Cónicas en forma Polar

Cónicas en forma Polar
1.-La Luna es el satélite natural de la Tierra y tiene una órbita elíptica con el centro de la
Tierra en uno de sus focos. Esta órbita tiene los siguientes datos: a= 384400 km,
e=0.05. Tomando como radio de la Tierra R= 6370 km y como radio de la Luna 1738
km.
a) Hallar una ecuación polar de la órbita de la Luna.
b) Hallar la distancia más lejana de la superficie de la Tierra a la superficie de la Luna
y la distancia para  = /2.
2.- Europa es el menor de los satélites galileanos de Júpiter y tiene una órbita elíptica con
el centro de Júpiter en uno de sus focos.
Esta órbita tiene los siguientes datos: apoastro= 676938 km, periastro=664862 km.
Tomando como radio de Júpiter R= 71492 km
a) Hallar una ecuación polar y la distancia de la superficie de Júpiter a la superficie
Europa para  = /2.
b) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita de Europa.
3.- Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos.
a) Hallar la ecuación polar de la órbita de Marte sabiendo que tiene por excentricidad
e = 0,0934 y que el semieje mayor es a = 227,94 x 106 km.
b) Hallar la distancia más lejana de Marte al Sol (afelio) y la distancia para  = /6.
c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita.
4.- Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos.
a) Hallar la ecuación polar de la órbita de Júpiter sabiendo que tiene por excentricidad
e = 0,0483 y que el semieje mayor es a = 778,33 x 106 km.
b) Hallar la distancia más cercana de Júpiter al Sol (perihelio) y la distancia para
 = - /9.
c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita.
5.- El 28 de noviembre de 1963, EE.UU. lanzó el Explorer 18. Sus puntos más alto y más
bajo sobre la superficie de la Tierra fueron 119 millas y 122000 millas. El centro de la
Tierra es el foco de la órbita.
a) Hallar la ecuación en polares de la órbita del satélite.
b) Hallar la ecuación polar de las directrices de la órbita.
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1
Cónicas en forma Polar
c) Calcular la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando   60  .
(Suponer que el radio de la Tierra es 4000 millas y que el foco mencionado es el
izquierdo).
6.- El cometa Halley describe una órbita elíptica de excentricidad e  0.97. la longitud del
eje mayor de la órbita es, aproximadamente, 36.18 unidades astronómicas (una u.a.,
distancia media entre la Tierra y el Sol, es  93 millones de millas). a) Hallar una
ecuación en polares para la órbita b) ¿Cuánto se acerca el cometa Halley al Sol? ¿y la
distancia mayor (afelio)? c) Si su periodo es de 76 años ¿cuánto tiempo invierte desde el
perihelio (=0 hasta = /2). d) Hallar la ecuación polar de sus directrices.
x2 y 2

 1 , hallar la ecuación polar de su rama
16 9
derecha suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje
de abscisas y que el polo está:
a) en el foco derecho de la hipérbola.
b) en el foco izquierdo de la hipérbola.
En el caso a), hallar la ecuación polar de sus directrices y asíntotas.
7.- Dada la ecuación de la hipérbola
8.- Dada la parábola de ecuación y2 = 6 x, hallar su ecuación polar suponiendo que la
dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo
está en el foco de la parábola.
21
determina una elipse y hallar los semiejes y
5  2 cos
las ecuaciones polares de sus directrices.
9.- Verificar que la ecuación r 
16
determina la rama derecha de una hipérbola
3  5 cos
y hallar las ecuaciones polares de sus directrices y asíntotas.
10.- Verificar que la ecuación r 
1
tiene un foco F en el origen (polo) y su directriz
4
correspondiente tiene de ecuación polar r cos = 8. Sabiendo que el eje polar es OX+, se
pide:
a) Hallar las coordenadas del otro foco F’.
b) La ecuación polar de la elipse
c) Dibujar la elipse
11.- Una elipse de excentricidad e 
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2
Cónicas en forma Polar
12.- La Luna describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra tal que el centro de la
Tierra es uno de sus focos. La longitud del eje mayor de dicha órbita es 768.806 km y la
del menor 767.746 km. Se pide:
a) Hallar su excentricidad y las distancias del centro de la Tierra al perigeo y al
apogeo.
b) Suponiendo que el centro de la Tierra se encuentra en el foco derecho de la elipse y
el eje polar es la semirrecta con origen en dicho foco y dirección opuesta al otro
foco, hallar la ecuación polar de la órbita y de sus directrices.
13.-Los planetas describen órbitas elípticas con el sol en uno de sus focos.
a) Hallar la ecuación polar de la órbita de Saturno sabiendo que el semieje mayor de la
órbita es a = 1.427 109 millas y la excentricidad es e = 0.0543.
b) Hallar la distancia más cercana de Saturno al Sol (perihelio) y la distancia para  =
/4.
c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita.
14.-El asteroide Apolo describe una órbita aproximada de
del sol. Se pide:
a) La excentricidad.
b) La distancia para  = /4.
c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita.
d) Sabiendo que tarda 79 días en desplazarse desde   
r

