astronomía_de_posición. - Observatorio Astronómico de Guirguillano

David Hernández López.
ASTRONOMÍA DE POSICIÓN I.
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA,
GEODESIA Y FOTOGRAMETRÍA.
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
GEODÉSICA, CARTOGRÁFICA Y TOPOGRÁFICA.
ASTRONOMÍA
ÍNDICE.
TEMA 1. CONCEPTOS Y DEFINICIONES.
1.1. OBJETO Y RAMAS DE LA ASTRONOMÍA.
1.2. JUSTIFICACIÓN DE LA NECESIDAD DEL ESTUDIO DE LA
ASTRONOMÍA EN TOPOGRAFÍA: RELACIÓN GEODESIAASTRONOMÍA.
1.3.COORDENADAS
GEOGRÁFICAS,
GEODÉSICAS
Y
ASTRONÓMICAS.
1.4.POSICIONES
APARENTES
DE
LOS
ASTROS.
CONSTELACIONES.
1.5.MOVIMIENTOS VISIBLES DE LAS ESTRELLAS, DEL SOL,
DE LA LUNA Y DE OTROS ASTROS.
1.6. LA ESFERA CELESTE.
TEMA 2. SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
2.1. INTRODUCCIÓN.
2.2.SISTEMAS DE COORDENADAS
ECUATORIALES HORARIAS.
HORIZONTALES
Y
2.2.1. SISTEMA DE COORDENADAS HORIZONTALES.
2.2.2. SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS.
2.2.3. DEPENDENCIA ENTRE LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LA
LATITUD DEL LUGAR DE OBSERVACIÓN ASTRONÓMICA.
2.2.4.VENTAJAS E INCONVENIENTES ENTRE AMBOS SISTEMAS DE
COORDENADAS.
2.2.5. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS DOS SISTEMAS DE COORDENADAS.
2.3.SISTEMAS
ABSOLUTAS.
DE
COORDENADAS
ECUATORIALES
2.3.1.DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES
ABSOLUTAS.
2.3.2.TRANSFORMACIÓN ENTRE EL SISTEMA DE COORDENADAS
ECUATORIALES HORARIAS Y EL SISTEMA DE COORDENADAS
ECUATORIALES ABSOLUTAS. RELACIÓN ENTRE α Y H.
2.4. SISTEMAS DE COORDENADAS ECLÍPTICAS.
2.4.1. DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS.
2.4.2.TRANSFORMACIÓN ENTRE EL SISTEMA DE COORDENADAS
ECUATORIAL ABSOLUTO Y EL SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS.
2.5.RESUMEN DE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
CELESTES.
2.6. TRIÁNGULO DE POSICIÓN O PARALÁCTICO.
TEMA 3. MOVIMIENTO DIURNO.
ÍNDICE.
1
ASTRONOMÍA
3.1. INTRODUCCIÓN. POSICIONES CORRESPONDIENTES.
3.2. SALIDA Y PUESTA DE LOS ASTROS: ORTO Y OCASO.
3.3. CULMINACIÓN DE UN ASTRO.
3.4. MÁXIMAS DISGRESIONES.
3.5. PRIMER VERTICAL.
3.6. VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS DE LOS ASTROS
DURANTE EL MOVIMIENTO DIURNO.
3.7. VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS DEL SOL.
3.7.1. VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS ECUATORIALES DEL SOL.
3.7.2. MOVIMIENTO DIURNO DEL SOL EN LAS DISTINTAS LATITUDES.
3.7.2.1. Observador situado en el polo norte de la Tierra.
3.7.2.2. Observador situado en el círculo polar ártico (ϕ = 90º-ε).
3.7.2.3. Observador situado en el Trópico de Cáncer (ϕ = ε).
3.7.2.4. Observador situado entre los trópicos y los círculos polares.
3.7.2.5. Observador situado en el ecuador de la Tierra.
3.7.2.6. Observador situado entre los trópicos.
TEMA4. SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
4.1. INTRODUCCIÓN.
4.2.UNA APROXIMACIÓN A LOS PRINCIPIOS DE LA MEDICIÓN
DEL TIEMPO.
4.3. ORBITACIÓN DE LA TIERRA EN TORNO AL SOL.
4.4. DISTINTOS TIPOS DE DÍAS Y HORAS.
4.4.1. DÍA SIDEREO. DÍA SIDEREO UNIFORME.
4.4.2. DÍA SOLAR VERDADERO. DÍA SOLAR FICTICIO. DÍA SOLAR MEDIO.
ECUACIÓN DEL TIEMPO.
4.4.2.1. Distintos tipos de días solares.
4.4.2.2. Ecuación del tiempo.
4.4.2.2.1. Definición de la ecuación del tiempo.
4.4.2.2.2. Determinación de la ecuación de centro.
4.4.2.2.3. Determinación de la reducción al ecuador.
4.4.2.2.4. Gráficas de la ecuación del tiempo.
4.4.3. HORA CIVIL, LEGAL Y OFICIAL.
4.4.4. LÍNEA DE LA FECHA.
4.5.RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO SOLAR MEDIO Y EL
TIEMPO SIDÉREO. DISTINTOS TIPOS DE AÑOS.
4.5.1.TIPOS DE AÑOS UTILIZADOS EN ASTRONOMÍA DE POSICIÓN.
4.5.2.RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO MEDIO Y EL SIDÉREO.
4.6. EL CALENDARIO.
4.7. DÍAS JULIANOS.
4.8. TRANSFORMACIÓN DE ESCALAS DE TIEMPO.
ÍNDICE.
2
ASTRONOMÍA
4.8.1. TRANSFORMACIÓN EN UNA MISMA CLASE DE TIEMPO ENTRE DOS
LUGARES.
4.8.2. PASO DE HORA MEDIA A CIVIL EN UN LUGAR.
4.8.3. PASO DE HORA LEGAL / OFICIAL A CIVIL EN UN LUGAR.
4.8.4. PASO DE HORA CIVIL A SIDÉREA EN UN LUGAR Y EN UN INSTANTE.
4.8.5. PASO DE HORA CIVIL A VERDADERA EN UN LUGAR Y EN UN
INSTANTE.
4.9. DETERMINACIÓN DE CIERTOS INTERVALOS DE TIEMPO
DE INTERÉS EN ASTRONOMÍA.
4.9.1. DURACIÓN DEL DÍA Y DE LA NOCHE, TIEMPO DE INSOLACIÓN.
4.9.2. CREPÚSCULO. NOCHES BLANCAS.
4.9.3. DURACIÓN DE LAS ESTACIONES.
APÉNDICE I.
SISTEMAS DE REFERENCIA ASTRONÓMICOS.
I.1. INTRODUCCIÓN. SISTEMAS DE REFERENCIA ABSOLUTOS
Y RELATIVOS.
I.2. SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES.
APÉNDICE II.
EL CONCEPTO Y LA MEDIDA DEL TIEMPO.
II.1. INTRODUCCIÓN.
II.2. DEFINICIÓN DE UNA MÉTRICA DEL TIEMPO.
APÉNDICE III.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
III.1. INTRODUCCIÓN.
III.2. ESCALAS DE TIEMPO ROTACIONAL.
III.2.1. INTRODUCCIÓN.
III.2.2. TIEMPO SIDÉREO VERDADERO Y MEDIO. PRECISIÓN Y NUTACIÓN.
ECUACIÓN DE LOS EQUINOCCIOS.
III.2.3. TIEMPO SOLAR VERDADERO.
III.2.4. TIEMPO SOLAR MEDIO.
III.2.5. TIEMPO UNIVERSAL.
III.3. ESCALA DE TIEMPO DE EFEMÉRIDES.
III.4. ESCALA DE TIEMPO ATÓMICO.
III.5. TIEMPO UNIVERSAL COORDINADO.
III.6. REVISIÓN DEL CONCEPTO DE AÑO TRÓPICO.
III.7. REVISIÓN DE LA RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO MEDIO
Y EL TIEMPO SIDÉREO.
III.8. ACTUALIZACIONES A ESCALAS DE TIEMPO.
ÍNDICE.
3
ASTRONOMÍA
III.9.NUEVA
DEFINICIÓN
DEL
TIEMPO
INTERNACIONAL.
III.10. ESCALAS DE TIEMPO DINÁMICO.
III.11. ACCESIBILIDAD ACTUAL DEL TIEMPO.
ÍNDICE.
ATÓMICO
4
ASTRONOMÍA
TEMA 1. CONCEPTOS Y DEFINICIONES.
1.1. OBJETO Y RAMAS DE LA ASTRONOMÍA.
Astronomía es la ciencia que trata del origen, evolución, composición, distancia
y movimiento de todos los cuerpos celestes y de la materia dispersa en el Universo.
La astronomía estudia el Sol y las estrellas, los planetas y sus satélites, los
cometas y cuerpos meteóricos, las nebulosas, los sistemas estelares y la materia que
ocupa el espacio interestelar e interplanetario, cualquiera que sea el estado en que se
encuentre esta materia.
La palabra astronomía procede de dos vocablos griegos: “astron”, estrella o
astro, y “nomos”, ley.
La astronomía es junto a la aritmética la ciencia más antigua.
Como ciencia, la astronomía necesita del método científico basado en la
observación, análisis de los datos y postulación de modelos teóricos que, cumpliendo
las leyes de la física, permita interpretar los análisis.
Al estudiar los cuerpos celestes la astronomía se plantea tres tareas
fundamentales, que requieren una solución consecuente:
1. El estudio de las posiciones y movimientos aparentes, y después reales, de los
cuerpos celestes en el espacio, la determinación de sus dimensiones y forma.
2. El estudio de la estructura física de los cuerpos celestes, es decir, la
investigación de la composición química y condiciones físicas (densidad,
temperatura, etc.) en la superficie y en el interior de los cuerpos celestes.
3. La resolución de los problemas del origen y desarrollo, es decir, el posible
destino ulterior de algunos cuerpos celestes y de sus sistemas.
Las cuestiones de la primera tarea se resuelven mediante largas observaciones,
iniciadas ya en tiempos remotísimos, y también basándose en las leyes de la mecánica
clásica, que se conocen desde hace unos 300 años.
Respecto a la estructura física de los cuerpos celestes se sabe mucho menos. La
resolución de algunas cuestiones relativas a esto se hizo posible hace poco más de un
siglo y la de los problemas fundamentales solamente en los últimos años.
La tercera tarea es más complicada que las dos anteriores. Para la resolución de
sus cuestiones el material de observación acumulado es por ahora muy insuficiente.
En la siguiente ilustración se puede observar una clasificación actual de las
ramas de la ciencia astronómica.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
1
ASTRONOMÍA
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
2
ASTRONOMÍA
Una primera división de la astronomía se puede plantear en ramas clásicas y
modernas de la astronomía.
Por ramas clásicas de la astronomía se entiende aquellas investigaciones y
sectores que se basan en los cálculos de posición de los astros y en la aplicación de la
teoría de gravitación. El término clásico no debe inducir a pensar que estas ramas han
perdido ya su importancia, pues hoy día siguen siendo una base imprescindible para
muchas investigaciones astronómicas.
La astrometría, astronomía de posición o astronomía esférica estudia la posición
de los cuerpos celestes, la determinación de posiciones geográficas y la rotación de la
Tierra apoyándose en los métodos teóricos y prácticos de la medición de ángulos en el
cielo, para lo que se realizan observaciones de la posición de los astros. La pretensión
de obtener observaciones de la mayor precisión posible minimizando los errores de
medida remite al estudio de los instrumentos, que nos lleva a su vez a la óptica y a la
física.
La mecánica celeste estudia el movimiento de los astros bajo la acción de la
gravitación, elabora métodos de determinación de sus trayectorias (determinación de
efemérides astronómicas), estudia la influencia recíproca de los cuerpos celestes sobre
su movimiento, examina el estado de movimiento de los sistemas de cuerpos celestes y
artificiales. Para cubrir sus objetivos se apoya en medidas, en astrometría.
Por ramas modernas de la astronomía se entiende a aquellas relacionadas con la
astrofísica.
La astrofísica estudia el origen (cosmogonia), la estructura, composición física,
las propiedades físicas y la evolución, tanto de astros individuales como de los sistemas
de éstos, incluyendo todo el Universo en su conjunto (cosmología). De este modo, el
objeto de la astrofísica es extraordinariamente diverso y amplio. Al mismo tiempo, en
sus investigaciones la astrofísica recurre constantemente a las deducciones y métodos
de la astrometría y de la mecánica celeste, por lo tanto, las tres partes esenciales de la
astronomía están estrechamente interrelacionadas. La astrofísica comprende un gran
número de subdivisiones prácticas en las que se estudian y utilizan distintos métodos de
observaciones y análisis de radiación electromagnética cósmica, y también una serie de
subdivisiones teóricas, basadas en la aplicación de los métodos de la física, química y
matemática a los resultados de las observaciones.
El término cosmología viene de las palabra griegas kosmos, que significa el
universo como un todo ordenado, y logos, que significa tratado. Hay autores que
clasifican la cosmología como una ciencia aparte argumentando que lo abarca todo,
todo lo que ahora observamos y lo que esperamos observar en el futuro.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
3
ASTRONOMÍA
1.2. JUSTIFICACIÓN DE LA NECESIDAD DEL ESTUDIO DE LA
ASTRONOMÍA EN TOPOGRAFÍA: RELACIÓN GEODESIAASTRONOMÍA.
Se ha enunciado que la astronomía de posición estudia, entre otras cosas, la
resolución de los problemas relacionados con la determinación del Norte (azimut de una
dirección) y las coordenadas geográficas de un lugar (posicionamiento de un punto en la
superficie terrestre).
Geodesia es la ciencia que estudia la figura y el campo gravitatorio de la Tierra.
Por figura entendemos la forma y dimensiones. El problema de la geodesia implica una
formulación geométrica y una física, íntimamente relacionadas dado que la causa de la
figura de la Tierra no es otra que las fuerzas que la solicitan y estas son estudiadas por
la geodesia física.
El problema del estudio de la figura de la Tierra se reduce a la determinación de
las coordenadas de los puntos de su superficie en un sistema de referencia único,
general para toda la Tierra. De acuerdo a esto, la relación entre astronomía y geodesia
es obvia.
Desde la formulación del problema geodésico y hasta la aparición de la geodesia
espacial (entendida como la basada en las constelaciones de satélites artificiales), en la
década de los sesenta, la definición de los sistemas de referencia geodésicos pasaba por
utilizar un conjunto de puntos en los que se realizaba determinación de posición
astronómica, latitud y longitud, y el azimut astronómico de una dirección, estos son los
“Puntos Laplace”.
En geodesia la superficie que se utiliza como mejor aproximación a la forma de
la Tierra es el geoide (“con forma de Tierra”). La Tierra es un cuerpo solicitado por
distintos campos de fuerzas que constituyen el campo de fuerzas gravitatorio. Los dos
más importantes son el campo de fuerzas de atracción newtoniana, debido a la fuerza de
atracción entre las partículas que forman parte de la Tierra, y el campo de fuerzas
centrífugas, debido a la rotación terrestre. Ambos campos derivan de un potencial al
igual que su composición. El geoide no es sino una superficie equipotencial del
potencial gravitatorio terrestre. Como tal superficie equipotencial, el geoide representa
una superficie en equilibrio que aproximadamente coincide con el nivel medio del mar
prolongado por debajo de los continentes. Téngase en cuenta que la superficie libre del
mar, como fluido que es, debe su configuración en un instante dado a una situación de
equilibrio respecto a todas las fuerzas solicitantes. Obsérvese que el geoide tiene
entidad física.
Si bien el geoide es una superficie que permite definir muy bien el origen de la
tercera coordenada, altura ortométrica, no es útil, debido a sus condiciones de curvatura,
para definir otros dos parámetros que junto a la altitud den posición tridimensional en el
espacio a cualquier punto de la superficie terrestre. Esto obliga a recurrir a una
superficie matemática auxiliar, un elipsoide de revolución.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
4
ASTRONOMÍA
Todo sistema de referencia geodésico cuenta en su definición como superficie de
referencia con un elipsoide de revolución, de ciertas dimensiones. La altimetría en los
sistemas de referencia clásicos se refiere al geoide.
Se ha visto por tanto que existen dos referenciaciones para expresar la posición
de un punto de la superficie terrestre: la astronómica y la geodésica. Hay que añadir la
referenciación geocéntrica.
1.3.
COORDENADAS
ASTRONÓMICAS.
GEOGRÁFICAS,
GEODÉSICAS
Y
La inmensa mayoría de las observaciones astronómicas se han venido realizando
desde puntos de la superficie terrestre y dependen de la posición del observador. Por
ello hay que recordar algunos conceptos y términos geográficos, de los que en lo
sucesivo se hará uso.
La Tierra tiene una forma casi esférica. Está animada de una rotación en torno a
un eje que pasa por el centro de masas. El eje de rotación corta la superficie terrestre en
dos puntos: en el polo geográfico norte (PN ) y en el polo geográfico sur (PS). El polo
geográfico norte es aquél desde el que si se observa la Tierra hacia su interior, esta rota
en el sentido contrario a las agujas del reloj.
El círculo máximo en la superficie de la Tierra cuyo plano es perpendicular al
eje de rotación, se denomina ecuador geográfico terrestre. Este divide la superficie de
la Tierra en dos hemisferios: boreal (conteniendo al polo norte) y austral (conteniendo
al polo sur).
Los círculos menores, cuyos planos son paralelos al plano del ecuador terrestre,
se denominan paralelos geográficos. El paralelo geográfico que está a una distancia de
23º26´ al norte del ecuador se llama trópico del hemisferio boreal o trópico de Cáncer;
el paralelo que se encuentra a una distancia de 23º26´ hacia el sur del ecuador, se llama
trópico del hemisferio austral o trópico de Capricornio. Los paralelos geográficos que
se encuentran a una distancia de 23º26´de los polos de la Tierra se denominan círculos
polares: ártico (hemisferio boreal) y antártico (hemisferio austral).
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
5
ASTRONOMÍA
La faja de la superficie terrestre entre los trópicos (incluyendo el ecuador) se
denomina zona tórrida o zona tropical. La faja entre el trópico de Cáncer y el círculo
polar ártico se llama zona templada boreal, y la comprendida entre el trópico de
Capricornio y el círculo polar antártico zona templada austral. Los casquetes de la
superficie terrestre limitados por los círculos polares y los polos respectivos se
denominan zonas glaciares ártica y antártica.
Cualquier plano que contenga al eje de rotación terrestre se denomina plano
meridiano geográfico. Dado un punto O sobre la superficie de la Tierra, el plano
meridiano que lo contiene produce como intersección con la Tierra un círculo máximo y
al semicírculo máximo del anterior que contiene a O se le denomina meridiano
geográfico de O. El meridiano geográfico que pasa a través de un observatorio
astronómico localizado en Greenwich (Inglaterra) es considerado internacionalmente,
desde 1891, como el meridiano origen, o primer meridiano. El meridiano de origen y el
meridiano que dista de éste 180º dividen la superficie de la Tierra en dos hemisferios:
oriental, en el sentido de la rotación terrestre, y occidental.
La línea recta por la que va dirigida la fuerza de la gravedad en un punto dado de
la Tierra se denomina línea de la plomada o vertical.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
6
ASTRONOMÍA
La posición de un punto O de la superficie de la Tierra se determina
unívocamente por dos coordenadas geográficas: la latitud geográfica y la longitud
geográfica.
Se llama latitud geográfica del punto O al ángulo que forma la vertical de O con
el plano del ecuador terrestre. La latitud geográfica varía de 0º a 90º en el hemisferio
boreal (latitud norte) y de 0º a –90º en el hemisferio austral (latitud sur),
Se denomina longitud geográfica del punto O al ángulo que forma el meridiano
del punto con el meridiano origen. La longitud geográfica varía de 0º a 180º en el
hemisferio oriental y de 0º a –180º en el hemisferio occidental.
En aquellos trabajos en los que la precisión lo permita la consideración anterior
acerca de la forma de la Tierra, esfera de radio 6370 km., es válida y no habrá problema
en definir la posición de un punto de la superficie terrestre a través de sus coordenadas
geográficas.
Sin embargo, cuando las exigencias de precisión aumentan el tratamiento de la
figura terrestre ha de hacerse de modo más riguroso. En estos casos hay que recurrir a
las coordenadas geodésicas basadas en la aproximación a la figura de la Tierra mediante
el geoide y su aproximación por un elipsoide de revolución. La definición de la línea de
la plomada exige una revisión: se define la dirección de la línea de la plomada en un
punto como aquella normal a la superficie equipotencial de la gravedad que pasa por el
punto. La línea de la plomada no es recta sino curva debido a que las superficies
equipotenciales de la gravedad no son paralelas.
El sistema de referencia geodésico se define mediante:
• Superficie de referencia.- elipsoide de revolución cuyas dimensiones quedan
definidas por dos de los tres siguientes parámetros: semieje mayor (a),
semieje menor (b) y aplanamiento (f),
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
7
ASTRONOMÍA
• Definiendo unos ejes o líneas de referencia en la superficie, un origen y un
sentido de medida en los mismos, curvas paramétricas que estudiaremos en su
momento,
• Definiendo la posición relativa del elipsoide respecto del geoide mediante el
datum geodésico,
• Definiendo el origen de alturas.
Tres son las coordenadas geodésicas que definen la posición de un punto de la
superficie de terrestre, latitud y longitud geodésica y altura elipsoidal, que
posteriormente definiremos.
En primer lugar se estudiará el modo de relacionar un punto de la superficie
terrestre con la superficie de referencia dado que dos de las coordenadas geodésicas
(longitud y latitud geodésicas) se refieren a esta superficie.
A un punto P sobre la superficie terrestre le corresponde un punto P0 sobre el
geoide obtenido proyectando según la línea de la plomada que pasa por P. Para obtener
el punto correspondiente sobre la superficie de referencia, Q0, se proyecta según la
normal a dicha superficie, elipsoide, que pasa por P0. Esta proyección es conocida como
proyección Pizzetti. Otra posible posición para el punto Q, sobre el elipsoide,
correspondiente al P, sobre la superficie terrestre, se obtiene mediante la proyección
Helmert, siendo Q obtenido al proyectar según la normal al elipsoide que pasa por P.
Esta segunda proyección es menos rigurosa pero igualmente válida por la pequeña
separación entre Q y Q0.
En esta figura se aprecian las diferentes altitudes utilizadas en geodesia y topografía:
• Altitud ortométrica, H.- Distancia de la superficie terrestre al geoide medida
sobre la línea de la plomada.
• Altitud elipsoidal, h.- Distancia de la superficie terrestre al elipsoide medida
sobre la normal al elipsoide.
Se puede establecer como relación muy aproximada una de las principales
ecuaciones de la geodesia, h = H + N , donde N es la ondulación del geoide o distancia
entre Q0 y P0 medida a lo largo de la normal al elipsoide que pasa por Q0.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
8
ASTRONOMÍA
Al igual que se definen una serie de elementos geográficos para las coordenadas
geográficas, se definen para el elipsoide de revolución, o para las coordenadas
geodésicas.
Se considera un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales definido
por:
• Centro, punto origen (0,0,0).- El centro del elipsoide de revolución.
• Eje Z.- Semieje menor del elipsoide de revolución.
• Plano XY (Z=0).- Plano perpendicular al eje Z que contiene al origen del
sistema de coordenadas.
Antes de definir los ejes X e Y hay que definir algunos elementos geométricos:
• Polos geodésicos.- Son los puntos de intersección del eje Z con el elipsoide
de revolución.
• Plano meridiano geodésico.- Cualquier plano que contenga al eje Z.
• Plano paralelo geodésico.- Cualquier plano normal al eje Z.
• Meridiano geodésico de un punto.- Aquella mitad de la intersección del plano
meridiano geodésico del punto con el elipsoide de revolución que contiene al
eje Z y al punto.
• Paralelo geodésico de un punto.- Intersección del plano paralelo geodésico
del punto con el elipsoide de revolución. Su ecuación es la de un círculo de
radio decreciente conforme nos apartemos del plano Z=0.
• Plano ecuatorial geodésico.- Plano Z=0.
• Ecuador geodésico.- Es el paralelo geodésico correspondiente al plano
ecuatorial geodésico.
• Vertical geodésica en un punto de la superficie del elipsoide de revolución.Coincide con la dirección del vector normal al elipsoide en dicho punto.
• Vertical geocéntrica.- Es la dirección del vector que une el punto con el
centro del elipsoide.
• Plano horizonte geodésico en un punto de la superficie del elipsoide.- Plano
perpendicular a la vertical geodésica que contiene al punto.
• Meridiano geodésico origen.- Una vez posicionado el elipsoide respecto del
geoide, mediante la definición del datum, se puede obtener el punto
correspondiente sobre el elipsoide de cualquier punto de la superficie terrestre
tal y como estudiamos anteriormente. Se adopta como meridiano geodésico
origen normalmente el meridiano geodésico del observatorio astronómico de
Greenwich.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
9
ASTRONOMÍA
Una vez definido el meridiano geodésico origen ya es posible definir el eje X del
sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, como el eje intersección del plano
ecuatorial geodésico (Z=0) y el plano meridiano origen. El eje Y estará contenido en el
plano Z=0 y será perpendicular al X y su sentido será tal que los tres ejes formen una
terna dextrógira.
Una vez definidos los elementos geográficos ya se está en disposición de definir
las coordenadas geodésicas de un punto de la superficie del elipsoide:
• Longitud geodésica.- Es el ángulo formado por el meridiano geodésico del
punto en cuestión y el meridiano geodésico origen. En graduación
sexagesimal se puede evaluar de 0° a 360° , creciendo hacia el oriente del
meridiano origen, o de 0° a 180°, positivo o negativo según el meridiano del
punto esté al oriente o al occidente del meridiano origen.
• Latitud geodésica.- Es el ángulo que forma la vertical geodésica del punto
con el plano del ecuador geodésico.
También se suele definir una latitud geocéntrica como el ángulo que forma la
vertical geocéntrica con el plano ecuatorial geodésico.
Si se pretende definir la posición espacial de un punto de la superficie terrestre
en el sistema de referencia, dado que no se encuentra sobre la superficie del elipsoide de
revolución, hay que introducir una tercera coordenada, la altitud ortométrica (H), si el
origen de altitudes del sistema de referencia es la superficie del geoide, o la altitud
elipsoidal (h), si el origen de alturas del sistema de referencia es la propia superficie del
elipsoide.
La posición de un punto respecto del sistema de referencia también se puede
expresar en coordenadas cartesianas tridimensionales respecto del sistema de tales
coordenadas previamente definido.
Para definir las coordenadas astronómicas hay que mejorar la definición del eje
de rotación terrestre. Debido a que el eje de rotación terrestre no es fijo en el tiempo se
considera el eje medio, Origen Convencional Internacional (CIO), definido por Bureau
Internacional de l’Heure (B.I.H.) en 1903. La movilidad del eje de rotación terrestre da
lugar en astronomía a la consideración de coordenadas y observaciones instantáneas o
absolutas según se refieran al eje de rotación del instante de observación o al eje medio,
respectivamente. En el apéndice I se incluye información relativa al movimiento del
polo y a relación entre distintos sistemas de tiempo que serán estudiados en capítulos
posteriores.
En la siguiente figura se observa la posición relativa del eje medio de rotación
terrestre (CIO) y el instantáneo.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
10
ASTRONOMÍA
La definición de las coordenadas astronómicas precisa de unas definiciones
previas:
♦ Dado un punto P de la superficie topográfica terrestre se denomina vertical
astronómica de P a la recta tangente en P a la línea de la plomada.
♦ Se denomina plano ecuador astronómico instantáneo al plano perpendicular
al eje instantáneo de rotación que pasa por el centro de masas de la Tierra.
♦ Se llama plano meridiano astronómico instantáneo de P al plano que
contiene a la vertical astronómica de P y una paralela por P al eje instantáneo
de rotación terrestre.
Se definen las coordenadas astronómicas instantáneas como:
♦ Latitud astronómica de P es el ángulo Φ que forma la vertical de P con el
plano ecuador instantáneo. Varía de 0º a 90º en el hemisferio astronómico
norte y de 0º a –90º en el hemisferio astronómico sur.
♦ Longitud astronómica de P es el ángulo Λ que forma el plano meridiano
astronómico instantáneo de P con el plano meridiano astronómico
instantáneo tomado como origen (para Greenwich). Se suele considerar de 0º
a 360º positiva al este.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
11
ASTRONOMÍA
En la figura anterior, en que se aprecia la definición de las coordenadas
geodésicas y las astronómicas, el CTP, polo terrestre convencional, coincide con el
CIO.
Los puntos que tienen igual latitud astronómica instantánea están situados en un
mismo paralelo astronómico instantáneo. Los puntos que tienen igual longitud
astronómica instantánea están situado en un mismo meridiano astronómico instantáneo.
Ni las primeras líneas son circunferencias, ni las segundas elipses, sino que son curvas
irregulares en el espacio.
La corrección para obtener coordenadas astronómicas absolutas a partir de las
coordenadas astronómicas instantáneas y del instante serán descritas en un capítulo
posterior.
Un sistema de referencia geodésico se denomina global si es tal que el eje menor
del elipsoide incluido en su definición coincide con el eje medio de rotación terrestre y
el origen del mismo coincide con el centro de masas de la Tierra. Un sistema de
referencia geodésico se denomina local si la posición del elipsoide incluido en su
definición no es la anterior sino que se elige de forma que permita una mayor
aproximación al geoide en una zona concreta. Hasta hace muy poco sólo se definían
sistemas de referencia geodésicos locales, tal es el caso del sistema ED50 al que viene
referido la geodesia española. Un sistema de referencia global de gran aplicación en la
actualidad es el WGS84, al que viene referido el Sistema de Posicionamiento Global
(G.P.S.).
Un concepto muy importante en astronomía y geodesia es el de desviación de la
vertical. La desviación de la vertical en un punto no es sino el ángulo formado en dicho
punto entre la vertical astronómica y la vertical geodésica. También puede figurar en
algunos textos como deflexión de la vertical. Si el sistema de referencia geodésico es
local se habla de desviación relativa de la vertical, mientras que si se trata de un sistema
de referencia geodésico global se habla de desviación absoluta de la vertical.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
12
ASTRONOMÍA
Este concepto es de gran importancia debido a que toda observación angular
efectuada con un goniómetro estará referido a la vertical astronómica instantánea ya que
el eje principal del mismo materializa la dirección del vector de gravedad cuando se
nivela. Cuando interesen coordenadas geodésicas y no astronómicas, habrá ocasiones en
que, a pesar de la pequeña diferencia entre la vertical astronómica y geodésica, se
tendrán que realizar correcciones a las magnitudes observadas para referirlas al sistema
de referencia geodésico. Existe una rama de la ciencia geodésica en la que se trata en
profundidad este tema, la rama astrogeodésica.
En los sistemas de referencia geodésicos locales, para definir la posición relativa
del elipsoide y geoide hay que fijar el datum del sistema. El datum geodésico está
constituido por una superficie de referencia, un elipsoide, y un punto llamado
fundamental en el que la desviación relativa de la vertical es nula, en dicho punto
coinciden las coordenadas geodésicas y astronómicas. También hay que especificar el
acimut de una dirección desde el establecida, considerándose también igual el acimut
geodésico al astronómico observado.
En el caso del sistema geodésico de referencia oficial en España, E.D.50, el
punto fundamental se localiza en Postdam, localidad alemana. En el anterior sistema de
referencia era el observatorio astronómico de Madrid, que además era el origen de
longitudes. ED50 es un sistema de referencia geodésico local lo que se corresponde con
la siguiente figura:
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
13
ASTRONOMÍA
Un concepto muy importante que resta por abordar es el de acimut que une dos
puntos. En un principio se definirá el acimut geodésico, posponiendo el acimut
astronómico para un capítulo posterior.
Acimut geodésico de un punto P a un punto Q, ambos sobre el elipsoide, es el
ángulo entre dos planos, ambos conteniendo a la vertical geodésica del punto P, uno de
los cuales contiene al punto polo norte geodésico y otro al punto Q (nótese que se ha
definido cada uno de los dos planos mediante una recta y un punto). El ángulo se mide
en el sentido de las agujas del reloj (dextrógiro ó retrógrado), desde el norte. El plano
definido por la vertical geodésica en P y el punto Q produce como intersección con el
elipsoide la sección normal de P a Q. Esta no coincide con la sección normal de Q a P.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
14
ASTRONOMÍA
El acimut geodésico que realmente interesa no es el de las secciones normales
directa o recíproca sino el de la línea geodésica que se define, de una forma simple,
como la línea más corta entre dos puntos sobre una superficie (una recta en una
superficie plana, un círculo máximo en una superficie esférica, una curva de complicada
ecuación en un elipsoide de revolución).
La relación existente entre el acimut geodésico y el astronómico es objeto de
estudio de la astronomía de posición.
1.4.
POSICIONES
CONSTELACIONES.
APARENTES
DE
LOS
ASTROS.
Cualquiera que sea el punto de la superficie terrestre en que se encuentre un
observador, siempre parece que todos los cuerpos celestes se encuentran en la superficie
interior de cierta esfera que se suele denominar bóveda celeste, firmamento o
simplemente cielo.
De día el cielo, si no está cubierto de nubes, es de color azul y en él se observa el
astro celeste más brillante: el Sol. A veces, simultáneamente con el Sol, por el día se ve
la Luna y, muy raramente, algunos otros cuerpos celestes como, por ejemplo, el planeta
Venus.
En una noche despejada, en el cielo oscuro, son visibles las estrellas, la Luna,
los planetas, las nebulosas y, a veces, los cometas y otros cuerpos. La primera impresión
de la observación del firmamento es la infinidad de estrellas y el desorden de la
disposición de ellas en el cielo. En realidad la cantidad de estrellas que se ven a simple
vista no es muy grande, solamente unas 6 mil en todo el cielo, y en una mitad de éste,
que en el momento dado se ve desde cualquier punto de la superficie terrestre, no es
mayor de 3 mil.
La disposición mutua de las estrellas en el cielo varía extraordinariamente
despacio. Sin mediciones exactas, durante el transcurso de muchos centenares de años
(y de muchos miles de años para la inmensa mayoría de las estrellas), no se pueden
revelar variaciones visibles en la disposición de las estrellas en el cielo. Esta última
circunstancia permite orientarse fácilmente entre miles de estrellas, a pesar de que la
disposición de ellas parezca ser caótica. El motivo de la conservación de la posición
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
15
ASTRONOMÍA
relativa observada entre las estrellas no puede ser otro que las enormes distancias
presentes en el Universo dado que existe un movimiento relativo a gran velocidad,
téngase presente que la Tierra rota en torno al Sol a una velocidad de 30 km./s y éste,
junto a su sistema, se traslada rotando en torno al centro de la Vía Láctea a 220 km./s.
Sólo las 130 estrellas más brillantes tienen nombre propio. Estos nombres les
fueron otorgados por los griegos (Capela, etc.), romanos (Castor, Polux, Sirio, etc.) y
por los árabes (Betelgeuse, Vega, Algol, Aldebaran, etc.). La clasificación de las
estrellas se inició por comparación relativa del brillo aparente entre ellas. Desde
Hiparco de Nicea (siglo II a. J.C.) se vienen sucediendo catálogos de estrellas
dividiéndolas en magnitudes por su luminosidad, correspondiendo la primera magnitud
a las más brillantes.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
16
ASTRONOMÍA
Con el fin de orientarse en el cielo, hace mucho que las estrellas brillantes
fueron unificadas en grupos, denominados constelaciones. Los griegos dieron nombre a
48 constelaciones, principalmente las observables desde el Mediterráneo. Los nombres
eran de animales (Osa Mayor, León, Dragón, etc.), de héroes de la mitología griega
(Casiopea, Andrómeda, Perseo, etc.), o simplemente de objetos que recordaban las
figuras que formaban los grupos de estrellas más brillantes (Balanza, etc.). En el siglo
XVII se da nombre a estrellas sueltas y se agrupan en constelaciones. En el siglo XVIII
se dan nombre científicos a constelaciones del hemisferio sur: Telescopio, Escuadra,
Octante, Brújula y Retícula. En global, hemisferio norte y sur, hay 88 constelaciones.
En 1928 la Unión Astronómica Internacional (U.A.I.) fijó una delimitación rigurosa,
mediante arcos de meridianos y paralelos celestes, a las constelaciones. Las estrellas
más brillantes de las constelaciones sirven de buenos puntos de referencia para
encontrar en el cielo estrellas más débiles, u otros objetos celestes. Por esto es necesario
aprender a encontrar de manera rápida y directa en el cielo una u otra constelación. Para
ello es menester estudiar previamente la carta del cielo estelar y retener en la memoria
los contornos característicos que las estrellas más brillantes forman en las
constelaciones.
Desde el siglo XVII las estrellas de cada constelación se empezaron a designar
con las letras del alfabeto griego. El orden corresponde al decreciente en brillo: la α de
Can Mayor es Sirio (estrella más brillante de la constelación), la α del cochero es
Capela, la α de Lira es Vega, la α de Orión es Betelgeuse, la β de Orión es Rigel, la β
de Perseo es Algol, etc. Estos nombres y designaciones de las estrellas se emplean
también en la actualidad. Algo después se introdujo la designación numérica, que ahora
se emplea fundamentalmente para las estrellas débiles.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
17
ASTRONOMÍA
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
18
ASTRONOMÍA
La siguiente ilustración corresponde a las constelaciones con declinaciones
superiores a +25º, que corresponde al borde extremo de la figura. Son algunas de las
constelaciones visibles desde la latitud de España si se mira en dirección al norte. La
constelación de la Osa Menor aparece denotada como Umi (Ursa Minoris).
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
19
ASTRONOMÍA
1.5. MOVIMIENTOS VISIBLES DE LAS ESTRELLAS, DEL SOL,
DE LA LUNA Y DE OTROS ASTROS.
Si se observa el cielo estelar en una noche serena durante varias horas no es
difícil advertir que la bóveda celeste gira levemente en su conjunto, con todos los astros
que en ella se encuentran, alrededor de cierto eje imaginario que pasa a través del lugar
de observación. Este movimiento de la bóveda celeste se denomina movimiento diurno,
la vuelta completa se efectúa en un día. Como resultado del movimiento diario las
estrellas y otros cuerpos celestes cambian continuamente su posición respecto a los
lados del horizonte. La causa del movimiento diurno es la rotación terrestre.
