Integrales impropias

INTEGRAL IMPROPIA
INTEGRALES IMPROPIAS
Nota: En este capítulo queremos generalizar la noción de integral de Riemman a casos
en los que el intervalo no sea compacto y/o la función no sea acotada.
Definición: (INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE)
Dada f : [a,+∞) → ℜ definimos, si tiene sentido,
∞
b
∫
f = lim
b→ ∞
a
Dada f : (−∞, b] → ℜ definimos, si tiene sentido,
∫
f
a
b
b
∫
∫
f = lim
a → −∞
−∞
∞
b
∫
Dada f : (−∞,+∞) → ℜ definimos, si tiene sentido,
f
a
f = lim
b→ ∞
−∞
∫
c
f + lim
a → −∞
c
∫
f
a
siendo c un nº real arbitrario.
Dada f : (−∞,+∞) → ℜ definimos, si tiene sentido, VP
∞
M
∫
M →∞
−∞
Teorema: Sean f , g : [a,+∞) → ℜ integrables en sentido impropio
a)
∞
b
∞
a
a
b
∫ f =∫ f +∫ f
∀b ∈ [a, ∞)
b)
∞
∞
∞
a
a
a
∫ f +g = ∫ f +∫g
∞
d) Si F es primitiva de f en [a,∞) entonces
∫f
∫
f = lim
f
−M
∞
∞
a
a
c) ∫ λf = λ ∫ f ∀λ ∈ ℜ
= lim F (b) − F (a)
b →∞
a
Nota: Se dan resultados análogos para los otros dos casos.
Teorema: Dada f : (−∞,+∞) → ℜ integrable en sentido impropio, tenemos
∞
∫
f = VP
−∞
∞
∫
f
−∞
Definición: (INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE)
b
Dada f : [a, b) → ℜ definimos, si tiene sentido,
∫
x
f = lim
x→ b
a
Dada f : (a, b] → ℜ definimos, si tiene sentido,
b
∫
f = lim
x→ a
b
∫
f
a
b
a
Dada f : (a, b) → ℜ definimos, si tiene sentido,
∫
∫
f
x
x
f = lim
x→ b
a
∫
c
f + lim
y→ a
c
∫
f siendo
y
c∈(a,b) arbitrario.
b
Dada f : (a, b) → ℜ definimos, si tiene sentido, VP
∫
f = lim
a
ε→0
b −ε
∫
f
a +ε
Teorema: Sean f , g : [a, b) → ℜ integrables en sentido impropio
b
a)
∫
a
c
b
f = ∫ f + ∫ f ∀c ∈ [a, b)
a
b
b)
c
∫
a
b
b
a
a
f +g = ∫ f +∫g
b
b
a
a
c) ∫ λf = λ ∫ f ∀λ ∈ ℜ
b
d) Si F es primitiva de f en [a,∞) entonces
∫f
a
= lim− F ( x) − F (a)
x →b
Nota: Se dan resultados análogos para los otros dos casos.
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INTEGRAL IMPROPIA
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Nota: Daremos ahora una serie de criterios de convergencia para integrales impropias
de funciones f : [a, b) → ℜ (donde b∈ℜ∪{∞}) aunque se dan resultados análogos para
el resto de los casos.
b
Definición: Se dice que la integral impropia
∫
f es absolutamente convergente si
a
b
∫|
f | es convergente, en otro caso se dirá condicionalmente convergente.
a
b
Teorema: En las condiciones anteriores, si
∫
f es absolutamente convergente entonces
a
es convergente
Teorema: (CRITERIO DE COMPARACIÓN)
b
Dadas f , g : [a, b) → ℜ con 0 ≤ f ( x) ≤ g ( x) ∀x ∈ [a, b) tenemos que si
∫g
a
b
∫
converge entonces también lo hace
f
a
Teorema: (CRITERIO DE COMPARACIÓN POR COCIENTE)
f ( x)
Dadas f , g : [a, b) → ℜ no negativas tales que lim−
= A , tenemos:
x →b g ( x )
a) Si A∈ℜ-{0} ambas series tienen el mismo carácter.
b
b
b) Si A=0 entonces si
∫
g converge, también lo hace
a
∫
f
a
b
c) Si A=∞ entonces si
∫
b
f converge, también lo hace
a
∫g
a
Teorema: (CRITERIO DE LA INTEGRAL)
Sea f : [1, ∞) → ℜ no negativa y decreciente, consideremos para cada n∈ℵ
a n = f (n) , entonces se tiene que
∞
∞
1
1
∑ an converge si y solo si
∫
f converge
Nota: Existen también criterios análogos a los de Dirichlet y Abel de series para
integrales.
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