2
9
9  5cos 
hasta  
alrededor

2
, calcular el
período del asteroide.
x 2 y2

 1 que tiene
a 2 b2
de excentricidad e = 2 y una de sus directrices es la recta x = 1, tomando el polo en su foco
izquierdo y la dirección del eje polar la de OX  .
x 2 y2
b) Hallar la ecuación polar de la rama derecha de la hipérbola 2  2  1 que tiene
b
a
de excentricidad e = 2 y una de sus directrices es la recta x = 1, tomando el polo en su foco
izquierdo y la dirección del eje polar la de OX  .
c) Halla la ecuación polar de sus asíntotas.
15.- a) Hallar la ecuación polar de la rama izquierda de la hipérbola
x2 y2

 1, hallar su ecuación polar suponiendo que la
25 16
dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo
está:
16.- Dada la elipse de ecuación
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3
Cónicas en forma Polar
a) En el foco derecho de la elipse.
b) En el foco izquierdo de la elipse.
17.- Verificar que la ecuación  
144
determina una elipse y hallar sus semiejes.
13  5 cos
18.- Verificar que la ecuación  
18
determina la rama derecha de una hipérbola
4  5 cos
y hallar sus semiejes.
p
los puntos:
1 - cos
a) cuyos radios polares sean mínimos.
b) cuyos radios polares sean iguales al parámetro de la parábola.
19.- Hallar en la parábola  =
x2 y2

 1, hallar su ecuación polar, suponiendo que
a 2 b2
la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo
está en el centro de la hipérbola.
20.- Dada la hipérbola de ecuación
x2 y2

 1, hallar su ecuación polar, suponiendo que la
a 2 b2
dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo
está en el centro de la elipse.
21.- Dada la elipse de ecuación
22.- Dada la parábola de ecuación y 2  2 px , hallar su ecuación polar, suponiendo que la
dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo
está en el vértice de la parábola.
23.- Hallar la ecuación en polares de la circunferencia de radio “a” y centro en el punto C
de coordenadas polares C = (b,  ), suponiendo “b” positivo. ¿Cómo queda la ecuación si
la circunferencia pasa por el origen? ¿Y si además el centro está sobre el eje de abscisas?
¿y sobre el de ordenadas?
24.- Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos, como muestra
la figura
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a) Hallar la ecuación polar de Venus siendo a = 6.693·x 107 millas;
e = 0,0068.
b) Hallar la distancia al Sol para el afelio y para  = 10/9.
c) Hallar las áreas barridas por un rayo trazado desde el Sol hasta el planeta
mientras  crece desde 0 hasta /9 y desde =  hasta +/9.
d) Aplicar la segunda Ley de Kepler para estimar, respectivamente, el tiempo que
Venus tarda en recorrer los dos arcos anteriores (período de traslación  225 días)
x2
y2
25.- Dada la hipérbola de ecuación