Si se observa el movimiento diario de las estrellas en el hemisferio boreal de la
Tierra (pero no cerca del polo), estando de cara hacia la parte austral del horizonte,
mirando al sur, éste transcurre de izquierda a derecha, es decir, en el sentido de las
agujas del reloj. Estando de cara hacia la parte boreal del horizonte, mirando al norte, el
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
20
ASTRONOMÍA
movimiento diurno transcurre de derecha a izquierda, en el sentido directo. En cualquier
caso, el movimiento diario siempre se produce de este a oeste. Cada estrella siempre
sale en un mismo punto del lado oriental del horizonte, va ascendiendo hasta una altura
máxima, comienza a descender y se pone siempre en un mismo punto del lado
occidental. La altura máxima sobre el horizonte para cada estrella dada y para cada
lugar de observación siempre es constante. Si el observador se sitúa de cara hacia el
lado boreal del horizonte, las observaciones demostrarán que unas estrellas seguirán
saliendo y poniéndose de la misma manera, mientras que otras describirán círculos
cerrados sobre el horizonte, girando alrededor de un punto común inmóvil. Este punto
se denomina polo celeste norte y es la proyección sobre la bóveda celeste del eje de
rotación.
La posición aproximada del polo celeste norte en el cielo se puede localizar por
la posición de la estrella más brillante en la constelación de la Osa Menor. En las cartas
estelares esta estrella se designa con la letra α y, por su proximidad al polo celeste norte
se llama estrella Polar. En la actualidad la distancia entre la estrella Polar y el polo
celeste norte es menor de 1º.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
21
ASTRONOMÍA
En la figura anterior se observa como se irá produciendo el movimiento de la
estrella Polar en torno al Polo norte.
El Sol y la Luna, al igual que las estrellas, salen en el lado oriental del horizonte,
ascienden y se ponen en el lado occidental. Pero, al observar la salida y la puesta de
estos astros, se puede notar que en los distintos días del año salen, a diferencia de las
estrellas, en diferentes puntos del lado oriental del horizonte y se ponen también en
diferentes puntos del lado occidental.
Así, a principios del invierno, el Sol sale en el sudeste y se pone en el sudoeste.
Pero cada día los puntos de su salida y puesta se desplazan hacia el lado boreal del
horizonte. Con ello cada día el Sol a mediodía asciende sobre el horizonte más y más, el
día se hace más largo y la noche más corta. A comienzos del verano, habiendo
alcanzado cierto límite en el nordeste y en el noroeste, los puntos de salida y puesta del
Sol, de orto y ocaso, comienzan a desplazarse en dirección contraria, desde el lado
boreal del horizonte hacia el lado austral. Con esto la altura del Sol a mediodía y la
duración del día comienzan a disminuir, mientras que la duración de la noche aumenta.
Al alcanzar cierto límite, a comienzos del invierno, los puntos de salida y puesta del Sol
de nuevo empiezan a desplazarse hacia el lado boreal del cielo y todos los fenómenos
descritos se repiten. El periodo es anual y está relacionado con la inclinación de la
órbita de traslación de la Tierra alrededor del Sol con respecto al plano ecuatorial.
Mediante observaciones elementales y no muy largas es fácil advertir que la
Luna no permanece todo el tiempo en una misma constelación, sino que pasa de una
constelación a otra, desplazándose de occidente a oriente aproximadamente en 13º por
día. Mudándose por 12 constelaciones la Luna recorre por el cielo un círculo completo
en 27.32 días. La causa de este desplazamiento es la traslación de la Luna en torno a la
Tierra en la órbita que recorre como satélite natural.
Observaciones más minuciosas y más largas demuestran que también el Sol, al
igual que la Luna, se desplaza por el cielo de occidente a oriente, pasando por las
mismas 12 constelaciones. Sin embargo, la velocidad de su desplazamiento es
considerablemente menor, cerca de 1º por día. La causa de este desplazamiento es la
traslación de la Tierra en su órbita en torno al Sol de período anual.
Las constelaciones por las que pasan las rutas del Sol y de la Luna se denominan
zodiacales (de la palabra griega zoon, es decir, animal). Sus nombres son: Piscis
(Peces), Aries (Carnero), Tauro (Toro), Geminis (Gemelos), Cáncer (Cangrejo), Leo
(León), Virgo (Virgen), Libra (Balanza), Escorpio (Escorpión), Sagitario, Capricornio y
Acuario. En el hemisferio boreal, las primeras tres constelaciones el Sol las pasa en los
meses primaverales, las tres siguientes las recorre en los meses de verano, transita tres
constelaciones más en los meses otoñales y, por último, atraviesa las tres constelaciones
restantes en los meses de invierno. Aquellas constelaciones en las que se encuentra el
Sol en el momento dado son inaccesibles a las observaciones y solamente se hacen
visibles transcurrido aproximadamente medio año.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
22
ASTRONOMÍA
Ya en tiempos remotísimos, entre las estrellas de las constelaciones zodiacales,
se advirtieron cinco astros que exteriormente se parecían mucho a las estrellas, pero que
se distinguían de éstas por el hecho de que no conservan una misma posición en las
constelaciones, “errando” por ellas igual que el Sol y la Luna. Estos cuerpos fueron
denominados planetas, lo que significa “astros errantes”. Los antiguos romanos dieron
a los planetas los nombres de sus dioses: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. En
los siglos XVIII-XX se descubrieron tres planetas más: Urano (1781), Neptuno (1846) y
Plutón (1930).
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
23
ASTRONOMÍA
Los planetas se desplazan por las constelaciones zodiacales, la mayoría del
tiempo, de occidente a oriente, pero una parte del espacio lo recorren también del este al
oeste. El primer movimiento, es decir, el mismo que el del Sol y de la Luna, se llama
directo, y el segundo movimiento, de este a oeste, se denomina movimiento retrógrado.
1.6. LA ESFERA CELESTE.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
24
ASTRONOMÍA
Durante el estudio de los movimientos aparentes de los astros con objeto de
determinar posiciones u orientaciones es necesario determinar las posiciones relativas
entre estos. Esto se consigue determinando únicamente las direcciones mediante dos
coordenadas polares angulares, se prescinde de la distancia.
Se denomina esfera celeste a la esfera imaginaria de radio arbitrario, con centro
en un punto cualquiera del espacio, en cuya superficie los astros se disponen tal como se
ven en el cielo en cierto momento desde este punto dado del espacio. De este modo, el
observador imaginario que se encuentra en el centro de la esfera celeste, debe ver la
posición de los astros en la superficie de ésta exactamente en la misma posición relativa
en la que el observador real ve los astros reales en el cielo.
La rotación de la esfera celeste repite la rotación de la bóveda celeste.
La esfera celeste sirve para el estudio de las posiciones aparentes y movimientos
de los cuerpos celestes. Para ello, en su superficie, se fijan las líneas y puntos
principales respecto a los cuales se efectúan precisamente las mediciones
correspondientes.
La recta ZOZ’, que pasa por el centro de la esfera celeste y que coincide con la
dirección de la vertical astronómica en el lugar de observación, se denomina línea
vertical. La línea vertical intersecta la superficie de la esfera celeste en dos puntos: en el
cenit Z, sobre la cabeza del observador, y en el punto diametralmente opuesto, en el
nadir Z’.
Algunos de los conceptos de la siguiente figura serán tratados en capítulos
posteriores.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
25
ASTRONOMÍA
El círculo máximo de la esfera celeste (SWNE), cuyo plano es perpendicular a la
línea vertical, se llama horizonte matemático o verdadero. El horizonte matemático
divide la superficie de la esfera celeste en dos mitades: en la visible para el observador,
con el vértice en el cenit Z, y la invisible, con el vértice en el nadir Z’.
El horizonte matemático se debe distinguir del horizonte visible (de la línea a lo
largo de la cual el “cielo se junta con la Tierra”). En la tierra firme el horizonte visible
es una línea irregular, cuyos puntos yacen ora por encima ora por debajo del horizonte
matemático.
Dado un astro, la intersección del plano paralelo al horizonte matemático que lo
contiene con la esfera celeste es un círculo menor denominado almicantarat del astro.
También, el semicírculo máximo de la esfera celeste que pasa por el astro y contiene a
la línea vertical se denomina vertical del astro.
Los diferentes elementos geográficos estudiados para la esfera terrestre se
trasladan a la esfera celeste.
El diámetro PP’, a cuyo alrededor tiene lugar la rotación de la esfera celeste, se
denomina eje del mundo. El eje del mundo se corta con la superficie de la esfera celeste
en dos puntos: en el polo celeste boreal P y el polo celeste austral P’. El polo celeste
boreal es aquél desde cuyo lado la rotación de la esfera celeste tiene lugar en el sentido
de las agujas del reloj, si se mira a la esfera desde el exterior. Adviértase que la
definición es contraria a la del polo geográfico norte. La explicación no es otra que la
rotación de la esfera celeste es un movimiento aparente debido a la rotación de la Tierra
en el sentido contrario.
El círculo máximo QWQ’E de la esfera celeste, cuyo plano es perpendicular al
eje del mundo, se denomina ecuador celeste. El ecuador celeste divide la superficie de
la esfera celeste en dos hemisferios: el boreal, con el polo celeste boreal P, y el austral,
con el polo celeste austral P’.
Dado un astro, el círculo menor de la esfera celeste que lo contiene, cuyo plano
es paralelo al plano del ecuador celeste, se denomina paralelo celeste o diurno del astro.
Los movimientos aparentes de los astros tienen lugar por los paralelos diurnos.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
26
ASTRONOMÍA
También, el círculo máximo de la esfera celeste que contiene al astro y al eje del mundo
se le denomina meridiano celeste, círculo horario o círculo de declinación del astro.
El meridiano celeste local se divide en dos partes a partir del eje del mundo: el
meridiano celeste local superior, que contiene al cenit, y el meridiano celeste local
inferior, que contiene al nadir.
El círculo máximo de la esfera celeste PZQSP’Z’Q’N, cuyo plano contiene al
eje del mundo y a la línea vertical, se denomina meridiano celeste local o del lugar.
El ecuador celeste corta con el horizonte matemático en una recta que intersecta
con la esfera celeste en dos puntos: en el punto del oriente E y en el punto del occidente
W.
El meridiano celeste local divide la superficie de la esfera celeste en dos
hemisferios: el oriental, con el punto oriente E, y el occidental, con el punto occidente
W. Los verticales que contienen al punto oriente y al punto occidente se denominan
primer vertical oriental y occidental, respectivamente.
El meridiano celeste local y el horizonte matemático se cortan por la línea recta
NOS, que se denomina línea meridiana. La línea meridiana intersecta con la esfera
celeste en dos puntos: en el punto del norte N y en el punto del sur S. Se llama punto
del norte aquél que está más cerca del polo celeste boreal. El punto del sur está más
cerca del polo celeste austral.
El meridiano celeste local y el ecuador celeste se cortan también en una recta
que intersecta a la esfera celeste en dos puntos: en el punto superior del ecuador Q’,
más cercano al cenit, y en el punto inferior del ecuador Q, que está más cerca del nadir.
Además del movimiento de rotación, la Tierra, al igual que el resto de los
planetas del Sistema Solar, está dotada de un movimiento de traslación alrededor del
Sol, en el mismo sentido que la rotación terrestre, a una distancia media de 149.6·106
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
27
ASTRONOMÍA
km., describiendo una elipse en la que el centro de gravedad común (situado en el
interior de la masa solar) ocupa uno de sus focos.
Este movimiento real de la Tierra produce aparentemente un movimiento de
traslación del Sol en una trayectoria ideal simétrica a la de la Tierra, ocupando ésta uno
de los focos, y recorrida en sentido idéntico.
Cuando el Sol se halla más próximo a la Tierra se dice que está en su perigeo y
la Tierra en su perihelio; cuando se encuentran más alejados, se dice que el Sol está en
su apogeo y la Tierra en su afelio. La línea que une el perihelio con el afelio se
denomina línea de los ápsides.
El plano que contiene la órbita de la Tierra se llama plano de la eclíptica. La
intersección del plano de la eclíptica con la esfera celeste determina un círculo máximo
llamado eclíptica. El eje perpendicular al plano de la eclíptica se denomina eje de la
eclíptica. Corta la superficie de la esfera celeste en dos puntos: en el polo boreal de la
eclíptica, Π, situado en el hemisferio boreal, y el polo austral de la eclíptica, Π’,situado
en el hemisferio austral.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
28
ASTRONOMÍA
El plano de la eclíptica forma con el plano del ecuador terrestre un ángulo
denominado oblicuidad de la eclíptica y denotado ε. Este ángulo es aproximadamente
de 23º27’ pero no es constante sino que varía en el tiempo tal y como será estudiado
posteriormente.
El plano de la eclíptica corta al plano del ecuador celeste según distintas rectas
en función de la posición de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. Un caso particular
es de singular interés; cuando el Sol, en su movimiento aparente, corta el ecuador
celeste para pasar del hemisferio austral al hemisferio boreal, la intersección del plano
de la eclíptica con el plano del ecuador celeste da lugar a una recta denominada línea de
los equinoccios.
La línea de los equinoccios intersecta a la esfera celeste en dos puntos: en el
punto del equinoccio de primavera, punto Aries (γ) o vernal, y en el punto del
equinoccio de otoño, punto Libra (Ω). En el punto del equinoccio de primavera el Sol
cruza el ecuador celeste, pasando del hemisferio austral de la esfera celeste al
hemisferio boreal. En el punto del equinoccio de otoño el Sol cruza el ecuador celeste,
pasando del hemisferio boreal de la esfera celeste al hemisferio austral. Cuando el Sol
se encuentra en el punto Aries o en Libra la duración de la noche es igual a la del día, de
ahí el nombre de equinoccio, que significa en latín igualador.
Los puntos de la eclíptica que distan 90º de los puntos del equinoccio se
denominan punto del solsticio de verano o vernal, punto de Cáncer, (en el hemisferio
boreal) y punto del solsticio de invierno o hiemal, punto de Capricornio, (en el
hemisferio austral). La línea definida por los puntos Cáncer y Capricornio se denomina
línea de los solsticios.
Se denominan máximos de longitud celeste a los círculos que pasan por los polos
Π Π' de la eclíptica, y por los centros de los astros. El primer máximo de longitud es el
que pasa por Aries.
Se denominan paralelos de latitud celeste a los círculos menores de la esfera
celeste, paralelos a la eclíptica, que pasan por los centros de los astros.
CONCEPTO Y DEFINICIONES.
29
ASTRONOMÍA
TEMA 2. SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
2.1. INTRODUCCIÓN.
Se considerará el espacio afín-euclideo estándar ℜ3.
En primer lugar hay que retomar la definición de superficie. Superficie es el
lugar geométrico de los valores que adoptan tres funciones dependientes de dos
parámetros.
La expresión analítica de una superficie se puede realizar de distintas formas:
- en forma paramétrica:
x = x( u, v )
y = y( u, v )
z = z( u , v )
- en forma vectorial:
x = x (u, v) = x(u, v) • e1 + y (u, v ) • e2 + z(u, v) • e3 = ( x1 (u, v), x2 (u, v), x3 (u, v ))
- en forma explícita:
- en forma implícita:
z = f ( x, y)
F ( x , y , z) = 0
Un punto de la superficie quedará definido por tres coordenadas. Los tres tipos
de coordenadas más utilizadas son:
- coordenadas cartesianas.- (x, y, z) que, para el caso de una superficie, se
obtienen directamente de la expresión de la superficie en forma paramétrica.
- coordenadas esféricas.- Tienen gran trascendencia en el ámbito de la ingeniería
geográfica por su utilización tanto en el modelo de superficie de referencia esférico
como elipsoidal.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
1
ASTRONOMÍA
Se pueden definir otras coordenadas esféricas, cambiando el eje origen y el
sentido. Sirva de ejemplo el cambiar el origen de la coordenada ϕ del plano Z=0 al eje
Z, y el sentido directo por el retrógrado.
El objetivo es definir la posición de un astro en la esfera celeste. La posición
quedará determinada por dos parámetros o coordenadas, dado que el objeto de la
parametrización no es otro que la superficie de la esfera celeste. Se utilizarán las dos
coordenadas angulares de las coordenadas esféricas (λ, ϕ), prescindiendo de la
coordenada distancia. Únicamente se considerará la dirección y el sentido del vector de
posición. Esto permite prescindir de la métrica inducida por la norma definida a partir
del producto escalar estándar, lo que permitiría considerar el espacio afín ℜ3.
Existen infinitas parametrizaciones de una superficie. Se considerarán
únicamente aquellos sistemas de coordenadas cuyos elementos principales tengan una
realidad física que permitan reconstruir la dirección al astro con un instrumento
goniométrico.
Cada sistema de coordenadas esféricas tiene asociado un sistema de coordenadas
cartesianas tridimensionales. Al definir un sistema de coordenadas cartesianas
tridimensionales es preciso fijar su origen, el plano fundamental (o plano Z=0, plano
definido por los ejes X, Y). De esta forma ya ha quedado definido el eje Z, o eje
fundamental, como el director del plano fundamental que pasa por el centro. A
continuación se ha de definir el sentido creciente en el eje Z., la dirección del eje X en
el plano fundamental y su sentido creciente. El eje Y, su dirección y sentido, se define
normalmente exigiendo que forme junto a los dos ejes anteriores una terna dextrógira.
En astronomía de posición se utilizan principalmente cuatro sistemas de
coordenadas. Como origen de cada uno de los sistemas de coordenadas se considera el
centro de la esfera celeste. Cada sistema tendrá un plano fundamental, en el que se
anula la segunda coordenada esférica angular. Las coordenadas esféricas recibirán
distinta denominación y denotación en cada uno de los sistemas de coordenadas.
Es fundamental estudiar la transformación entre cada uno de los sistemas, las
ventajas e inconvenientes entre ellos, así como el objeto de aplicación de cada uno de
ellos.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
2
ASTRONOMÍA
En astronomía de posición se consideran sistemas de coordenadas topocéntricos,
geocéntricos y heliocéntricos según el origen se sitúe en el lugar de observación, el
centro de masas de la Tierra o el centro de masas del Sistema Solar, respectivamente.
La relación entre ellos, que pasa por una traslación afín, será objeto de estudio en temas
posteriores.
A pesar de que la correcta notación de la latitud astronómica es Φ, se denotará
con ϕ, notación correcta de la latitud geodésica, debido a que es la empleada en la
bibliografía recomendada al alumno.
2.2. SISTEMAS DE COORDENADAS
ECUATORIALES HORARIAS.
HORIZONTALES
Y
El motivo de estudiar conjuntamente estos dos sistemas de coordenadas es que
su definición se relaciona con el movimiento diurno de la esfera celeste.
2.2.1. SISTEMA DE COORDENADAS HORIZONTALES.
En un punto de la superficie terrestre, la dirección de la vertical astronómica
instantánea es materializable mediante el eje principal de un teodolito correctamente
nivelado. El centro del teodolito estacionado materializa el centro de la esfera celeste.
Por este motivo, se define como eje fundamental (eje Z) de este sistema de
coordenadas la dirección de la vertical astronómica con sentido positivo hacia el zenit.
El plano fundamental, normal al eje fundamental por el centro del sistema de
coordenadas, será el plano horizonte astronómico.
Como dirección del eje Y se ha de utilizar una dirección materializable,
recuperable, que no será otra que la dirección de la meridiana astronómica, con sentido
positivo hacia el sur. El eje X será la dirección de la línea este-oeste, con sentido
positivo hacia el oeste, de forma que completa una terna dextrógira con los ejes Y y Z.
Sobre la esfera celeste, el eje Z se proyecta en el cenit, el eje Y se proyecta en el punto
S y el eje X se proyecta en el punto W.
En el sistema cartesiano tridimensional definido tiene asociado un sistema de
coordenadas esféricas. La dirección y sentido del vector correspondiente a un astro en
este sistema de coordenadas queda definida mediante las coordenadas:
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
3
ASTRONOMÍA
-
Coordenada acimut astronómico, A.- ángulo desde el meridiano celeste
(plano X=0) hasta el plano vertical del astro, medido en el sentido
retrógrado. Equivalentemente, se define como el arco sobre el horizonte
astronómico desde el punto sur hasta el vertical del astro, medido en el
sentido retrógrado, en el sentido de la rotación diaria de la esfera celeste.
-
Coordenada altura, h.- ángulo que forma el vector del astro con el horizonte
matemático (plano Z=0), medido desde el horizonte astronómico en el
sentido directo. Equivalentemente, se define como el arco medido sobre el
vertical del astro, desde el horizonte matemático hasta el almicantarat del
astro, en el sentido directo.
En ocasiones conviene utilizar como segunda coordenada esférica horizontal la
distancia cenital del astro, z.- ángulo que forma el vector del astro con el eje Z, medido
desde el eje Z en el sentido retrógrado, o equivalentemente, arco medido sobre el
vertical del astro desde el cenit hasta el almicantarat del astro, en el sentido retrógrado.
Los dominios de las coordenadas horizontales son: 0º ≤ A < 360º, -90º ≤ h ≤ 90º,
0º ≤ z ≤ 180º
A diferencia de los acimutes astronómicos, que se miden desde el sur
astronómico, los acimutes geodésicos se miden desde el norte geodésico. Debido a esto,
a parte de la pequeña diferencia entre los nortes astronómico y geodésico, hay una
diferencia de 180º.
2.2.2. SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS.
El origen de este sistema de coordenadas es el centro de la esfera celeste. Se
define como eje fundamental (eje Z) la dirección del eje del mundo con sentido positivo
hacia el polo celeste boreal. El plano fundamental, normal al eje fundamental por el
centro del sistema de coordenadas, será el ecuador de la esfera celeste.
El eje Y es la intersección del plano meridiano celeste local y en el ecuador
celeste o fundamental. Es decir, el eje Y es la línea QQ´. El sentido positivo es el del
punto Q´, o punto superior del ecuador celeste. El eje X será la dirección de la línea
este-oeste, con sentido positivo hacia el oeste, de forma que completa una terna
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
4
ASTRONOMÍA
dextrógira con los ejes Y y Z. Sobre la esfera celeste, el eje Z se proyecta en el polo
celeste boreal, el eje Y se proyecta en el punto Q´ y el eje X se proyecta en el punto W.
En el sistema cartesiano tridimensional definido tiene asociado un sistema de
coordenadas esféricas. La dirección y sentido del vector correspondiente a un astro en
este sistema de coordenadas queda definida mediante las coordenadas:
-
Coordenada ángulo horario, H.- ángulo desde el meridiano celeste (plano
X=0) hasta el meridiano celeste del astro, medido en el sentido retrógrado.
Equivalentemente, se define como el arco sobre el ecuador celeste desde el
punto Q´ hasta el meridiano celeste del astro, medido en el sentido
retrógrado, en el sentido de la rotación diaria de la esfera celeste. Se suele
expresar en magnitud de tiempo.
-
Coordenada declinación, δ.- ángulo que forma el vector del astro con el
ecuador celeste (plano Z=0), medido desde el ecuador celeste en el sentido
directo. Equivalentemente, se define como el arco medido sobre el meridiano
celeste del astro, medido desde el ecuador celeste hasta el paralelo celeste
del astro, en el sentido directo.
En ocasiones conviene utilizar como segunda coordenada esférica ecuatorial
horaria la distancia polar del astro, ρ.- ángulo que forma el vector del astro con el eje Z,
medido desde el eje Z en el sentido directo, o equivalentemente, arco medido sobre el
meridiano celeste del astro desde el polo celeste boreal hasta el paralelo celeste del
astro, en el sentido retrógrado.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
5
ASTRONOMÍA
Los dominios de las coordenadas ecuatoriales horarias son: 0h≤ H <24h, -90º≤ δ
≤ 90º, 0º≤ ρ ≤180º.
2.2.3. DEPENDENCIA ENTRE LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LA
LATITUD DEL LUGAR DE OBSERVACIÓN ASTRONÓMICA.
La rotación de la esfera celeste es un fenómeno aparente, y representa en sí el
resultado de la rotación real de la Tierra alrededor de su eje en el sentido contrario. Por
esto, cualquiera que sea el punto de la superficie de la Tierra en el que se encuentre el
observador, éste siempre verá la rotación de la esfera celeste, que tiene lugar alrededor
del eje del mundo: línea recta que es paralela al eje de rotación de la Tierra.
La dirección de la línea de la plomada, dirección del vector de la gravedad o
vertical astronómica, por el contrario, varía al desplazarse el observador por la
superficie terrestre, y forma distintos ángulos con el eje del mundo. La posición relativa
de los círculos y puntos de la esfera celeste, ligados con el eje del mundo y con la
vertical, depende, por consiguiente, de la dirección de esta última, es decir, de la
posición del observador en la superficie de la Tierra.
Esta dependencia se expresa de la forma siguiente: “la altura hP del polo celeste
sobre el horizonte siempre es igual a la latitud astronómica ϕ del lugar de
observación”. El polo celeste a considerar en la afirmación anterior es el boreal si el
lugar de observación se encuentra en el hemisferio boreal, y el austral si se encuentra en
el austral.
La comprobación de esta afirmación se desprende directamente de una
representación gráfica de los elementos celestes que intervienen.
Consecuencias directas son:
♦ La declinación del cenit es igual a la latitud astronómica.
♦ La distancia polar del punto norte N es igual a la latitud astronómica.
♦ La distancia cenital del punto superior del ecuador celeste Q´ es igual a la
latitud astronómica.
♦ La distancia polar del cenit es 90º-ϕ.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
6
ASTRONOMÍA
♦ La declinación del punto norte N es 90º-ϕ.
♦ La altura del punto superior del ecuador Q´ es 90º-ϕ.
2.2.4. VENTAJAS E INCONVENIENTES ENTRE AMBOS SISTEMAS DE
COORDENADAS.
La gran ventaja de las coordenadas horizontales es que pueden ser obtenidas con
un teodolito, o con un telescopio que disponga de un sistema de nivelación. Su
inconveniente radica en el hecho de la variación continua en el tiempo y en el espacio.
Dado un lugar de observación, las coordenadas horizontales de un astro varían
constantemente y, además, de forma no uniforme. Dado un astro y un instante de
observación, las coordenadas horizontales dependen del lugar de observación.
El principal inconveniente de las coordenadas ecuatoriales horarias es que para
medirlas es necesario situar el eje principal del aparato, teodolito o telescopio, en la
dirección del eje fundamental de este sistema de coordenadas, en la dirección del eje del
mundo. Esto se consigue en telescopios que disponen de montaje ecuatorial
introduciendo como altura del polo celeste la latitud astronómica.
La principal ventaja del sistema de coordenadas ecuatoriales horarias es que la
declinación de las estrellas es constante en el tiempo y en el espacio. Es constante en el
espacio debido a que no depende del lugar de observación. Es constante respecto al
tiempo debido a que el movimiento de una estrella, por la rotación de la esfera celeste,
se produce en el plano paralelo celeste que la contiene, en un plano perpendicular al eje
de rotación, eje del mundo, es decir, paralelo al plano ecuador celeste. Hay otros astros,
animados de otros movimientos, tales como el Sol, la Luna y los planetas, que no
conservan esta coordenada.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
7
ASTRONOMÍA
La coordenada ángulo horario depende del lugar de observación ya que su
origen está contenido en el meridiano celeste local. Para un astro, y para un instante, la
diferencia entre el ángulo horario del mismo para dos observatorios distintos coincide
con la diferencia de longitud astronómica transformada en tiempo. Además, esta
coordenada varía con el tiempo. Las estrellas, por la rotación de la esfera celeste, se
desplazan en su paralelo celeste de este a oeste. Si se asume que el movimiento de
rotación de la Tierra es uniforme, la variación del ángulo horario de una estrella es
uniforme. Cuando una estrella cruza el meridiano celeste local su ángulo horario se
anula, transcurrido un intervalo de tiempo, el ángulo horario será igual al tiempo
transcurrido. He aquí la explicación del sentido de crecimiento del ángulo horario y el
motivo del porqué de que a este sistema de coordenadas se le denomine ecuatorial
horario.
En las siguientes figuras se observa el comportamiento analizado de las
coordenadas ecuatoriales horarias. En la figura de la izquierda se aprecia como, para un
lugar, la declinación de una estrella es constante y su ángulo horario varía con el
movimiento diurno. En la figura de la derecha se aprecia como, para dos lugares, la
diferencia entre los ángulos horarios de una estrella en un instante es la diferencia de
longitud.
2.2.5. TRANSFORMACIÓN ENTRE LOS DOS SISTEMAS DE COORDENADAS.
Ya se hizo alusión a lo importante de establecer las transformaciones que
permitan pasar de un sistema de coordenadas a cualquier otro.
La deducción de las fórmulas que permiten realizar la transformación se suele
plantear a partir de trigonometría esférica. El inconveniente que presenta esta deducción
es la necesidad de recordar expresiones de la misma. Esta deducción se encuentra en
toda la bibliografía.
Se estudiará de un modo diferente, a través de álgebra lineal.
Tal y como han sido definidos los sistemas cartesianos tridimensionales las
coordenadas horizontales y de las coordenadas ecuatoriales horarias, tienen el eje X
común, la línea EW. Las direcciones de los ejes de un sistema cartesiano tridimensional
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
8
ASTRONOMÍA
definen una base del espacio vectorial ℜ3. El problema que se plantea no es sino un
cambio de base en el que uno de los vectores de ambas bases coincide, el
correspondiente al eje X (1, 0, 0).
Recuérdese que se prescinde de la distancia, los parámetros definidos en cada
sistema sólo permiten fijar la dirección y sentido de un vector. Para obtener las
coordenadas cartesianas tridimensionales de un punto de la superficie de la esfera
celeste es preciso asumir un valor para el radio de la misma. Se adopta radio unidad. De
esta forma, si se denotan con (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) las coordenadas de un astro en el
sistema cartesiano tridimensional horizontal y en el cartesiano tridimensional ecuatorial
horario respectivamente, teniendo en cuenta la definición de ambos sistemas, se
obtienen por:
x1 = cos(h ) ⋅ sen ( A)
y1 = cos(h ) ⋅ cos( A)
z1 = sen (h )
x2 = cos(δ ) ⋅ sen (H )
y 2 = cos(δ ) ⋅ cos(H )
z 2 = sen (δ )
La transformación de coordenadas cartesianas tridimensionales horizontales a
cartesianas tridimensionales ecuatoriales horarias es un cambio de base que se puede
interpretar como una rotación en torno al eje X de magnitud (90º-ϕ) y sentido directo.
De forma matricial:
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
9
ASTRONOMÍA
0
0
⎛ x2 ⎞ ⎛ 1
⎞ ⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ y 2 ⎟ = ⎜ 0 cos(90º −ϕ ) sen (90º −ϕ )⎟ ⋅ ⎜ y1 ⎟ ⇒ X 1 = R(ϕ ) ⋅ X 2
⎜ z ⎟ ⎜ 0 − sen (90º −ϕ ) cos(90º −ϕ )⎟ ⎜ z ⎟
⎝ 2⎠ ⎝
⎠ ⎝ 1⎠
0
0 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎛ x2 ⎞ ⎛ 1
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y 2 ⎟ = ⎜ 0 sen (ϕ ) cos(ϕ )⎟ ⋅ ⎜ y1 ⎟
⎜ z ⎟ ⎜ 0 − cos(ϕ ) sen (ϕ )⎟ ⎜ z ⎟
⎠ ⎝ 1⎠
⎝ 2⎠ ⎝
Expresado como ecuaciones y sustituyendo los valores de las coordenadas
cartesianas tridimensionales en función de las esféricas:
x2 = x1
y2 = sen (ϕ ) ⋅ y1 + cos(ϕ ) ⋅ z1
z 2 = − cos(ϕ ) ⋅ y1 + sen (ϕ ) ⋅ z1
cos(δ ) ⋅ sen (H ) = cos(h ) ⋅ sen ( A)
cos(δ ) ⋅ cos(H ) = sen (ϕ ) ⋅ cos(h ) ⋅ cos( A) + cos(ϕ ) ⋅ sen (h )
sen (δ ) = − cos(ϕ ) ⋅ cos(h ) ⋅ cos( A) + sen (ϕ ) ⋅ sen (h )
Estas tres últimas ecuaciones permiten obtener la transformación. Hay dos
formas de proceder:
♦ Calcular en primer lugar la declinación con la tercera ecuación y después
sustituirla en la segunda para obtener el cos(H). Obtener el cos(H) no
significa, en principio, obtener H, pero teniendo en cuenta que H está en los
dos primeros cuadrantes si, y sólo si, A lo está, el problema está resuelto.
Adviértase que el sen(H) no permitiría resolverlo. De cualquier forma, ante
la duda siempre se pueden obtener sen(H) y cos(H) sustituyendo la
declinación en las dos primeras ecuaciones.
♦ Tal y como se resuelve en la bibliografía. Se parte de las mismas tres
ecuaciones. Se plantea un cambio de variables:
m ⋅ sen (M ) = cos(h ) ⋅ cos( A)
m ⋅ cos(M ) = sen (h )
Se transforma el sistema de tres ecuaciones llegando a:
tg(M ) = cos( A) ⋅ cot g (h )
tg(H ) =
sen (M ) ⋅ tg ( A)
cos(ϕ − M )
tg(δ ) = cos(H ) ⋅ tg(ϕ − M )
que resuelven el problema utilizando la misma relación entre los valores de A y
H.
La transformación de coordenadas cartesianas tridimensionales ecuatoriales
horarias a coordenadas cartesianas tridimensionales horizontales es también un cambio
de base representable como una rotación en torno al eje X, común de ambos sistemas,
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
10
ASTRONOMÍA
de la misma magnitud pero de sentido contrario, es decir, de sentido retrógrado. Se
puede deducir su expresión al igual que se hizo en el caso anterior o partir de la
propiedad de ortogonalidad de la matriz R(ϕ): la inversa de una matriz ortogonal es
igual a su transpuesta.
X 1 = R (ϕ ) ⋅ X 2 ⇔ X 2 = R (ϕ ) ⋅ X 1 ⇔ X 2 = R (ϕ ) ⋅ X 1
−1
T
resultando,
0
0 ⎞ ⎛ x2 ⎞
⎛ x1 ⎞ ⎛ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
(
)
(ϕ )⎟ ⋅ ⎜ y 2 ⎟
y
0
sen
ϕ
cos
=
−
⎜ 1⎟ ⎜
⎜ z ⎟ ⎜ 0 cos(ϕ ) sen (ϕ ) ⎟ ⎜ z ⎟
⎝ 1⎠ ⎝
⎠ ⎝ 2⎠
que da lugar a las ecuaciones de la transformación:
x1 = x 2
y1 = sen (ϕ ) ⋅ y 2 − cos(ϕ ) ⋅ z 2
z1 = cos(ϕ ) ⋅ y 2 + sen (ϕ ) ⋅ z 2
cos(h ) ⋅ sen ( A) = cos(δ ) ⋅ sen (H )
cos(h ) ⋅ cos( A) = sen (ϕ ) ⋅ cos(δ ) ⋅ cos(H ) − cos(ϕ ) ⋅ sen (δ )
sen (h ) = cos(ϕ ) ⋅ cos(δ ) ⋅ cos(H ) + sen (ϕ ) ⋅ sen (δ )
Estas tres últimas ecuaciones permiten obtener la transformación. Hay dos
formas de proceder:
♦ Calcular en primer lugar la altura con la tercera ecuación y después
sustituirla en la segunda para obtener el cos(A). Obtener el cos(A) no
significa, en principio, obtener A, pero teniendo en cuenta que A está en los
dos primeros cuadrantes si, y sólo si, H lo está, el problema está resuelto.
Adviértase que el sen(A) no permitiría resolverlo. De cualquier forma, ante
la duda siempre se pueden obtener sen(A) y cos(A) sustituyendo la
declinación en las dos primeras ecuaciones.
♦ Tal y como se resuelve en la bibliografía. Se parte de las mismas tres
ecuaciones. Se plantea un cambio de variables:
m ⋅ cos (M ) = cos (δ ) ⋅ cos(H )
m ⋅ sen (M ) = sen (δ )
Se transforma el sistema de tres ecuaciones llegando a:
cot g (M ) = cos(H ) ⋅ cot g (δ )
tg( A) =
cos(M ) ⋅ tg (H )
sen (ϕ − M )
tg(h ) = cos( A) ⋅ cot g (ϕ − M )
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
11
ASTRONOMÍA
que resuelven el problema utilizando la misma relación entre los valores de A y
H.
2.3.
SISTEMAS
ABSOLUTAS.
DE
COORDENADAS
ECUATORIALES
2.3.1. DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES
ABSOLUTAS.
El motivo de la denominación de coordenadas ecuatoriales absolutas es las
coordenadas de un astro en este sistema, salvo pequeñas correcciones que se estudiarán
en temas posteriores, van a ser invariantes frente al tiempo y al espacio. Recuérdese que
el principal inconveniente de las coordenadas horarias es la variación del ángulo
horario. En el sistema que se define a continuación este inconveniente se solventa. El
carácter absoluto de las coordenadas ecuatoriales absolutas hace que estas sean las más
convenientes para definir la posición de una estrella y por ello figuran en los distintos
catálogos estelares.
El origen de este sistema de coordenadas es el centro de la esfera celeste. Se
define como eje fundamental (eje Z) la dirección del eje del mundo con sentido positivo
hacia el polo celeste boreal. El plano fundamental, normal al eje fundamental por el
centro del sistema de coordenadas, será el ecuador de la esfera celeste.
El eje X es la intersección del plano del ecuador celeste con el plano de la
eclíptica, es decir, la línea de los equinoccios, con sentido positivo hacia el punto Aries.
El eje Y será tal que complete con los ejes X y Z una terna dextrógira. Sobre la esfera
celeste, el eje Z se proyecta en el polo celeste boreal y el eje X se proyecta en el punto
γ.
El sistema cartesiano tridimensional definido tiene asociado un sistema de
coordenadas esféricas. La dirección y sentido del vector correspondiente a un astro en
este sistema de coordenadas queda definida mediante la coordenada declinación,
coincidente con la del sistema de coordenadas ecuatoriales horarias, y una segunda
coordenada:
Coordenada ascensión recta, α.- ángulo desde el meridiano celeste del punto
Aries (plano Y=0) hasta el meridiano celeste del astro, medido en el sentido directo.
Equivalentemente, se define como el arco sobre el ecuador celeste desde el punto γ
hasta el meridiano celeste del astro, medido en el sentido directo, en el sentido contrario
al de la rotación diaria de la esfera celeste. Se suele expresar en magnitud de tiempo.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
12
ASTRONOMÍA
En ocasiones conviene utilizar como segunda coordenada esférica ecuatorial
absoluta, al igual que sucedía en el sistema de coordenadas ecuatoriales horarias, la
distancia polar del astro, ρ.
