
integral
(x-a) '
efecto:
i
b
b
b-a
fía+-\—u
íf(x) dx = lim íf(x) dx = lim - f
i
i
13
'
U
'
U
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
-ic-a
oo
1\ du
2
b-a
Como
todo
tipo
de
à-a
integral
impropia
puede,
cambio de variable adecuado, transformarse
impropia
todos
de
primera
especie,
los resultados
para
se
este
mediante
en u n a
enunciarán
y
se
un
integral
probarán
caso.
TEOREMA.
oo
Si
f(x)
y
g(x)
entán
acotadas
en
[a,+®)
y
jf(x)dx
oo
/ST(X) d x
convergen
ambas,
entonces:
OO
i )* J (f(x)
oo
±g(x)
) dx
converge
y
OO
OO
f (f(x)±çr(x)) dx =ff(x)
14
±
f&(x)dx-
y
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
oo
i i)
jcf[x) dx
converge
y
oo
jcfix) dx =cjf(x)
dx
Demostración.
b
Como
jf(x)
para
dx
todo
±
dx;
) j (f(x) ±g{x) ) dx
b e [a ,+
se t i e n e
que:
¡j
^
l i m f (f (x) ±g(x) ) dx = lim íf(x) dx ±
b
oo
oo
limjgr(x) dx = jf(x) dx
± jgr(x) dx
oo
y
asi
jfix)
± g(x) dx
15
converge
y
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
oo
oo
fif(x)
Además
oo
± g(x)) dx = Jf{x) dx
± fg(x)
dx
como:
lim ícf(x) dx =limclf(x) dx
b~°o{
b-oo {
clim íf{x) dx = cff(x)
dx
a
oo
se t i e n e que
J
cf(x)
dx
converge
y
OO
J
cf(x) dx = cf f(x) dx-
Ejemplo 1
Se sabe que
i)
f-^S
ji
x
y
ÍJ^
J -y 3
"i
son c o n v e r g e n t e s ,
*
/ / _ 2L + _ L \ c Í X ' e s c o n v e r g e n t e
J U
w
16
y
entonces
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
OO
/(•?*$*<
- í m
L-JLjçlx es
ii)
b
-
00
^
+
¡ m
convergente
- h ) -
y
h)<*
OO
i i i ) j'^JLjcfx e s c o n v e r g e n t e
OO
y
OO
dx
3
I ?'*!
NOTA.
OO
La
integral
00
/— —
J xix+l)
1
OO
00
f —HZ- = [(--—-)dx
J x(x+l)
1
1
es c o n v e r g e n t e ,
J \x
X+lJ
*
J
sin
embargo
OO
X
- fj*;
1
17
J X*1
1
00
pues 1 a
OO
f—
J
X
y
f JËL
J x+1
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
son
divergentes;
para
darse
integrales convergentes;
la
como
igualdad
lo d i c e el
deben
Si
las
integrales
f (x)
y
g(x)
tienen
derivadas
continuas
en
[a,+®);
be[a,+®).
ff(x)af(x)dx=f(xi
a
- | j f ; ( x ) g ( x ) dx.
a
a
se s a b e q u e d o s de
Tos tres
"limites:
b
b
l i m íf{b)g(b)
-f (a) g(a) ]
jb-<»
existen,
entonces
t a m b i é n exi s t e y
co
Ej e m p i o
evaluación
impropias.
entonces, para todo
Si
ambas
teorema.
La i n t e g r a c i ó n p o r p a r t e s es a m e n u d o ú t i l en la
de
ser
1.
<x>
Calcular
xe ~
x
d x
o
18
el
tercero
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
Solución.
/
x
; f'{x) =1 ; g (x) =e"x ; g(x) = -e~ ,
Sea f(x)=x
oo
1 u e g o f xe
X
J
d x
x
= l i m f xe
^^coJ
h~oo
o
dx
lim-e
=
x
e
0
¿>-«>
+
fe
X
J
x
J b - o o
Ejemplo
2.
oo
Calcular
J e'xCos(x)
di-
solución.
oo
Se sabe que
x
Je~ Cos
(x) dx =
oo
luego
J e
x
COS(x) dx
e '-"S'en (x) -e A'Cos (x>
0*
e x(Sen(x) -Cos(x) )
=
iJb
'0
¿ - o o
lim e^íse^íi?) -Cos(b) ) + — = —
2
oo
19
2
d x
=
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
En a l g u n a s o p o r t u n i d a d e s
dada
converge
converge
o
no,
y es por
algunos criterios
1.2 C R I T E R I O S
1.2.1
Si
DE
importarnos
que
ahora
nos
el
valor
dedicaremos
integral
a
a
donde
mirar
corvergencia.
