d - Canek

1
Movimiento armónico simple .
E: Un cuerpo de masa m está unido al extremo de un resorte estirado una distancia d por una
fuerza F . El cuerpo es puesto en movimiento en una posición inicial x.0/ D x0 y con velocidad
inicial v.0/ D v0 . Encuentre la amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo del
movimiento resultante. Determine la posición en la forma x.t/ D A sen.wt C / y la velocidad.
a. m D 4 kg, d D 0:2 m, F D 15 N, x.0/ D 0:6 m, v.0/ D 1:5 m/s.
b. m D 4 kg, d D 0:25 m, F D 100 N, x.0/ D 0:1 m, v.0/ D
1 m/s.
D: H
a. m D 4 kg, d D 0:2 m, F D 15 N, x.0/ D 0:6 m, v.0/ D 1:5 m/s.
Cuando se aplica una fuerza F y el resorte se elonga una distancia d tenemos, por la ley
de Hooke, que F D kd , de donde k D F=d . En nuestro caso tenemos que
kD
15
N/m D 75 N/m:
0:2
De forma que la ecuación diferencial que modela la posición x.t/ de la masa es
4x 00 .t/ C 75x.t/ D 0;
que tiene la ecuación característica:
4r 2 C 75 D 0:
Las dos soluciones de esta ecuación son complejas y están dadas por:
r1 D
p
5i 3
2
&
p
5i 3
r2 D
:
2
Tenemos entonces las siguientes soluciones linealmente independientes:
x1 .t/ D cos
5p
3t
2
&
x2 .t/ D sen
5p
3t
2
:
La solución general de la ED homogénea es la combinación lineal:
5p
5p
x.t/ D c1 cos
3t C c2 sen
3t :
2
2
Derivando la posición obtenemos la velocidad:
5p
5p
5p
5p
0
x .t/ D v.t/ D
3c1 sen
3t C
3c2 cos
3t :
2
2
2
2
2. canek.azc.uam.mx: 16/ 12/ 2010
2
Usando las condiciones iniciales x.0/ D
resulta que
3
5
3
x 0 .0/ D
2
por lo que la solución del PVI es
x.0/ D
)
)
3
x.t/ D cos
5
3
3
& x 0 .0/ D
en las expresiones anteriores
5
2
3
c1 D I
5
p
p
3
5 3c2
3
D ) c2 D
:
2
2
5
p ! p
3
5 3t
C
sen
2
5
p !
5 3t
:
2
Para reescribirla en la forma x.t/ D A sen.wt C /, necesitamos utilizar la identidad
trigonométrica:
sen.a C b/ D sen a cos b C sen b cos a:
Tenemos entonces que
x.t/ D A sen.wt C / D A sen wt cos C A cos wt sen :
Identificando términos:
3
D A sen 5
Por lo cual
tan D
p
3
D A cos :
5
&
p
3
I
A2 D
12
:
25
p
p
2 3
La amplitud es A D
m. El ángulo de fase es D arctan 3 D , ya que cos > 0.
5
3
Finalmente, la posición y la velocidad de la masa están dadas por:
!
p
p
2 3
5 3
x.t/ D
sen
tC
mI
5
2
3
!
p
5 3
v.t/ D 3 cos
tC
m/s:
2
3
Por otra parte, la frecuencia natural, el periodo y la frecuencia del movimiento están dadas
por:
p
p
5 3
2
4
1
5 3
wD
rad/s;
T D
D p s & f D
D
osc/s:
2
w
T
4
5 3
b. m D 4 kg, d D 0:25 m, F D 100 N, x.0/ D 0:1 m, v.0/ D 1 m/s.
De acuerdo con la ley de Hooke tenemos que F D kd , de donde:
kD
F
100
D
N/m D 400 N/m:
d
0:25
Por lo que la ED que modela la posición x.t/ de la masa es
4x 00 .t/ C 400x.t/ D 0:
3
La ecuación característica de esta ED es
4r 2 C 400 D 0 ) r 2 C 100 D 0;
cuyas dos soluciones son r1 D
de la ecuación diferencial es
10i y r2 D 10i. De acuerdo con esto, la solución general
x.t/ D c1 cos 10t C c2 sen 10t:
Derivando la posición, obtenemos la velocidad:
x 0 .t/ D v.t/ D 10c1 sen 10t C 10c2 cos 10t:
1
& v.0/ D
10
Usando las condiciones iniciales x.0/ D
resulta que
x.0/ D
1
10
)
c1 D
x 0 .0/ D
1
)
10c2 D
1 en las expresiones anteriores,
1
I
10
1 ) c2 D
1
;
10
por lo que la solución del PVI es
1
cos 10t
10
Esta ecuación se puede reescribir como:
x.t/ D
1
sen 10t:
10
x.t/ D A sen.10t C /:
En efecto,
x.t/ D A sen.10t C / D A sen 10t cos C A cos 10t sen :
De donde tenemos:
1
D A sen 10
1
D A cos ;
10
&
por lo cual
tan D
1
&
A2 D
1
:
50
1
1
Claramente la amplitud está dada por A D p D p . Por otra parte, ya que cos < 0,
50
5 2
se tiene que
3
D arctan. 1/ C D
C D
:
4
4
Finalmente, la posición y la velocidad de la masa están dadas por:
p
1
3
3
x.t/ D p sen 10t C
m & v.t/ D 2 cos 10t C
m/s:
4
4
5 2
De forma que la amplitud, la frecuencia angular, el periodo y la frecuencia del movimiento
están dadas por:
1
A D p m,
5 2
w D 10 rad/s,
T D
2
D s
w
5
&
f D
1
5
D
Hz.
T