Los dominios de las coordenadas ecuatoriales horarias son: 0h≤ α <24h, -90º≤ δ
≤90º, 0º≤ ρ ≤180º.
El motivo de que la ascensión recta de un astro que conserve su posición en la
esfera celeste sea constante es que el punto Aries también es un punto fijo de la esfera
celeste, salvo pequeñas correcciones que se estudiarán en temas posteriores.
2.3.2. TRANSFORMACIÓN ENTRE EL SISTEMA DE
ECUATORIALES HORARIAS Y EL SISTEMA DE
ECUATORIALES ABSOLUTAS. RELACIÓN ENTRE α Y H.
COORDENADAS
COORDENADAS
Tanto la coordenada H del sistema de coordenadas ecuatoriales horarias como la
coordenada α del sistema de coordenadas ecuatoriales absolutas se miden sobre el
ecuador.
El ángulo horario tiene origen en el punto superior del ecuador que es fijo para
un lugar de observación. La ascensión recta tiene origen en el punto vernal que es fijo
en la esfera celeste y por tanto está afectado de la rotación diurna de la esfera celeste.
Por tanto, el punto vernal, al igual que cualquier estrella, completa una revolución
pasando por el meridiano celeste local. Esto lleva a considerar la variación del ángulo
horario del punto vernal. Cuando el punto vernal se encuentra en el meridiano celeste
local su ángulo horario se anula y comienza a aumentar a medida que la esfera celeste
rota. Se define la coordenada temporal hora sidérea, y se denota θ, cómo el ángulo
horario del punto vernal para un lugar y un instante de observación.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
13
ASTRONOMÍA
Si se considera una estrella cuya ascensión recta sea menor al ángulo horario del
punto vernal, es directo el comprobar que el ángulo horario del punto vernal es igual a
la suma de la ascensión recta de la estrella y del ángulo horario de la misma. El
enunciado anterior es cierto para cualquier estrella pero más sencillo de ver
gráficamente en el caso considerado. Esta consideración permite establecer una
ecuación que en muchos textos figura como la ecuación fundamental de la astronomía
de posición:
θ =α + H
Dado que la ascensión recta de una estrella es constante en el tiempo, el
incremento de la hora sidérea con la rotación diurna de la esfera celeste se justifica con
el incremento del ángulo horario de la estrella.
Es evidente que la aplicación directa de la hora sidérea a la astronomía de
posición es el paso entre el sistema de coordenadas ecuatoriales absolutas y el sistema
de coordenadas ecuatoriales horarias.
Un ejemplo directo de este tipo de aplicación es el determinar las coordenadas
horizontales de una estrella para un lugar de observación y un instante determinado. El
proceso sería transformar las coordenadas ecuatoriales absolutas a ecuatoriales horarias
a través del tiempo sidéreo del lugar e instante para, a continuación, obtener las
coordenadas horizontales a través de la latitud astronómica del lugar.
Queda justificado que el carácter fundamental de la ecuación en cuanto a la
astronomía de posición se refiere. Prácticamente la totalidad de los problemas que se
plantean en astronomía de posición pasan por el conocimiento, o determinación, de la
hora sidérea.
2.4. SISTEMAS DE COORDENADAS ECLÍPTICAS.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
14
ASTRONOMÍA
2.4.1. DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS.
Tanto el sistema de coordenadas ecuatoriales horarias cómo el sistema de
coordenadas ecuatoriales absolutas incluyen en su definición como plano fundamental
al plano del ecuador celeste. Elegir como plano fundamental el plano del ecuador
celeste es óptimo si lo que se pretende es estudiar la posición de astros cuyo
movimiento se debe a la rotación de la Tierra ya que su movimiento se produce en
planos paralelos al ecuador celeste, paralelos celestes.
Sin embargo, hay astros animados de movimientos adicionales. Un ejemplo de
estos son los planetas del sistema solar que orbitan describiendo elipses en torno al Sol,
con el centro de masas respectivo en uno de los focos de la elipse. Además, los planos
orbitales de cada planeta, incluido el de la Tierra, no coinciden ni son constantes en el
tiempo. En astronomía de posición y mecánica celeste se estudia la posición relativa de
los diferentes planos orbitales de los planetas con respecto al plano orbital de la Tierra,
eclíptica. Parece lógico, por tanto, utilizar para el estudio del movimiento de estos
astros un sistema de coordenadas que como plano fundamental utilice al plano de la
eclíptica. Este sistema de coordenadas es el sistema de coordenadas eclípticas que se
procede a definir.
El origen de este sistema de coordenadas es el centro de la esfera celeste. Se
define como eje fundamental (eje Z) la dirección del eje de la eclíptica, ΠΠ’, con
sentido positivo hacia el polo boreal de la eclíptica. El plano fundamental, normal al eje
fundamental por el centro del sistema de coordenadas, será el plano de la eclíptica.
El eje X es la intersección del plano del ecuador celeste con el plano de la
eclíptica, es decir, la línea de los equinoccios, con sentido positivo hacia el punto Aries.
El eje Y será tal que complete con los ejes X y Z una terna dextrógira. Sobre la esfera
celeste, el eje Z se proyecta en el polo boreal de la eclíptica y el eje X se proyecta en el
punto γ.
En el sistema cartesiano tridimensional definido tiene asociado un sistema de
coordenadas esféricas. La dirección y sentido del vector correspondiente a un astro en
este sistema de coordenadas queda definida mediante las coordenadas:
-
Coordenada longitud eclíptica o celeste, λ.- ángulo desde el máximo de
longitud celeste del punto Aries (plano Y=0) hasta el máximo de longitud
celeste del astro, medido en el sentido directo. Equivalentemente, se define
como el arco sobre la eclíptica desde el punto γ hasta el máximo de longitud
celeste del astro, medido en el sentido directo, en el sentido contrario al de la
rotación diaria de la esfera celeste. Se suele expresar en magnitud angular.
-
Coordenada latitud eclíptica o celeste, β.- ángulo que forma el vector del
astro con el plano de la eclíptica (plano Z=0), medido desde el plano de la
eclíptica en el sentido directo. Equivalentemente, se define como el arco
medido sobre el máximo de longitud celeste del astro, medido desde el plano
de la eclíptica hasta el paralelo de latitud celeste del astro, en el sentido
directo.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
15
ASTRONOMÍA
Los dominios de las coordenadas ecuatoriales horarias son: 0º≤ λ <360º, -90º≤ β ≤90º.
2.4.2. TRANSFORMACIÓN ENTRE EL SISTEMA DE COORDENADAS
ECUATORIAL ABSOLUTO Y EL SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS.
Ya se hizo alusión a lo importante de establecer las transformaciones que
permitan pasar de un sistema de coordenadas a cualquier otro.
La deducción de las fórmulas que permiten realizar la transformación se suele
plantear a partir de trigonometría esférica. El inconveniente que presenta esta deducción
es la necesidad de recordar expresiones de la misma. Esta deducción se encuentra en
toda la bibliografía.
Se estudiará de un modo diferente, a través de álgebra lineal.
Tal y como han sido definidos los sistemas cartesianos tridimensionales las
coordenadas ecuatoriales absolutas y de las coordenadas eclípticas, tienen el eje X
común, la línea de los equinoccios. Las direcciones de los ejes de un sistema cartesiano
tridimensional definen una base del espacio vectorial ℜ3. El problema que se plantea no
es sino un cambio de base en el que uno de los vectores de ambas bases coincide, el
correspondiente al eje X (1, 0, 0).
Recuérdese que se prescinde de la distancia, los parámetros definidos en cada
sistema sólo permiten fijar la dirección y sentido de un vector. Para obtener las
coordenadas cartesianas tridimensionales de un punto de la superficie de la esfera
celeste es preciso asumir un valor para el radio de la misma. Se adopta radio unidad. De
esta forma, si se denotan con (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) las coordenadas de un astro en el
sistema cartesiano tridimensional ecuatorial absoluto y en el cartesiano tridimensional
eclíptico respectivamente, teniendo en cuenta la definición de ambos sistemas, se
obtienen por:
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
16
ASTRONOMÍA
x1 = cos(δ ) ⋅ cos(α )
y1 = cos(δ ) ⋅ sen (α )
z1 = sen (δ )
x 2 = cos(β ) ⋅ cos(λ )
y 2 = cos(β ) ⋅ sen (λ )
z 2 = sen (β )
La transformación de coordenadas cartesianas tridimensionales ecuatoriales
absolutas a cartesianas tridimensionales eclípticas es un cambio de base que se puede
interpretar como una rotación en torno al eje X de magnitud ε, oblicuidad de la
eclíptica, y sentido directo. De forma matricial:
0
0 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎛ x2 ⎞ ⎛ 1
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
(
)
(ε )⎟ ⋅ ⎜ y1 ⎟ ⇒ X 1 = R(ε ) ⋅ X 2
ε
y
0
cos
sen
=
⎜ 2⎟ ⎜
⎜ z ⎟ ⎜ 0 − sen (ε ) cos(ε )⎟ ⎜ z ⎟
⎠ ⎝ 1⎠
⎝ 2⎠ ⎝
Expresado como ecuaciones y sustituyendo los valores de las coordenadas
cartesianas tridimensionales en función de las esféricas:
x 2 = x1
y 2 = cos(ε ) ⋅ y1 + sen (ε ) ⋅ z1
z 2 = − sen (ε ) ⋅ y1 + cos(ε ) ⋅ z1
cos(β ) ⋅ cos(λ ) = cos(δ ) ⋅ cos(α )
cos(β ) ⋅ sen (λ ) = cos(ε ) ⋅ cos(δ ) ⋅ sen (α ) + sen (ε ) ⋅ sen (δ )
sen (β ) = − sen (ε ) ⋅ cos(δ ) ⋅ sen (α ) + cos(ε ) ⋅ sen (δ )
Estas tres últimas ecuaciones permiten obtener la transformación. Hay dos
formas de proceder:
♦ Calcular en primer lugar la latitud eclíptica con la tercera ecuación y después
sustituirla en la primera para obtener el cos(λ). Obtener el cos(λ) no
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
17
ASTRONOMÍA
significa, en principio, obtener λ, pero teniendo en cuenta que λ está en los
dos primeros cuadrantes si, y sólo si, α lo está, el problema está resuelto.
Adviértase que el sen(λ) no permitiría resolverlo. De cualquier forma, ante la
duda siempre se pueden obtener sen(λ) y cos(λ) sustituyendo la declinación
en las dos primeras ecuaciones.
♦ Tal y como se resuelve en la bibliografía. Se parte de las mismas tres
ecuaciones. Se plantea un cambio de variables:
M ⋅ sen ( N ) = sen (δ )
M ⋅ cos (N ) = cos(δ ) ⋅ sen (α )
Se transforma el sistema de tres ecuaciones llegando a:
tg(N ) =
tg(δ )
sen(α )
tg(λ ) =
tg(α ) ⋅ cos( N − ε )
cos( N )
tg(β ) = sen(λ ) ⋅ tg(N − ε )
que resuelven el problema utilizando la misma relación entre los valores de α y
λ.
La transformación de coordenadas cartesianas tridimensionales eclípticas a
coordenadas cartesianas tridimensionales ecuatoriales absolutas es también un cambio
de base representable como una rotación en torno al eje X, común de ambos sistemas,
de la misma magnitud pero de sentido contrario, es decir, de sentido retrógrado. Se
puede deducir su expresión al igual que se hizo en el caso anterior o partir de la
propiedad de ortogonalidad de la matriz R(ε): la inversa de una matriz ortogonal es
igual a su transpuesta.
X 1 = R (ε ) ⋅ X 2 ⇔ X 2 = R (ε ) ⋅ X 1 ⇔ X 2 = R (ε ) ⋅ X 1
−1
T
resultando,
0
0 ⎞ ⎛ x2 ⎞
⎛ x1 ⎞ ⎛ 1
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
(
)
(ε )⎟ ⋅ ⎜ y 2 ⎟
y
0
cos
ε
sen
=
−
⎜ 1⎟ ⎜
⎜ z ⎟ ⎜ 0 sen (ε ) cos(ε ) ⎟ ⎜ z ⎟
⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 1⎠ ⎝
que da lugar a las ecuaciones de la transformación:
x1 = x 2
y1 = cos(ε ) ⋅ y 2 − sen (ε ) ⋅ z 2
z1 = sen (ε ) ⋅ y 2 + cos(ε ) ⋅ z 2
cos(δ ) ⋅ cos(α ) = cos(β ) ⋅ cos(λ )
cos(δ ) ⋅ sen (α ) = cos(ε ) ⋅ cos(β ) ⋅ sen (λ ) − sen (ε ) ⋅ sen (β )
sen (δ ) = sen (ε ) ⋅ cos(β ) ⋅ sen (λ ) + cos(ε ) ⋅ sen (β )
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
18
ASTRONOMÍA
Estas tres últimas ecuaciones permiten obtener la transformación. Hay dos
formas de proceder:
♦ Calcular en primer lugar la declinación con la tercera ecuación y después
sustituirla en la primera para obtener el cos(α). Obtener el cos(α) no
significa, en principio, obtener α, pero teniendo en cuenta que α está en los
dos primeros cuadrantes si, y sólo si, λ lo está, el problema está resuelto.
Adviértase que el sen(α) no permitiría resolverlo. De cualquier forma, ante
la duda siempre se pueden obtener sen(α) y cos(α) sustituyendo la
declinación en las dos primeras ecuaciones.
♦ Tal y como se resuelve en la bibliografía. Se parte de las mismas tres
ecuaciones. Se plantea un cambio de variables:
M ⋅ sen ( N ) = sen (β )
M ⋅ cos (N ) = cos(β ) ⋅ sen (λ )
Se transforma el sistema de tres ecuaciones llegando a:
tg(N ) =
tg(β )
sen(λ )
tg(α ) =
tg(λ ) ⋅ cos(N + ε )
cos( N )
tg(δ ) = sen(α ) ⋅ tg( N + ε )
que resuelven el problema utilizando la misma relación entre los valores de α y
λ.
Es importante hacer notar que estas transformaciones dependen de la oblicuidad
de la eclíptica cuyo valor promedio y variación se apuntó en el primer tema.
2.5. RESUMEN
CELESTES.
DE
LOS
SISTEMAS
DE
COORDENADAS
Se han estudiado cuatro sistemas de coordenadas celestes para expresar la
posición de un astro:
♦ Coordenadas horizontales ( A, h )
♦ Coordenadas ecuatoriales horarias (H , δ )
♦ Coordenadas ecuatoriales absolutas (α , δ )
♦ Coordenadas eclípticas (λ , β )
Se han estudiado las transformaciones entre las coordenadas horizontales y
ecuatoriales horarias, que resulta función del lugar de observación, de la latitud
astronómica. Se han estudiado las transformaciones entre las coordenadas ecuatoriales
horarias y las coordenadas ecuatoriales absolutas, que resulta función del lugar e
instante de la observación, de la hora sidérea. Se han estudiado las transformaciones
entre las coordenadas ecuatoriales absolutas y las coordenadas eclípticas, que resulta
función de la oblicuidad de la eclíptica.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
19
ASTRONOMÍA
En este momento no debe presentar ninguna dificultad el obtener, a partir de las
coordenadas de un astro en un determinado sistema y de la información necesaria
(ϕ ,θ , ε ) , las coordenadas en cualquier otro sistema. La correcta resolución de estas
transformaciones es fundamental dado que intervendrán como una parte del cálculo de
los diferentes problemas de astronomía de posición que se plantearán en temas
posteriores.
Un problema que todavía no ha sido tratado es cómo influye en las coordenadas
en un determinado sistema el que el observador, centro de la esfera celeste, se considere
situado en un punto de la superficie terrestre (sistema topocéntrico), en el centro de
masas de la Tierra (coordenadas geocéntricas) o en el centro del Sol (sistema
heliocéntrico). El motivo es que es preciso abordar previamente el estudio de temas
tales como el paralaje diurno y anuo. Tampoco ha sido tratado el que la posición de las
estrellas no es fija en la esfera celeste sino que es preciso aplicar ciertas correcciones. El
motivo es que es preciso abordar previamente el estudio de temas tales como la
precesión de los equinoccios y la nutación, la aberración diurna y anua.
Se parte del hecho de que la hora sidérea es un dato. Es preciso abordar el
estudio de la determinación de este parámetro, si bien esto no es posible hasta que no se
definan los diferentes sistemas de referencia de tiempo en astronomía.
Si bien se han realizado pequeñas referencias a como varían las distintas
coordenadas de los astros debido al movimiento diurno y al movimiento orbital de la
Tierra en torno al Sol, será tratado con detalle en el siguiente tema.
El sistema de coordenadas horizontales se utiliza para determinaciones directas
de las posiciones aparentes de los astros con ayuda de instrumentos goniométricos.
El sistema de coordenadas ecuatoriales horarias se emplea principalmente
durante la determinación del tiempo exacto, que es uno de los problemas fundamentales
de la astronomía práctica.
El sistema de coordenadas ecuatoriales absolutas es el principal en la solución
de problemas de la astronomía fundamental. En este sistema se elaboran los catálogos
estelares y los mapas estelares.
El sistema de coordenadas eclípticas, fundamentalmente, se utiliza en mecánica
celeste al determinar las órbitas de los cuerpos celestes.
2.6. TRIÁNGULO DE POSICIÓN O PARALÁCTICO.
En los diferentes problemas que se plantean de la astronomía de posición es
habitual que sea preciso resolver u obtener alguno de los datos del triángulo de posición
o paraláctico de un astro, para un lugar y un instante.
La resolución del triángulo paraláctico pasa por aplicar expresiones de
trigonometría esférica: teorema del seno, teorema del coseno, fórmulas de Bessel,
analogías de Gauss y Delambre, expresiones de Neper,... que pueden ser consultadas en
cualquier tratado de trigonometría esférica.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
20
ASTRONOMÍA
Se distinguen dos casos según el astro se encuentre en el hemisferio oriental o en
el occidental respecto del lugar considerado.
Cuando el astro se encuentra en el hemisferio occidental los elementos del
triángulo de posición son los que se observan en la siguiente figura.
Cuando el astro se encuentra en el hemisferio oriental los elementos del
triángulo de posición son los que se observan en la siguiente figura.
SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.
21
ASTRONOMÍA
TEMA 3. MOVIMIENTO DIURNO.
3.1. INTRODUCCIÓN. POSICIONES CORRESPONDIENTES.
Debido a la rotación diaria real de la Tierra alrededor de su eje en el sentido
directo, la esfera celeste completa una rotación diaria en torno al eje del mundo en el
sentido retrógrado. Este movimiento se conoce como movimiento diurno.
La rotación de la esfera celeste se aprecia debido a que las estrellas proyectadas
sobre ella se desplazan solidariamente a la esfera celeste.
La geometría del movimiento de las estrellas debido al movimiento diurno se
produce en planos perpendiculares al eje de rotación, al eje del mundo, es decir, en
planos paralelos al ecuador celeste. La proyección sobre la esfera celeste de las
posiciones ocupadas por una estrella a lo largo del día es una circunferencia,
intersección del círculo paralelo celeste correspondiente con la esfera celeste.
La posición relativa del círculo del paralelo celeste y de los elementos de la
esfera celeste relacionados con el lugar de observación: plano meridiano celeste local y
horizonte astronómico local, dan lugar que ciertas posiciones sean de particular interés
para los objetos y métodos de la astronomía de posición. A continuación se realizará un
estudio de estas posiciones así como de la variación de las coordenadas horizontales de
un astro a lo largo del movimiento diurno. Para el desarrollo de este tema se considerará
constante la velocidad angular de rotación de la Tierra, y por tanto de la rotación de la
esfera celeste, lo que es cierto con un gran nivel de aproximación.
A toda posición de un astro en el movimiento diurno le corresponde otra
simétrica respecto al meridiano celeste del lugar. A éstas posiciones se las denomina
posiciones correspondientes. Si el astro se encuentra sobre el meridiano del lugar,
posiciones estudiadas posteriormente, la posición correspondiente es ella misma. En la
siguiente figura, E y E’ son posiciones correspondientes.
Hay tres casos particulares de singular interés: orto y ocaso, primer vertical y
máximas disgresiones, que serán objeto de estudio detallado en este tema.
MOVIMIENTO DIURNO.
1
ASTRONOMÍA
En las posiciones correspondientes las alturas coinciden y la suma de los
acimutes y ángulos horarios completan la circunferencia, 360º y 24h respectivamente.
3.2. SALIDA Y PUESTA DE LOS ASTROS: ORTO Y OCASO.
En función de la latitud astronómica del lugar de observación y de las
declinaciones de los astros, los paralelos celestes que describen en el movimiento
diurno, o bien cortan al horizonte astronómico, se disponen sobre éste, o se sitúan por
debajo de él.
Cuando se produce intersección entre el paralelo celeste y el horizonte, la línea
intersección se proyecta sobre la esfera celeste en dos puntos, el punto de salida u orto
del astro localizado en el hemisferio oriental, y el punto de puesta u ocaso localizado en
el hemisferio occidental. En ambos puntos la coordenada horizontal altura es cero.
La condición para que un astro tenga orto y ocaso se expresa como una relación
entre los valores absolutos de la declinación del astro y de la latitud astronómica del
lugar de observación:
δ < (90º − ϕ )
que, para el hemisferio boreal se expresa,
δ < (90º −ϕ )
Si el astro se encuentra en el ecuador celeste, es decir, si su declinación es cero,
este astro sale exactamente en el punto este y se pone exactamente en el punto oeste. Si
la declinación del astro es positiva, entonces éste sale por el nordeste y se pone por el
noroeste. Si la declinación del astro es negativa, entonces éste sale por el sudeste y se
pone por el sudoeste.
MOVIMIENTO DIURNO.
2
ASTRONOMÍA
Si no se cumple la exigencia expresada anteriormente, es decir, si la declinación
y latitud astronómica del lugar de observación son tales que se verifica:
δ ≥ (90º − ϕ )
que, para el hemisferio boreal se expresa,
δ ≥ (90º −ϕ )
entonces su paralelo celeste no cortará el horizonte matemático, y este astro o bien será
inocciduo (el paralelo celeste se dispone íntegramente sobre el horizonte astronómico),
o bien será inortivo (el paralelo celeste está completamente debajo del horizonte). De
esta forma, los astros 3, 4 y 5 de la siguiente figura son ortivos y occiduos, los astros 1 y
2 son inocciduos (también llamados circumpolares norte) y los astros 6 y 7 son
inortivos (también denominados circumpolares sur).
Si el observador se encuentra en el ecuador astronómico, latitud astronómica
cero, para él todos los astros son ortivos y occiduos, todos los astros tienen orto y ocaso.
Si el observador está situado en el ecuador astronómico el eje del mundo está contenido
en el horizonte astronómico, el polo celeste boreal coincide con el punto norte y el polo
celeste austral coincide con el punto sur. El ecuador celeste es perpendicular al
horizonte astronómico y contiene a la línea vertical. Todos los planos paralelos celeste
son perpendiculares al plano horizonte astronómico. Por consiguiente, todos los astros
salen y se ponen, transcurren sobre el horizonte astronómico 12h, y otras tantas por
debajo del mismo. Esto no se cumpliría para estrellas de declinación 90º y –90º, si
MOVIMIENTO DIURNO.
3
ASTRONOMÍA
existiesen, ya que coincidirían con el polo celeste boreal y austral respectivamente
yaciendo sobre el horizonte astronómico a lo largo de todo el movimiento diurno.
Si el observador se encuentra en el polo norte astronómico, latitud astronómica
90º, todos los astros con declinación positiva serán inocciduos, mientras que todos los
astros con declinación negativa serán inortivos. Un astro con declinación cero
transcurriría por el horizonte astronómico a lo largo de todo el movimiento diurno. El
eje del mundo coincide con la línea vertical (el polo celeste boreal coincide con el cenit,
el polo celeste austral con el nadir) y el ecuador celeste con el horizonte astronómico.
Por esto, los planos paralelos celestes son paralelos al horizonte astronómico, y los
astros ni salen ni se ponen. Los astros del hemisferio boreal de la esfera celeste siempre
se ven sobre el horizonte, y los astros del hemisferio austral de la esfera celeste no se
ven nunca. Si el observador se encuentra en el polo sur astronómico siempre verá los
astros del hemisferio austral de la esfera celeste, y nunca los del hemisferio austral.
Estas dos últimas posiciones particulares se aprecian en la siguiente ilustración.
Si el observador se encuentra a una latitud astronómica distinta de 0º, 90º y –90º,
una parte de los astros serán para él ortivos y occiduos, mientras que otra parte serán
inortivos e inocciduos.
La determinación de las horas de orto y ocaso de un astro ortivo y occiduo se
simplifica dado que en el triángulo de posición correspondiente al cenit, polo celeste y
astro, el arco cenit-astro es 90º.
En el ocaso, los elementos del triángulo de posición son:
PZ = 90º −ϕ
Zˆ = 180º − A
ZE = 90º
Pˆ = H
PE = 90º −δ
Eˆ = Eˆ
El pentágono de Neper resulta:
12 h − H
MOVIMIENTO DIURNO.
4
ASTRONOMÍA
90º −ϕ
90º −δ
A − 90º
90º − Ê
El coseno de un elemento es igual al producto de los senos de los elementos
opuestos o igual a las cotangentes de los elementos adyacentes.
cos(180º − H ) = tg(ϕ ) ⋅ tg(δ ) → cos(H ) = − tg(ϕ ) ⋅ tg(δ )
En el orto, los elementos del triángulo de posición son:
PZ = 90º −ϕ
Zˆ = A − 180º
ZE = 90º
Pˆ = 24h − H
PE = 90º −δ
Eˆ = Eˆ
El pentágono de Neper resulta:
H − 12 h
90º −ϕ
90º − A
90º −δ
90º − Ê
El coseno de un elemento es igual al producto de los senos de los elementos
opuestos o igual a las cotangentes de los elementos adyacentes.
(
)
cos H − 12 h = tg(ϕ ) ⋅ tg(δ ) → cos(H ) = − tg(ϕ ) ⋅ tg(δ )
La observación de astros en orto y ocaso tiene como principal inconveniente que
la refracción es muy alta.
De igual forma se podrían determinar los acimutes astronómicos de ambos
instantes.
3.3. CULMINACIÓN DE UN ASTRO.
MOVIMIENTO DIURNO.
5
ASTRONOMÍA
Para un lugar, el paralelo celeste de cada astro corta en un punto al meridiano
celeste local superior y en otro punto al meridiano celeste local inferior. Estos puntos se
denominan culminación superior e inferior del astro, respectivamente.
En la culminación superior el astro alcanza su altura máxima, mientras que en la
culminación inferior el astro alcanza su altura mínima.
El tipo de culminación superior de un astro se puede distinguir en: culminación
superior al sur del cenit, y culminación superior al norte del cenit. La figura de la
izquierda de la siguiente ilustración representa una culminación superior al sur del cenit
y la de la derecha una culminación superior al norte del cenit.
Para los astros que no se ponen en la latitud astronómica dada, ambas
culminaciones, tanto la superior como la inferior, son accesibles a las observaciones.
Para los astros ortivos y occiduos solamente es accesible la culminación superior, ya
que la culminación inferior transcurre por debajo del horizonte. Para los astros inortivos
ambas culminaciones son inaccesibles a las observaciones, pues transcurren por debajo
del horizonte.
A continuación se van a estudiar las coordenadas de un astro según sean sus
culminaciones.
♦ Astro cuya culminación superior se produce al norte del cenit.
1º Culminación superior.
La altura se obtiene a partir de:
(90º −δ ) + (90º −h ) = 90º −ϕ ⇔ ρ + z = 90º −ϕ
180º −δ − h = 90º −ϕ ⇒ h = 90º +ϕ − δ
El acimut astronómico será: A = 180º
El ángulo horario será: H = 0 h
La hora sidérea del lugar será: θ = α
2º Culminación inferior.
MOVIMIENTO DIURNO.
6
ASTRONOMÍA
La altura mínima del dependerá si el astro es ortivo y occiduo, sale y se
pone, o si es inortivo e inocciduo.
2.1. Astro ortivo y occiduo. h = δ − (90º −ϕ ) Altura que será negativa.
2.2. Astro inortivo e inocciduo. h = ϕ − (90º −δ ) Altura que será positiva.
El acimut astronómico será: A = 180º
El ángulo horario será: H = 12 h
La hora sidérea del lugar será: θ = 12 h + α
♦ Astro cuya culminación superior se produce al sur del cenit.
1º Culminación superior.
La altura se obtiene a partir de:
(90º −δ ) − (90º −h ) = 90º −ϕ ⇔ ρ − z = 90º −ϕ
h − δ = 90º −ϕ ⇒ h = 90º −ϕ + δ
El acimut astronómico será: A = 0º
El ángulo horario será: H = 0 h
La hora sidérea del lugar será: θ = α
2º Culminación inferior.
La altura mínima del dependerá si el astro es ortivo y occiduo, sale y se
pone, o si es inortivo e inocciduo.
2.1. Astro ortivo y occiduo. h = ϕ − (90º −δ ) Altura que será negativa.
2.2. Astro inortivo e inocciduo. h = ϕ − (90º −δ ) Altura que será positiva.
El acimut astronómico será: A = 180º
El ángulo horario será: H = 12 h
La hora sidérea del lugar será: θ = 12 h + α
3.4. MÁXIMAS DISGRESIONES.
MOVIMIENTO DIURNO.
7
ASTRONOMÍA
Si un astro tiene su culminación superior entre el cenit y el polo celeste,
culminación superior norte, del hemisferio correspondiente a la latitud astronómica del
lugar, el acimut astronómico a lo largo de su movimiento diurno no varía entre 0º y 360º
sino que lo hace entre un máximo y un mínimo comprendido entre 90º y 270º. A medida
que aumenta la declinación el intervalo disminuye en amplitud.
En los límites del acimut astronómico se cumple que el paralelo celeste del astro
es tangente al vertical del astro. A estas posiciones se las conoce como máximas
disgresiones.
Estas posiciones presentan dos ventajas en los problemas de la astronomía de
posición.
Por un lado, el triángulo de posición correspondiente a la posición relativa cenit,
polo celeste y astro, sobre la esfera celeste, tiene un ángulo recto en el astro, lo que
simplifica la formulación.
Los elementos del triángulo de posición para la máxima digresión occidental
son:
PZ = 90º −ϕ
Zˆ = 180º − A
ZE = 90º −h
Pˆ = H
PE = 90º −δ
Eˆ = 90º
Aplicando teoremas del seno y coseno:
sen ( A)
sen(90º )
cos(δ )
=
→ sen ( A) =
sen (90º −δ ) sen (90º −ϕ )
cos(ϕ )
cos(90º −ϕ ) = cos(90º −h ) ⋅ cos(90º −δ ) + sen (90º −h ) ⋅ sen (90º −δ ) ⋅ cos(90º ) → sen (h ) =
sen (ϕ )
sen (δ )
Aplicando las relaciones del pentágono de Neper a un triángulo esférico con un
ángulo recto:
MOVIMIENTO DIURNO.
8
ASTRONOMÍA
90º −ϕ
180º − A
H
δ
h
El coseno de un elemento es el producto de las cotangentes de los elementos
adyacentes.
cos(H ) =
tg (ϕ )
tg (δ )
Los elementos del triángulo de posición para la máxima digresión oriental son:
PZ = 90º −ϕ
Zˆ = A − 180º
ZE = 90º − h
Pˆ = 24h − H
PE = 90º −δ
Eˆ = 90º
Aplicando teoremas del seno y coseno:
sen ( A)
sen(90º )
cos(δ )
=
→ sen ( A) =
sen (90º −δ ) sen (90º −ϕ )
cos(ϕ )
cos(90º −ϕ ) = cos(90º −h ) ⋅ cos(90º −δ ) + sen (90º −h ) ⋅ sen (90º −δ ) ⋅ cos(90º ) → sen (h ) =
sen (ϕ )
sen (δ )
Aplicando las relaciones del pentágono de Neper a un triángulo esférico con un
ángulo recto:
90º −ϕ
A − 180º
24 h − H
δ
h
El coseno de un elemento es el producto de las cotangentes de los elementos
adyacentes.
MOVIMIENTO DIURNO.
9
ASTRONOMÍA
(
)
cos 24 h − H =
tg (ϕ )
tg (ϕ )
→ cos(H ) =
tg (δ )
tg (δ )
Por otro lado, cuando el astro se encuentra en, o muy cerca, de una máxima
digresión, su acimut astronómico varía muy lentamente lo que hace menos crítica la
medida del tiempo en el instante de observación. Esto es muy importante dada la
dificultad de realizar esta medida con alta precisión.
3.5. PRIMER VERTICAL.
La condición que se debe cumplir para que astro alcance en su movimiento
diurno el primer vertical es que su culminación superior se produzca al sur del cenit. En
este caso habrá dos pasos por el primer vertical, uno al este y otro al oeste, con acimutes
astronómicos de 90º y 270º respectivamente.
La ventaja que presentan estas posiciones para la resolución de los métodos de la
astronomía de posición consiste en que, en el triángulo de posición relativa de cenit,
polo celeste y astro, el ángulo en el cenit será de 90º y la formulación se simplifica.
En el primer vertical occidental los elementos del triángulo de posición son:
PZ = 90º −ϕ
Zˆ = 90º
ZE = 90º −h
Pˆ = H
PE = 90º −δ
Eˆ
Aplicando el teorema del seno:
cos(90º −δ ) = cos(90º − h ) ⋅ cos(90º −ϕ ) + sen (90º −h ) ⋅ sen (90º −ϕ ) ⋅ cos(90º ) → sen (h ) =
MOVIMIENTO DIURNO.
sen (δ )
sen (ϕ )
10
ASTRONOMÍA
Aplicando las relaciones del pentágono de Neper a un triángulo esférico con un
ángulo recto:
90º −δ
H
E
ϕ
h
El coseno de un elemento es el producto de las cotangentes de los elementos
adyacentes.
cos(H ) =
tg (δ )
tg (ϕ )
En el primer vertical oriental los elementos del triángulo de posición son:
PZ = 90º −ϕ
Zˆ = 90º
ZE = 90º −h
Pˆ = 24h − H
PE = 90º −δ
Eˆ
Aplicando el teorema del seno:
cos(90º −δ ) = cos(90º −h ) ⋅ cos(90º −ϕ ) + sen (90º − h ) ⋅ sen (90º −ϕ ) ⋅ cos(90º ) → sen (h ) =
sen (δ )
sen (ϕ )
Aplicando las relaciones del pentágono de Neper a un triángulo esférico con un
ángulo recto:
90º −δ
24 h - H
E
ϕ
h
El coseno de un elemento es el producto de las cotangentes de los elementos
adyacentes.
MOVIMIENTO DIURNO.
11
ASTRONOMÍA
(
)
cos 24 h − H =
tg (δ )
tg (δ )
→ cos(H ) =
tg (ϕ )
tg (ϕ )
3.6. VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS DE LOS ASTROS
DURANTE EL MOVIMIENTO DIURNO.
Cuando el astro sale o se pone su altura es cero, y los acimutes astronómicos de
salida y puesta dependen de la declinación del astro y de la latitud astronómica del lugar
de observación.
En el momento de su culminación superior la distancia cenital del astro es
mínima, su altura máxima, y el acimut astronómico es cero si culmina al sur del cenit, y
180º si culmina al norte del cenit.
En el momento de la culminación inferior la distancia cenital adquiere un valor
máximo, su altura es mínima. El acimut astronómico es 180º si la culminación inferior
transcurre entre el nadir y el polo celeste del hemisferio correspondiente a la latitud
astronómica del lugar, y es cero si la culminación inferior transcurre entre el nadir y el
polo celeste del hemisferio contrario al correspondiente a la latitud astronómica del
lugar.
Por consiguiente, desde la culminación inferior hasta la superior la distancia
cenital del astro disminuye y su altura aumenta; desde la culminación superior hasta la
inferior, por el contrario, la distancia cenital aumenta y la altura disminuye. Con esto el
acimut astronómico del astro varía también dentro de los límites determinados.
De tal modo, las coordenadas horizontales del astro varían continuamente como
resultado de la rotación diurna de la esfera celeste, y si el astro está invariablemente
vinculado con la esfera (es decir, su declinación y ascensión recta permanecen
constantes) las coordenadas horizontales adquieren sus valores anteriores cuando la
esfera celeste completa una revolución.
Puesto que los paralelos celestes de los astros en todas las latitudes astronómicas
(excepto en los polos) están inclinados con relación al horizonte, las coordenadas
horizontales varían irregularmente, incluso durante la rotación diurna uniforme de la
esfera celeste. La altura del astro y su distancia cenital varían más lentamente cerca del
meridiano, es decir, en el momento de las culminaciones. El acimut astronómico, por el
contrario, varía en estos momentos con mayor rapidez. El ángulo horario del astro varía
constantemente y regularmente ya que se miden sobre el ecuador celeste y durante la
rotación uniforme de la esfera celeste las variaciones de los ángulos horarios son
proporcionales a los intervalos de tiempo. La regularidad de la variación de los ángulos
horarios tiene muchísima importancia para la medición del tiempo.
Por las observaciones se sabe que, para un determinado lugar de observación,
cada estrella sale o se pone en un mismo punto del horizonte, y que su altura en el
meridiano también es siempre igual. De aquí se puede deducir que las declinaciones de
las estrellas no varían con el tiempo (al menos notablemente).
MOVIMIENTO DIURNO.
12
ASTRONOMÍA
A su vez, los puntos de salida y puesta del Sol, de la Luna y de los planetas, así
como su altura en el meridiano en los distintos días del año, son diferentes. Por
consiguiente, las declinaciones de estos astros varían constantemente con el transcurso
del tiempo.
3.7. VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS DEL SOL.
El objetivo de este apartado es la comprensión del movimiento apreciado del Sol
a lo largo del año y en las distintas latitudes como consecuencia del movimiento de
traslación de la Tierra en torno al Sol y de la rotación diaria de la Tierra en torno a su
eje.
3.7.1. VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS ECUATORIALES DEL SOL.
El movimiento aparente del Sol por la eclíptica es el resultado del movimiento
real de la Tierra: de su traslación alrededor del Sol.