CONVERGENCIA
Criterio de
f(x) y g(x)
sin
esto
de
s e n e c e s i t a s a b e r si u n a
comparación.
son c o n t i n u a s
en
[a,+®) y 0<f(x)<g(x)
para
t o d o x e [ a , +00) y si :
00
i)
Si
j" Cf(x) dx
converge;
entonces
/
converge
00
00
i i ) Si
Jflx) dx
(x) d x
diverge;
entonces
jVu> d x
diverge,
Demostración.
b
i ) Sea
b
F(b) = jf (x) dx
y
G(b) = J g(x) dx;
a
a
c o m o f ( x ) y g ( x ) son c o n t i n u a s y f ( x ) > 0 y g ( x ) > 0 ; F y G son
crecientes
y
para
todo
20
be[a,+°°)
se
tiene
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
oo
OzF[b) <.G(b) zfgr(x) dxi
, «
.
acotada
lim F
entonces
¿,- o_o
así
existe
F es
una
monótona
y
l i m F = Sup { F(x) | X€ [a, + oo]}
jb -
función
^.
00
b
limF(¿>)
l i m f f(x)
h - 00'J
b-00
00
dx
= íf(x)
+ 00
i i ) Si
+
J g{x)
dx
converge, entonces
a
existe
00
J* f(x)
dx
converge;
a
esto contradice
Ej e m p l o
dx
J
la
hipótesis.
1.
00
Mostrar
que
1 —
es
J x2 +i
1
convergente.
Soluci ón.
00
Se
sabe
que
1
1
— r2
^ — r2
X +l
X
COTI X>1;
21
y
como
f
J x2
es
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
00
convergente,
se
tiene
que
I -JÈL-
es
convergente
ya
que
2
J
x *l
1
oo
dx
/
1
2
x
+l
Ejemplo
/ x
*
1
2
'
2.
oo
Mostrar
que
I —ÉL. e s
convergente.
x2*l
J
0
Soluci ón.
oo
f
J
OO
2
X
2
+1
0
= f - *2 L
J x +l
+
2
f
J
;
e
oo
/
0
f
J x¿*x
0
2
{
la
x2*l
es
^
un
número
y
+ 1
2
convergente,
convergente;
oo
í
J
s
¿
2
x +l
oo
/
J
2
y
X
2
luego
oo
dx
í
Ejemplo
es
convergente.
o
3.
22
pues
asi
(ix
f
J
X
2
es
+1
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
o©
Mostrar
qiue
ue
If JlííÍíL dx
l n ( x )
J
3
es
5
x +l
convergente.
Soluci ón.
oo
ln(x) <>X y
así
es c o n v e r g e n t e
o©
fj^Ldx
J X +l
fiHÍñLdx £
J
y
X
5
00
Z f—dx
J X
S
5
+l
oo
= f
J
que
X
4
así
oo
f
J
Ejemplo
4,
Mostrar
q| uu ee
(X)
l n (x)
x5 +l
dx
e s
convergente.
/
x_ax
/ x20*-Sen2 (x) + l n 2 (x) +2
1
e s
c o n
vergente.
Soluci ón.
X~
x
2 ü
^
^Sen U)tln (x)+2
2
2
•'
x
(*
I
y 3S1
20
J
X
2J
^ CLK
20
+Sen
oo
convergente,
ya q u e
J -ÉL
l
X
converge
1 3
23
y
2
(x)+ln2 (x)+2
qg
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
00
/
oo
2
20
x dx
2
(x) +ln (x) +2
2
x +Sen
Ejemplo
dx
f
V1S
5.
co
Mostrar
que
/
ÉL
es
ln 2 (x+1 ) +x 4
J 2 +e
convergente
O
Soluci ón.
OO
00
r
J
dx
x
2
^
2+e +ln
r
J
4
(x+1) +x
O
dx q u e e s c o n v e r g e n t e y a s i
O
oo
í
Ejemplo
6.
Mostrar
que
dx
es
2+e +ln (x+1) +x4
x
O
j" e
x ¿
2
dx
es
convergente.
convergente.
o
Solución.
«o
1
x2
fe' dx
o
OO
x2
=J e~ dx
O
-L
X¿
oo
x2
+ Je- dx
< f e~ dx
1
O
24
Je~xdx
+
1
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
OO
y
así
1
2
Je
* dx
es convergente;
ya q u e
oo
J e
x
dx
X
YJ e
d x
convergen.
Ejemplo
7.