La variación de las coordenadas ecuatoriales del Sol durante su movimiento
aparente por la eclíptica transcurre de la manera siguiente. Cuando el Sol se encuentra
en el punto del equinoccio de primavera, punto vernal, su ascensión recta y declinación
son nulas. Después, cada día, la ascensión recta y la declinación del Sol aumentan y,
cuando el Sol llega al punto del solsticio vernal, su ascensión recta será igual a 6h, y su
declinación alcanza un valor máximo igual a la oblicuidad de la eclíptica. Luego, la
declinación del Sol comienza a disminuir, mientras que la ascensión recta prosigue
creciendo como antes. Cuando el Sol llegue al punto del equinoccio de otoño su
ascensión recta será de 12h y su declinación es cero. Luego, la ascensión recta del Sol,
que sigue aumentando, se hace igual a 18h, en el punto del solsticio hiemal, mientras
que la declinación, que proseguía su disminución, alcanza un valor mínimo por debajo
del ecuador celeste igual a la oblicuidad de la eclíptica. Después de esto la declinación
del Sol comienza a crecer y, cuando éste llega al punto del equinoccio de primavera, su
declinación de nuevo se hace nula, mientras que la ascensión recta, al completar la
revolución, se vuelve nula.
Estas variaciones de las coordenadas ecuatoriales del Sol en el curso del año
transcurren irregularmente. La declinación varía más rápidamente al moverse el Sol en
las inmediaciones de los puntos equinocciales y más lentamente cerca de los puntos
solsticiales. La ascensión recta, por el contrario, varía más lentamente cerca de los
puntos equinocciales y con mayor rapidez en las inmediaciones de los puntos
solsticiales. Con esto, la velocidad de la variación de la ascensión recta del Sol cerca del
punto del solsticio vernal es menor que cerca del punto del solsticio hiemal.
El movimiento de la Tierra alrededor del Sol tiene lugar en el mismo sentido que
la rotación de la Tierra alrededor de su eje, y es irregular. El motivo de tal irregularidad
es el cumplimiento de las leyes de Kepler. Con esto, el eje de rotación de la Tierra
siempre está inclinado respecto al plano de la órbita de la Tierra en un ángulo de 90º-ε.
Precisamente por esto a un observador le parece que el Sol se desplaza también
irregularmente por la bóveda celeste entre las estrellas, de occidente a oriente, pero por
MOVIMIENTO DIURNO.
13
ASTRONOMÍA
una circunferencia (la eclíptica) cuyo plano está inclinado respecto al plano del ecuador
celeste (y del terrestre) con el ángulo de la oblicuidad de la eclíptica.
En las siguientes ilustraciones se aprecia como el Sol se desplaza por las
constelaciones del zodiaco.
En la figura anterior, las dos líneas paralelas a la eclíptica limitan la zona
denominada zodiaco.
El Sol, cuando se encuentra en el punto del equinoccio de primavera sale en
todas las latitudes en el punto este, y se pone en el punto occidente. La mitad del
recorrido diurno del Sol transcurre sobre el horizonte astronómico, y la otra mitad, por
debajo del horizonte. Por consiguiente, en toda la superficie de la Tierra, excepto en los
polos, la duración del día y de la noche coinciden en esta fecha. Este día en el
hemisferio boreal se denomina día del equinoccio de primavera (aproximadamente el 20
de marzo) y se considera como el comienzo de la primavera. En el hemisferio austral
este día es el comienzo del otoño. La altura del Sol al mediodía en el día del equinoccio
de primavera en una latitud boreal dada es hS = 90º −ϕ .
MOVIMIENTO DIURNO.
14
ASTRONOMÍA
Cuando el Sol se encuentra en el punto del solsticio vernal entonces sale en el
nordeste en la latitud astronómica boreal dada, y se pone en el noroeste. La mayor parte
del recorrido diurno del Sol se encuentra sobre el horizonte. La duración del día en el
hemisferio boreal de la Tierra es máxima, la duración de la noche es mínima, y en el
hemisferio austral sucede al contrario. Esta fecha se denomina día del solsticio vernal
(aproximadamente el 21 de junio) y se considera como comienzo del verano en el
hemisferio boreal de la Tierra. En el hemisferio austral este día corresponde al principio
del invierno. En el día del solsticio vernal la altura del Sol al mediodía en una latitud
boreal dada alcanza un valor máximo de hSol = 90º −ϕ + ε .
Cuando el Sol se encuentra en el punto del equinoccio de otoño de nuevo sale en
toda la Tierra en el punto del oriente y se pone en el punto del occidente, y nuevamente
en todas las latitudes, excepto en los polos, la duración del día es igual a la de la noche.
Este día se denomina día del equinoccio de otoño (aproximadamente el 23 de
septiembre) y se considera como el comienzo del otoño en el hemisferio boreal de la
Tierra y como comienzo de la primavera en el hemisferio austral de la Tierra. La altura
del Sol al mediodía en una latitud dada en el día del equinoccio de otoño es hSol = 90º −ϕ .
Por último, cuando el Sol se encuentra en el punto del solsticio hiemal sale en el
sudeste y se pone en el sudoeste. La mayor parte de su recorrido diurno el Sol se
encuentra por debajo del horizonte astronómico. En la latitud boreal dada la duración
del día es mínima y la de la noche es máxima (al contrario en las latitudes australes).
Esta fecha se denomina día del solsticio hiemal (aproximadamente el 22 de diciembre) y
se considera como el comienzo del invierno en el hemisferio boreal de la Tierra y como
el comienzo del verano en el hemisferio austral. La altura del Sol en el día del solsticio
hiemal en la latitud boreal dada alcanza un valor mínimo de hSol = 90º −ϕ − ε .
El resto de los días del año, para una latitud boreal dada, la altura del Sol está
comprendida entre las alturas máximas y mínimas anteriores.
3.7.2. MOVIMIENTO DIURNO DEL SOL EN LAS DISTINTAS LATITUDES.
3.7.2.1. Observador situado en el polo norte de la Tierra.
Para este observador serán astros inocciduos aquellos de declinación positiva, e
inortivos aquellos de declinación negativa.
El Sol tiene declinación positiva desde el equinoccio de primavera hasta el
equinoccio de otoño, por consiguiente, el Sol es aproximadamente medio año un astro
inocciduo y medio año es un astro inortivo. El día del equinoccio de primavera el Sol
aparece sobre el horizonte, y como resultado de la rotación diurna de la esfera celeste,
describe curvas que se aproximan a la circunferencia y que son casi paralelas al
horizonte, elevándose cada día más y más. En el día del solsticio vernal el Sol alcanza
su altura máxima, igual a la oblicuidad de la eclíptica. Después de esto el Sol comienza
a aproximarse al horizonte, su altura disminuye gradualmente y, después del día del
equinoccio de otoño se oculta tras el horizonte. El día, que duró medio año, se acaba y
comienza la noche, que dura también medio año. El Sol, que prosigue describiendo
curvas casi paralelas al horizonte, por debajo de éste, desciende más y más. En el día
MOVIMIENTO DIURNO.
15
ASTRONOMÍA
del solsticio hiemal el Sol descenderá sobre el horizonte en una altura igual a la
oblicuidad de la eclíptica. Después comenzará de nuevo a aproximarse al horizonte, su
altura aumentará y antes del equinoccio de primavera el Sol de nuevo aparecerá sobre el
horizonte. Si el observador se sitúa en el polo sur de la Tierra todo se invierte.
3.7.2.2. Observador situado en el círculo polar ártico (ϕ = 90º-ε).
Serán inocciduos astros con declinación positiva mayor que la oblicuidad de la
eclíptica, e inortivos astros con declinación negativa menor que la oblicuidad de la
eclíptica (o mayor en valor absoluto). Por consiguiente, en el círculo polar ártico el Sol
no se pone en el día del solsticio vernal (a medianoche el centro del Sol contacta con el
horizonte solamente en el punto norte) y no sale en el día del solsticio hiemal (a
mediodía el centro del disco solar contactará solamente con el horizonte en el punto sur,
descendiendo después debajo del horizonte). En los restantes días del año en esta latitud
el Sol sale y se pone. Con esto, a mediodía, alcanza su altura máxima en el día del
solsticio vernal, 46º52’, y su altura mínima a mediodía en el día del solsticio hiemal, 0º.
En el círculo polar antártico sucede lo contrario. Los círculos polares boreal y austral
son los límites teóricos de aquellas latitudes geográficas donde son posibles los días y
noches polares (días y noches que duran más de 24h). En los lugares situados dentro de
los círculos polares, el Sol es un astro inocciduo o inortivo tanto más tiempo cuanto más
cerca esté el lugar de los polos geográficos. A medida que nos acercamos a los polos
aumenta la duración de los días y de las noches.
3.7.2.3. Observador situado en el Trópico de Cáncer (ϕ = ε).
El Sol siempre es un astro ortivo y occiduo. Este, en el día del solsticio vernal,
alcanza a mediodía una altura máxima de 90º, es decir, pasa por el cenit. En los
restantes días del año el Sol culmina a mediodía al sur del cenit. En el día del solsticio
hiemal su altura mínima al mediodía es 43º8’. En el trópico de Capricornio el Sol
también sale y se pone siempre. Pero su altura máxima sobre el horizonte al mediodía la
alcanza el día del solsticio hiemal, y su altura mínima en el día del solsticio vernal. En
los restantes días del año el Sol culmina aquí a mediodía hacia el norte del cenit.
3.7.2.4. Observador situado entre los trópicos y los círculos polares.
En esta posiciones el Sol sale y se pone cada día del año. La duración del día es
medio año mayor que la duración de la noche, y la noche dura medio año más que el
día. La altura del Sol a mediodía es siempre menor de 90º (excepto en los trópicos) y es
mayor que 0º (excepto en los círculos polares).
3.7.2.5. Observador situado en el ecuador de la Tierra.
Todos los astros, incluido el Sol, son ortivos y occiduos. Con esto, dichos astros
se encuentran 12 horas sobre el horizonte y 12 debajo de éste. Por consiguiente, en el
ecuador la duración del día siempre es igual a la duración de la noche. Dos veces al año
el Sol se encuentra a mediodía en el cenit, los días de los equinoccios. Desde el
equinoccio de primavera hasta el de otoño el Sol en el ecuador culmina a mediodía
hacia el norte del cenit, y desde el equinoccio de otoño hasta el de primavera culmina
MOVIMIENTO DIURNO.
16
ASTRONOMÍA
hacia el sur del cenit. La altura mínima del Sol en la culminación a mediodía es de
66º34’, los días de los solsticios.
3.7.2.6. Observador situado entre los trópicos.
El Sol se encuentra en el cenit al mediodía dos veces al año, en aquellos días en
que su declinación es igual a la latitud geográfica del lugar.
Los distintos casos estudiados se observan en las siguientes ilustraciones.
MOVIMIENTO DIURNO.
17
ASTRONOMÍA
TEMA4. SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
4.1. INTRODUCCIÓN.
El problema de la definición y medida del tiempo ha sido uno de los más
importantes retos de la ciencia astronómica y física.
Como en casi cualquier problema de cierta entidad, en el problema del tiempo
resulta conveniente acercarse a su comprensión por aproximaciones sucesivas. El
estudio del tiempo se ha dividido en varias partes adecuándose a varios niveles de
aproximación al mismo. Básicamente se han considerado tres pasos para enfocar el
estudio del tiempo.
El tiempo es una variable que no tiene ningún sentido físico estudiada
independientemente. Cobra sentido en el estudio de los cambios de un sistema físico
referido a un sistema de coordenadas y regido por unas leyes de la dinámica, que son
precisamente las que permiten definir y medir el tiempo. Estas importantes conclusiones
son las que debería obtener el alumno tras la lectura, que se recomienda previa a este
tema, de los apéndices I (“Sistemas de referencia astronómicos”) y II (“El concepto y
la medida del tiempo”), y corresponden a un primer nivel de aproximación al problema
del tiempo.
En este tema se trata el tiempo definido a partir de la dinámica de la rotación
terrestre considerada, para mayor simplicidad, como uniforme. De cara a la aplicación a
los problemas de astronomía de posición abordados en la ingeniería topográfica, es
suficiente con la comprensión y aplicación de lo desarrollado en este del tema. El
motivo no es otro que la precisión asociada a los observables necesarios en los métodos
de la astronomía aplicada a la topografía. Tras el estudio de este tema se dispondrá de
una base acerca del problema del tiempo.
Para alcanzar una mayor aproximación al problema del tiempo, tanto en lo
referido a los problemas motivados por la precesión y nutación de los equinoccios, así
como por la falta de uniformidad de la rotación terrestre y con objeto de comprender el
estado actual de la definición del tiempo, se añade el apéndice III, “Estado actual de la
definición del tiempo”. Su lectura es muy recomendable para poder abordar el estudio
de los métodos de la astronomía aplicados a la geodesia clásica y espacial, entendiendo
por esta última aquella que se sirve de los satélites artificiales.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
1
ASTRONOMÍA
4.2. UNA APROXIMACIÓN
MEDICIÓN DEL TIEMPO.
A
LOS
PRINCIPIOS
DE
LA
El problema, planteado desde la antigüedad, se enfoca desde el punto de vista
astronómico. Si se pretende fijar mediante una cifra el instante en que ocurre un
fenómeno astronómico, será necesario configurar una escala a la que referir dicha cifra.
Para formar esa escala de medida de tiempo es preciso fijar su origen o cero de la escala
y la unidad de medida.
En vista de lo anterior, no es de extrañar, que se eligiesen fenómenos naturales
fácilmente observables y de periodicidad constante para resolver el problema. Los
fenómenos más utilizados han sido:
♦ El movimiento de rotación de la Tierra, y como consecuencia de él el
aparente de la esfera celeste.
♦ El movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol, y como
consecuencia de él el aparente de traslación del Sol en torno a la Tierra.
De esta forma aparece la primera definición de día, como el tiempo transcurrido
entre dos pasos consecutivos de un astro por el meridiano superior de un lugar.
El día como unidad resultaba a veces pequeño y se recurrió al otro fenómeno
apuntado de traslación de la Tierra alrededor del Sol para definir otra unidad, el año,
que es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol por un
determinado punto de su órbita.
4.3. ORBITACIÓN DE LA TIERRA EN TORNO AL SOL.
Después de muchos cálculos que duraron varios años, renunciando al concepto
equivocado común respecto a la forma circular de los movimientos, Kepler descubrió
tres leyes del movimiento de los planetas que, actualmente, se formulan de la manera
siguiente:
1. Todos los planetas se mueven por órbitas en forma de elipses, en uno de
cuyos focos (común para todos los planetas) se encuentra el Sol.
2. El radio vector de cada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Los cuadrados de los períodos sidéreos de revolución de los planetas
alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de
sus órbitas elípticas.
En la tercera aparece un concepto que hay que definir. Se denomina período
sidéreo o estelar de rotación de un planeta al intervalo de tiempo en el transcurso del
cual el planeta da por su órbita una vuelta completa alrededor del Sol.
Como es conocido, en la elipse, la suma de las distancias entre cualquiera de sus
puntos y dos puntos inmóviles f1 y f2, que yacen en el eje AΠ de dicha elipse y que se
denominan focos, es una magnitud constante igual al eje mayor AΠ. La distancia ΠO (o
OA), donde O es el centro de la elipse, se denomina semieje mayor a, y la relación
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
2
ASTRONOMÍA
Of1/OΠ=e se llama excentricidad de la elipse. Esta última caracteriza la divergencia
entre la elipse y la circunferencia, para la que e=0.
Las órbitas de los planetas se diferencian poco de las circunferencias, es decir,
sus excentricidades son pequeñas. La órbita de Venus tiene una excentricidad mínima
(e=0.007), y la órbita de Plutón tiene una excentricidad máxima (e=0.249). La
excentricidad de la órbita terrestre es 0.016729.
De acuerdo con la primera ley de Kepler el Sol se encuentra en uno de los focos
de la órbita elíptica del planeta. Recuérdese que el punto en que la Tierra se encuentra
más cerca del Sol es el perihelio y el punto donde se aleja más es el afelio. El eje mayor
de la órbita AΠ es la línea de los ápsides, y, considerando al Sol situado en f1, la línea
f1P que une el Sol y el planeta P en su órbita, se denomina radio vector del planeta.
La distancia entre el planeta y el Sol en el perihelio es q = a ⋅ (1 − e) , y en afelio
Q = a ⋅ (1 + e) .
q+Q
a=
2
Se toma como distancia media del planeta al Sol el semieje mayor de la órbita
.
De acuerdo a la segunda ley de Kepler el área CP1P2, descrita por el radio vector
del planeta durante el tiempo ∆t cerca del perihelio, es igual al área CP3P4, descrita por
dicho radio vector durante el mismo tiempo cerca del afelio. Puesto que el arco P1P2 es
mayor que el arco P3P4 el planeta, cerca del perihelio, tiene una velocidad mayor que
cerca del afelio. En otras palabras, su movimiento alrededor del Sol es irregular.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
3
ASTRONOMÍA
La velocidad del movimiento del planeta en el perihelio es
afelio es
vQ = vc ⋅
1− e
1+ e
v q = vc ⋅
1+ e
1− e
, y en el
, donde vc es la velocidad media o circular del planeta cuando r =
a. La velocidad circular de la Tierra es igual a 29.78 km./s.
2
3
La tercera ley de Kepler se escribe T12 = a13 donde T1 y T2 son los períodos
T2
a2
sidéreos de las revoluciones de los planetas, y a1 y a2 son los semiejes mayores de sus
órbitas.
Si expresamos los semiejes mayores de las órbitas de los planetas en unidades de
la distancia media entre la Tierra y el Sol (en Unidades Astronómicas, 1U.A.=
149597870 km. Según el XVI congreso de la U.I.A. celebrado en 1976), y los períodos
de revolución de los planetas se expresan en años, entonces, para la Tierra, a=1 y T=1, y
el período de la revolución de cualquier planeta es T = a 3 . La tercera ley de Kepler
establece la dependencia entre las distancias de los planetas y los períodos de
revolución.
Cuando se estudia el movimiento orbital de cualquier planeta del sistema solar
se utiliza un sistema de coordenadas espaciales heliocéntricas, adoptando como origen
de coordenadas el baricentro del sistema solar (muy próximo al centro del Sol), como
plano fundamental el de la eclíptica y como origen en ese plano la dirección hacia el
equinoccio verdadero γ. El sistema de referencia temporal que se utiliza es el tiempo
dinámico baricéntrico cuya idea se apuntará al final del tema. Sobre la esfera celeste
centrada aproximadamente en el Sol, realmente en el baricentro del sistema solar, el
plano de la órbita determina el círculo máximo OO’ que corta a la eclíptica EE’ en los
dos nodos, siendo el ascendente Ω.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
4
ASTRONOMÍA
En la figura la órbita real del planeta es la elipse AVP, en la que V es el punto
ocupado por el planeta en un instante dado y los puntos A y P son el afelio y el perihelio
del planeta. Prolongando la recta AP, igual al eje mayor de la elipse o línea de los
ápsides, en dirección del perihelio P, se obtiene su proyección sobre la esfera celeste P’
en el círculo orbital OO’. La distancia del planeta al Sol es el radio vector r=SV, que
prolongado hacia el planeta da la posición del mismo V’ sobre la esfera celeste. El
ángulo PSV, formado por el radio vector r con la recta SP y contado en sentido positivo,
es la anomalía verdadera v=P’V’ del planeta. Al moverse el planeta V a lo largo de su
órbita, su proyección V’ recorre sobre la esfera celeste el círculo máximo OO’ y se
conviene en designar como nodo ascendente Ω al nodo por el que V’ cruza la eclíptica
pasando del hemisferio sur al hemisferio norte (respecto a los polos de la eclíptica,
representados en la figura con E1 y E2 , norte y sur respectivamente) en el sentido
directo. Dado que no es objeto a cubrir en esta asignatura el estudiar las ecuaciones del
movimiento orbital se recomienda, para completar este estudio, recurrir a alguno de los
textos recomendados en la bibliografía.
4.4. DISTINTOS TIPOS DE DÍAS Y HORAS.
4.4.1. DÍA SIDEREO. DÍA SIDEREO UNIFORME.
Se define el día sidéreo como el intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos
sucesivos del punto Aries por el meridiano superior de un lugar. Su comienzo se
establece en el momento de la culminación superior, de forma que la hora sidérea de un
lugar es el tiempo transcurrido desde que pasó el punto Aries por el meridiano superior
de ese lugar.
Los fenómenos que posteriormente se estudiarán de precesión y nutación dan
lugar a que el punto Aries no sea un punto fijo de la esfera celeste. Dado que el
movimiento no es uniforme, si se pretende definir un tiempo sidéreo uniforme es
preciso recurrir a la definición de un equinoccio uniforme que se mueva de forma
uniforme por la eclíptica.
Se define el día sidéreo uniforme como el intervalo de tiempo transcurrido entre
dos pasos sucesivos del equinoccio uniforme, o medio, por el meridiano superior de un
lugar. El comienzo sería también la culminación superior y, de forma análoga, se
definiría la hora sidérea uniforme.
Al haber definido el día sidéreo uniforme, y ser constante ese intervalo de
tiempo, se tendrá un patrón de tiempos al que se pueden ajustar los denominados relojes
de tiempo sidéreo.
El movimiento relativo entre el punto Aries y el Sol hace que no sea posible
utilizar en la vida ordinaria el tiempo sidéreo. Sirva como ejemplo, que si Aries y el Sol
coincidiesen en el primero un día, seis meses después estarían desfasados mediodía.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
5
ASTRONOMÍA
4.4.2. DÍA SOLAR VERDADERO. DÍA SOLAR FICTICIO. DÍA SOLAR MEDIO.
ECUACIÓN DEL TIEMPO.
4.4.2.1. Distintos tipos de días solares.
Se define como día solar verdadero el intervalo de tiempo transcurrido entre dos
pasos sucesivos del Sol verdadero por el meridiano superior de un lugar. Dado que el
comienzo del día sería el paso por el meridiano, se define la hora solar verdadera como
el intervalo de tiempo transcurrido desde la culminación superior del Sol verdadero.
El problema a considerar ahora es que el Sol, al no ser un punto fijo de la esfera
celeste sino estar animado de una traslación aparente en torno a la Tierra de movimiento
no uniforme (mayor velocidad en la proximidad del perigeo), no daría lugar a una
duración constante del día solar verdadero definido.
Es necesario estudiar la variación de ascensión recta del Sol, ya que el Sol
verdadero será un buen patrón de tiempo si su movimiento en planos paralelos celestes,
perpendiculares a los planos meridianos respecto a los que se mide el día, es uniforme.
Considérese el triángulo esférico definido por el arco de círculo máximo sobre el
ecuador celeste correspondiente a la ascensión recta del Sol, el arco de círculo máximo
sobre la eclíptica correspondiente a la longitud eclíptica del Sol y el arco sobre el
meridiano celeste del Sol correspondiente a la declinación del Sol. Este triángulo
esférico tiene un ángulo recto, el formado por el ecuador celeste y el meridiano celeste
del Sol.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
6
ASTRONOMÍA
El pentágono de Neper será:
λv
ε
Ŝv
90º-δ
90º-α v
El coseno de un elemento es igual al producto de las cotangentes de los
elementos adyacentes.
tg α v = tg λv ⋅ cos ε
diferenciando, considerando la oblicuidad de la eclíptica constante,
dα v
dλv
=
⋅ cos ε
2
cos α v cos 2 λv
En el pentágono de Neper también se cumple que el coseno de un elemento es
igual al producto de los senos de los elementos opuestos, de donde:
cos λv = cosα v ⋅ cos δ , que sustituido en la expresión anterior permite expresar:
dα v =
dλv
⋅ cos ε
cos 2 δ
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
7
ASTRONOMÍA
La ascensión recta del Sol verdadera no será constante pues no lo es su longitud
eclíptica, no lo es su declinación y, además, la relación entre la variación de la longitud
eclíptica y el denominador no se conserva. Cuando el Sol está próximo al perigeo (en
torno al 1 de enero en la actualidad) la variación de la longitud eclíptica es máxima,
mientras que el denominador será máximo cuando el Sol esté próximo al ecuador (en
torno al 21 del marzo y al 22 de septiembre). Como consecuencia el Sol verdadero no
tiene un movimiento constante en ascensión recta y no se puede utilizar como patrón de
tiempo.
Al igual que para definir un tiempo sidéreo uniforme era preciso definir un
equinoccio uniforme, ha de definirse un Sol que se mueva de forma uniforme sobre el
ecuador celeste.
Para esto es preciso definir en primer lugar el Sol ficticio como un Sol que se
mueve uniformemente por la eclíptica y está obligado a coincidir con el Sol verdadero
en el perigeo y en el apogeo. De acuerdo a la definición, el Sol ficticio irá delante del
Sol verdadero entre el apogeo y el perigeo, dado que la velocidad del Sol verdadero
disminuye en el apogeo, e irá atrasado respecto al Sol verdadero entre el perigeo y el
apogeo, dado que la velocidad del Sol verdadero aumenta en el perigeo.
Si se retoma la relación de la variación de la ascensión recta del Sol verdadero se
aprecia que aplicada al Sol ficticio el numerador será constante. Sin embargo, la
declinación varía y como consecuencia, la ascensión recta del Sol ficticio no será
constante.
Este motivo da lugar a que sea preciso definir el Sol medio como el astro ideal
que se mueve sobre el plano del Ecuador con movimiento constante y coincide con el
ficticio en los puntos Aries y Libra. De acuerdo a la definición, teniendo en cuenta que
el Sol ficticio se mueve de forma uniforme en la eclíptica y el medio también
uniformemente en el ecuador celeste y coinciden en los puntos Aries y Libra, la
ascensión recta del Sol medio es siempre igual a la longitud eclíptica del Sol ficticio.
Por el hecho de desplazarse en el ecuador celeste se tendrá que:
dα m = dλv ⋅ cos ε
y, es el adecuado para definir el día y hora. Se define el día medio como el intervalo de
tiempo transcurrido entre dos pasos sucesivos del Sol medio por el meridiano superior
del lugar. La hora media será el tiempo transcurrido desde el paso del Sol medio por el
meridiano superior del lugar.
La diferencia entre la hora media de dos lugares será igual a la diferencia entre
sus longitudes astronómicas.
4.4.2.2. Ecuación del tiempo.
4.4.2.2.1. Definición de la ecuación del tiempo.
Es fundamental encontrar la relación existente entre el tiempo medio y el tiempo
solar verdadero dado que el primero será el patrón de tiempos pero el segundo es el que
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
8
ASTRONOMÍA
presenta una realidad física. Es importante que la diferencia sea pequeña a lo largo de
todo el año de forma que el desfase entre tiempo reloj y tiempo luz quede justificada, la
diferencia tiene una cota superior de unos 16 minutos.
Con el dato de la ecuación del tiempo se puede saber lo que el Sol medio
adelanta o atrasa respecto al Sol verdadero y, por tanto, se puede fijar exactamente el
instante de paso por el meridiano de este Sol medio imaginario.
La relación entre el Sol medio y el verdadero pasa por el ficticio y el
planteamiento de la denominada ecuación del tiempo. Dado que lo interesa es saber
como va retrasado o adelantado el Sol medio con respecto al verdadero no es de
extrañar que la ecuación del tiempo se defina como la diferencia entre la ascensión recta
del Sol verdadero y el medio: ET = α v − α m . Dado que la ascensión recta se mide en el
sentido contrario al incremento de la hora, se puede definir equivalentemente la
ecuación del tiempo como la diferencia que hay en un cierto lugar entre su hora media y
su hora verdadera, entre tiempo medio y tiempo verdadero: E T = Tm − Tv . Esta
definición corresponde a la definición antigua, a partir de 1994 la ecuación del tiempo
dada por el Anuario del Observatorio Astronómico de Madrid (publicado por el
Instituto Geográfico Nacional, Ministerio de Fomento) se define como la corrección al
tiempo medio para obtener el tiempo verdadero, ET = Tv − Tm , lo que implica un
cambio de signo.
A continuación ser procede a deducir la ecuación del tiempo, según la definición
inicial.
Introduciendo la longitud eclíptica del Sol verdadero, la ecuación del tiempo se
expresa según,
ET = α v − α m = α v − α m + λv − λv
con α m = λ f
ET = (λv − λ f ) − (λv − α v )
La expresión anterior se suele estudiar a partir de cada uno de los paréntesis que
reciben un nombre propio de acuerdo a su significado.
Q = (λv − λ f )
R = (λv − α v )
ET = Q − R
Donde Q es la denominada ecuación de centro, longitud eclíptica del Sol
verdadero menos la longitud eclíptica del Sol ficticio, y R es la denominada reducción
al ecuador, longitud eclíptica del Sol verdadero menos la ascensión recta del Sol
verdadero.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
9
ASTRONOMÍA
4.4.2.2.2. Determinación de la ecuación de centro.
Para estudiar la ecuación de centro ha de considerarse como plano del
movimiento el plano de la eclíptica. Sea la siguiente figura,
El Sol verdadero, V, se mueve sobre la órbita eclíptica con periodo T conocido.
El Sol ficticio, F, se mueve también sobre la eclíptica pero su movimiento se estudia a
partir de F’ que se desplaza uniformemente sobre la circunferencia de radio el semieje
mayor de la elipse coincidiendo con F en el apogeo y perigeo. La velocidad angular de
F’ será n = 360 º . Si se comienza a medir desde el perigeo, en un cierto instante t, F’
T
habrá recorrido una distancia n·t. A este desplazamiento le corresponde como ángulo la
anomalía media que se determina a partir del periodo de revolución, T, de la época de
paso por el perigeo, P, y del tiempo transcurrido desde entonces.
El paso de anomalía media (nt) a verdadera (v), ángulo correspondiente al arco
descrito por el Sol verdadero sobre la elipse, se consigue a través de la anomalía
excéntrica (u), ángulo V’CP, estando V’ sobre la circunferencia principal en una
paralela por V al eje menor.
En primer lugar se deduce la relación entre la anomalía excéntrica (u) y la
verdadera (v).
La ecuación de la elipse en un sistema de coordenadas que tiene por origen el
centro de la elipse, por dirección del eje x el semieje mayor y por eje y el semieje menor
es:
x2 y2
+
=1
a2 b2
despejando el cuadrado de la ordenada y teniendo en cuenta la definición de la
excentricidad,
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
10
ASTRONOMÍA
e2 =
a2 − b2
b2
2
2
2
2
2
2
2
⇒
⋅
=
−
⇒
=
⋅
−
⇒
= 1− e2
e
a
a
b
b
a
e
1
2
2
a
a
(
(
)(
y 2 = 1− e2 ⋅ a2 − x2
)
)
Por otro lado, el módulo del radio vector que une el punto de la elipse V con el
foco T será,
r=
(x − a ⋅ e )2 + (1 − e 2 )⋅ (a 2 − x 2 ) ⇒ r = a − e ⋅ x
La abcisa de V, igual a la de V’, se obtiene a partir de la anomalía excéntrica
según,
x = a ⋅ cos(u )
y, sustituyendo en r,
r = a − e ⋅ a ⋅ cos(u ) → r = a ⋅ (1 − e ⋅ cos(u ))
La abcisa también se puede obtener a partir de la anomalía verdadera según,
x − a ⋅ e = r ⋅ cos(v )
multiplicando por e,
e ⋅ x − a ⋅ e 2 = e ⋅ r ⋅ cos(v ) ⇒ e ⋅ x = a ⋅ e 2 + e ⋅ r ⋅ cos(v )
Sustituyendo este valor en la expresión anteriormente encontrada de r,
(
)
r = a − e ⋅ x = a − a ⋅ e 2 − e ⋅ r ⋅ cos(v ) = a ⋅ 1 − e 2 − e ⋅ r ⋅ cos(v )
(
r ⋅ (1 + e ⋅ cos(v )) = a ⋅ 1 − e 2
)
y, se obtiene,
r=
(
)
a ⋅ 1− e2
1 + e ⋅ cos(v )
Se han obtenido, por tanto, dos expresiones para el valor de r; una en función de
la anomalía excéntrica y otra en función de la anomalía verdadera. Igualando,
a ⋅ (1 − e ⋅ cos(u )) =
(
)
a ⋅ 1− e2
1 + e ⋅ cos(v )
Operando, se obtienen distintas expresiones:
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
11
ASTRONOMÍA
cos(v ) =
cos(u ) − e
1 − e ⋅ cos(u )
1 − cos(v ) =
(1 + e ) ⋅ (1 − cos(u ))
1 − e ⋅ cos(u )
1 + cos(v ) =
(1 − e ) ⋅ (1 + cos(u ))
1 − e ⋅ cos(u )
1+ e ⎛ u ⎞
⎛v⎞
tg⎜ ⎟ =
⋅ tg⎜ ⎟
1− e ⎝ 2 ⎠
⎝2⎠
A continuación se deducirá la relación entre la anomalía media nt y la excéntrica
u.
Retómense las dos expresiones de r y procédase a derivar,
dr = e ⋅ a ⋅ sen (u ) ⋅ du
(
)
a ⋅ 1 − e 2 ⋅ (− 1) ⋅ (− e ⋅ sen (v ) ⋅ dv )
e⋅r2
dr =
=
⋅ sen (v ) ⋅ dv
a ⋅ 1 − e2
(1 + e ⋅ cos(v ))2
(
)
Igualando,
e ⋅ a ⋅ sen (u ) ⋅ du =
sen (u ) ⋅ du =
e⋅r2
⋅ sen (v ) ⋅ dv
a ⋅ 1− e2
(
)
r2
⋅ sen (v )dv
b2
Dado que la ordenada se puede obtener tanto a partir de la anomalía excéntrica
como de la verdadera,
y = r ⋅ sen (v ) = b ⋅ sen (u )
Se obtiene,
r
r2
du = ⋅ dv ⇒ r ⋅ du = ⋅ dv
b
b
Sea r = (x, y ) el vector de posición geocéntrico del Sol en el instante t y
r + dr = ( x + dx, y + dy ) el vector de posición correspondiente al instante t+dt. El área
elemental comprendida por los dos vectores de posición es,
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
12
ASTRONOMÍA
dA 1 2 dv
= ⋅r ⋅
dt 2
dt
Teniendo en cuenta la ley de las áreas,
1 2 dv
⋅ r ⋅ = C ⇒ r 2 ⋅ dv = K ⋅ dt
2
dt
K
r ⋅ du = ⋅ dt
b
(1 − e ⋅ cos(u )) ⋅ du = n ⋅ dt
Integrando,
u
t
0
t0
∫ (1 − e ⋅ cos(u ))⋅ du = ∫ n ⋅ dt
u − e ⋅ sen (u ) = n ⋅ (t − t 0 ) = M
Esta expresión es la denominada ecuación de Kepler. M es la anomalía media
del Sol y representa el ángulo que describiría el Sol si este se moviese sobre la
circunferencia principal circunscrita a su órbita con una velocidad angular constante
igual a n.
A partir de las expresiones obtenidas,
1+ e ⎛ u ⎞
⎛v⎞
tg⎜ ⎟ =
⋅ tg⎜ ⎟
1− e ⎝ 2 ⎠
⎝2⎠
u − e ⋅ sen (u ) = n ⋅ t
mediante desarrollos matemáticos se obtiene la expresión de la ecuación de centro,
5
Q = 2 ⋅ e ⋅ sen (n ⋅ t ) + ⋅ e 2 ⋅ sen (2 ⋅ n ⋅ t ) + ...
4
En esta expresión es conocido el valor de la excentricidad, e = 0.016729, y la
velocidad angular del Sol ficticio, n = 360º/365.24 = 0º.98565. El valor de t es el tiempo
expresado en días, transcurrido desde el paso del Sol por el perigeo.
Resultaría muy sencillo estudiar las anulaciones, los máximos y mínimos de esta
función y ver cuando se producen.
4.4.2.2.3. Determinación de la reducción al ecuador.
Teniendo en cuenta la expresión ya vista:
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
13
ASTRONOMÍA
tg α v = tg λv ⋅ cos ε
y aplicando un desarrollo en serie de Lagrange se obtiene:
1
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
R = tg 2 ⎜ ⋅ ε ⎟ ⋅ sen (2 ⋅ λv ) − ⋅ tg 4 ⎜ ⋅ ε ⎟ ⋅ sen (4 ⋅ λv ) + ...
2
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
Si, al igual que con la ecuación de centro, se limita el estudio, en primera
aproximación, al primer término, resulta evidente que la función se anulará para
longitudes eclípticas del Sol verdadero de 0º, 90º, 180º y 270º, siendo las fechas
correspondientes del año el 21 de marzo, 21 de junio, 21 de septiembre y 21 de
diciembre, respectivamente. Los máximos se alcanzan cuando el seno se hace igual a la
unidad, para la longitud eclíptica del Sol verdadero igual a 45º y 225º, lo que
corresponde aproximadamente a las fechas de 7 u 8 de mayo y hacia el 4 de noviembre,
respectivamente. De igual forma, los mínimos se alcanzan en torno al 3 de febrero y 8
de agosto. Los máximos y mínimos alcanzan un valor del orden de 9m52s positivo y
negativo, respectivamente.
4.4.2.2.4. Gráficas de la ecuación del tiempo.
El resultado definitivo se obtiene de combinar la ecuación de centro y la
reducción al ecuador, ET=Q-R.
La gráfica de la ecuación del tiempo para el año 1998 es la siguiente.
La ecuación del tiempo se puede calcular para cualquier momento. Sin embargo,
lo habitual es obtenerla a partir de algún anuario astronómico como es el de Madrid al
que anteriormente se hizo referencia. En este anuario figura para cada día del mes la
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
14
ASTRONOMÍA
ecuación del tiempo a las 0h de tiempo universal, tiempo que será definido
posteriormente.
A continuación se incluye la información relativa al mes de noviembre de 1998.
En la primera columna figura el día del mes, en la segunda el día de la semana, en la
tercera el día del año a partir del 1 de enero (contabilizado como 1 y no como 0), en la
cuarta el número de día juliano (explicado posteriormente). En la quinta columna figura
un dato importante para relacionar tiempo sidéreo y medio o verdadero, la hora sidérea
a las 0h de tiempo universal y será convenientemente interpretado más adelante. La
sexta columna introduce el valor de la ecuación de los equinoccios que relaciona
permite pasar del tiempo sidéreo verdadero medido astronómicamente a tiempo sidéreo
medio. La última columna incluye la ecuación del tiempo.
En el año 1998 el valor absoluto máximo de la ecuación de tiempo no supera los
16,5 minutos. Su variación máxima en un día no excede los 30 segundos. La ecuación
del tiempo en este año se anula en las siguientes cuatro fechas: 15 de abril, 13 de junio,
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
15
ASTRONOMÍA
1 de septiembre y 25 de diciembre, mientras que el valor mínimo es el día 11 de febrero,
hay un mínimo secundario el 26 de junio, el valor máximo es el 3 de noviembre y hay
un máximo secundario el 14 de mayo.