Mostrar
que
dx —
J3 ln (x)
(
es
divergente
Soluci ón.
oo
oo
dx
l
es d i v e r g e n t e ,
l
ï
ï
^
»
¡
se c o n c l u y e
J
oo
^ f dx.
<
*
r dx
-
/
x
que
oo
J _
divergente.
ln(x)
3
Ejemplo
, es
8,
oo
Mostrar
que
í x? 1— d x
j V u 6 +16)
es
divergente.
Soluci ón
oo
I
—
K¿
1
—dx
.
,.
es d i v e r g e n t e ;
pues
2
25
-v^O
para-^^2
x
- £
(x +16)
—
INTEGRALES IMPROPIAS
y como
I—
J 2x
diverge
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
entonces
2
/ V(x +16)
x ¿
1
6
—dx
diverge.
2
1 . 2 . 2 . C r i t e r i o de la condición necesaria.
Si
f(x)
. .
existe,
para
es
continua
.
entonces
para
f(x)
lim
x- 00
la c o n v e r g e n c i a
todo
de
J
=
f(x)
x
en
lim f(x)
[a,+»)
y • oo
. ,
0
es una c o n d i c i o n
necesaria
dx •
D e m o s t r a c i ón
_b 1 . l i m
x_oo
N>a
tal
f (x) = L *
que
f(x)
>
0
•
S l
L >
para
0í
entonces
todo
b>x^>N .
26
x>N.
existe
Para
un
todo
número
X l
,b
con
INTEGRALES IMPROPIAS
¡^
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
u
f fix) dx > J
i.
Como
±dx=j^ib-x1)
L ib~â)
J-ini
00
£> -
rtrt
co
c
i fix)
J
dx
" 1
Ahora
diverge
J->
J
f(x)
de modo que
dx
+f
f (x) dx
l i m f f ix) dx
jb - 0 0
= J
= +
0 0
fix)
implica
lim f fix) dx = +
a
la p r u e b a
Por
para
lo t a n t o
L<0 es
s i , L*0
análoga.
entonces
oo
J
Ej e m p i o
fix)
dx
1.
27
dx
diverge.
que
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
j
J
|i + j . y d x
Ejemplo
diverge;
ya
i\x
que
= e *0
2.
oo
f — d x
i diverge;
J X+1
l l I T l
ya q u e
\
2
Ejemplo
f ^ T )
'
"
1
*
0
3.
oo
( Sen(x2)
dx
converge
y
^
no
o
(Ejercicio) .
Ejemplo
4.
oo
r
. , ,
/ Sen{x) dx
diverge y
limSerKx)
^
œ
o
Ejemplo
5.
00
f J ^
J
X
diverge
y
l
i
m
~CQ
=
0
X
28
no
. .
existe.
existe
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejemplo
f É*
i
x2
6.
converge y
lÍm[-^-l =
0
Nota.
o©
Observe
que
implica
la
convergencia
que
Jf(x)dx>
de
Puede suceder
n
que
o
siempre
lim f ( x )
no
oo
existe
, ,
r
y
i f \x) dx
converge
o
no;
oo
existe
y
r
ff(x)dx
1.2.3. Criterio
converge;
d e p a s o al
i ) Si
a ( x )
- C>
x
0
0
limite.
[a,+®) y
f(x)¿0
si:
0
y
. limf(x)
si
lim-f(x) = 0
entonces
Si f ( x ) y g ( x ) s o n c o n t i n u a s en
para todo xe[a,+®) y
pero
J
g ( x ) dx
29
converge
y
g(x)>0
I N T E G R A L E S IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
co
entonces
f f (x) dx
converge,
a
ii)
-, . f (x)
Si
_
~
oo
donde
c>0
ó
c=+®
yj
c
, x
dx
g{x)
oo
diverge;
entonces
Este criterio
f ( x )
Si
1 -j m
J--1-111
i)
Ambas
J
f(x) dx
diverge
se p u e d e g e n e r a l i z a r
=
r
entonces
integrales
ambas divergen
J
un p o c o
más:
:
f (x) dx
; f
g{x)
dx
conver
gen
o
si c * 0
oo
ii)
Si
c=0
la
convergencia
de
J
a
oo
convergencia
de
J
f(x)
dx
30
g(x) d x
implica
la
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
oo
iii)
Si
c =+®,
divergencia
la
de J
divergencia
de
J
g (x) dx
implica
la
f (x) dx •
Demostración
S e d a r á la p r u e b a s o l a m e n t e p a r a el c a s o c > 0 , l o s d e m á s
son
análogos.