4.4.3. HORA CIVIL, LEGAL Y OFICIAL.
Teniendo en cuenta el pequeño desfase entre el Sol medio y el verdadero,
analizado en el punto anterior, y que se ha definido la hora media como el tiempo que
hace que pasó el Sol medio por el meridiano superior del lugar, que el comienzo del día
se produciría de día, el cambio de día representaría un problema. El evitar este problema
es tan simple como trasladar el comienzo del día al paso del Sol medio por el
antimeridiano o meridiano inferior.
Se define la hora civil como el tiempo que hace que el Sol medio cruzó el
meridiano inferior. El cambio de día se produce por tanto a medianoche. Se cumplirá
que Hora civil = Hora media ±12h.
Sin embargo, todavía queda por resolver un problema, la hora civil es local de
cada meridiano.
La actividad social del hombre está regida por el ritmo natural de la sucesión de
los días y las noches, debido al movimiento diurno del Sol. Se hace necesario encontrar
una escala de tiempo que, respetando en lo posible el día y la noche naturales, regule el
buen funcionamiento de actividades humanas con carácter universal. El buen
funcionamiento de las estructuras económicas y sociales modernas exige que las
actividades laborales estén ordenadas dentro de un horario exacto. Por otra parte, ese
horario debe ser el mismo para todos, al menos dentro de una misma región o nación, es
decir, debe ser universal. El carácter local del tiempo civil implica una falta de
universalidad. Para obviar todos estos inconvenientes fue necesario elegir
arbitrariamente el tiempo civil de un meridiano particular, adoptándolo como tiempo
único dentro de una región o país. Así, por ejemplo, en España se adoptó el tiempo civil
del meridiano de Madrid y en Francia el del meridiano de París. Quedaba así
solucionado el problema de un tiempo uniforme y único dentro de las fronteras del país,
pero la dificultad permanecería sin resolver al pasar de un país al otro. Se imponía, por
tanto, uniformar el tiempo a escala mundial, especialmente en los tiempos modernos en
los que la facilidad de comunicaciones y la rapidez de las mismas, prácticamente
instantáneas, exigen una coordinación universal.
Este último problema se resolvió, siguiendo las recomendaciones del congreso
celebrado en 1884 en Washington, en París en 1912 en la Conferencia Internacional de
la Hora. Se adoptó internacionalmente el sistema de cómputo del tiempo medio del huso
horario.
El cómputo del tiempo sólo se efectúa en los 24 meridianos geográficos básicos
(o fundamentales), situados unos respecto a los otros exactamente cada 15º (o cada 1h)
de longitud, convirtiéndose en el meridiano central de cada huso horario de amplitud
15º. Los husos horarios están numerados del 0 al 23. Como meridiano básico del huso
horario 0 se eligió el meridiano de Greenwich. El meridiano básico del huso horario
número 1 está situado exactamente 15º al este del de Greenwich, el segundo a 30º, etc.
Los límites de los husos horarios solamente siguen con exactitud los meridianos
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
16
ASTRONOMÍA
geográficos en los mares y océanos, así como en los lugares no poblados de la tierra
firme. En su extensión restante dichas líneas pasan por las fronteras estatales,
administrativas o geográficas, apartándose del meridiano correspondiente hacia uno u
otro lado.
La hora legal de todos los lugares incluidos en un huso horario es igual a la hora
civil del meridiano básico correspondiente a ese huso horario. La diferencia entre la
hora civil y la legal de un lugar situado en un determinado huso horario es igual a la
diferencia de longitud hasta el meridiano básico de ese huso horario (Hc=Hl+(λ-λ0))
Puesto que los límites de los husos horarios están alejados de los meridianos básicos
aproximadamente en 7º.5, la diferencia entre la hora civil y la legal es, como máximo,
del orden de ±30m.
Se define el tiempo universal (T.U.) como la hora civil de Greenwich, y por
tanto la hora legal del huso horario 0. El tiempo de un huso horario dado n está
relacionado con el tiempo universal mediante la relación: Tn=T0+n.
También está absolutamente claro que la diferencia entre los tiempos de los
husos horarios de dos puntos es una cantidad entera de horas, igual a la diferencia entre
los números ordinales de sus husos horarios.
Con el fin de distribuir más racionalmente la energía eléctrica y emplear más
ampliamente la luz del día, algunos países alteran en una hora, o dos durante una parte
del año, la hora legal. Esta hora adelantada recibe el nombre de hora oficial. En España
hay una hora de adelanto respecto al tiempo universal en otoño e invierno y dos en
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
17
ASTRONOMÍA
primavera y verano. Precisando, la segunda hora de adelanto comienza a las 2h de la
madrugada del último domingo de marzo (en la que los relojes se adelantan a las tres) y
dura hasta las 3h de la madrugada del último domingo de octubre (en que los relojes se
retrasan a las 2h). Por tanto, el último domingo de marzo tiene oficialmente una hora
menos, mientras que el último domingo de octubre tiene oficialmente una hora más. La
hora oficial es por tanto la hora de reloj y, aunque ha sido apuntado que su escala
corresponde a tiempo universal, en realidad su escala es la Tiempo Universal
Coordinado que será descrito posteriormente. El acceso a la hora se puede realizar a
través de la recepción de las señales horarias que en España difunden diversas cadenas
nacionales de radiodifusión (Radio Nacional de España, Radio España, Cadena COPE,
Onda Cero, Cadena SER, ...) gracias a que disponen de conexión telefónica con los
relojes del gabinete de la hora del Observatorio Astronómico de Madrid, lo que les
permite emitir cada media hora.
4.4.4. LÍNEA DE LA FECHA.
Tal y como ha sido definido el tiempo legal surge una dificultad respecto a la
fecha del día en el cual se cuentan las horas así definidas.
La necesidad de establecer una línea de fecha está suscitada por las
consideraciones siguientes. Durante la vuelta al mundo desde el occidente hacia el
oriente el viajero pasa por puntos donde los relojes, que andan según la hora legal (o de
huso horario), marcan cada vez una hora más. Avanzando gradualmente las agujas de su
reloj el viajero, al final de su jornada, contará un día de sobra. Y al revés, durante la
vuelta al mundo desde el oriente hacia el occidente se perderá un día.
De acuerdo con el convenio internacional la línea de fecha o de cambio de fecha
(línea demarcadora) pasa en su mayor parte por el meridiano que dista 180º del de
Greenwich, desviándose de éste hacia el occidente en las islas de Wrangel y Aleutianas,
y hacia el oriente en las extremidades de Asia, en las islas Fidji, Samoa, Tonga,
Kermadec y Chatham.
Hacia el oeste de esta línea la fecha del día es siempre en una unidad mayor que
al este de dicha línea. Por esto, al cruzar la línea de fecha desde el occidente hacia el
oriente, es necesario disminuir la fecha, y al cruzarla desde el oriente hacia el occidente
aumentar ésta en una unidad. Por ejemplo, si un barco cruza la línea demarcadora el 8
de noviembre, navegando desde el oeste hacia el este, a la medianoche después de
cruzar dicha línea, no se cambia la fecha en el barco, es decir, dos días seguidos se
datan como 8 de noviembre. Y, por el contrario, si el barco cruza el 8 de noviembre la
línea de fecha navegando desde el oriente hacia el occidente, a la medianoche, después
de cruzar esta línea, se cambia la fecha de una sola vez al 10 de noviembre, no
existiendo en el barco el día como 9 de noviembre.
El cumplimiento de esta regla excluye el error en el cómputo de los días,
cometido por los miembros de la primera expedición alrededor del mundo encabezada
por Magallanes en el siglo XVI, que, al regresar a su patria, descubrieron que
discrepaban en la cuenta de los días del mes, con la de los habitantes que habían
permanecido en el lugar, exactamente en un día.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
18
ASTRONOMÍA
4.5. RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO SOLAR MEDIO Y EL
TIEMPO SIDÉREO. DISTINTOS TIPOS DE AÑOS.
4.5.1.TIPOS DE AÑOS UTILIZADOS EN ASTRONOMÍA DE POSICIÓN.
Según se estudio en el tema dedicado a los distintos sistemas de coordenadas
celestes utilizados en astronomía de posición, el tiempo utilizado es tiempo sidéreo,
recuérdese que la hora sidérea es el parámetro que permite transformar las coordenadas
ecuatoriales absolutas a coordenadas ecuatoriales horarias para un astro, un lugar y un
instante de observación. Sin embargo, en principio hay que pensar que un usuario sólo
dispondrá de relojes referidos al tiempo universal que es utilizado habitualmente. Esto
convierte en imprescindible establecer la relación existente entre un intervalo de tiempo
expresado en tiempo universal y el mismo expresado en tiempo sidéreo. Para ello es
preciso primero abordar la definición de los diferentes tipos de años utilizados en
astronomía de posición.
Previa a la definición de los distintos tipos de años se van a definir los períodos
de rotaciones sinódicas y sidéreas de los planetas.
Se denomina período sidéreo o estelar de rotación (T) de un planeta al intervalo
de tiempo en el transcurso del cual el planeta da por su órbita una vuelta completa
alrededor del Sol. El período sidéreo de rotación de la Tierra se llama año sidéreo o
sideral (T⊕).
La definición que se suele dar en los textos al año sidéreo es el tiempo que el Sol
emplea en estar alineado dos veces con una misma estrella, o en recorrer exactamente
360º. Es evidente que es equivalente a la enunciada anteriormente.
Se denomina año trópico al intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos
sucesivos del centro del Sol verdadero a través del punto del equinoccio de primavera,
del punto Aries. El año trópico es más corto que el año sidéreo porque mientras el Sol
completa la revolución en torno a la Tierra, el punto Aries retrograda 50.2’’,
aproximadamente, debido a la precesión de los equinoccios, luego el Sol encuentra al
punto Aries antes de completar la revolución.
Se denomina año anomalístico al intervalo de tiempo transcurrido entre dos
pasos sucesivos del Sol, en su movimiento aparente, por el perigeo. Es más largo que el
sidéreo debido a que el perigeo tiene un movimiento en el sentido directo anual de
11.7’’.
Después de muchos años de observaciones se estableció que el año trópico
contiene 365.242199 días solares medios. La determinación del instante en que el Sol
pasa por el punto Aries se puede determinar con precisión al anularse su declinación en
ese instante. Ni el año sidéreo, por no poder materializarse un punto fijo en la esfera
celeste, ni el anomalístico, por no existir físicamente la dirección del perigeo, pueden
medirse por observación.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
19
ASTRONOMÍA
Teniendo en cuenta que el año trópico corresponde a 360º-50.2’’, el año sidéreo
a 360º’, y el año anomalístico a 360º+11.7’’, no resulta difícil establecer la duración de
los años sidéreo y anomalístico en unidades de días solares medios:
♦ Año trópico = 365.242199 días solares medios = 365d5h48m47.5s en unidades
solares medias.
♦ Año sidéreo = 365.2564 días solares medios = 365d6h9m10.1s en unidades
solares medias.
♦ Año anomalístico = 365.2596 días solares medios = 365d6h13m50s en
unidades solares medias.
4.5.2.RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO MEDIO Y EL SIDÉREO.
El día del equinoccio de primavera el Sol verdadero está alineado con el punto
Aries. Sea el meridiano superior de un lugar alineado también ese día con el punto
Aries. Este día sería el principio del año trópico. Recuérdese que el Sol medio está
obligado a coincidir con el verdadero este día.
Cuando la Tierra complete una revolución y el meridiano superior del lugar
vuelva a pasar por el punto Aries acaba un día sidéreo. Sin embargo, el Sol verdadero se
habrá desplazado aproximadamente 1º sobre la eclíptica (debido a que en 365 días
recorre 360º), de forma que se puede decir que también el Sol medio se ha desplazado
un ángulo muy parecido sobre el ecuador.
De esta forma falta un cierto ∆t para que acabe el día medio. Esto da lugar a afirmar que
el día sidéreo expresado en tiempo medio es más corto que el día medio. Se puede decir
que 1día medio = 1 día sidéreo + ∆t. Al segundo día el Sol medio se habrá desplazado
aproximadamente 2·∆t, de forma que 2 días medios = 2 días sidéreos + 2·∆t, ya que la
diferencia entre el día medio y sidéreo se está considerando constante (lo que es lícito
por el hecho del desplazamiento uniforme del Sol medio por el ecuador). Procediendo
de forma similar, cuando transcurra un año trópico, cuando el Sol medio (y el
verdadero) vuelva a coincidir con la dirección del punto Aries, acabado el día sidéreo,
el meridiano superior todavía tendría que completar una revolución más hasta encontrar
al Sol medio. De esta forma se establece la relación:
365.2422 ⋅ día solar medio = 366.2422 ⋅ día sidéreo →
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
día solar medio 366.2422
=
día sidéreo
365.2422
20
ASTRONOMÍA
En general, dado un intervalo cualquiera I, medido por el valor numérico Im en
unidades um de tiempo medio y por el valor numérico Is en unidades us de tiempo
sidéreo, se verifica que:
I = I m ⋅ um = I s ⋅ us
o sea:
I m us
=
I s um
Es decir, los valores numéricos que miden el intervalo están en proporción
inversa a las unidades correspondientes. En consecuencia, se obtienen las siguientes
fórmulas de transformación de unidades,
365.2422
⋅ Is
366.2422
366.2422
Is =
⋅ Im
365.2422
Im =
de donde,
♦ 1 día sidéreo = 23h56m4.09s de tiempo medio.
♦ 1 día solar medio = 24h3m56.55s de tiempo sidéreo.
Al existir un día sidéreo más en un año trópico, su duración ha de ser más corta
expresada en tiempo medio. De igual forma, al existir un día medio menos, su duración
ha de ser mayor en tiempo sidéreo.
A la diferencia a 24h sidéreas en la duración de un día solar medio, es decir,
3 56.55s se la conoce como la aceleración de las fijas. También se podría haber
obtenido considerando el siguiente razonamiento. Si en un año trópico la ascensión
recta del Sol aumenta 24h, de acuerdo a la revolución completa asociada al movimiento
m
aparente de traslación alrededor de la Tierra, en un día varía:
24
= 3 m 56 s .55
365 .2422
sidéreos, y dado que si aumenta la ascensión recta aumenta la hora sidérea, está ha de
ser la diferencia entre el día medio y el sidéreo.
366.2422
= 1.00273791 sirve para convertir los intervalos de
365.2422
tiempo solar medio en intervalos de tiempo sidéreo.
365.2422
El coeficiente k sm =
= 0.997269571 sirve para convertir los intervalos
366.2422
de tiempo sidéreo a intervalos de tiempo solar medio.
El coeficiente k ms =
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
21
ASTRONOMÍA
4.6. EL CALENDARIO.
Calendario se puede definir como un sistema arbitrario de subdividir una escala
temporal utilizado por la sociedad para medir convenientemente el tiempo según las
necesidades de la vida social. Sirve para fijar el instante en que ocurren los sucesos de
la vida cotidiana (aspecto cronológico), y para determinar los intervalos de tiempo entre
acontecimientos (aspecto cronométrico).
De acuerdo a la definición, en el calendario hay dos partes esenciales: una escala
de tiempo, que es la base fundamental del calendario, y una división o estructuración
arbitraria de esa escala. Tanto una parte como la otra son arbitrarias. Según se utilice
una escala de tiempo lunar o solar, o una combinación de ambas, se obtienen
calendarios lunares, solares o lunisolares (árabe, gregoriano e israelita como ejemplos
respectivos).
La historia del calendario es tan antigua como la civilización misma. Todas las
comunidades han tenido un calendario para regular las actividades agrícolas,
religiosas,...
Los primeros calendarios de los que se tiene conocimiento detallado
corresponden a culturas ampliamente desarrolladas, tales como los sumerios, chinos o
mayas.
Los sumerios, hace más de 5000 años, establecieron un calendario lunar,
adoptando la escala de tiempo determinada por las fases de la Luna. Establecieron un
año de 360 días divido en 12 meses lunares. Cada mes lunar constaba de 30 días de 12
“horas”. Dado que un mes lunar dura en realidad, aproximadamente, 29.53 días, los
meses lunares se iban retrasando respecto a las fases de la Luna.
El calendario anterior evolucionaría en Babilonia a un calendario lunisolar.
Hacia el siglo octavo antes de Cristo, los astrónomos de Babilonia habían determinado
ya la duración del año trópico en 365.249 días solares, sirviéndose de las tablas de
eclipses cuidadosamente registrados durante mucho tiempo. Esta duración lo convertía
en inconmensurable con la del año compuesto de meses lunares. El notable desarrollo
de la astronomía babilónica permitió determinar la relación entre el número de días del
mes lunar y del año solar trópico. En torno al 500 a. C. se hizo el trascendental
descubrimiento de que cada 19 años el ciclo de las fases lunares volvía a coincidir con
el año solar. Puesto que 19 años solares son casi exactamente 235 meses lunares,
mientras que 19 años lunares del calendario eran 228 meses lunares, bastaba añadir un
mes a siete de los años del calendario, dentro de cada periodo de 19 años, para
completar los 235 meses lunares y hacer coincidir de nuevo el calendario con los ciclos
naturales de la Luna y el Sol.
El calendario israelita adopta el esquema del babilónico. Además introduce un
nuevo elemento, la semana de siete días. El origen de la semana es un misterio no
descifrado todavía. Mientras los otros intervalos de tiempo usuales en los calendarios,
días, meses y años, se basan en períodos astronómicos de importancia para las
actividades prácticas de la vida diaria, la semana aparece como un período artificial sin
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
22
ASTRONOMÍA
relación aparente con ningún fenómeno astronómico. El ciclo semanal de siete días se
propagó primero a oriente y luego a occidente, encontrándose hoy prácticamente
incorporado en todos los calendarios como ciclo regulador de las actividades laborales.
La historia del calendario gregoriano, utilizado en la actualidad en la mayoría de
los países civilizados, se remonta hasta más de 4000 años, al calendario egipcio. El
calendario solar egipcio fue adoptado por los romanos en el año 46 a. C. con una
reforma por decreto de Julio César dando lugar al calendario juliano. Este calendario
estuvo en vigor en occidente unos dieciséis siglos hasta la reforma gregoriana del
mismo, efectuada por el Papa Gregorio XIII en 1582, que dio lugar al calendario
gregoriano actual.
3000 años a. C. los egipcios establecieron un calendario solar. La vida social del
antiguo Egipto se regulaba por las inundaciones periódicas del Nilo. Ellos habían
observado que el comienzo de las inundaciones coincidía aproximadamente con la
primera aparición en el horizonte de la estrella Sirio poco antes de la salida del Sol. El
intervalo de tiempo entre dos sucesos similares era de unos 365 días solares,
aproximadamente una año trópico, y fue adoptado como duración fija del año de su
calendario. Los 365 días del año se dividían en 12 meses de 30 días, seguidos de cinco
días adicionales. Cada día tenía 24 horas, 12 diurnas y 12 nocturnas. Este año solar no
se ajustaba mediante ninguna corrección al año solar trópico, aproximadamente un
cuarto de día más largo, lo que originaba un adelanto progresivo del comienzo del año
del calendario respecto al trópico. Los egipcios se percataron de ello a causa del
desplazamiento de las estaciones naturales a lo largo de los meses del año. Ellos
dividían el año en tres estaciones de cuatro meses, la de las inundaciones, la estación de
la siembra y la estación de la cosecha, correspondientes al ciclo anual de crecida y
descenso de las aguas del Nilo. Si el principio del año, relacionado con la estrella Sirio,
se hacia corresponder con la estación de las inundaciones, los egipcios se percataron
que para que volviera a producirse esa coincidencia debían transcurrir unos 1460 años.
En el año 238 a. C. se intentó una reforma consistente en añadir un día cada cuatro años,
con objeto de hacer coincidir el año del calendario con las estaciones naturales, pero la
oposición de las clases sacerdotales impidió su puesta en práctica. El calendario solar
egipcio, con su año fijo de 365 días, presentaba notables ventajas para los cálculos
astronómicos y fue adoptado durante muchos siglos por los astrónomos occidentales
(Copérnico todavía lo usaba en sus tablas de los planetas y la Luna).
El calendario juliano fue establecido en Roma por Julio César en el año 46 a. C.
(708 desde la fundación de Roma). La reforma vino de la mano del astrónomo
alejandrino Sosígenes. Debido a que se habían acumulado tres meses de retraso respecto
al ciclo natural de las estaciones en el anterior, el año 46 duró 445 días, por lo que se
llamó año de la confusión. Se adoptó un año solar común de 365 días, el mismo del
calendario egipcio, dividido en 12 meses de 29, 30 y 31 días según el siguiente orden:
Januarius (31), Februarius (29), Martius (31), Aprilis (30), Maius (31), Junius (30),
Quintilis (31), Sextilis (30), September (31), October (30), November (31) y December
(30). A diferencia del año solar egipcio que era inmutable se introdujo un año de 366
días cada cuatro años, intercalando un día adicional entre el 23 y 24 de febrero, al que
se llamó año bisiesto. En los años bisiestos el mes de febrero tenía 30 días y todos los
meses pares tenían 30 días y los impares 31. A pesar de la sencillez del ciclo de cuatro
años de Sosígenes, los romanos intercalaron al principio equivocadamente un bisiesto
cada tres años, de forma que durante los primeros treinta y siete años a partir del año 45
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
23
ASTRONOMÍA
a. C., en el que entró en vigor el calendario juliano y que fue bisiesto, se habían
intercalado varios años bisiestos de más. En el año 8 a. C. el emperador César Augusto
rectificó esta intercalación errónea de los bisiestos, y puesto que los trece bisiestos de
más corresponden a cincuenta dos años, el emperador suspendió la intercalación de
bisiestos hasta el año 8 d. C., a partir del cual se aplicó correctamente la intercalación de
bisiestos cada cuatro años hasta la reforma gregoriana de 1582. El mes Quintilis había
pasado a llamarse Julius en honor de Julio César, y en el año 24 a. C. el mes Sextilis
pasó a llamarse Augustus, en honor del emperador Augusto. Para que el mes dedicado a
Augusto no tuviese menos días que el dedicado a Julio César, que tenía 31 días, se
añadió un día a Augustus, que se resto a Februarius. El mes de febrero quedó con 28
días los años comunes y 29 los bisiestos, y los meses de septiembre y noviembre
pasaron a tener 30 días, para evitar tres meses seguidos de 31 días. De esta forma, la
duración de los meses quedó alterada en la forma que se ha conservado hasta la
actualidad.
De este modo, la duración del año en el calendario juliano es, en término medio,
igual a 365.25 días solares medios, es decir, es más largo que el año trópico solamente
en 0.0078 días. La cuenta del tiempo con años julianos durante los 128 años dará una
discrepancia con la cuenta de años trópicos aproximadamente de un día, y durante 400
años la discrepancia será de unos tres días (por ejemplo, el día del equinoccio de
primavera, transcurridos 400 años por el calendario juliano, comenzará tres días antes).
Esta discrepancia no tiene importancia práctica y, por esto, todos los países europeos
usaron el calendario juliano cerca de 16 siglos.
Este retraso acumulado del calendario juliano respecto al año trópico se traduce
en un adelanto de la fecha juliana en que cae el equinoccio de primavera. Es decir, los
comienzos de las estaciones se van adelantando en el calendario juliano de forma que en
20200 años las estaciones se habrán adelantado medio año, y el invierno vendrá a caer
en la época correspondiente al verano y viceversa.
El calendario gregoriano, instituido por el Papa Gregorio XIII en 1582, es un
calendario juliano reformado. El adelanto progresivo de las fechas del año en que
comienzan las estaciones debido al desfase entre el año juliano y el trópico inflluye en
la fecha en que la fiesta religiosa de la Pascua lo que provocó la reforma.
En el Concilio de Nicea, celebrado en el año 325 d. C., se determinó que la
Pascua de Resurrección debía celebrarse en el domingo siguiente al primer plenilunio
después del equinoccio de primavera. En el año en que en el Concilio de Nicea (año 325
a. de n.e. se estableció este reglamento) el día del equinoccio de primavera por el
calendario juliano caía en el 21 de marzo, tras corregir el desfase de tres días
acumulado. En 1582, es decir, transcurridos 1257 años, el día del equinoccio de
primavera coincidía ya con el 11 de marzo. Este paso del día del equinoccio de
primavera a fechas más tempranas provocaba confusiones e incertidumbre en la
determinación del día de la Pascua de Resurrección y de otras fiestas cristianas. La
reforma del calendario, realizada según el proyecto del doctor y matemático italiano
Antonio Lilio, preveía, ante todo, el retorno de la fecha civil del 21 de marzo al día del
equinoccio de primavera y, además, una enmienda en la regla del cómputo de los años
comunes y bisiestos con el fin de reducir la discrepancia con la cuenta de años trópicos.
Por esto, en la bula del papa Gregorio XIII había dos puntos:
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
24
ASTRONOMÍA
1. después del 4 de octubre de 1582 fue prescrito considerar no el 5, sino el 15
de octubre;
2. no considerar en el futuro bisiestos aquellos años principio de siglo en los
que el número de centenas no se dividiese exactamente por cuatro.
Con el primer punto de esta bula se eliminaba la discrepancia de 10 días del
calendario juliano con la cuenta de años trópicos, acumulada desde el año 325, y al año
siguiente el día del equinoccio de primavera comenzó de nuevo el 21 de marzo.
Con el segundo punto se establecía que la duración del año civil en el término
medio de 400 años sería igual a 365.2425 días solares medios. De este modo, el año
medio civil se convirtió en un año más largo que el año trópico solamente en 0.0003
días, y la cuenta del tiempo por el calendario gregoriano y por los años trópicos dará
una discrepancia de un día tan sólo al cabo de 3300 años.
La reforma gregoriana del calendario, si se exceptúan algunos países católicos
como España, Francia, Italia o Portugal, no fue aceptada inmediatamente por las
diferentes naciones occidentales. A partir de 1582, por consiguiente, coexistieron en
Europa los dos calendarios, juliano y gregoriano, hasta que paulatinamente se fue
generalizando el uso del calendario gregoriano. En Inglaterra, por ejemplo, se conservó
el calendario juliano hasta el año 1752, en el que, además, el comienzo del año se
trasladó del 25 de marzo al 1 de enero. En Rusia se pasó al calendario gregoriano en
1918. En este año, de acuerdo al decreto del gobierno soviético, en lugar del 1 de
febrero se consideró que era el 14 de febrero, ya que la discrepancia del calendario
juliano con la cuenta de años trópicos en el año 1918 ya era de 13 días.
El comienzo del año civil (Año Nuevo) es un concepto convencional. En el
pasado, en algunos países, el Año Nuevo comenzaba el 25 de marzo, el 25 de
diciembre, o en otros días. En Rusia, por ejemplo, hasta el siglo XV, se consideraba que
el 1 de marzo era el primer día del año, y desde el siglo XV hasta 1700 se estimaba que
este día era el primero de septiembre, en la actualidad es el 1 de enero.
También es convencional la elección del comienzo de la cuenta de los años, es
decir, establecer la era. Se define como era cronológica la medida del tiempo mediante
el calendario a partir de un origen determinado. En el pasado existieron hasta 200 eras
diferentes, relacionadas con acontecimientos reales (entronización de monarcas,
guerras, olimpiadas), legendarios (fundación de Roma) o, más frecuentemente,
religiosos (“creación del mundo”, “diluvio universal”, y otros). En la era cristiana del
calendario gregoriano actual, de uso casi universal hoy día, los años se empiezan a
contar a partir del nacimiento de Jesucristo. La era cristiana fue introducida por
Dionisio en el año 525 d. C.
Es importante tener en cuenta que los años del calendario gregoriano se cuentan
en la era cristiana a la manera de una escala sin cero. Es decir, la era cristiana comienza
con el año 1 d. C., designándose el año precedente como el año 1 a. C. Por consiguiente,
cualquier suceso ocurrido durante el primer año de la era cristiana, aunque sólo sea un
día o un mes después de Cristo, se cuenta como ocurrido en el año 1 d. C. Sin embargo,
el intervalo de tiempo transcurrido desde el nacimiento de Cristo hasta un instante
cualquiera del año 1 d. C. no llega a valer evidentemente un año, sino solamente una
fracción decimal del mismo. En general, cuando se mide el tiempo de forma continua a
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
25
ASTRONOMÍA
partir del comienzo de la era cristiana, el intervalo de años realmente transcurridos es
una unidad menos que el número ordinal del año del calendario. El intervalo entre los
años 50 a. C. y 50 d. C. no es de 100 años, sino únicamente de 99. Para evitar estas
dificultades cronológicas, los astrónomos colocan un año 0 antes del año 1 d. C. y
cuentan los años positiva o negativamente a partir del comienzo del año 0, que se
identifica con el año 1 a. C. El año 50 a. C. se designa astronómicamente –49. Los
siglos o períodos de cien años, contados a partir del comienzo del año 0 en adelante,
comienzan siempre en años múltiplos de 100 en la cuenta astronómica.
El sistema astronómico de numerar los años se extiende análogamente a los días
del año y del mes, es decir, a la fecha del calendario. Se define como fecha de un suceso
el instante en que tiene lugar el suceso expresado en las subdivisiones auxiliares del
calendario. En la numeración de los días del año y del mes del calendario civil se omite
el día 0, cometiéndose el mismo error matemático que en el cómputo de los años. El
comienzo astronómico del año, designado enero 0, coincide con el día 31 de diciembre
del año precedente. Este caso se aplicará en la definición de la escala del tiempo de
efemérides abordado posteriormente.
En el calendario gregoriano, los siete días de la semana se suceden cíclicamente
sin interrupción, independientemente del cómputo de los días, meses y años del
calendario. Esto origina la no coincidencia de los días de la semana con los días del mes
en años sucesivos. Esto implica un problema si se quiere averiguar en que día de la
semana caerá una determinada fecha. El ciclo de años hasta la repetición de la sucesión
en fechas de los días de la semana es de 28 años, sin tener en cuenta la supresión de tres
bisiestos cada 400 años.
En el calendario gregoriano hay varios problemas de diferente importancia
práctica. El primero es la no coincidencia del año medio de 365.2425 con la del año
trópico. La segunda se debe a su caótica estructura interna: meses desiguales (28, 29, 30
y 31 días), la semana no está integrada en los meses (los días de la semana no tienen
fecha repetitiva en los diferentes meses) ni en los años (tal y como ha sido expuesto
anteriormente). Este segundo problema tiene como principal coincidencia el que exista
una variación relativa de hasta el 11% en el número de días laborables en un mes,
oscilando de 24 a 27, lo que genera importantes problemas económicos. Otro problema
es la movilidad de las fechas festivas, la Pascua, por ejemplo, puede oscilar 35 días
(desde el 22 de marzo hasta el 25 de abril).
Una reforma que corrija el primero de los problemas no es absolutamente
necesaria, pues la exactitud astronómica del calendario gregoriano es suficiente para la
vida social, recuérdese que para que aparezca un día de error tienen que transcurrir 3314
años. Han existido varias propuestas de reforma para minimizar este problema. Una de
ellas se debe al belga F.Moreau y consiste en suprimir los bisiestos milenarios múltiplos
de 4000 de forma que corrige el error de un día de retraso, el equinoccio de primavera
pasaba al 20 de marzo.
También se han propuesto muchos planes para reformar la estructura externa del
calendario gregoriano, pero al único que se ha prestado cierta atención internacional ha
sido al llamado calendario mundial, propuesto por la organización “Asociación del
calendario mundial”, que se adapta esencialmente al esquema propuesto en 1834 por el
sacerdote italiano M. Mastrofini. Este esquema consiste en lo siguiente. Todos los
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
26
ASTRONOMÍA
trimestres del año tienen la misma duración de 13 semanas, es decir, de 91 días. El
primer mes de cada trimestre contiene 31 días, y los dos meses restantes 30 días cada
uno. De este modo, cada trimestre (y cada año) comenzará en un mismo día de la
semana. Pero, como 4 trimestres de 91 días cada uno suman 364 días, mientras que el
año debe contener 365 ó 366 días (el bisiesto), entre el 30 de diciembre y el 1 de enero
se interpone un día que está fuera de cuenta de los meses y semanas, el día internacional
festivo del Año Nuevo. Y en el año bisiesto un día semejante festivo, fuera de la cuenta
de los meses y semanas, se intercala después del 30 de junio. El calendario mundial
satisface a las necesidades laborales de una ordenación racional del tiempo, pero a costa
de interrumpir la continuidad del ciclo semanal. Tal discontinuidad del ciclo semanal
tiene repercusiones cronológicas y afecta a la determinación de la fecha de la Pascua.
Estas dificultades, unidas a la dificultad práctica de cambiar los diferentes calendarios
actualmente en vigor, han impedido hasta ahora la adopción del calendario mundial. La
cuestión respecto a la introducción de un calendario nuevo solamente puede ser resuelta
a escala internacional.
4.7. DÍAS JULIANOS.
Mediante la resta de la fecha más temprana en que sucedió un acontecimiento de
la fecha más tardía de otro acontecimiento, dadas en un mismo sistema cronológico, se
puede calcular el número de días transcurridos entre estos dos acontecimientos. Con
ello es necesario tener en cuenta el número de años bisiestos y cuando los intervalos de
tiempo son grandes los cálculos pueden ofrecer ciertas incomodidades y dar inseguridad
de los resultados. Por esto, el problema respecto al número de días transcurridos entre
dos fechas dadas, en la astronomía se resuelve más cómodamente por medio del período
juliano, o días julianos.
Con el nombre de período juliano se designa una escala de tiempo de gran
importancia práctica en astronomía, utilizada preferentemente para medir con precisión
intervalos muy grandes de tiempo y para datar cronológicamente fenómenos
astronómicos extendidos a lo largo de periodos considerables. Algunos calendarios
civiles, particularmente en Estados Unidos, imprimen la fecha juliana junto a la fecha
civil. El Anuario Astronómico de Madrid incluye el día juliano en la tabla de la
ecuación del tiempo.
Estudiadas las modificaciones del calendario juliano no es de extrañar que J.
Scaliger propusiera en 1582, el mismo año de la reforma gregoriana, contar
ininterrumpidamente lo suficientemente extenso para abarcar los acontecimientos
históricos desde la más remota antigüedad. A partir de multiplicación de distintos
periodos usuales de los calendarios, Scaliger encontró un periodo de 7980 años, que
denominó periodo juliano en honor a su padre. Tomando como unidad primaria el
periodo de 7980 años julianos de 365.25 días, y como unidad práctica el día solar
medio, Scaliger formó una escala continua de tiempo fijando como instante origen del
periodo juliano el 1 de enero del año 4713 a. C., a partir del cual se van contando los
días solares medios en sucesión continua.
Tal y como se ha visto el comienzo del día solar medio se produce al mediodía
civil, lo que presenta la ventaja astronómica de que las observaciones nocturnas caen en
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
27
ASTRONOMÍA
el mismo día. De igual forma, los días del periodo juliano, se cuentan de mediodía en
mediodía. El origen de la escala del periodo juliano es exactamente el mediodía medio
en Greenwich del 1 de enero del año 4713 a. C. del calendario juliano, fecha que se
designa –4712 enero 1 a 12h de TU según el cómputo astronómico.
De esta forma, se va contando el intervalo del periodo juliano desde el origen
hasta un instante cualquiera, expresado en días y fracción decimal de día. El día solar
medio que comienza exactamente en la fecha origen es el día juliano 0, y no el día uno,
asignándose a continuación a cada día juliano, en sucesión continua, un número entero
positivo denominado día juliano. La fecha juliana correspondiente a un instante
cualquiera es el número de día juliano en que cae ese instante seguido de la fracción
decimal de día transcurrido desde el mediodía precedente hasta el instante considerado.
Por ejemplo, el mediodía medio del 10 de enero de 1980 se expresa en días
julianos con el número 2444249, y la medianoche media de Greenwich de esta misma
fecha se expresa con el número 2444248.5.
Según se ha visto, el calendario juliano fue sustituido por el gregoriano el 4 de
octubre de 1582 d. C., suprimiéndose diez días y modificándose el cómputo de los años
bisiestos. Esto se debe tener en cuenta si se quiere calcular el día juliano que le
corresponde a una fecha del calendario gregoriano. Supóngase que se quiere calcular el
día juliano en que comienza un año X del calendario gregoriano, día que comenzará en
1 de enero a 12h de TU, se procede de la siguiente forma:
1. Se calcula el producto (4712+X)·365.25
2. Si el producto anterior es entero, se resta 1; si no lo es, se toma la parte
entera.
3. Debido a la reforma del calendario juliano para pasar al gregoriano, si el año
X está comprendido entre los límites
1582<X<1701; se resta 10
1700<X<1801; se resta 11
1800<X<1901; se resta 12
1900<X<2101; se resta 13
2100<X<2201; se resta 14, etc.
Para cualquier otro día del año X, el día juliano se determina sin más que añadir
el número de días transcurridos desde su comienzo, teniendo en cuenta, lógicamente, si
se trata o no de un año bisiesto. Finalmente, la fecha juliana, DJ, de un instante
cualquiera del año se obtiene sumando la fracción de día correspondiente.
4.8. TRANSFORMACIÓN DE ESCALAS DE TIEMPO.
Todos los cambios de escalas de tiempo que se van a estudiar a continuación se
refieren a un único instante, bien se trate de cambiar dentro de una misma escala de
tiempo entre dos lugares diferentes o de cambiar en un lugar de una escala de tiempo a
otra.
4.8.1. TRANSFORMACIÓN EN UNA MISMA CLASE DE TIEMPO ENTRE DOS
LUGARES.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
28
ASTRONOMÍA
Dado un instante de tiempo y dos lugares diferentes, la transformación de
tiempo de uno a otro lugar pasa por utilizar el valor absoluto de la diferencia de
longitudes astronómicas, sumando o restando según el tiempo a determinar se localice
al este o al oeste del punto en que es conocido el tiempo.
Si el tiempo que se pretende trasladar es legal, la diferencia será el número de
horas correspondientes a la diferencia entre el número de husos horarios, de forma que
en el caso particular de que los dos lugares se encuentren en el mismo huso tendrán el
mismo tiempo legal. Si se pretende trasladar tiempo oficial el cambio se debería realizar
en legal añadiendo o restando el número de horas de atraso o adelanto.
4.8.2. PASO DE HORA MEDIA A CIVIL EN UN LUGAR.
De acuerdo a la definición de estos tipos de tiempo la transformación pasa
únicamente por sumar o restar 12h.
4.8.3. PASO DE HORA LEGAL / OFICIAL A CIVIL EN UN LUGAR.
En primer lugar habría que eliminar el adelanto de oficial a legal, en caso de
partir de hora oficial y de que exista tal adelanto. A continuación habría que determinar
el incremento de longitud astronómica entre el lugar y el meridiano principal del huso
correspondiente, en el cual la hora legal coincide con la hora civil. Finalmente, el
problema se reduce a transformar hora civil del meridiano principal del huso al
meridiano del lugar, sumando o restando el valor absoluto del incremento de longitud
según el punto se sitúe al este o al oeste del meridiano principal del huso.
4.8.4. PASO DE HORA CIVIL A SIDÉREA EN UN LUGAR Y EN UN INSTANTE.
Recuérdese que el tiempo sidéreo en un lugar y en un instante es el ángulo
horario del punto Aries correspondiente a ese lugar y en ese instante.
Para facilitar la comprensión de este paso se planteará, en un primer momento,
en el meridiano de Greenwich.
Cualquier anuario facilita diariamente la hora sidérea a las 0h de tiempo
universal (T.U.), es decir, cuando el Sol medio se encuentra en el antimeridiano de
Greenwich (instante correspondiente a las 0h de T.U.) se conoce el ángulo horario del
punto Aries en Greenwich. A este parámetro, que figura en el Anuario Astronómico de
Madrid en la tabla de la ecuación del tiempo (quinta columna) se le suele denotar con
θ0. A partir de ese instante, dentro del día civil, a causa del movimiento diurno, no sólo
se desplazará el Sol medio sino también el punto Aries. Es evidente que para un instante
de tiempo universal X, el tiempo sidéreo será la suma de la hora sidérea a las 0h de
tiempo universal y del intervalo X, que tiene origen en las 0h de TU, pero convertido a
unidad de tiempo sidéreo.
Supongamos que se pretende pasar de hora civil a hora sidérea en Greenwich.
Bastaría con determinar el incremento de hora civil respecto a las 0h de T.U., ∆Tc ,
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
29
ASTRONOMÍA
transformar este incremento a incremento de tiempo sidéreo, ∆θ = ∆Tc·1.00273910, y
sumar el valor obtenido a la hora sidérea a las 0h de T.U., θ = θ0+∆θ.
Supongamos que se pretende pasar de hora sidérea a civil en Greenwich.
Bastaría con determinar en primer lugar el intervalo de tiempo sidéreo, ∆θ = θ - θ0,
transformar el intervalo sidéreo a intervalo civil, ∆Tc=∆θ·0.997269571, obteniendo ya
el valor buscado ya que el origen del incremento de tiempo civil es precisamente el
comienzo del día civil.
El problema se complica ligeramente si el lugar de cambio no es el meridiano de
Greenwich. No cabe duda que una solución sencilla pasaría por trasladar el problema a
este meridiano:
1.
♦
♦
♦
Paso de civil en X a sidérea en X.
Paso de hora civil en X a civil en Greenwich.
Paso de hora civil en Greenwich a sidérea en Greenwich.
Paso de sidérea en Greenwich a sidérea en X.
2.
♦
♦
♦
Paso de sidérea en X a civil en X.
Paso de sidérea en X a sidérea en Greenwich.
Paso de sidérea en Greenwich a civil en Greenwich.
Paso de civil en Greenwich a civil en X.
Obsérvese que la complicación no se debe sino a que la hora sidérea es conocida
para las 0h de T.U., es decir, para el meridiano de Greenwich. Para resolverlo el
problema en cualquier lugar de forma similar a como se resuelve en Greenwich sería
necesario contar como dato con la hora sidérea en el instante en que el Sol medio pasa
por el antimeridiano del lugar, con la hora sidérea a media noche civil. Este dato no
figura en los anuarios pero puede calcularse de una forma sencilla. Este cálculo pasa por
tener en cuenta que los días sidéreos son más cortos que los civiles en 3m56s, lo que
equivale a un movimiento diario del punto Aries en el sentido retrógrado de esa
magnitud. La determinación pasa por tanto por determinar el desplazamiento
correspondiente a un determinado incremento de longitud partiendo de que a 360º le
corresponde la aceleración de las fijas. Si el lugar está al oeste de Greenwich, la hora
sidérea en la medianoche civil de ese lugar será mayor que en Greenwich, si el lugar
está al este, la hora sidérea en la medianoche civil de ese lugar será menor que en
Greenwich. Determinada la hora sidérea en la medianoche civil del lugar el cambio se
podría realizar igual que se planteaba en Greenwich.
Es evidente que la transformación entre hora sidérea y legal u oficial tendría que
recurrir al paso que ha acaba de ser explicado.
4.8.5. PASO DE HORA CIVIL A VERDADERA EN UN LUGAR Y EN UN
INSTANTE.
En principio, tal y como corresponde a la definición de día civil y verdadero, el
dato imprescindible es la ecuación del tiempo. Sin embargo, hay que estudiar algunas
particularidades que complican ligeramente este paso.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
30
ASTRONOMÍA
En primer lugar hay que tener presente que el día civil comienza cuando el Sol
medio cruza el antimeridiano del lugar, mientras que el día verdadero comienza cuando
el Sol verdadero cruza el meridiano del lugar. De acuerdo a esto, si ambas
culminaciones se produjesen en el mismo instante la diferencia entre ambas horas sería
de 12h.
En segundo lugar, la ecuación del tiempo se puede encontrar en un anuario como
la diferencia entre la hora civil y la verdadera, ET = TC − TV ± 12 h , o como la diferencia
entre la hora verdadera y la civil, ET = TV − TC ± 12 h . Salir de dudas pasa por comprobarlo
en la fuente utilizada.
En tercer lugar, la ecuación del tiempo viene dada día a día, a las 0h de T.U., es
decir, en tiempo medio y para el origen del día. Si es preciso obtenerlo en otro instante
habría que recurrir a una interpolación entre los valores de los dos días
correspondientes. Al venir dada a las 0h de T.U. se conoce para el meridiano de
Greenwich, esto aconseja realizar el cambio en Greenwich.
Teniendo en cuenta las particularidades anteriores los pasos de civil a verdadero
y viceversa, en un cierto instante y en un determinado lugar pasa por realizar las
siguientes operaciones:
1. Paso de civil a verdadero en el lugar X.
♦ Paso de la hora civil en X a la hora civil en Greenwich.
♦ Determinación de la ecuación del tiempo interpolando entre los valores
del día en cuestión y del día siguiente en función de la hora civil en
Greenwich obtenida del paso anterior.
♦ Determinación de la hora verdadera en Greenwich, despejando
convenientemente de la ecuación del tiempo.
♦ Paso de la hora verdadera en Greenwich a verdadera en X.
2. Paso de verdadero a civil en el lugar X.
♦ Paso de hora verdadera en X a hora verdadera en Greenwich.
♦ El problema que aparece ahora es que la ecuación del tiempo viene dada
para las 0h de tiempo civil. En primera aproximación se puede
transformar la hora verdadera a civil únicamente aplicando las 12h de
diferencia para, a continuación, utilizar esta hora civil para interpolar en
la tabla correspondiente. Conocidos ya el valor de la hora verdadera y un
primer valor de la ecuación del tiempo se podría despejar la hora civil de
la ecuación del tiempo. Se podría entrar en un proceso iterativo,
calculando un nuevo valor interpolado de la ecuación del tiempo a partir
de la hora civil obtenida para a continuación volver a obtener la hora
civil despejando de la ecuación del tiempo, que convergería rápidamente
debido a la pequeña variación diaria de la ecuación del tiempo, que en el
caso del año 1998 está acotada por 30 segundos.
♦ Paso de hora civil en Greenwich a hora civil en X.
En todos los cambios de hora estudiados hay que tener en cuenta que la fecha la
define el tiempo legal.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
31
ASTRONOMÍA
4.9. DETERMINACIÓN DE CIERTOS INTERVALOS DE TIEMPO
DE INTERÉS EN ASTRONOMÍA.
4.9.1. DURACIÓN DEL DÍA Y DE LA NOCHE, TIEMPO DE INSOLACIÓN.
La duración de un determinado día del año en un determinado lugar se obtiene
teniendo en cuenta que las posiciones de orto y ocaso del Sol son correspondientes y
que la altura del Sol se anula en las mismas.
Considerando el triángulo de posición para el Sol en la posición del ocaso de
cualquier día, teniendo en cuenta que son datos conocidos la altura del Sol (h=0), la
latitud del lugar y la declinación del Sol ese día, se puede obtener el ángulo horario del
ocaso. Dicho de otra forma, el ángulo horario obtenido sería el tiempo, en unidades
sidéreas, que invierte el Sol en ir desde la culminación superior hasta su ocaso. El doble
del resultado anterior será la duración del día y sólo restaría pasar a tiempo medio.
También se podría plantear el problema resolviendo el triángulo de posición del orto.
Estos resultados no son exactos debido a que no tienen en cuenta la variación de
la declinación del Sol a lo largo del día, ni la falta de uniformidad en la velocidad del
Sol.
En el Anuario del Observatorio Astronómico de Madrid figuran, para los doce
meses del año, y para cada día, los instantes de salida y puesta del Sol en Madrid,
corregidos de un valor medio de refracción y sin tener en cuenta el relieve en el
horizonte. También figura el instante de paso del centro del disco solar por el meridiano
de Madrid, instante de culminación superior. Dado que los datos vienen en tiempo
universal, para conocer el tiempo oficial en que se da cada fenómeno, hay que sumar
una o dos horas, dependiendo de la época del año, al valor obtenido de la tabla. En esta
tabla también figura la posición aparente geocéntrica del Sol a las 0h de TU, expresada
en coordenadas ecuatoriales absolutas, ascensión recta y declinación. El anuario
recomienda realizar una interpolación de segundo grado para obtener las coordenadas
en otro instante. En las tres últimas columnas de la tabla figuran las efemérides
necesarias para las observaciones físicas del Sol, o sea de aquellos fenómenos que
tienen lugar en su superficie, careciendo de interés para los métodos de la astronomía de
posición abordados en topografía. A continuación se incluye la tabla del mes de
noviembre de 1998.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
32
ASTRONOMÍA
4.9.2. CREPÚSCULO. NOCHES BLANCAS.
Se denomina crepúsculo a la claridad variable que precede la salida del Sol o
sigue su puesta. Es producido por la difusión de la luz del Sol por las capas altas de la
atmósfera, por lo que su intensidad depende de la latitud y altitud del observador, la
época del año (es decir, la declinación del Sol) y de la situación atmosférica.
La parte del día después de la puesta del Sol se denomina crepúsculo vespertino,
y la parte antes de la salida de éste se denomina crepúsculo matutino (alba o aurora).
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
33
ASTRONOMÍA
Por convenio se han definido tres tipos de crepúsculos, en base a la altura h, por
debajo del horizonte, a que el Sol se encuentra en el inicio o fin del crepúsculo. Cuando
tal altura es h=-6º se habla de crepúsculo civil; en tal instante son visibles algunos
planeta y estrellas de primera magnitud y es cuando teóricamente se debe encender la
iluminación artificial de las ciudades. Cuando h=-12º se habla de crepúsculo naútico; en
este instante son visibles las estrellas más brillantes de las principales constelaciones.
Cuando h=-18º se habla de crepúsculo astronómico; en este momento es noche cerrada
y, si el cielo está despejado, son visibles estrellas de sexta magnitud (límite de magnitud
de las estrellas visibles a simple vista).
En el Anuario Astronómico de Madrid se incluyen unas tablas con la duración
de los tres tipos de crepúsculo para el dominio de latitud correspondiente al territorio
nacional y para el día 15 de cada mes. Cualquier otro dato se puede interpolar
convenientemente.
De acuerdo a lo estudiado, es preciso precisar acerca de lo tratado en temas
anteriores en cuanto a la duración del día y de la noche en los diferentes lugares de la
Tierra y en las distintas estaciones del año. En el ecuador de la Tierra el día es siempre
de mayor duración que la noche, en los polos de la Tierra el día siempre es de mayor
duración que la noche y en las demás latitudes la igualdad de duración del día y de la
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
34
ASTRONOMÍA
noche comienza antes que el Sol llegue al punto del equinoccio de primavera y más
tarde que el día teórico del equinoccio de otoño.
En la latitud astronómica ϕ=60º34’, aproximadamente, en el día del solsticio
estival, la altura del Sol en su culminación inferior (a medianoche) es igual a h = -6º.
Por consiguiente, el final de los crepúsculos vespertinos civiles coincide con el
comienzo de los crepúsculos matutinos civiles, es decir, los crepúsculos civiles duran
toda la noche, lo que dio motivo para llamar blanca a semejante noche. El número de
noches blancas al año y la posibilidad de su comienzo dependen de la latitud
astronómica del lugar y de la declinación del Sol. Para que el crepúsculo civil dure toda
la noche es necesario que la declinación del Sol cumpla,
δ S ≥ 90º −ϕ − 6º → δ S ≥ 84º º −ϕ
Los crepúsculos astronómicos con más razón pueden durar toda la noche. Para
esto es necesario que la declinación del Sol sea
δ S ≥ 90º −ϕ − 18º → δ S ≥ 72º º −ϕ
4.9.3. DURACIÓN DE LAS ESTACIONES.
De acuerdo a la segunda ley de Kepler la velocidad de traslación de la Tierra
alrededor del Sol no es constante sino que es máxima en las proximidades del perihelio
y mínima en las proximidades del afelio. Considerando el movimiento aparente del Sol
debido al real de la traslación de la Tierra alrededor del Sol, la velocidad del Sol será
máxima en las proximidades del perigeo y mínima en las proximidades del apogeo. Por
tanto, la velocidad del Sol se relaciona con su posición respecto a la línea de los
ápsides.
Tal y como se ha estudiado, la definición de las estaciones está relacionada con
la declinación del Sol según se desplaza en la eclíptica. Se puede considerar que la
declinación, y por tanto las estaciones, se relacionan con la posición del Sol respecto de
la línea de los equinoccios.
En el año 1979 la longitud eclíptica del perigeo era de 282º33’42’’. Anualmente
se desplaza por la eclíptica en el sentido directo un ángulo de 11.7’’. Como
consecuencia de esto, en la actualidad, la línea de los ápsides forma con la de los
solsticios un ángulo en torno a 12º, el Sol está en la línea de los ápsides el 2 o 3 de
enero. Esta información, junto a otra de interés, figura en el Anuario Astronómico de
Madrid, en el apartado referente a datos solares:
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
35
ASTRONOMÍA
Se deduce de todo lo anterior que cada estación tiene una duración diferente y
además no es constante a lo largo del paso de los años. En la actualidad la estación más
larga es el verano, seguida de primavera, otoño e invierno en orden decreciente de
duración.
Si la línea de los ápsides coincidiese con la línea de los equinoccios serían
iguales las estaciones dos a dos; por un lado serían iguales las duraciones del verano y
del otoño y, por otro lado, serían iguales las duraciones del invierno y de la primavera.
Debido a la retrogradación del punto Aries, 50.2’’ año, y al movimiento en
sentido directo de la línea de los ápsides, 11.7’’ año, ambas líneas se acercan
anualmente una magnitud de 61.9’’. Los 12º que en la actualidad separan la línea de los
ápsides y de los solsticios, ángulo que el perigeo adelanta al trópico de Capricornio,
corresponde a un transcurso de 696 años desde su coincidencia, es decir, hacia el año
1280 coincidieron
Para determinar la duración de cada estación hay que tener en cuenta que el
comienzo de las mismas se relaciona con el paso del Sol verdadero por los puntos Aries,
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
36
ASTRONOMÍA
Cáncer, Libra y Capricornio. Sin embargo, el Sol verdadero no se mueve con velocidad
constante. La solución al problema pasaría por determinar el ángulo que el Sol ficticio
forma con el perigeo para cada una de las posiciones anteriores del Sol verdadero y,
dado que el Sol ficticio se desplaza a velocidad constante en la eclíptica invirtiendo
365.2422 días medios en la revolución completa, a partir de estos ángulos se calculará
de un modo sencillo la duración.
La relación entre la anomalía verdadera y la media es,
Q = v − n ⋅ t = 2 ⋅ e ⋅ sen (n ⋅ t ) +
5 2
⋅ e ⋅ sen (2 ⋅ n ⋅ t ) + ...
4
de donde,
n ⋅ t = v − 2 ⋅ e ⋅ sen (n ⋅ t ) −
5 2
⋅ e ⋅ sen (2 ⋅ n ⋅ t ) + ...
4
Conocido para un determinado año el valor de la longitud del perigeo, obtenido
de la tabla anterior del Anuario Astronómico de Madrid, la anomalía verdadera que le
corresponde al instante en que el Sol verdadero coincide con Aries será la diferencia a
360º de la longitud del perigeo. Para calcular el valor de nt, anomalía media, con la
expresión anterior sería necesario plantear un proceso iterativo en cuyo paso inicial se
podría asumir un valor de anomalía media igual a la anomalía verdadera. Este proceso
convergería rápidamente. De esta forma se obtendría el valor de anomalía media que le
corresponde al comienzo de la primavera. Procediendo de igual forma añadiendo 90º a
la anomalía verdadera anterior se obtendría la anomalía media del comienzo del verano,
con 90º más a la anomalía verdadera se obtendría la anomalía media del comienzo del
otoño y, por último, añadiendo 90º más a la anomalía verdadera se obtendría la
anomalía media del comienzo del invierno. La diferencia de las anomalías medias de los
límites de una estación, pasados a tiempo medio con la relación de 360º de anomalía
media equivalen a 365.2422 días medios, permitiría obtener la duración de esa estación.
En el Anuario Astronómico de Madrid figura, en un apartado dedicado a
“Efemérides y fenómenos astronómicos relevantes” , para el año en cuestión, datos
como las fechas de los inicios de las estaciones y el paso de la Tierra por el perihelio y
afelio. A continuación se incluye esta información para el año 1988.
SISTEMAS DE REFERENCIA TEMPORALES.
37
ASTRONOMÍA
APÉNDICE I.
SISTEMAS DE REFERENCIA ASTRONÓMICOS.
I.1. INTRODUCCIÓN. SISTEMAS DE REFERENCIA ABSOLUTOS
Y RELATIVOS.
El estudio de la posición de los astros involucra el estudio del movimiento de los
mismos dado que el Universo no es estático.
En un cierto instante, la posición de un cuerpo material se expresa como una
relación espacial respecto a un sistema de referencia físico. No es posible considerar la
posición de un cuerpo sin presuponer la noción de espacio físico y una geometría en el
mismo que permita definir un sistema de referencia.
Si se pretende estudiar la posición de las mesas de un aula se puede considerar,
por ejemplo, un sistema de referencia espacial tridimensional con origen en una esquina
del suelo bien definida, un eje z coincidente con la arista definida por la intersección de
las dos paredes con sentido positivo hacia arriba, como plano z=0 se podría elegir el
suelo y, dentro del mismo, los ejes x e y se podrían considerar como la intersección de
las paredes y el suelo, eligiendo finalmente un sentido creciente en los mismos.
También habría que elegir una escala, la coincidente con la definida por una
determinada cinta métrica, por ejemplo. En cuanto a la geometría, lo más natural sería
recurrir a la geometría afín euclídea, donde la distancia se definiría a partir de la
medición con la cinta considerando el valor obtenido como un escalar del cuerpo de los
números reales.
El movimiento de un cuerpo no es sino el cambio de posición en el espacio con
respecto al tiempo. De acuerdo a esto, el movimiento presupone las nociones de espacio
y tiempo. Para estudiar el movimiento se hace necesario definir un sistema de referencia
espacio-temporal.
Para estudiar el movimiento de las sillas del ejemplo del aula habría que definir
un sistema de referencia temporal. Imagínese que no se dispone de ningún reloj pero
que una tubería presenta una filtración de forma que con una cadencia que se aprecia
uniforme una gota de agua impacta en el suelo. Se podría definir un sistema de
referencia temporal eligiendo un el impacto de una gota como origen y como unidad el
intervalo entre impactos. En este sistema, un instante quedaría registrado mediante la
cuenta del número de impactos de gotas de agua transcurridos desde el elegido como
origen.
Uno de los problemas fundamentales de la astronomía es elegir adecuadamente
el sistema de referencia espacio-temporal al que referir la posición y el movimiento de
los astros. Para ello es necesario establecer que se entiende por espacio y tiempo así
como su estructura métrica.
La definición de un modelo dinámico del Universo pasa por establecer unas
teorías físicas que se apoyan en una geometría espacio-temporal referida a un sistema
SISTEMAS DE REFERENCIA
ASTRONÓMICOS.
1
ASTRONOMÍA
de referencia espacio-temporal. Se concluye por tanto la no independencia de un
sistema de referencia espacio-temporal y un modelo dinámico del Universo.
Con Newton (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687) surge el
modelo dinámico de Universo de la física clásica moderna. En contraposición a la
cinemática que se ocupa únicamente de la descripción geométrica del movimiento de
los cuerpos materiales, la dinámica explica las causas del movimiento haciendo
intervenir a fuerzas entre los cuerpos materiales.
En el Universo de la física clásica de Newton los cuerpos sólidos están formados
por partículas o corpúsculos elementales de materia, impenetrables y dotados realmente
de masa, volumen, forma, posición y movimiento. Su movimiento se debe a la acción de
fuerzas que se rigen por las leyes físico-matemáticas de la dinámica.
Dentro de la física clásica subyacen las ideas de un espacio y tiempo absolutos.
Esta idea se relaciona con la concepción de un espacio independiente de la materia, a la
que contiene como un recipiente, así como la consideración del tiempo como
independiente de los cuerpos en movimiento, como si el tiempo fuera un recipiente que
contiene al movimiento.
La consideración de un espacio absoluto equivale a considerar por un lado el
espacio cuyos puntos ocupan una posición determinada respecto a un sistema de
referencia definido en el espacio, y por otro lado los cuerpos materiales colocados
dentro de ese espacio en la posición correspondiente a los puntos del espacio. La
consideración de un tiempo absoluto es equivalente a considerar al tiempo fluyendo
homogéneamente y uniformemente con independencia de los cuerpos materiales del
Universo, lo que implica que los cambios están en el tiempo pero no son el tiempo en sí.
Se puede decir que en el modelo clásico de Universo los cuerpos materiales
están dotados de movimiento en el espacio y tiempo absolutos.
En definitiva, el sistema de referencia del modelo dinámico de Newton está
constituido por el espacio y tiempo absolutos. Las leyes de la dinámica son válidas
respecto a espacio y tiempo absolutos.
Al contrario de lo que sucede con los sistemas de referencia materiales (como el
definido en el ejemplo del aula), el espacio absoluto y el tiempo absoluto no se pueden
observar ni detectar experimentalmente de modo directo. El movimiento es observable
únicamente con respecto a la posición de otros cuerpos (sistema de referencia espacial
del ejemplo del aula) y al movimiento de otros cuerpos (goteo que definía el sistema de
referencia temporal en el ejemplo del aula). Únicamente si se supone que los cuerpos
adoptados como ejes de coordenadas espaciales están inmóviles en el espacio absoluto,
el movimiento referido a estos ejes estaría al mismo tiempo referido al espacio absoluto.
De igual forma, sólo si el tiempo de un reloj coincide con el tiempo absoluto, la medida
del tiempo con ese reloj coincidiría con la del tiempo absoluto.
Se denomina sistema de referencia absoluto de espacio o tiempo, a aquel que
está inmóvil respecto al espacio o al tiempo absolutos. Se denomina sistema de
referencia relativo de espacio o tiempo, a aquel que está en movimiento respecto al
espacio o al tiempo absoluto con un movimiento arbitrario cualquiera. Según un
SISTEMAS DE REFERENCIA
ASTRONÓMICOS.
2
ASTRONOMÍA
movimiento se refiera al primer tipo o al segundo se habla de movimiento absoluto o
verdadero o de movimiento relativo o ficticio.
Según Newton es posible determinar experimentalmente el movimiento absoluto
de los cuerpos gracias a que las leyes dinámicas son válidas respecto a sistemas de
referencia absolutos, en los cuales por definición el movimiento de los cuerpos es
absoluto. De acuerdo a esto, si el movimiento de un cuerpo, observado respecto a un
sistema de referencia material, obedece las leyes de la dinámica, el movimiento
observado será absoluto y el sistema de referencia material es absoluto. Si en cambio el
movimiento no se ajusta a las leyes dinámicas, indicará que el sistema de referencia
material del movimiento no sirve como sistema de referencia de las leyes dinámicas y
se trata de un sistema de referencia relativo. Las leyes de la dinámica son las que
determinan implícitamente si un sistema de referencia material es absoluto o relativo.
I.2. SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES.
La dinámica celeste, como ciencia exacta de la naturaleza del universo, se debe
apoyar en axiomas tales que ellos mismos o las leyes que de ellos se deriven estén de
acuerdo con la experiencia y observación del Universo material.
Las teorías científicas, como modelos abstractos físico-matemáticos que
describen los fenómenos observados en el mundo de la experiencia sensible, no pueden
ser cuestionados como verdaderas o falsas sino como válidos o inválidos para describir
y predecir los fenómenos observables.
No existe una única teoría dinámica celeste válida. Serán válidas todas aquellas,
apoyadas en diferentes axiomáticas, que describan correctamente, dentro de los errores
de observación, el movimiento observado de los astros. En la actualidad hay dos teorías
igualmente válidas restringidas a ciertos movimientos observados: la dinámica clásica
de Newton y la relativista de Einstein. La primera falla cuando las velocidades
consideradas son muy altas, mientras que la segunda es válida en cualquier caso. Los
movimientos de los cuerpos más accesibles a la observación ordinaria del hombre
pueden describirse con cualquiera de ellas. La dinámica de Newton posee un alto grado
de exactitud, es fácilmente comprensible, y es la utilizada actualmente en casi todos los
estudios teóricos y aplicaciones prácticas actuales, fundamentalmente debido a la
precisión de las observaciones ordinarias. En la práctica, la teoría relativista se hace
intervenir en forma de pequeñas correcciones de resultados obtenidos previamente con
la dinámica clásica.
Los axiomas sobre los que se fundamenta la dinámica newtoniana son:
1. Existe un espacio absoluto tridimensional de métrica euclídea.
2. El espacio es homogéneo y, por consiguiente, isótropo y de extensión
infinita.
3. Existe un tiempo absoluto uniforme.
4. Principio de inercia: un cuerpo material aislado permanece en reposo o en
movimiento rectilíneo uniforme.
SISTEMAS DE REFERENCIA
ASTRONÓMICOS.
3
ASTRONOMÍA
5. Ley fundamental de la dinámica o ecuación del movimiento: la fuerza
resultante que actúa sobre un cuerpo material es igual al producto de su masa
r
r
por la aceleración: F = m ⋅ a .
6. Principio de acción y reacción: a toda acción ejercida por una fuerza sobre
una partícula material aislada le corresponde una reacción producida por una
fuerza igual y de sentido contrario.
7. Ley de la gravitación universal: dos partículas materiales se atraen con una
fuerza proporcional a las masas inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa
Se puede probar que las leyes de la dinámica newtoniana son válidas respecto a
todos los sistemas de referencia que se encuentren en movimiento rectilíneo uniforme
(velocidad constante) unos respecto a otros (principio de invarianza de Galileo). Los
infinitos sistemas de referencia posibles en movimiento rectilíneo uniforme son
dinámicamente equivalentes. En todos ellos son válidas las leyes dinámicas, y siendo en
particular válido el principio de inercia se suelen designar tradicionalmente como
sistemas de referencia inerciales. Se demuestra además que las leyes dinámicas
únicamente son válidas en tales sistemas inerciales. Se concluye que si el movimiento,
por ejemplo, del Sol referido a un sistema de referencia obedece estrictamente las leyes
de la dinámica clásica, se deduce que el sistema de referencia es inercial. No es posible
averiguar si un sistema de referencia material está en reposo respecto al espacio
absoluto, lo que da pie a enunciar que la dinámica clásica newtoniana no define
implícitamente sistemas absolutos, sino únicamente sistemas de referencia inerciales.
Durante mucho tiempo se pensó que se podría estudiar la inmovilidad en el
espacio absoluto de un sistema de referencia inercial mediante experimentos ópticos
(electrodinámicos). Según la física clásica, los fenómenos luminosos obedecen leyes
electrodinámicas válidas únicamente respecto a sistemas de referencia absolutos. De
acuerdo con esto, la velocidad finita de la luz se compone con la velocidad relativa del
sistema de referencia según la ley cinemática de adición de velocidades. Esto da lugar a
que la medición de la velocidad de la luz arroja diferentes resultados según la velocidad
del sistema de referencia. Si en un laboratorio terrestre, respecto al cual se mide la
velocidad de la luz, se mueve en el espacio absoluto, la velocidad de la luz se
compondrá con la del laboratorio y resultará diferente según la dirección relativa del
rayo luminoso: si el rayo de luz se propaga en la misma dirección del movimiento del
sistema de referencia (laboratorio), las velocidades se sumarán, y se restarán en caso
contrario. Tal es el fundamento del célebre experimento de Michelson-Morley. Todos
los experimentos realizados arrojaban que la velocidad de la luz era invariante, que la
velocidad de la luz en el vacío es constante respecto a todos los sistemas de referencia,
que resultan así electrodinámicamente equivalentes. Esto significa de nuevo que, si el
espacio absoluto existe, su existencia es ópticamente inverificable. La teoría de la
relatividad de Einstein explica el fracaso de este experimento.
La dinámica clásica ofrece hoy día una base teórica para establecer sistemas de
referencia inerciales, siendo necesario abandonar la ficción de un sistema de referencia
absoluto en el sentido de Newton. La descripción del movimiento de los astros respecto
a tales sistemas inerciales da resultados muy buenos. El sistema de referencia
tradicional en astronomía, con ejes fijos respecto a las estrellas, coincide hasta un grado
muy alto de precisión con un sistema inercial, y puede utilizarse prácticamente en la
SISTEMAS DE REFERENCIA
ASTRONÓMICOS.
4
ASTRONOMÍA
mayor parte de los problemas de astronomía de posición, dentro de los errores de las
observaciones. Así pues, hoy por hoy, las posiciones de los astros se describen
prácticamente respecto a sistemas de referencia inerciales, basados en la dinámica
clásica definida en un espacio euclídeo.
SISTEMAS DE REFERENCIA
ASTRONÓMICOS.
5
ASTRONOMÍA
APÉNDICE II.
EL CONCEPTO Y LA MEDIDA DEL TIEMPO.
II.1. INTRODUCCIÓN.
Tal y como ha sido analizado en el apéndice I el concepto de tiempo aparece
íntimamente relacionado con la medida del movimiento físico. El movimiento es
medible como desplazamiento relativo entre dos sistemas físicos lo que lleva a plantear
que el tiempo físico consiste en ordenar respecto a esa variable las distintas posiciones
relativas por comparación.
Recuperando el ejemplo del aula descrito en el apéndice I se puede estudiar el
movimiento de una silla. Recordemos que el reloj utilizado era el goteo de la filtración
de una tubería. Para ordenar en el tiempo las posiciones de la silla móvil, para estudiar
su movimiento, se asociaría a ciertas posiciones el número de gotas que han impactado
en el suelo desde la gota considerada como origen de la escala de tiempo. Adviértase
que habría que identificar dos sucesos simultáneos, la caída de la gota en el suelo y la
posición de la silla.
El ejemplo anterior permite afirmar la ordenación temporal de los sucesos se
reduce siempre a definir sucesos simultáneos. De hecho, la cronometración de la llegada
a meta de un atleta no es sino la determinación de la simultaneidad de posición del pie
del atleta sobre una raya marcada en el suelo y la posición de una aguja de un reloj.
Es evidente que la simultaneidad de dos sucesos es función de la posición de los
mismos en el espacio respecto al observador. Si un espectador está situado a igual
distancia de dos castillos de fuego para él resultarán simultáneas las explosiones de dos
tracas, una en cada uno de ellos, si percibe el sonido en el mismo instante, mientras que
para otro situado en una de ellas la simultaneidad no será tal. La simultaneidad de
sucesos separados en el espacio y, por consiguiente, la ordenación temporal, depende
esencialmente de la medida del espacio respecto al sistema de coordenadas del
observador. Únicamente después de haber definido la estructura del espacio es posible
adoptar un método operatorio de comparación de sucesos y definir así el tiempo físico.
Desde la más remota antigüedad ha sido la astronomía la ciencia que ha resuelto
la determinación y la medida del tiempo. La existencia de fenómenos astronómicos
periódicos y su posible apreciación, y por tanto medición, ha sido la base de las distintas
escalas temporales. El concepto de tiempo en astronomía se define mediante el conjunto
de operaciones que es preciso establecer con exactitud para efectuar su medida, no es
posible establecer una distinción entre la definición del tiempo y la definición de la
medida del tiempo.
EL CONCEPTO Y LA MEDIDA DEL TIEMPO.
1
ASTRONOMÍA
II.2. DEFINICIÓN DE UNA MÉTRICA DEL TIEMPO.
Es evidente que el Universo es dinámico. Las coordenadas de un cuerpo material
referidas a un sistema de referencia material cambian en las mediciones sucesivas que
se puedan realizar. Para expresar la variabilidad de las coordenadas espaciales se las
considera como función de una variable t, denominada tiempo físico, con dominio en el
cuerpo de los números reales.
Si t1, t2, ..., tn son valores arbitrarios de t que definen estructuras espaciales
E1(x1,y1,z1), E2(x2,y2,z2), ..., En(xn,yn,zn), se obtienen un conjunto de pares ordenados de
estructuras E y valores de t:{(E1,t1), (E2,t2), ..., (En,tn)}. Este conjunto de pares
ordenados define una función que hace corresponder a cada valor de t un estado o
estructura E: E=E(x,y,z,t). Esto corresponde a una descripción cinemática del Universo,
si se estudia desde el punto de vista de la dinámica hay que hacer intervenir las
propiedades físicas en las que se fundamenta la causística implícita en sus leyes:
E=E(F,m,x,y,z,t). De hecho, las ecuaciones diferenciales de la dinámica son relaciones
del tipo anterior. La integración de esas ecuaciones conduce a un conjunto de relaciones
simbólicas entre posición, velocidad y tiempo, que constituyen las leyes físicas
concretas que describen el comportamiento dinámico de los sistemas físicos de nuestro
Universo. El establecimiento y comprobación de tales leyes físicas, mediante la
observación y experimentación, permite asociar valores numéricos a los diversos
símbolos y variables que intervienen en ellas, previa definición adecuada de las
unidades correspondientes.
En base a lo enunciado, los valores numéricos del tiempo t están esencialmente
ligados a una determinada estructura o estado físico, definida en un sistema de
coordenadas espaciales arbitrario. La modificación del sistema de coordenadas o de los
cuerpos que integran la estructura física implica una modificación de la variable t. En
definitiva, la variable tiempo es función a su vez del sistema físico y de las
coordenadas: t=t(F,m,x,y,z) y no es razonable, físicamente, considerar una variable
temporal independiente del Universo material.
El tiempo sólo tiene sentido físico definido, a través de la operatividad de su
medida, respecto a un sistema físico cambiante y, a través del sistema físico, respecto a
un sistema de coordenadas que definen los estados del sistema.
Establecer una métrica del tiempo equivale a definir matemáticamente el
intervalo temporal, o sea el intervalo entre dos valores distintos de la variable física t.
Ahora bien, los valores numéricos de t solamente adquieren el significado de tiempo
físico cuando están ordenados mediante operaciones físicas a las diversas estructuras o
estados físicos del Universo, o de una de sus partes, mediante las ecuaciones de la física
establecidas en un sistema de coordenadas arbitrario. Una vez determinado un sistema
físico particular, mediante ecuaciones físicas válidas en un sistema de coordenadas
dado, es posible establecer una métrica de la ordenación temporal con operaciones de
medida bien definidas.
De acuerdo a lo analizado, la definición de una métrica del tiempo lleva consigo
los siguientes pasos:
EL CONCEPTO Y LA MEDIDA DEL TIEMPO.
2
ASTRONOMÍA
1. Elección de un sistema de coordenadas adecuado.
2. Definición de un sistema físico mediante ecuaciones teóricas válidas en el
sistema de coordenadas.
3. Determinación de un método operativo de medida de los estados del sistema
físico en función de t.
La métrica de la ordenación temporal queda automáticamente definida por las
ecuaciones físicas.
En astronomía el sistema físico elegido tradicionalmente para la medida del
tiempo está formado por los astros del sistema solar, cuyo movimiento se define
mediante ecuaciones dinámicas establecidas respecto a unos ejes de coordenadas
prácticamente inmóviles respecto a las estrellas (sistema inercial). En rigor, con las
ecuaciones dinámicas de la física clásica es preciso introducir correcciones relativistas.
Sin embargo, estas correcciones son muy pequeñas y no suelen considerarse en la
mayor parte de los casos. El método operatorio para determinar y comparar posiciones
sucesivas de los astros del sistema solar se reduce a medidas de ángulos con rayos
luminosos, que permiten determinar sus coordenadas astronómicas en función de t
(efemérides). La determinación astronómica implica:
1. Sistemas de coordenadas inercial.
2. Teoría dinámica del sistema solar.
3. Medidas angulares de la posición de los astros del sistema solar en función
de t.
Los diferentes estados del sistema solar quedan ordenados a la variable t, que
aparece en las ecuaciones de la dinámica, mediante esas mismas ecuaciones que
definen, además, la estructura métrica de t. Por hipótesis se supone que el tiempo t de la
dinámica así definido es uniforme.
Tras lo visto es posible dar la siguiente definición de tiempo: tiempo uniforme es
la variable física t de las ecuaciones de la dinámica cuyo campo de variabilidad es el
conjunto de los números reales y cuya estructura métrica está definida por dichas
ecuaciones.
EL CONCEPTO Y LA MEDIDA DEL TIEMPO.
3
ASTRONOMÍA
APÉNDICE III.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
III.1. INTRODUCCIÓN.