Si
lim
f(x) _
C
-oo
'
u n
existe
número
N>a
tal
que
para
todo
x
^ c< f\X\
2
Ú^-C
g{X)
2
Ó
^cg(x)
2
íf(x) <,~cg(x)
2
x>N.
oo
Si
I g(x)
oo
dx
converge
entonces
a
J — cg{x)
N
oo
dx
converge
y
^
oo
a s íí J f (x) dx
converge;
de d o n d e
J
f(x)
dx
converge
N
oo
Si J
oo
g{x)
dx
diva^ge enterres J
oo
-j- cg(x)
31
dx
diverte y así J
f(x)
dx
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
diverge;
luego
oo
j
f{x)
dx
diverge,
a
Ej e m p i o
1.
oo
Mostrar
/
que
X'
Cbc
converge.
Soluci ón.
Se
busca
verá
una
función
g(x)
por
ejemplo
que:
oo
I" g{x)
oo
x
dx
converge
lim
dx = oo
M i
y
asií
ya
1
que:
/ 2
l n
M )
J gix)
<±X. c o n v e r g e .
32
(!)
,<*>
-(i)'
y
se
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
00
= l i
x-oo yu)
A h o r a
m
_ 2 l _ = l
¡2\x
i
m
^ L = o
y
(4\x
así f ^ !
J
dx
oX
converge ;
oo
pues
i 2 \-xr
dx
M i
Ejemplo
converge.
2.
00
Mostrar
que
Jf
—
e
s
convergente.
o
Soluci ón.
oo
Tómese
oo
=
&
y a
s e
sa
fc, e
que
dx
x
e
o ^
por
+l
f SÉÍ
y
como
oo
r —
x
^< fe
!- -dx,
J
-1- o
el c r i t e r i o
de
s xe
tiene/ que
r d^c
f ——
x
J
o
p +i
Üm
c o n v e r
g
e n
te;
co
=lim
x-oo ex+l
- — oo
e s
comparación.
1
Ahora
converge
J (2i
x
e
o
oo
f
J
Çf(x)
.X
=1
v
sí
y aasi
j¡
o
33
d x
—irli—
converge
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
p o r el c r i t e r i o
Ejemplo
3.
Mostrar
que
d e p a s o al
f-jyr
I — _ —
es
/i sjx2 + l
limite.
divergente
Soluci ón.
oo
se sa b e q u e
oo
dx
i X
J
=J Çi(x)
dx
es d i v e r g e n t e
i
- oo
co
y asi
f
i
—
es
,/^2+T
34
divergente
y
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejemplo 4 .
Mostrar q u e
IJ
^
es convergente.
10 X + X + 1
4
Solución.
oo
1
Sea a i x ) =
X
y
4
a
f —
J
e s convergente y
10
Üm
x-oo
v
/ÍX)
OA
f
^
es convergente.
4 X +X+1
4
Ejemplo 5.
oo
Mostrar q u e
/
I
^
X
1 s/x4+1
es convergente.
v'x16+x+1
Solución.
Sea Çfirf
X
8
y como
f ^
J X8
converge y
1
35
4
= l¡m —
=1
x - o o X +X+1
oo
y asi
X
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
lim
x-oo
X10
ñ)d
= lim
;
4
1 6
x-oo yjx +~\ V x + x + 1
= lim
X10
^X
= 1 ; entonces
2 0
y^dx
^
_
es convergente.
i V v p' ^x MV ^ + x + T
1 . 2 . 4 C r i t e r i o d e la
potencia.
C o m o un c a s o p a r t i c u l a r d e l c r i t e r i o
tiene
Si
el c r i t e r i o
f(x)
es
xc[a,+o>);
i ) Si
d e la
continua
en
potencia.
[a,+®>,
a>0
y
f(x)>0
para
todo
entonces:
lim xrñ)ó
= c>0
V /
o©
p a r a a l g ú n n ú m e r o real
Jf[$dX
i i ) Si
d e p a s o al l i m i t e , s e
X
x— =»
' W
r>1 ; e n t o n c e s
converge
° d o n d e c > 0 ó c = + ® y r< 1 j e n t o n c e s
l a
ff[$dX
36
diverge
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
Demostrad ón.
Se toma
y s e a p l i c a el c r i t e r i o d e p a s o al
X
limite
r
oo
dx
/
a > 0 , y asi
Ejemplo
y
A
a
es c o n v e r g e n t e
r
se o b t i e n e
nuestro
si r>1 y d i v e r g e n t e si
resultado.
1.
oo
es
divergente.
o v/{4+x2)3
Soluci ón.