Tal y como se explica en el apéndice II (“El concepto y la medida del tiempo”),
cuya lectura se recomienda previa a la de este apéndice, en el estudio del movimiento de
un cuerpo cualquiera, se pueden expresar sus coordenadas, su velocidad, su
aceleración,... en función de la variable tiempo mediante las ecuaciones dinámicas del
movimiento. Por integración de tales ecuaciones dinámicas se obtienen explícitamente
las coordenadas en función del tiempo y en función de las constantes de integración
(que se suelen determinar a partir de condiciones iniciales observadas). Son estas
relaciones entre las coordenadas y la variable tiempo las que definen automáticamente
el tiempo y proporcionan el modo de medirlo. Sin embargo, la integración de las
ecuaciones dinámicas sólo se puede efectuar en términos finitos en pocos casos,
recurriéndose en general a desarrollos en serie. De esta forma, si una determinada
coordenada se designa por X, por integración de las ecuaciones dinámicas se obtendrá
X mediante un desarrollo en serie, por ejemplo, un desarrollo polinómico en potencias
de t de la forma:
X = a0 + a1 ⋅ t + a2 ⋅ t 2 + a3 ⋅ t 3 + ...
en donde los coeficientes dependen de las constantes de integración, cuyo valor
numérico sólo se puede determinar mediante las observaciones. Determinados los
coeficientes, la ecuación anterior sirve a la vez para definir y determinar la variable t.
Para medir el tiempo definido por esta ecuación basta sustituir el valor de X obtenido de
las observaciones y resolver la ecuación, con lo que se obtiene el valor de t
correspondiente a la posición observada X. El movimiento del cuerpo o en general del
sistema físico cualquiera determinado por sus ecuaciones dinámicas constituye así un
reloj. Esto último permite definir reloj como cualquier sistema físico que permita
determinar, mediante sus ecuaciones de movimiento, la variable t correspondiente a un
estado del sistema.
En astronomía, la medida del tiempo t de la dinámica se efectúa mediante el
movimiento continuo de los astros del sistema planetario, resultando que el reloj
utilizado por los astrónomos es, por tanto, el sistema planetario. La ecuación del tipo de
la anterior, que da las coordenadas del astro en función de la variable tiempo, se designa
en lenguaje astronómico con el nombre genérico de efemérides del astro. El
establecimiento teórico de unas efemérides, por integración de las ecuaciones de la
dinámica, es un problema de la mecánica celeste e integra la definición de la teoría
dinámica del movimiento y la determinación del valor numérico de los coeficientes a
partir de las observaciones. Por consiguiente, las efemérides dependen esencialmente de
las observaciones y están afectadas de los errores de las mismas. En la práctica, las
efemérides astronómicas se representan generalmente mediante tablas en las que para
cada valor de t figura el valor correspondiente de X. La medida del tiempo se traduce en
interpolar en las tablas de las efemérides publicadas anualmente por algunos
observatorios. En definitiva, la medida astronómica del tiempo involucra tres pasos:
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
1
ASTRONOMÍA
1. Establecer la teoría dinámica del sistema planetario.
2. Obtener las efemérides de los astros de ese sistema a través de la teoría
anterior y de la observación.
3. Interpolar en las efemérides de la posición observada de tales astros, para
obtener el tiempo t.
A través de unas efemérides del tipo anterior queda definido implícitamente el
tiempo t de la dinámica y resuelto el problema de su medida a partir de observaciones
astronómicas. Basta adoptar un intervalo arbitrario de ese tiempo como unidad de
tiempo y designar un tiempo t=0 como origen de tiempos, a partir del cual se cuentan
los valores de t con la unidad elegida.
III.2. ESCALAS DE TIEMPO ROTACIONAL.
III.2.1. INTRODUCCIÓN.
Hasta alrededores del año 1950 el tiempo astronómico se medía exclusivamente
a partir de las efemérides del movimiento de rotación de la Tierra, considerada en teoría
como un cuerpo sólido e indeformable. Esta teoría es la que se ha desarrollado
anteriormente en este tema. Las diferentes escalas de tiempo, determinadas a partir de la
rotación terrestre, se conocen con el nombre de tiempo rotacional. Para fijar una escala
de tiempo rotacional se adoptaba como unidad fundamental el día, solar o sidéreo, y de
éste se obtenía el segundo, unidad de tiempo básica en física, definido simplemente
como la fracción 1/86400 del día.
Existen varias causas que dan lugar a que cualquier tiempo obtenido a partir de
culminaciones sucesivas de un astro por el meridiano de un lugar no constituya un
tiempo uniforme.
Básicamente son dos las causas objeto de estudio:
1. Irregularidades de la rotación terrestre.
Las irregularidades de la rotación de la Tierra hacen fluctuar la duración del día
respecto al tiempo de la dinámica, y este intervalo no puede para definir una unidad de
tiempo constante.
A lo largo de la historia la astronomía ha pasado por etapas en que la falta de
uniformidad de la rotación terrestre era imperceptible de acuerdo a la precisión del
instrumental utilizada en las mismas. Así, tras distintos estudios con relojes de péndulo,
Flamsteed en 1678 confirmó la uniformidad de la rotación de la Tierra. Esta afirmación
no pudo negarse durante los dos siglos y medio siguientes debido a que este modelo
matemático respondía a la realidad física medible. Sin embargo, existían indicios
durante este tiempo que apuntaban a que la realidad era otra. La perfección alcanzada
en la medida y conservación del tiempo gracias a la aparición de los relojes de cuarzo y
atómicos permitió el detectar ciertas variaciones significativas en la velocidad de
rotación de la Tierra, así como las otras causas que serán descritas posteriormente.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
2
ASTRONOMÍA
Las variaciones de la velocidad de rotación terrestre se clasifican en:
Disminución secular de la rotación. Se acepta internacionalmente que los
rozamientos provocados por las mareas dan lugar a una disminución muy
lenta de la velocidad de rotación de la Tierra. La Tierra se para muy
lentamente, aumentando la duración del día medio en 0.00164 segundos por
siglo (según Spencer Jones). En dos días consecutivos la duración del día
aumenta en 4.5·10-8 segundos.
Variación periódica o estacionaria de la rotación. En 1937 se descubrió que
los cambios estacionales afectan a la velocidad de rotación terrestre,
haciendo oscilar la rotación de la Tierra en unos 60 milisegundos a lo largo
del año. El día solar disminuye 0.0008 segundos en julio y aumenta 0.0004
segundos en abril respecto al valor medio anual. Las causas de estas
variaciones estacionarias se asocian al régimen de los vientos: la Tierra gira
en sentido inverso a los vientos para conservar la energía cinética.
Fluctuación irregular. Se han encontrado ciertas fluctuaciones irregulares e
imprevisibles de la velocidad de la rotación terrestre. Su origen es objeto de
estudio y no se ha descifrado, a pesar de que se ha encontrado relación con
fenómenos astronómicos y físicos tales como la actividad solar, ... Su
influencia en la duración del día es mayor incluso que las anteriores,
respondiendo a la siguiente gráfica en la que en la izquierda aparece el valor
en segundos y en la derecha el valor relativo respecto a la duración del día
medio.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
3
ASTRONOMÍA
2. Desplazamientos del eje de rotación terrestre respecto a la Tierra.
De acuerdo a la teoría de Euler, establecida en 1765, si un sólido rígido gira en
torno de un eje instantáneo de rotación, que no coincide con el eje principal del
elipsoide de inercia del sólido, se demuestra en mecánica que el eje instantáneo de
rotación permanece invariable en el espacio, mientras el cuerpo gira cambiando su
orientación respecto a dicho eje. El eje instantáneo de rotación describe un movimiento
relativo cónico en torno del eje principal de inercia. Euler demostró, suponiendo a la
Tierra perfectamente rígida y basándose en los momentos de inercia de la Tierra, que el
polo instantáneo terrestre debe describir alrededor del polo de inercia una curva circular
en 305 días llamada polodía. En esta hipótesis, la velocidad de rotación de la Tierra
sería constante y el día solar medio constituiría un excelente patrón de tiempo.
Sin embargo, la Tierra no es un cuerpo rígido e indeformable. En realidad la
Tierra es un cuerpo elástico sujeto a deformaciones periódicas, como lo prueba la
existencia de mareas terrestres. Estas deformaciones influyen en su momento de inercia
y, por tanto, en su movimiento de rotación. La polodía resulta perturbada como
consecuencia de tales variaciones, asemejándose a una espiral muy deformada. Las
variaciones son combinación de dos componentes casi periódicas y una deriva.
La primera componente, de período anual, es aproximadamente una elipse, cuyo
eje mayor, que sigue la dirección de Greenwich, tiene una magnitud de 0’’.18, y el eje
menor, de 0’’.15. Los factores a los que se atribuye son diversos: acumulación de aire
sobre los continentes, retención de agua por el suelo,...
La segunda componente, de período aproximado de 1.2 años, es variable,
presentando una amplitud aproximada de 0’’.4 ó 13 m. Es el período natural de
oscilación de la Tierra calculado por Euler, semejante al de un péndulo modificado por
las propiedades elásticas terrestres.
A las dos componentes anteriores se añaden oscilaciones irregulares de carácter
aleatorio y amplitud muy pequeña.
III.2.2. TIEMPO SIDÉREO VERDADERO Y MEDIO. PRECISIÓN Y NUTACIÓN.
ECUACIÓN DE LOS EQUINOCCIOS.
Para determinar mediante observaciones astronómicas el movimiento de
rotación terrestre, con el fin de establecer una escala de tiempo rotacional, lo más
sencillo sería medir el movimiento angular del meridiano local del observador respecto
a un punto fijo sobre la esfera celeste. Hasta la fecha no es posible observar ningún
cuerpo celeste fijo sobre la esfera celeste, ni tan siquiera determinar un punto ficticio
absolutamente fijo sobre la misma. Quizá sea posible en un futuro, bien con el
desarrollo de la teoría de los sistemas fundamentales de referencia o bien como
consecuencia del establecimiento de un sistema inercial mediante objetos
extragalácticos muy lejanos.
Entre los puntos de referencia bien definidos sobre la esfera celeste, el más
conveniente para medir con exactitud la rotación de la Tierra es el punto equinoccial
Aries o punto γ. Medir el movimiento angular del meridiano local respecto al punto
Aries pasa por observar la culminación de estrellas de ascensión recta conocida. La
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
4
ASTRONOMÍA
medida de estas culminaciones a través de un instrumento denominado círculo
meridiano o anteojo de pasos es muy precisa y, si además, la precisión de la ascensión
recta de las estrellas observadas es alta, el ángulo horario del punto Aries queda
determinado con gran precisión. El esquema de un círculo meridiano es muy simple,
consta esencialmente de un anteojo A, cuyo eje óptico puede girar en el plano
meridiano en torno de un eje horizontal orientado E-W.
Hay que tener en cuenta que el equinoccio γ es un punto móvil sobre la esfera
celeste, debido a la precisión y a la nutación.
La orientación del eje de rotación de la Tierra no se conserva inmóvil respecto a
unos ejes solidarios con la posición media de las estrellas. El eje terrestre está animado
de un movimiento de balanceo y, consiguientemente, también oscilan los planos del
ecuador y de la eclíptica respecto a tales ejes de referencia.
Debido al abultamiento ecuatorial de la Tierra, las fuerzas externas que actúan
sobre la Tierra en rotación (especialmente las atracciones gravitatorias del Sol y de la
Luna) producen un desplazamiento del eje terrestre, que se mueve en sentido
retrógrado. Se pueden distinguir dos movimientos superpuestos, la precesión y la
nutación:
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
5
ASTRONOMÍA
1. Precesión.
Supóngase en primer lugar que la eclíptica está fija en la esfera celeste, supuesta
centrada en la Tierra, T.
El movimiento de precesión hace describir al eje terrestre un cono en torno del
eje de la eclíptica. El polo norte celeste, N, describe, por consiguiente, un círculo NN`
en torno del polo celeste de la eclíptica, E. El movimiento es retrógrado, empleándose
unos 26000 años en realizar un giro completo. Al girar el eje de rotación terrestre en
torno del eje de la eclíptica, el ecuador se va desplazando sobre la esfera y los puntos γ
y Ω de intersección del ecuador con la eclíptica (equinoccios) se desplazan en sentido
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
6
ASTRONOMÍA
retrógrado. Este retrogradamiento de los equinoccios es lo que se denomina precesión
de los equinoccios.
La precesión así definida, con la hipótesis de una eclíptica absolutamente
inmóvil, es solamente una primera aproximación. La observación ha mostrado que la
eclíptica se mueve en torno de uno de sus diámetros. Es preciso tener en cuenta esta
variación de la eclíptica para determinar con rigor la precesión de los equinoccios. Sean
Q1 y Q2 los dos ecuadores correspondientes a dos épocas sucesivas t1 y t2, siendo P1 y P2
los polos celestes del ecuador en esas dos épocas.
E1 y E2 son las eclípticas correspondientes a las dos épocas, γ1 y γ2 son los dos
equinoccios vernales. Supóngase que el eje en torno del cual oscila la eclíptica va de los
puntos O a O’. En rigor, los ecuadores y eclípticas aquí considerados no son
exactamente los que proporcionaría la observación en esas dos épocas, ya que se
prescinde de la variación de los mismos debida a la nutación, que será considerada
posteriormente. Para tener en cuenta esta diferencia, se denominará ecuador verdadero y
eclíptica verdadera a los afectados por la precesión y por la nutación, siendo estos los
que la observación permite determinar; mientras que ecuador medio y eclíptica media
son un ecuador y una eclíptica ficticios, afectados únicamente por la precesión y que
difieren de los verdaderos en la nutación. Por tanto, los elementos considerados:
eclípticas, ecuadores, equinoccios vernales, son medios.
Con las consideraciones anteriores, se define Precesión lunisolar, y se designa
por ψ1, al desplazamiento γ1γ’ que experimentaría el equinoccio por la atracción de la
Luna y el Sol sobre el abultamiento ecuatorial de la Tierra, suponiendo que la eclíptica
permanece invariable. Su valor es del orden de 50’’.37 por año. Su valor dentro de la
teoría de Newcomb se obtiene según:
ψ 1 = 50' '.3708 + 0' '.0000495 ⋅ (t 2 − 1900.0)
donde t2 se expresa en años trópicos desde la fecha origen, t1=1900.0.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
7
ASTRONOMÍA
La Precesión planetaria ψ2 es el desplazamiento γ’γ2 que experimentaría el
equinoccio debido a la variación de la eclíptica, y que es originado principalmente por
perturbaciones de los planetas. Su expresión, en la misma teoría es,
ψ 2 = 0' '.1247 − 0' '.0001887 ⋅ (t 2 − 1900.0)
La Precesión general ψ es el desplazamiento total γ1γ2 que experimenta el
equinoccio, como resultado de las precesiones lunisolar y planetaria. Su expresión es,
ψ = 50' '.25641 + 0' '.00022229 ⋅ (t 2 − 1900.0 )
La variación de la oblicuidad media de la eclíptica ε es la variación ε2-ε1 debida
al movimiento de precesión general. Se tiene:
ε = 23º 27'8' '.26 − 0' '.46845 ⋅ (t 2 − 1900.0) − 0' '.00000059 ⋅ (t 2 − 1900.0)2
Uno de los efectos de la precesión es el cambio de la posición del polo norte
celeste respecto del fondo de estrellas. La estrella polar actual, α de la Osa Menor, se
aleja paulatinamente del polo, y dentro de 13000 años se encontrará a más de 45º de la
misma, concretamente próximo a la estrella α de la constelación Lira, estrella Vega,
quedando a unos 4º de ella. Unos 3000 años antes de nuestra era, se podía considerar
como estrella polar a la estrella α de la constelación del Dragón.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
8
ASTRONOMÍA
2. Nutación.
El polo del ecuador, al describir en cerca de 26000 años un círculo menor en
torno del polo de la eclíptica, oscila, además, por encima y por debajo de ese círculo
menor. Así resulta que el movimiento real del polo sobre la esfera celeste se puede
considerar compuesto de dos movimientos superpuestos: el movimiento a lo largo del
círculo menor en torno del polo de la eclíptica, debido a la precesión, y un movimiento
a lo largo de una elipse que recorre en 18.6 años en sentido retrógrado.
El polo verdadero, Pv, es el punto de la esfera ocupado realmente por el polo del
ecuador en un instante dado, como resultado de los movimientos de precesión y
nutación conjuntamente. El polo verdadero es el que se determina mediante
observaciones. Se considera en cambio, como polo medio, Pm, la posición que ocuparía
el polo celeste si sólo hubiera precesión, sin tener en cuenta la nutación. La elipse de la
nutación es el lugar geométrico de Pv respecto de Pm. Los semiejes de la elipse son de
9’’.21 (semieje mayor o constante de nutación) y de 6’’.86 (semieje menor).
.
La composición de la precesión y de la nutación hacen describir al polo
verdadero una línea sinuosa en torno del polo medio de la eclíptica Em.
Adviértase que la precesión y la nutación son variaciones de la posición en el
espacio del eje de rotación terrestre, debidas a fuerzas externas, pero la Tierra misma no
modifica su posición relativa respecto a su eje de rotación por efecto de la precesión o
de la nutación, si lo hace respecto de una oscilación de período de 305 días que será
estudiada al abordar la falta de regularidad en la rotación terrestre. La precesión y la
nutación no influyen, por tanto, en la latitud astronómica y, consiguientemente no
producen cambios en el clima, si se exceptúa el pequeño efecto originado por los
cambios de distancia de la Tierra al Sol de los puntos en que dan comienzo las
estaciones. La precesión va desplazando los puntos de la órbita terrestre en donde
comienzan las estaciones del año, tal y como ha sido estudiado.
En la siguiente figura se observa el principio de la precesión y el efecto conjunto
de la precesión y nutación sobre el polo.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
9
ASTRONOMÍA
En el Anuario Astronómico de Madrid figuran expresiones para calcular las
correcciones a aplicar a las coordenadas ascensión recta y declinación de las estrellas
para referirlas del instante en que están calculadas, J2000.0, al instante de observación.
Además del movimiento del punto Aries, hay que tener en cuenta que el plano
del meridiano local no está fijo respecto de la Tierra debido al movimiento de los polos,
según la polodia que será estudiada cuando se aborde la falta de uniformidad de la
rotación terrestre, y debido a las oscilaciones de la vertical.
El movimiento del punto Aries en ángulo horario se compone de dos
movimientos diferentes: el movimiento del plano del meridiano local y el movimiento
del punto Aries sobre la esfera celeste a causa de la precesión y nutación.
Según se mida el ángulo horario del equinoccio medio γm o del equinoccio
verdadero γv se obtiene el tiempo sidéreo medio, TSm, o el tiempo sidéreo verdadero,
TSv (o aparente), respectivamente. La diferencia entre el tiempo sidéreo verdadero y el
medio se denomina ecuación de los equinoccios, EE = TSv-TSm.
EE = (ψ + dψ ) ⋅ cos ε
La ecuación de los equinoccios es el desplazamiento del equinoccio o punto
Aries sobre el ecuador debido al movimiento de nutación, por lo que antiguamente se le
denominaba nutación en ascensión recta. Su valor máximo es de 1.180 segundos, pero
debido a las irregularidades de la rotación de la Tierra sólo alcanzó el valor de +1.151
segundos el 7 de febrero de 1955. Los valores varían alternativamente de signo, con el
mismo período de la nutación (unos18.6 años). La ecuación de los equinoccios figura
día a día, a las 0h de TU en el Anuario del Observatorio Astronómico de Madrid, en la
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
10
ASTRONOMÍA
misma tabla en la que figura la ecuación del tiempo y la hora sidérea verdadera a las 0h
de TU. El tiempo sidéreo verdadero, el tiempo sidéreo medio y la ecuación de los
equinoccios, aparecen también tabulados, para cada día del año en las “Efemérides
Astronómicas de San Fernando” (EASF), así como en “Apparent Places of Fundamental
Stars” (FS).
En definitiva, la ecuación de los equinoccios permite pasar de un tiempo sidéreo
verdadero observado a otro medio en que no se tiene en cuenta la nutación.
En el tema 4 se definió el día sidéreo como el intervalo de tiempo sidéreo
comprendido entre dos culminaciones superiores consecutivas del punto γ en el
meridiano del lugar. Según se considere el equinoccio verdadero γv o el medio γm, se
obtiene el día sidéreo verdadero o medio.
El tiempo sidéreo medio TSm no es una medida de un tiempo uniforme debido a
varias causas: la velocidad de la Tierra no es rigurosamente constante, el meridiano
oscila ligeramente y la precesión del equinoccio sufre una pequeña variación secular en
ascensión recta del orden de 0.0002 segundos por año. La no uniformidad del tiempo
sidéreo verdadero se debe, además de la causas de falta de uniformidad que afectan al
medio, a la ecuación de los equinoccios. Los relojes sidéreos de los observatorios se
regulan en tiempo sidéreo medio. La máxima diferencia entre el día sidéreo medio y el
verdadero es de 0.012 segundos por lo que en las observaciones astronómicas
efectuadas en la práctica durante unas pocas horas, se puede suponer que el reloj da
tiempo sidéreo verdadero cometiendo únicamente un error de unos pocos milisegundos.
El tiempo sidéreo medio, TSm, debido al movimiento uniformemente acelerado
del punto vernal, vendrá definido por una función del tiempo de la forma
TS m = T0 + T1 ⋅ t + T2 ⋅ t 2
donde, por ser TSm un ángulo, T0 representará el valor de TSm en el instante que se
considere inicial (t=0), expresándose en las mismas unidades angulares que TSm; T1
será la velocidad angular inicial, expresada en las unidades angulares de TSm divididas
por la unidad en se mida t; T2 será la mitad de la aceleración angular y se medirá en las
mismas unidades que la velocidad T1 divididas por la unidad de t. Es conveniente elegir
el origen de la escala y la unidad de t para anular T0 y hacer T1 igual a la unidad. Como
origen en la escala se toma las 0h sidéreas del día 0 de enero 1900, a partir del cual se
comienzan a contar los días sidéreos transcurridos y el meridiano origen es el de
Greenwich. La unidad de tiempo t se fija de modo que la velocidad angular T1=1; es
decir, será el tiempo necesario para que γm recorra la unidad angular de TSm con una
velocidad constante, la que tiene en el instante inicial. Así, si la unidad de TSm es el día
sidéreo medio (360º), la unidad de tiempo t será la duración del día sidéreo a 0h sidéreas
en Greenwich de enero 0 de 1900. La expresión de TSm será ahora,
TS m = t + T2 ⋅ t 2
con un significado de T2 diferente al dado anteriormente. La duración de otro día
sidéreo medio cualquiera vendrá representada por el tiempo necesario para que γm
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
11
ASTRONOMÍA
recorra una circunferencia completa, que se obtendrá a partir de la derivada de la
expresión anterior, 1+2·T2·t.
III.2.3. TIEMPO SOLAR VERDADERO.
El tiempo solar verdadero local es, por definición, el ángulo horario Hv del
centro del Sol en un lugar dado. Teniendo en cuenta la ecuación fundamental de la
astronomía de posición,
TS v = α v + H v → H v = TS v − α v
en donde TSv es el tiempo sidéreo verdadero y αv es la ascensión recta del centro del
Sol verdadero.
Tal y como se estudio en el tema dedicado al movimiento diurno, la variación de
la ascensión recta del Sol verdadero presenta irregularidades, que permite expresarla
como una función del tiempo uniforme t de la siguiente forma,
α v = A0 + A1 ⋅ t + iα
donde iα representa a las irregularidades de la ascensión recta del Sol verdadero.
De igual forma, el tiempo sidéreo verdadero también se puede expresar,
TS v = a 0 + a1 ⋅ t + iτ
donde iτ representa las irregularidades del tiempo sidéreo verdadero.
Teniendo en cuenta esta dos últimas expresiones, se puede establecer que el
tiempo sidéreo solar verdadero vendrá dado por una ecuación del tipo,
H v = TS v − α v = (a0 − A0 ) + (a1 − A1 ) ⋅ t + (iτ − iα ) = a + b ⋅ t + (iτ − iα )
en donde, a y b son constantes. Así pues, el tiempo solar verdadero no es uniforme
respecto al tiempo t de la dinámica, estando afectado por las irregularidades de la
ascensión recta del Sol verdadero y del tiempo sidéreo verdadero.
La determinación del tiempo solar verdadero se puede hacer mediante
observaciones directas, midiendo el ángulo horario del Sol. La culminación del Sol se
determina con gran precisión mediante el círculo meridiano, en el instante en que se
anula el ángulo horario del Sol.
La falta de uniformidad del tiempo solar verdadero hace que no se pueda
conservar mediante relojes artificiales.
III.2.4. TIEMPO SOLAR MEDIO.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
12
ASTRONOMÍA
El tiempo solar medio local, Hm, es, por definición, el tiempo solar verdadero
corregido de todas sus irregularidades.
Se define como ecuación del tiempo, E, la suma algebraica de todas las
correcciones que es preciso aplicar al tiempo solar verdadero para despojarlo de todas
sus irregularidades:
H m = H v + E → E = H m − H v = iα − iτ
En el tema dedicado al movimiento diurno se estudio una aproximación de la
ecuación del tiempo.
A partir de expresiones vista se puede expresar la diferencia entre el tiempo
sidéreo verdadero y el tiempo solar medio,
H v = TS v − α v
TS v − H v = α v
H v = H m − (iα − iτ )
TS v − H m = α v − iα + iτ
que resulta ser igual a la ascensión recta del Sol verdadero corregido de sus propias
irregularidades iα, pero aumentada con las irregularidades iτ del tiempo sidéreo
verdadero. Las irregularidades del tiempo sidéreo verdadero provienen de muy diversas
causas, si bien la principal es la ecuación de los equinoccios Eq, debida a la nutación,
que puede determinarse con gran precisión y se encuentra tabulada. Si en la expresión
anterior se corrige de la ecuación de los equinoccios se habrán eliminado la principal
irregularidad TSv y solamente quedarán las pequeñas irregularidades debidas a las
variaciones en la velocidad de rotación de la Tierra, a las ligerísimas oscilaciones del
meridiano y a la pequeña variación secular de la precesión en ascensión recta. Efectuada
esta corrección se obtiene,
TS m − H m = α v − iα + iτ'
iτ' = iτ − E q
Despreciando las irregularidades residuales del tiempo sidéreo verdadero, se
puede interpretar en cada instante la diferencia TSm-Hm como la ascención recta αm de
un móvil imaginario, astro Sol medio, situado en el ecuador celeste medio de ese
instante y caracterizado por un movimiento sidéreo prácticamente uniforme a lo largo
del ecuador, que difiere muy poco del movimiento medio del Sol en ascensión recta. Se
obtendrá por tanto,
Tm − H m = α m
en donde la ascensión recta media se mide desde el equinoccio medio en el instante
considerado.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
13
ASTRONOMÍA
La posición del Sol medio se define de hecho mediante una fórmula que fija el
valor de su ascensión recta αm. De acuerdo a los principios de la mecánica celeste,
Newcomb (1895) obtuvo la expresión que permite calcular la longitud eclíptica
geocéntrica del Sol medio,
L = 279 º 41'48' '.04 + 129602768 ' '.13 ⋅ T + 1' '.089 ⋅ T 2
en donde T es el número de siglos julianos de 36525 días medios transcurridos desde
1900 enero 0, en Greenwich a mediodía medio (culminación del Sol medio). El criterio
seguido en la práctica para fijar la ascensión recta del Sol medio consiste en adoptar
para su valor la expresión de la longitud eclíptica geocéntrica anterior:
α m = 18 h 38 m 45 s .836 + 8640184 s .542 ⋅ T + 0 s .0929 ⋅ T 2
En la práctica, el tiempo solar medio se determina utilizando el tiempo sidéreo
medio como paso intermedio. La observación de estrellas fundamentales permite
obtener el tiempo sidéreo verdadero, que corregido de la ecuación de los equinoccios
permite obtener el tiempo sidéreo medio. Con el tiempo sidéreo medio y con la
ecuación,
H m = TS m − α m
donde la expresión de la ascensión recta del Sol medio es la dada anteriormente, se
calcula el valor numérico del tiempo solar medio. Esta última ecuación constituye la
definición exacta del tiempo solar medio.
Dado que una forma alternativa a la anterior consiste en obtener mediante
observaciones astronómicas el ángulo horario del Sol verdadero, Hv, y obtener el tiempo
solar medio tras corregir con la ecuación del tiempo, se concluye que cada método
operatorio de medida, puesto que de hecho son diferentes, definen dos tiempos solares
medios también diferentes. En la actualidad se utiliza el primer método descrito.
III.2.5. TIEMPO UNIVERSAL.
La definición rigurosa del tiempo universal se realiza a partir del tiempo sidéreo
medio de Greenwich y de la ascensión recta del Sol medio:
TU = TS m (Gr ) − α m + 12 h
Despejando de la expresión anterior,
TS m (Gr ) = TU + α m − 12 h
de donde, el tiempo sidéreo medio en Greenwich a las 0h de TU será, teniendo en cuenta
la expresión del valor de la ascensión recta del Sol medio vista,
(
)
TS m 0 h , Gr = 6 h 38 m 45 s .836 + 8640184 s .542 ⋅ T + 0 s .0929 ⋅ T 2
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
14
ASTRONOMÍA
con T el mismo de la expresión de la ascensión recta del Sol medio.
Si a la expresión anterior se añade la ecuación de los equinoccios se obtiene se
obtiene el tiempo sidéreo verdadero en Greenwich también para el instante TU=0h.
Estos tiempos sidéreos vienen tabulados en los anuarios astronómicos, por ejemplo, en
el Anuario del Observatorio Astronómico de Madrid se incluye el segundo y la
ecuación de los equinoccios. Su valor es el ángulo horario en Greenwich del punto
Aries, verdadero o medio según el tiempo sidéreo respectivo, en el instante TU=0h.
La definición del día solar medio se desprende de lo anterior, es decir, el instante
que cada día se designa como 0h de tiempo universal TU es por definición aquel en que
el equinoccio γ alcanza, en su movimiento diurno aparente, un ángulo horario en
Greenwich exactamente igual al calculado de la forma descrita y está tabulado en los
anuarios para los sucesivos días del año. El día solar medio se define como el periodo
de tiempo entre dos instantes en los que el equinoccio γ alcanza los ángulos horarios
calculados de la forma descrita para dos valores de T separados por un intervalo de
1/36525. Para determinar el tiempo universal TU, se calcula con la fórmula anterior el
tiempo sidéreo medio en Greenwich a 0h para cada día, dando a T valores sucesivos
separados por el indicado de 1/36525, lo que equivale a contar T tomando como unidad
el día solar medio.
El movimiento diurno no es rigurosamente uniforme. Por consiguiente, los
instantes en que el equinoccio medio γm alcanza los valores tabulados del ángulo horario
TSm(0h,Gr), que definen las 0h de TU, dependen de la rotación variable de la Tierra y de
las oscilaciones del meridiano, y se suceden a intervalos ligeramente desiguales de
tiempo uniforme. Durante esos intervalos desiguales de tiempo, el Sol medio se mueve
también cantidades desiguales de tiempo, y consiguientemente en el instante en que la
el ángulo horario γm alcanza los valores tabulados, TSm(0h,Gr), el Sol medio no pasa
exactamente por el meridiano inferior de Greenwich. El comienzo del día no coincide,
por lo tanto, con el cruce del Sol medio por el meridiano inferior de Greenwich y la
definición ha perdido su carácter geométrico tradicional. El TU se determina por
completo mediante una fórmula convencional que define la relación entre el tiempo
sidéreo observado en un instante cualquiera y el tiempo sidéreo tabulado a 0h de TU
(con la interpolación realizada en caso necesario). La definición usada tradicionalmente
hasta 1960, según la cual TU es igual a 12h más el ángulo horario en Greenwich del Sol
medio, no es exacta y ha sido eliminada de los anuarios astronómicos.
Se tiene que el tiempo universal no es uniforme y es preciso corregirlo de sus
irregularidades. En función de las correcciones aplicadas se distinguen varias clases de
tiempo universal:
TU0.- es el TU determinado por un solo observatorio a partir del tiempo
sidéreo verdadero, TSv, observado astronómicamente, teniendo en cuenta la
diferencia de longitud entre el meridiano convencional del observatorio y el
de Greenwich.
TU1.- es el TU0 corregido del influjo del movimiento irregular del
meridiano debido a desplazamientos de los polos terrestres. La corrección
viene dada por la expresión:
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
15
ASTRONOMÍA
TU 1 − TU 0 =
1s
(x ⋅ sen λ − y ⋅ cos λ ) ⋅ tg ϕ
15' '
en donde x e y son las coordenadas rectangulares del polo instantáneo en
segundos de arco, referidas al polo medio. Los valores de x e y se obtienen de
publicaciones periódicas del Servicio Internacional del Movimiento del Polo
(IERS) en el Boletín – A. Las variaciones del meridiano debidas a fluctuaciones
de la vertical son muy pequeñas y no se tienen en cuenta en los cálculos
prácticos.
TU2.- es el TU1 corregido de las irregularidades estacionales del
movimiento de rotación de la Tierra. La corrección que elimina dichas
irregularidades, ∆Ts = TU 2 − TU 1 , utilizada desde 1962 reponde a la
expresión,
UT 2 − UT 1 = 0 s .022 ⋅ sen (2 ⋅ π ⋅ t ) − 0 s .012 ⋅ cos(2 ⋅ π ⋅ t ) − 0 s .006 ⋅ sen (4 ⋅ π ⋅ t ) + 0 s .007 ⋅ cos(4 ⋅ π ⋅ t )
donde t se cuenta en años de Bessel a contar desde 1900. Esta expresión se debe
a Markowitz (1958).
Cuando TU2 ha sido determinado por un solo observatorio, se denomina tiempo
universal casi uniforme, semidefinitivo (hora semidefinitiva). El tiempo universal casi
uniforme definitivo (hora definitiva) se obtiene como promedio del TU2 hallado por
todos los observatorios que contribuyen a su determinación.
El TU2 está afectado de la variación secular y de las fluctuaciones irregulares de
la rotación terrestre y, por consiguiente, no es rigurosamente uniforme respecto al
tiempo t de la dinámica. Además, el segundo de tiempo medio no puede obtenerse con
una precisión relativa superior a 10-7.
III.3. ESCALA DE TIEMPO DE EFEMÉRIDES.
Durante mucho tiempo fue aceptada para la unidad de tiempo la definición
establecida por el Comité Internacional de Pesas y Medidas (IPMH): “La unidad de
tiempo es el segundo, fracción 1/86400 del día solar medio”. Sin embargo, el límite de
precesión cuantificado anteriormente para esta unidad unido a que aumentó la exigencia
de precisión, se impuso la necesidad de sustituir la escala de tiempo definida por el
tiempo universal por otras que se ajusten con mayor exactitud al tiempo uniforme.
El problema se enfocó en un primer momento desde el punto de vista
astronómico, pero más tarde se encontró una mejor solución basada en fenómenos
físicos internos de la materia.
Los movimientos orbitales de los astros del Sistema Solar, estudiados por la
Mecánica Celeste, alcanzaron tal nivel de precisión que fue necesario abandonar el
tradicional método de ligar la medida del tiempo al movimiento de rotación terrestre
para tratar de referirlo a la dinámica de los mismos. Conocidas con una precisión mayor
a la observable, las leyes que rigen la dinámica de ciertos astros del Sistema Solar, se
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
16
ASTRONOMÍA
puede aceptar que el parámetro t que aparece en la formulación de dichas leyes, es el
tiempo uniforme newtoniano. Ligado así de modo muy preciso la geometría del
movimiento y el tiempo invertido en los desplazamientos, la situación del cuerpo en su
trayectoria para un valor determinado del tiempo es conocida y es posible tabularla en
lo que se da en llamar las efemérides correspondientes al astro considerado. Conocidas
las efemérides es posible averiguar la posición del astro para un cierto instante, o,
recíprocamente, determinar el instante del tiempo en que el astro ocupará una
determinada posición. Al tiempo así determinado se le denomina tiempo de efemérides,
en razón de la forma en que se ha obtenido.
En 1895 Simón Newcomb confeccionó las tablas del Sol en la que se define con
gran precisión la órbita aparente del Sol debida al movimiento de traslación de la Tierra
alrededor del mismo. En un principio la escala de tiempo utilizada en estas tablas fue la
de tiempo universal, por lo que se consideró que las Efemérides del Sol proporcionaban
la posición del Sol en función de TU. Newcomb, que desconocía las irregularidades de
la rotación de la Tierra, consideraba T medido en tiempo universal. Para Newcomb, el
TU definido por la rotación terrestre era un tiempo uniforme igualmente válido para la
teoría y para las observaciones. Ahora bien, las observaciones posteriores mostraron
que la teoría, expresada por la ecuación vista, no proporcionaba las posiciones Lm
observadas del Sol, cuando el tiempo de las observaciones se medía en tiempo solar
medio de la escala de TU.
Los coeficientes determinados por Newcomb analizando observaciones
realizadas entre 1680 y 1895, dan lugar a la expresión de la longitud geométrica media
del Sol, referida la equinoccio medio de la época:
L = 279 º 41'48' '.04 + 129602768 ' '.13 ⋅ T + 1' '.089 ⋅ T 2
donde T se mide en siglos julianos de 36525 días medios. El origen de la medida
de T es, por definición, enero 0 de 1900 (mediodía medio del 31 de diciembre de 1899
de Greenwich, en que la longitud media del Sol valía 279º41’48’’.04).
Según Spencer Jones, para obtener los valores observados, cuando las
observaciones se hacen en TU, es necesario aplicar una corrección que incluso formula
en función del TU. Estas correcciones implican que las posiciones observadas del Sol se
van adelantando respecto a las posiciones calculadas teóricamente con las efemérides.
Puesto que los relojes utilizados para medir el tiempo de la escala TU, utilizado en las
observaciones astronómicas, reproducen el movimiento de rotación terrestre, las
desviaciones de las observaciones respecto de la teoría prueban que la velocidad de
rotación de la Tierra va decreciendo. Dicho de otra forma, el TU basado en la rotación
terrestre no es uniforme respecto al tiempo T, que aparece como variable independiente
en las efemérides. En realidad se trata de dos escalas de tiempo diferentes: la escala de
tiempo TE definido implícitamente por las efemérides, que se utiliza para la teoría
dinámica, y la escala de tiempo universal TU, que se emplea en las observaciones
astronómicas. El empleo de dos escalas de tiempo distintas, una para la teoría y otra
para las observaciones, es la causa fundamental de la discrepancia entre las posiciones
teóricas y observadas del Sol.
En definitiva, la escala del tiempo de efemérides, TE, tiene como unidad el
tiempo físico definido por el movimiento del Sol en longitud eclíptica o celeste. Si por
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
17
ASTRONOMÍA
observación se determina el valor de la longitud eclíptica del Sol medio en un instante
se podría obtener el valor del argumento T. Este valor de T es el tiempo de efemérides
correspondiente a dicho instante.
La expresión anterior para la longitud eclíptica del Sol medio define las
unidades del tiempo de efemérides a través del coeficiente de T. Despreciando las
pequeñas variaciones seculares, este coeficiente da el incremento en la longitud del Sol
medio en un período de 36525 días de efemérides. Una variación de L en 360º equivale
a un año trópico, el valor de T necesario será el valor del año trópico en tiempo de
efemérides.
Expresando T en segundos de efemérides, se tendrá:
L = 279º 41'48' '.04 +
129602768' '.13
1' '.089
⋅T +
s
36525 ⋅ 86400
36525 ⋅ 86400 s
(
)
2
⋅T 2
y diferenciando,
∆L =
129602768' '.13
2' '.187
⋅ ∆T +
s
36525 ⋅ 86400
36525 ⋅ 86400 s
(
)
2
⋅ T ⋅ ∆T
∆L = 0.041068639 ⋅ ∆T + 2.187 ⋅10 −19 ⋅ T ⋅ ∆T , con t, ∆t en seg.
y, teniendo en cuenta, la definición del año trópico, “tiempo requerido para que la
longitud media L del Sol aumente en 2π, a la velocidad instantánea de variación de L”,
si se considera el incremento correspondiente y despejamos, se obtiene,
1296000' ' = 0.041068639 ⋅ ∆T + 2.187 ⋅10 −19 ⋅ T ⋅ ∆T
en primera aproximación,
∆T =
1296000' '
= 31556925 s .97474
0.041068639
y en segunda aproximación,
∆T =
Resultando,
efemérides.
1296000' '
2.187 ⋅10 −19
1296000' '
−
⋅
⋅T
0.041068639 0.041068639 0.041068639
∆T = 31556925 s.97474 − 1.6805 ⋅10 −10 ⋅ T con
T
en
segundos
de
∆T = 31556925 s.97474 − 5.3033 ⋅10 −3 ⋅ T con T en años julianos.
∆T = 31556925 s.97474 − 0.53033 ⋅ T con T en siglos julianos.
Todas estas expresiones representan el número de segundos de efemérides
contenidos en un año trópico, a partir de 1900.0 y en función continua de T. Para T=0 se
obtiene la expresión del segundo de efemérides.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
18
ASTRONOMÍA
El tiempo de efemérides es teóricamente uniforme, pero la precisión en su
determinación es muy inferior a la del tiempo universal, obtenido por observación de
estrellas. El motivo no es otro que el periodo del movimiento aparente del Sol por la
eclíptica es de un año, mientras que el de rotación aparente de la esfera celeste es de un
día. Esto implica que, a igualdad de precisión en ambas observaciones, el tiempo
rotacional quedaría 365 veces mejor determinado que el tiempo de efemérides, pero
además, la precisión en la determinación de la ascensión recta del Sol es del orden de
0.02 segundos de tiempo, mientras que el tiempo universal se puede determinar con una
precisión de 0.004 segundos de tiempo. La mejora en la determinación del tiempo de
efemérides se conseguiría recurriendo a otro astro de menor período sidéreo, tal como la
Luna (mediante medidas relativas de la Luna con respecto a estrellas). El movimiento
medio de la Luna, de 0’’.549 por segundo de tiempo medio, es 13.37 veces más rápido
que el del Sol, ofreciendo una mayor sensibilidad a las medidas y una mayor precisión
relativa de las mismas.
Las dificultades en la determinación del tiempo de efemérides y la poca
precisión en sus resultados lleva como consecuencia serios inconvenientes en su
utilización. Una determinación rigurosa del tiempo de efemérides en un instante
determinado requeriría un complejo análisis de observaciones a lo largo de varios años,
lo que se traduce en retrasos inadmisibles en su conocimiento. Esto concluye que no se
puedan utilizar relojes de tiempo de efemérides, que requerirían un control permanente
y actual de su marcha.
En el año 1956 se adoptaron las siguientes definiciones:
♦ Origen del tiempo de efemérides, el mencionado anteriormente.
♦ Duración del año de efemérides, por definición la del año trópico de 1900.
♦ Duración del segundo de efemérides.
Teniendo en cuenta la duración, en segundos, del año trópico 1900:
1s ET =
año de efemérides
31556925.9747
El segundo de efemérides fue adoptado en 1960 como unidad en el sistema
internacional SI hasta 1967, en que fue sustituido por el segundo de tiempo
atómico.
♦ Duración del día de efemérides. 1d ET = 86400s ET
♦ Duración del siglo de efemérides. Equivale a 36525 días de efemérides.
La ascensión recta del Sol medio viene definida por la expresión,
α m = 18 h 38 m 45 s.832 + 8640184 s.628 ⋅ Tu + 0 s.0929 ⋅ Tu2
en la que Tu viene expresada en siglos julianos de 36525 días solares medios, a partir de
1900 enero 0 a 12h UT.
Análogamente, se puede definir un Sol medio de efemérides, cuya ascensión
recta sería,
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
19
ASTRONOMÍA
α E = 18 h 38 m 45 s.832 + 8640184 s.628 ⋅ TE + 0 s.0929 ⋅ TE2
en la que TE vendría expresado en siglos de efemérides a partir de 1900 enero 0 a 12h
ET.
Ambas expresiones son análogas, si bien en la primera la ascensión recta viene
expresada en tiempo universal y en la segunda en tiempo de efemérides
La relación entre el tiempo de efemérides y el tiempo universal se establece
como ∆T = ET − UT . Esta expresión se puede interpretar en los dos sentidos siguientes,
♦ Conocido el UT2, más uniforme, y medido el ET a partir de observaciones a
la Luna, hallar como su diferencia el valor ∆T.
♦ Obtener el tiempo de efemérides si se pudiese conocer el valor de ∆T. La
utilidad de esta operación sería muy alta de acuerdo a la dificultad de la
medida directa del tiempo de efemérides. La corrección ∆T es el intervalo de
tiempo necesario para que la longitud eclípitca aparente del Sol medio se
incremente en el valor de la corrección ∆Lm obtenida por Spencer Jones
(1939) , ∆Lm = 1' '.0 + 2' '.97 ⋅ t + 1' '.23 ⋅ t 2 + 0' '.074 ⋅ B , para pasar de las
longitudes calculadas utilizando UT a las observadas, que son precisamente
las que definen el tiempo de efemérides. Teniendo en cuenta que el año de
efemérides contiene 31556925.9747 segundos de tiempo en los que la
longitud eclíptica del Sol varía 360º, es decir, 1296000’’, el tiempo que
tardará en recorrer 1’’ será 24.349480 segundos de efemérides. Llevando
este valor a la expresión anterior, obtenemos el valor de ∆T,
∆T = 24 s.349 + 72 s.318 ⋅ t + 29 s.950 ⋅ t 2 + 1s.82144 ⋅ B
Esta última expresión, adoptada por la UAI, permite pasar del tiempo universal
al tiempo de efemérides, si bien es una aproximación. El valor correcto del tiempo de
efemérides se debe obtener a posteriori, cuando se conozca a partir de observaciones.
Los valores de ∆T aparecen tabulados en almanaques, pero los valores
correspondientes a los cinco años anteriores a la fecha de la publicación son calculados
con la expresión anterior.
La tabla siguiente da una idea del orden de magnitud de la corrección ∆T.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
20
ASTRONOMÍA
El tiempo de efemérides es el que mejor se ajusta al tiempo uniforme de la
mecánica celeste y es que se utilizó desde 1960 en las efemérides del Sol, la Luna y los
planetas.
La máxima precisión que se consiguió en la determinación del tiempo de
efemérides fue del orden de 10-10 segundos, con períodos de observación de cinco años.
Un problema añadido a la definición del tiempo de efemérides es que el obtenido a
partir de observaciones a distintos astros arrojaba resultados diferentes lo que implicaba
que cada astro definía su propio tiempo de efemérides. Esto obligaría, para definir un
tiempo de efemérides único realmente uniforme, a que el conocimiento acerca de las
constantes astronómicas y de la dinámica estelar fuera perfecto. La conclusión fue que
se recomendase no utilizar el tiempo de efemérides para observaciones posteriores a
1955, fecha en la que entró en funcionamiento el primer reloj de cesio. A partir de esta
fecha se introduce el tiempo atómico.
Aunque el periodo juliano se introdujo (tema 4) originariamente para medir el
tiempo solar medio, se puede aplicar a cualquier otra clase de tiempo. En particular
resulta conveniente aplicarlo al tiempo de efemérides para ciertos estudios. Se obtiene
entonces el día juliano de las efemérides, que difiere del tradicional en la corrección ∆T
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
21
ASTRONOMÍA
dada por la expresión vista, y que expresa el número de días de las efemérides
transcurridos desde –4712 enero 0 a 12h de TE.
III.4. ESCALA DE TIEMPO ATÓMICO.
A partir de la aparición de los relojes atómicos, que mejoraron a los de cuarzo,
se introdujo una nueva escala, la escala de tiempo atómico (TA), con lo que la
Astronomía perdió el predominio mantenido a lo largo de muchos siglos en la
definición y conservación del tiempo. En 1970 la definición del tiempo vendría de la
mano de la física. El tiempo de efemérides se continuaría utilizando para la mecánica
celeste.
El primer reloj de cesio se comenzó a utilizar en el año 1955, el mismo año en
que se introdujo el tiempo de efemérides, comprobándose inmediatamente sus ventajas
sobre los relojes de cuarzo, con una mayor uniformidad de marcha y una precisión diez
veces superior, así como una inmediata accesibilidad, y sin estar sometidos al proceso
del envejecimiento del cuarzo (la precisión de lectura en los relojes atómicos alcanza
10-9 segundos y su uniformidad 10-12, en los relojes de cesio todavía mejorada por los
de hidrógeno). Como consecuencia de los buenos resultados, se decidió adoptar como
unidad de tiempo el segundo atómico. Pero, tal y como se había realizado con los
cambios anteriores, se trató de mantener en lo posible la coincidencia entre la nueva
unidad y la anterior. Tras mediciones realizadas en el U.S. Naval Observatory y en
National Physical Laboratory, en Teddington, se comprobó que el segundo de
efemérides equivalía a 9192631770±20 períodos de una determinada radiación del
átomo de cesio. A la vista de estos resultados, la XIII Conferencia de Pesas y Medidas,
reunida en París en 1967, acordó prescindir del segundo de efemérides en el Sistema
Internacional de Unidades (SI), sustituyéndolo por el segundo atómico, definido como
duración de 9192631770 períodos de la radiación correspondiente a la
transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de
cesio 133.
La duración del segundo atómico coincidía, por definición, con la del segundo de
efemérides.
El problema fundamental para la definición del segundo atómico es que los
relojes atómicos no son eternos, se hace necesario disponer de varios relojes que
aseguren la continuidad del sistema en el caso de que alguno se pare. Pero, en realidad,
cada reloj atómico define su propia escala de tiempo lo que obliga a establecer una
media ponderada de las distintas escalas particulares. Así, el Observatorio Naval de
Washington estableció una escala, A-1, con dieciséis relojes de EEUU, Inglaterra y
Francia. Otros cinco relojes darían lugar a una segunda escala, A-2 o NBS-A,
mantenida por el National Bureau of Standars.
El Bureau Internacional de l’Heure (BIH) estableció, a partir del 1 de enero de
1958, una nueva escala, A-3, con relojes distribuidos en organismos de muchos países.
Esta escala pasó a definir, a partir de 1973, el tiempo atómico internacional (TAI). En
1981 ya contaba con 118 relojes distribuidos en 25 laboratorios.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
22
ASTRONOMÍA
La XIV Conferencia General de Pesas y Medidas (1970) definió como nueva
escala el TAI: “El Tiempo Atómico Internacional es la coordenada de referencia
temporal establecida por el Bureau Internacional de l’Heure sobre la base de las
indicaciones de relojes atómicos en funcionamiento en diversos establecimientos
conforme a la definición del segundo, unidad de tiempo del SI”. Además se añadieron
unas reglas para la puesta en práctica de la nueva escala de tiempo, entre las que
figuran:
♦ “1ª. La duración del intervalo unitario de la escala de Tiempo Atómico
Internacional está determinada por el Bureau Internacional de l’Heure, de
forma que esté en estrecha coincidencia con la duración del segundo del SI,
referida a un punto fijo de la Tierra al nivel del Mar.”
♦ “4ª. El origen de la escala de TAI queda definido conforme a las
recomendaciones de la Unión Astronómica Internacional (XIII Asamblea
General, Praga, 1967), es decir, que esta escala coincida aproximadamente
con el UT2 a 0h del 1 de enero de 1958.”
La relación con UT2 quedó establecida para el 1 de enero de 1958 a 0h de UT como
UT2-A3=0s.0039. También se encontró que el valor medio de la diferencia entre TAI y
ET es de 32s.18 durante el intervalo 1956-1972. (ET = TAI+32.184s).
Por tanto, desde 1958 se dispone de la escala TAI, de gran precisión, que se
puede enlazar con el tiempo de efemérides (ambas utilizan la misma escala) por la
diferencia indicada. Puede utilizarse el TAI para fijar el instante de una observación o
para el cálculo de posiciones desde junio de 1955, pero para observaciones o cálculos
anteriores a 1955, en que el tiempo atómico no existía, es necesario recurrir a tiempo de
efemérides.
Este TAI se debe utilizar tanto para el cálculo de efemérides geocéntrica como
heliocéntricas. Más adelante, debido a efectos relativistas, se definirían nuevos sistemas
de tiempo atómico: uno geocéntrico, el Tiempo Dinámico Terrestre (TDT) y uno
heliocéntrico, el Tiempo Dinámico Baricéntrico (TDB).
En enero de 1977 se realizó un ajuste para llevar la duración del intervalo de la
escala TAI a estrecha coincidencia con el segundo SI al nivel del mar.
III.5. TIEMPO UNIVERSAL COORDINADO.
Este tiempo, accesible a cualquier usuario gracias a su difusión en las señales
horarias, presenta las ventajas de la escala de tiempo atómico pero también se ajusta a la
rotación terrestre.
El UTC aparece desde enero de 1958. UTC se hizo coincidir con UT1 a
principios de 1958. Un reloj atómico dirigía cada emisora de señales horarias. Para
ajustar a UT, a principios de año se realizaba una modificación en la frecuencia para
adaptarse al segundo UT2. Dado que UT2 tampoco es uniforme, cuando la diferencia
UTC-UT2>0s.1 se introducía una corrección de esa magnitud a principios de mes. Estas
dos alteraciones, modificación de frecuencia a principios de año, y saltos a principios de
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
23
ASTRONOMÍA
algunos meses, generaba dificultades técnicas importantes, lo que dio lugar a una
modificación. A partir del 1 de enero de 1972, de acuerdo con lo decidido en la XIV
Conferencia General de Pesas y Medidas (celebrada en octubre de 1971), la escala
vuelve a ser el segundo atómico y se imponen las condiciones:
TAI − UTC = n(t ) segundos
UTC − UT 1 ≤ 0.9 segundos
siendo n(t) un número entero que varía con el tiempo. Para conseguir esto se recurría a
añadir, o a suprimir, un segundo intercalar siempre que fuera necesario, pero en fechas
preestablecidas (31 de diciembre, final de junio,...) Para conocimiento de quienes
pudieran necesitar esta información, las propias emisiones incluyen un código que
indica el valor de la diferencia UTC-UT1 para cada señal emitida. Cuando se llevó a
cabo esta revisión de UTC, la diferencia UTC-UT1=-10s, y continuó aumentando de
forma que a principios de 1982 ya era de 20 segundos.
El UTC debe utilizarse en la emisión de señales horarias, cuyas emisiones son
controladas por el BIH, con la colaboración de ochenta relojes atómicos establecidos en
observatorios y laboratorios de precisión de 24 países, y el propio BIH es el que
establece cuándo ha de introducirse un nuevo segundo intercalar. La Conferencia
General de Pesas y Medidas recomendó en 1975 que este UTC fuera utilizado para
definir el tiempo civil en cada país. La diferencia entre el TAI y el UTC ser representa
por,
∆AT = TAI − UTC
III.6. REVISIÓN DEL CONCEPTO DE AÑO TRÓPICO.
Eligiendo como punto origen el equinoccio medio móvil γm de la época, se
define como año trópico el intervalo de tiempo necesario para que la longitud
geométrica media, Lm, del Sol verdadero aumente 360º.
Se procede a calcular la duración del año trópico, at, en la escala del tiempo de
efemérides TE. Para ello se parte de la fórmula de Newcomb para Lm. Hay que tener
presente que la esta fórmula es válida únicamente para unos cuantos miles de años,
debido a las limitaciones de la teoría de Newcomb, y su precisión disminuye
progresivamente al distanciarnos hacia de 1900, hacia el pasado o futuro. La duración
del año trópico expresada en siglos julianos de las efemérides, viene dada por la
relación:
Lm (T + at ) − Lm = 1296000' '
ya que, por definición, at es el intervalo empleado por Lm en aumentar
360º=360*60*60=1296000’’. Teniendo en cuenta la fórmula de Newcomb,
1' '.089 ⋅ at2 + (129602768' '.13 + 2' '.178 ⋅ T ) ⋅ at = 1296000' '
cuya solución permite determinar la duración del año trópico. Se obtiene,
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
24
ASTRONOMÍA
at = 365d .242198782 − 0 d .000006138 ⋅ T
donde T se mide en siglos julianos de 36525 días de las efemérides, contados a partir de
1900 enero 0 a 12h de TE. Como se ve, los años trópicos sucesivos no son iguales sino
que decrecen lentamente con el tiempo, en unos 0s.0053 por año.
III.7. REVISIÓN DE LA RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO MEDIO
Y EL TIEMPO SIDÉREO.
De acuerdo a las nuevas definiciones introducidas en este apéndice es necesario
precisar más la relación entre un intervalo de tiempo medio y un intervalo de tiempo
sidéreo.
El tiempo solar medio local, Hm, en cada instante se determina a partir del
tiempo sidéreo local, Tm, observado en ese instante, según la expresión,
H m = Tm − α m
Hay que tener en cuenta que en realidad el tiempo sidéreo observado directamente es el
verdadero TSv, que se transforma en tiempo sidéreo medio a través de la ecuación de los
equinoccios. Así pues, la expresión anterior, que es la definición exacta del tiempo solar
medio, relaciona en cualquier meridiano la escala de tiempo medio con la escala de
tiempo sidéreo medio, a través del valor adoptado para la ascensión recta de un punto
del ecuador celeste designado con el nombre de Sol medio. La relación numérica entre
las dos escalas, que es lo que se pretende determinar en este apartado, se obtiene
calculando la equivalencia entre las unidades de una y otra escala, o sea, del día solar
medio y del día sidéreo medio, a partir de un instante en el cual se conozcan
simultáneamente los valores de Hm y de TSm referidos a un mismo meridiano arbitrario.
En la práctica se elige el meridiano de Greenwich para establecer la relación
entre ambas escalas debido a que es el meridiano adoptado convencionalmente para
definir un tiempo solar medio único que, aumentado en 12h para convertirlo en tiempo
civil, sirva como tiempo universal en todo el mundo.
De acuerdo a lo anterior, aplicando la expresión vista se obtiene el TU a partir
del tiempo sidéreo observado, TSm(Gr). El tiempo universal así determinado no es
rigurosamente uniforme, y se designa TU0 para distinguirlo del tiempo universal TU1 y
TU2 corregidos parcialmente de esa falta de uniformidad.
El tiempo universal TU0 se cuenta en días solares medios, de 24 horas solares
medias, comenzando con 0h a medianoche. Cada día solar medio se define como el
periodo de tiempo TU0 comprendido entre dos instantes en que el equinoccio medio γm
alcanza en Greenwich los ángulos horarios TSm(0h,Gr) calculados de acuerdo a una
expresión ya analizada, para dos valores del parámetro T separados por un intervalo
numérico constante igual a 1/36525. No siendo uniforme la escala TU0, tampoco lo será
el día medio definido en dicha escala. Formalmente, sin embargo, se puede definir un
día solar medio uniforme como el intervalo de tiempo entre los instantes en que γm dos
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
25
ASTRONOMÍA
valores tabulados consecutivos de las 0h de TU0, pero corregidos de todas sus
irregularidades, o sea, de las variaciones del meridiano y de las irregularidades de la
rotación terrestre. Tales irregularidades son muy pequeñas y, aunque deben tenerse en
cuenta en intervalos largos de tiempo, resultan despreciables en la medida de intervalos
relativamente cortos, por ejemplo, de un día, tal y como fue justificado. Por
consiguiente, al comparar la duración del día solar medio con la del día sidéreo se
prescindirá de esas irregularidades y se determinará la variación de TSm(Gr), que es
igual a la variación del ángulo horario de γm en Greenwich, durante un día solar medio.
Sea la siguiente figura.
En esta figura G1G’1 es el meridiano de Greenwich a 0h de TU0 de un día
cualquiera. En ese instante el tiempo sidéreo medio de Greenwich, representado como
Tm(Gr), que por definición es el ángulo horario en Greenwich del punto γm alcanza el
valor TSm(0h,Gr), dado exactamente por la expresión,
(
)
TS m 0 h , Gr = 6 h 38 m 45 s .836 + 8640184 s .542 ⋅ T + 0 s .0929 ⋅ T 2
donde T es el número de siglos julianos de 36525 días medios transcurridos, a 0h de
TU0, desde la época 1900 enero 0 a 12h de TU0. Al girar la Tierra en torno al eje de
rotación que pasa por el punto P1 de la figura, el ángulo horario TSm(0h,Gr) varía:
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
26
ASTRONOMÍA
(
)
d
TS m 0 h , Gr = 8640184 s .542 + 0 s .1858 ⋅ T
dT
por unidad de T, o sea, por siglo juliano de 36525 días solares medios. Tomando como
unidad de T el día solar medio se tendrá,
1
d
8640184 s .542 + 0 s .1858 ⋅ T
⋅
TS m 0 h , Gr =
= 236 s .5553605 + 0 s .000005087 ⋅ T
36525 dT
36525
(
)
donde T continúa contándose en siglos julianos. Al cabo de un día solar, de medianoche
a medianoche media de Greenwich, la Tierra se ha trasladado en su órbita al punto P2, y
el ángulo horario de γm ha descrito una circunferencia completa de 24h más un ángulo
P1MP2 igual al incremento dado por la expresión anterior del tiempo sidéreo medio a
medianoche TSm(0h,Gr) correspondiente a un incremento numérico de T de un día
(∆T=1/36525). El ángulo horario de γm en el meridiano de Greenwich G2G’2 alcanza
entonces el valor tabulado TSm(0h,Gr)2 correspondiente a las 0h de TU0 del día
siguiente. Por lo tanto, el intervalo de tiempo sidéreo medio en un día solar medio es:
(
)
∆TS m 0 h , Gr = 24 h +
(
)
1
d
⋅
TS m 0 h , Gr = 86636 s .5553605 + 0 s .000005087 ⋅ T
36525 dT
Despreciando la pequeñísima variación secular, que no llega a la cienmilésima
de segundo por siglo, la relación del día sidéreo de 86400 segundos sidéreos al día solar
medio de 86636.5553605 segundos sidéreos es:
día sidéreo medio
86400
=
= 0.997269566414
día solar medio
86636.5553605
Resulta en definitiva que los coeficientes para transformar los intervalos de
tiempo medio en sidéreo y viceversa resultan:
I m = 0.997269566414 ⋅ I s
I s = 1.002737909265 ⋅ I m
frente a los obtenidos como aproximados en el tema 4:
I m = 0.997269571 ⋅ I s
I s = 1.00273791 ⋅ I m
III.8. ACTUALIZACIONES A ESCALAS DE TIEMPO.
En las asambleas de la UAI celebradas en 1979 y en 1982 se introdujeron
algunas modificaciones y nuevas definiciones que deberían entrar en vigor a primeros
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
27
ASTRONOMÍA
de enero de 1984, coincidiendo con la fecha en que debería introducirse el catálogo de
estrellas FK5.
Una escala de tiempo no es sino un sistema definido para fijar el instante en que
tiene lugar un fenómeno. Queda definida por un instante origen y una unidad de
medida. Para poder utilizar una escala de tiempo será necesario que las sucesivas
unidades tengan la misma duración y que esta duración coincida con la de la unidad
adoptada. Será también necesario poder conocer, con la mayor precisión y la máxima
facilidad posibles, el valor asignado en esa escala a un instante determinado. Estas
condiciones definen la estabilidad, la exactitud y la accesibilidad de una escala.
Para definir las escalas de tiempo se variarán los orígenes, se utilizarán dos
nuevas fechas iniciales:
1. Época besseliana. El instante inicial es el que adoptó Newcomb, 1900 0d.5,
instante de fecha juliana, FJ, medido en años trópicos de 365.242198781
días, B1900.0=2415020.31352.
El intervalo de tiempo transcurrido desde este instante inicial hasta un
instante de fecha juliana, FJ, medido en años trópicos de 365.242198781
días, es la época besseliana correspondiente a ese instante, que se obtiene por
B1900.0 +
FJ − 2415020.31352
365.242198781
y viene medido en tiempo universal.
2. Época juliana. El origen de tiempo al que se referirá el FK5 será el 2000
enero 1.5, que es exactamente un siglo juliano después del origen utilizado
por Newcomb. A esta nueva fecha origen le corresponde la fecha juliana
J2000=2451545.0 El intervalo transcurrido desde esta fecha inicial hasta un
instante de fecha juliana, FJ, medido en siglos julianos de 36525 días será:
J 2000 +
FJ − 2451545.0
36525
Es la época juliana correspondiente a la fecha juliana FJ. Viene medido en
tiempo universal. En la nueva época, en lugar del año besseliano que se
venía utilizando anteriormente, se utilizará el año juliano de 365.25 días, y
los instantes de inicio de los distintos años vendrán separados de la fecha
inicial FJ2000 por un número exacto de años julianos.
3. Fecha juliana modificada. Con objeto de simplificar los cálculos, evitando el
manejo de siete cifras enteras en la fecha juliana, esta nueva escala cuenta
los días a partir de un origen arbitrario 2400000.5, FJM=FJ-2400000.5.
Dada la precisión que se logra actualmente en la definición y en la
determinación del tiempo atómico, es necesario tomar en consideración dos fenómenos
previstos en la teoría de la relatividad general, al tratar de definir las nuevas escalas de
tiempo atómico:
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
28
ASTRONOMÍA
1. Efecto del campo gravitatorio. Un fotón de energía, E, que se desplaza en un
campo gravitacional desde un lugar en el que el valor del potencial es V a otro lugar en
el que el potencial es V+dV, experimenta una variación en la energía dE proporcional a
la variación del potencial. Como la energía está relacionada con la frecuencia (f) y con
la constante de Planck (h) por E=h·f resultará que la marcha de un reloj atómico variará
al variar la energía. Si se representa por g el valor de la aceleración de la gravedad en un
lugar de altitud h sobre el nivel del mar, la diferencia de potencial entre ese lugar y otro
situado a una altitud h’ (siendo la diferençia h’-h lo suficientemente pequeña frente al
radio terrestre para asumir g igual) será g·(h’-h). Si se denota con t0 y t los tiempos
registrados en relojes situados en cada uno de estos lugares, se tendrá que,
g ⋅ (h'− h ) ⎞
⎛
t = t 0 ⋅ ⎜1 +
⎟
c2
⎝
⎠
A mayor altura, es decir, a menor potencial gravitatorio, un intervalo de tiempo se
dilata, en consecuencia, se produce un retardo en la marcha de un reloj cuando pasa a
una región en la que el valor del potencial gravitatorio aumenta. Esto ha obligado a
definir es segundo atómico referido a un reloj de cesio 133 funcionando al nivel del
mar. En las proximidades del nivel del mar, una variación de altitud de 1 metro da lugar
a una variación relativa de la frecuencia de la radiación del orden de 1.1·10-15.
2. Efecto del movimiento. Un reloj en movimiento registrará intervalos más
cortos que un reloj en reposo en un sistema inercial. Para velocidades v, pequeñas en
comparación con la velocidad de la luz, la relación entre los tiempos t y t0 medidos por
ambos relojes será,
⎛
v2 ⎞
⎟
⎜
t = t 0 ⋅ ⎜1 −
2 ⎟
2
c
⋅
⎠
⎝
La velocidad del movimiento de un punto de la superficie terrestre respecto a un sistema
geocéntrico es función de la distancia al eje de rotación terrestre y de la velocidad
angular de rotación de la Tierra.
III.9. NUEVA DEFINICIÓN
INTERNACIONAL.
DEL
TIEMPO
ATÓMICO
Se ha de introducir en la definición un sistema de referencia debido a los efectos
relativistas que se acaban de enunciar.
El Comité Consultivo para la Definición del Segundo (CCDS), en su reunión
celebrada en 1980, acordó sustituir la definición de tiempo atómico internacional
adoptada en 1971 por la siguiente: “El TAI es una escala de tiempo coordinado definida
en un sistema de referencia geocéntrico, tomando como unidad de escala el segundo
del SI determinado sobre el geoide en rotación, y, por consecuencia, puede extenderse,
dentro de nuestras posibilidades actuales y con una precisión suficiente, a un punto
cualquiera, fijo o móvil, en las proximidades del geoide, aplicando las correcciones de
primer orden de la relatividad general, es decir, las correcciones por las diferencias
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
29
ASTRONOMÍA
del potencial de la gravedad y las diferencias de velocidad, así como por la rotación de
la Tierra”.
III.10. ESCALAS DE TIEMPO DINÁMICO.
Dada la precisión lograda hoy día en las observaciones, la necesaria en el tiempo
es de 10-4 segundos en astrometría clásica, de 10-5 en triangulación espacial, de 10-7 en
los sistemas de comunicaciones y de navegación aérea, y de 10-9 en interferometría de
larga base. La estabilidad lograda en el tiempo de efemérides es de 10-.9 segundos,
llegando a 10-13 en el tiempo atómico. En mecánica celeste, en que las observaciones
utilizadas pueden estar separadas por muchos años, la precisión ha de ser superior a la
lograda de 10-13. Pero en cuanto a la accesibilidad las diferencias son mucho mayores,
pues mientras que en el ET es de 10-1, por intermedio del UT y después de varios años,
el tiempo atómico puede conocerse con una precisión de 10-3 segundos de una manera
inmediata a través de las señales horarias, aumentando a 10-7 en uno o dos meses.
Tal y como se ha visto, dada la precisión lograda por los relojes atómicos, es
necesario tener en cuenta los efectos previstos en la teoría de la relatividad debidos a
posibles diferencias en el potencial gravitacional y al movimiento de los relojes. Esto
llevaría a referir el TA a un punto determinado de la superficie terrestre. Con ello se
eliminaría el efecto debido a las variaciones del potencial, pero no el efecto debido al
movimiento de rotación de la Tierra. Pero estas diferencias, al reducir a geocéntrico el
tiempo atómico determinado por un reloj en cualquier punto de la superficie terrestre,
son despreciables dentro de la precisión necesaria en astronomía, lo que permitió la
introducción de la definición del TAI, en 1980, en un sistema de referencia geocéntrico.
El problema seguirá existiendo en mecánica celeste, en que se utiliza un sistema de
referencia heliocéntrico (baricéntrico).
Las nuevas escalas de tiempo dinámico fueron introducidas en la asamblea
celebrada por la UAI en 1976, en Grenoble, en su recomendación 5, que dice así:
“Escalas de tiempo para teorías dinámicas y efemérides. Se recomienda que:
a) En el instante 1977 enero 01d00m00s TAI, el valor de la nueva escala de
tiempo para efemérides geocéntricas sea 1977 enero 1d.0003725
exactamente.
b) La unidad de esta escala de tiempo será el día de 86400 segundos SI al nivel
medio del mar.
c) Las escalas de tiempo para las ecuaciones del movimiento referidas al
baricentro del sistema solar serán tales que haya sólo variaciones
periódicas entre estas escalas de tiempo y las utilizadas para efemérides
aparentes geocéntricas.
d) No se introducen saltos en el TAI.”
En la asamblea siguiente, celebrada en Montreal en 1979, se recomienda que:
“1º.- La escala de tiempo para las ecuaciones del movimiento referidas al
baricentro del sistema soalr sea designada Tiempo Dinámico Baricéntrico
(TDB)
2º.- La escala de tiempo para efemérides geocéntricas sea designada Tiempo
Dinámico Terrestre (TDT)”
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
30
ASTRONOMÍA
El valor introducido en la recomendación a) representa el desplazamiento del
TAI con respecto al tiempo de efemérides en el instante adoptado como inicial de la
nueva escala, fecha en la que se introdujo un ajuste de +10·10-13, con objeto de
restablecer la coincidencia del segundo atómico al nivel del mar con el segundo del
sistema internacional. Se suprimieron en el TAI los segundos intercalares que se venían
introduciendo, pero se mantienen en el UTC.
El TDT viene definido por la expresión:
TDT = TAI + 0 d .0003725 = TAI + 32 s.184
Retomando la relación entre TAI y UTC se puede expresar también,
TDT = UTC + ∆AT + 32 s.184
La forma de introducir este nuevo TDT permite aprovechar las ventajas de
uniformidad y fácil accesibilidad del tiempo atómico internacional (a través del UTC) y
enlazar con el tiempo de efemérides. Para cálculos correspondientes a fechas posteriores
a 1955 podrá utilizarse el nuevo TAI y para observaciones en fechas anteriores, en que
no se disponía del tiempo atómico, debe utilizarse el tiempo de efemérides como
prolongación, hacia atrás, de la nueva escala.
Para relacionar los valores del tiempo solar y el tiempo sidéreo, en
observaciones de pasos de estrellas por el meridiano, se utilizaba la expresión,
(
)
TS 0 h , Gr = 6 h 38 m 45 s .836 + 8640184 s .542 ⋅ T + 0 s .0929 ⋅ T 2
donde T representaba el tiempo expresado en siglos julianos de 36535 días medios
transcurridos desde 1900 enero 0.5 UT.
Al utilizar el nuevo catálogo FK5 varían las coordenadas de las estrellas a
utilizar en la determinación del tiempo, no sólo a causa de una mayor precisión en las
observaciones utilizadas para la determinación de las coordenadas y movimientos
propios de las estrellas y en la precesión y nutación, sino también por el hecho de haber
cambiado el equinoccio a que se refiere el nuevo catálogo. Las observaciones
efectuadas permitieron detectar la existencia de un error en la posición del equinoccio
utilizado en el catálogo FK4 (basado en determinaciones anteriores a 1930), que viene
dado por la expresión:
E = 0 s.035 + 0 s.085 ⋅
y − 1950
100
donde y representa el año de que se trate. Con objeto de mantener la continuidad en el
UT1 y, como consecuencia, en el TAI y en el TDT, será necesario reemplazar por la
siguiente la expresión anterior,
(
)
TS 0 h , Gr = 6 h 41m 50 s .54841 + 8640184 s .812866 ⋅ Tu + 0 s .093104 ⋅ Tu2 − 6 s .2 ⋅ 10 −6 ⋅ Tu3
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
31
ASTRONOMÍA
en la que Tu representa el número de días julianos de 365 días de tiempo universal
transcurrido desde el nuevo instante inicial 2000 enero 1, 12h UT1, que corresponde a
FJ 2451545.0.
En mecánica celeste se utilizan coordenadas heliocéntricas en un sistema cuyo
origen es el centro de gravedad o baricentro del Sistema Solar, lo que hace necesario
definir una escala de tiempo referida a ese mismo origen, esta escala de tiempo es la
TDB.
La diferencia entre TDB y TDT es menor de dos milésimas de segundo. En
buena aproximación, su diferencia en el día d del año viene dada por:
TDB ≈ TDT + 0 s .00166 ⋅ sen (0º.9856 ⋅ d − 3º )
En 1991 la Unión Astronómica Internacional (UAI) ha introducido nuevas escalas de
tiempo complementarias de las anteriores, en las que se propone que el TDT pase a
llamarse Tiempo Terrestre (TT).
III.11. ACCESIBILIDAD ACTUAL DEL TIEMPO.
La escala UTC es la que se difunde como señales horarias y, por lo tanto, resulta
fácilmente disponible para la mayor parte de usos civiles, de navegación y
astronómicos. Si se requiere algo más de precisión, es posible decodificar
electrónicamente una predicción de la diferencia UT1-UTC que, redondeada a la
décima de segundo, es transmitida en algunas señales horarias y se denomina DUT1. Si
se necesita disponer del TT o del TAI con mucha precisión (como ocurre en ciertas
observaciones astronómicas o geodésicas), se puede recurrir a las señales emitidas por
la flota de satélites que constituyen el Sistema de Posicionamiento Global (GPS), con
los que se obtiene una precisión instantánea mejor que el microsegundo.
El GPS trabaja con una escala propia de tiempo, el GPS Time. El origen de la
escala del tiempo GPS se ha fijado como coincidente con el UTC a las 0h del 6 de enero
de 1980 y la unidad es el segundo del TAI. Como en ese momento el TAI difería del
UTC en 19 segundos, el GPS Time es equivalente al TAI menos 19 segundos. La
diferencia entre el GPS Time y el UTC va aumentando debido a los segundos
intercalares (leap seconds) que se van añadiendo al UTC para conservar su proximidad
al UT1. En la siguiente ilustración se aprecia la relación entre estas escalas de tiempo.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
32
ASTRONOMÍA
En las tablas siguientes se indican las diferencias TDT-UT1 para el primer día
del año y las fechas en que se ha producido un salto de 1s en la diferencia TAI-UTC,
desde1983 hasta 1998.
A continuación se añade información relativa a las publicaciones y productos del
Servicio Nacional de Orientación de la Tierra estadounidense, (NEOS). Este organismo
da publicidad a los boletines del Servicio Internacional de la Rotación Terrestre (IERS).
Se incluye el boletín A del día 3 de diciembre de 1998.
Con este boletín se puede conseguir las transformaciones de tiempo necesarias a
partir del tiempo GPS o UTC medido. También se incluyen las coordenadas del polo.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
33
ASTRONOMÍA
También se incluye el boletín C donde se informa de la introducción de
segundos intercalares en el UTC.
El boletín B, que no se incluye, se pueden encontrar los valores finales de las
determinaciones del movimiento del polo, de la diferencia UT1-UTC y de la nutación,
en intervalos de cinco días. Se remite a la dirección de internet:
http://maia.usno.navy.mil para acceder a más información.
ESTADO ACTUAL DE LA MEDIDA DEL TIEMPO.
34
ASTRONOMÍA
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