X
h m x / f o ) = lim
x
_oo
Ejemplo
x
3
=1>0
2
-oo
^(4+X )
)
r = 1 j
1 u e g o
3
2
00
Mostrar
q|ue
ue
/
dx
es
convergente,
2
{ X +1
Soluci ó n .
37
d i v e r g e
r<1,
INTEGRALES IMPROPIAS
lim X
2
•
/(x) = lim
y-
oo
Ejemplo
X2
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
= 1 , r=2>1 , luego
2
converge
°°
3.
oo
xdx
/
i \/x8+x+1
es
convergente.
Soluci ón
lim x 3 / fv x7) = lim —
=
,—
x - co
X <»
V * +X+1
Ejemplo
lim —
4
=1 1
o ,
w r
y r=3, luego
converge,
4,
oo
En
la
f — .
s e
tiene que
'¡m
x
""O,
r= 1
_
E n
è s t e
c a S Q
e
q e
s e p u e d e a p l i c a r el c r i t e r i o ; p e r o si s e t o m a
oo
dx
ex
-Z—
/
0
es
convergente.
^ x
38
''m X
X - oo
2
e
n Q
INTEGRALES IMPROPIAS
Ejemplo
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
5.
/
oo
y
-
2
es
convergente.
4
o 4x +1
Soluci ón.
l i m X2Í[X)
= lim
x - 00
Y
X
4
= lim
se
puede
4
7
=
1
~"T; r=2, luego converge
y - OO 4x
x - 00
asi
-X
generalizar
4
un
poco
[a,+»)
y
más
el
criterio
anterior.
Se
supone
f(x)
continua
en
que
lim x p ñ^=A.
oo
* '
entonces:
i ) Si
P>1
y A es f i n i t o e n t o n c e s
J
dX
converge.
00
1 1) Si
Ejemplo
P<1
y A4=0 ó A = + ®
entonces
1.
39
J
/(*) flfa d i v e r g e
,
INTEGRALES IMPROPIAS
Mostrar
J" Q~*2 (jx
que
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
converge
Soluci ón.
z
x
_O
lim yr2 -x
—
•1111 /V C7
W
co
"luego
como
r = 2,
y
r
2
e n t o n c e s / q~* ( J x
c=0
J
converge.
cao
Dada
una
integral
oo
jf(jfydX>
1 a
J"
integral
a
integral
con
dX
e s
u n a
a
integrando positivo;
p o r lo t a n t o el
criterio
00
de
comparación
puede
aplicarse
a
J j f(x)
\ CÍX
Y
s e
Prueba
a
00
que
si
j
00
j
f(x)
¡ dX c o n v e r g e ,
a
entonces
J*f(x)dx
a
tambi én.
1.2.5. criterio de convergencia
40
absoluta.
converge
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
INTEGRALES IMPROPIAS
Si
J" | f ( x ) \ d x
converge
entonces
j" f ( x ) d X
converge,
Demostraci ón.
oo
Supóngase
que
j" | f(x)\dx
converge,
como
a
- | f ( x ) | ^ f { x ) < | f { x ) | s e t i e n e q u e O < f ( x ) + | f ( x ) | <2 j f (x) |
co
y
como
la
J\f(x)\dX
oo
converge;
j2\f(x)\dx
converge
oo
asi
f{f(x)+\f{x)
|)dX c o n v e r g e y de a q u i
a
ff(x)dx
= f(f(X)
+ | f{x)
| - | f{x)
41
|
)dX
converge,
y
INTEGRALES IMPROPIAS
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
oo
Se
dice
que
la
%
integral
e s
J f(x)ctX
absolutamente
a
oo
convergente
si
absolutamente
J" | f(x)
\ÓX
convergente
converge;
es
luego
una
convergente
oo
Es
posible
que
oo
J f(x)dX
converge,
incluso
a
si
J
j
f(x) | dx
a
00
oo
j" f(x)dx
d i v e r g e . Si
integral
converge, pero
a
J" \ f(x)\dX
diverge,
a
oo
entonces
se
dice que
J"
a
convergente.
Ej e m p i o
1.
42
dX
e s
c o n d ì ci o n a l m e n t e
INTEGRALES IMPROPIAS
Mostrar
que
f ^OSX
J
1
^^
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
converge,
2
yx
Soluci ón.
Cosx
oc
1
<—-
y como
c Hy
I
converge;
J vx2
entonces
1
oo
/
Ejemplo
2.
Mostrar
que
Cosx (jx
S e n 2 X -d X
n X4+X2 +1
í
e s
converge.
convergente.
Soluci ón
Sen2x
x4+x2+1
<
x +1
/ x +1
4
43
es
convergente.
Luego