 1 hallar la ecuación polar de su rama
169 100
derecha suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje
de abscisas y que el polo está:
i) en el foco izquierdo de la hipérbola.
ii) en el centro de la hipérbola.
En el caso i), hallar la ecuación polar de sus directrices y asíntotas.
26.- a) Hallar la ecuación polar de la órbita elíptica que describe el planeta Tierra
alrededor del sol, sabiendo que: a = 92, 957 x 106 millas; e = 0,0167.
b) Hallar la ecuación polar de sus directrices.
c) Hallar las distancias del afelio (punto más alejado) y perihelio (punto más cercano).
27.- a) Hallar una ecuación polar de la órbita de Urano sabiendo que :
a = 287.1 x 107 km; e = 0.0461.
b) Calcular la distancia al Sol para el afelio y para  = /6.
28.- Se conoce la excentricidad de la órbita de un cometa e = 0.54769 así como la distancia
del cometa al sol en el perihelio q = 1.874519 UA.
a) Hallar una ecuación en polares de la órbita del cometa.
b) Para dicha ecuación, hallar de manera aproximada la distancia del cometa al
sol cuando  = /4.
c) Hallar también una ecuación en cartesianas de la órbita.
29.- Se conoce la medida del semieje mayor de la órbita de un cometa a = 4.14432358 UA,
así como la distancia del cometa al sol en el perihelio q = 1.874519 UA.
a) Hallar la excentricidad de la órbita del cometa.
b) Hallar una ecuación en polares de la órbita del cometa.
c) Para dicha ecuación, hallar de manera aproximada la distancia del cometa al sol
cuando  = /2.
d) Calcular la distancia del cometa al sol en el afelio.
e) Hallar también una ecuación en cartesianas de la órbita
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Cónicas en forma Polar
Ejercicios propuestos
1) Determinar las cónicas que se dan en coordenadas polares mediante las ecuaciones
siguientes:
5
10
6
a) r 
b) r 
c) r 
1
3
1  cos 
1  cos 
1  cos 
2
2
12
5
1
d) r 
e) r 
f) r 
2  cos 
3  4 cos 
3  3 cos 
2
2
y
x
2) Dada la ecuación de la hipérbola

 1 , hallar la ecuación polar de su rama
25 144
izquierda, suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje
de abscisas y que el polo está:
a) en el foco izquierdo de la hipérbola;
b) en el foco derecho.
12
los puntos cuyos radios polares son iguales a 6.
3) Hallar en la elipse r 
3  2 cos 
15
4) Hallar en la hipérbola  
los puntos cuyos radios polares son iguales a 3.
3  4cos 
p
5) Hallar en la parábola r =
los puntos:
1 - cos
a) cuyos radios polares sean mínimos.
b) cuyos radios polares sean iguales al parámetro de la parábola.
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1.-La Luna es el satélite natural de la Tierra y tiene una órbita elíptica con el centro de la
Tierra en uno de sus focos. Esta órbita tiene los siguientes datos: a= 384400 km,
e=0.05. Tomando como radio de la Tierra R= 6370 km y como radio de la Luna 1738
km.
a) Hallar una ecuación polar de la órbita de la Luna.
b) Hallar la distancia más lejana de la superficie de la Tierra a la superficie de la Luna y
la distancia para  = /2.
Solución
a) a= 384400km, c=a·e=19220km, b2 = a2-c2 = 147393951600, p= b2/a= 383439 km
383439
1 0.05
b) La distancia más lejana es el punto apogeo y hemos de tener en cuenta los radios, luego,
d1= a+c-RT-RL= 395512 km
La distancia para  = /2 es d2=
.
/
-6370-1738= 375331 km (obsérvese que se
trata de la longitud del parámetro p menos los radios de los astros)
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2.- Europa es el menor de los satélites galileanos de Júpiter y tiene una órbita elíptica con
el centro de Júpiter en uno de sus focos.
Esta órbita tiene los siguientes datos: apoastro= 676938 km, periastro=664862 km.
Tomando como radio de Júpiter R= 71492 km
a) Hallar una ecuación polar y la distancia de la superficie de Júpiter a la superficie
Europa para  = /2.
b) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita de Europa.
Solución
a) dap= 676938km = a + c, dpe = 664862 km = a - c,
dap + dpe = 2a = 676938 + 664862 = 1341800, dap-dpe = 2c = 676938 – 664862=12076
Operando obtenemos a = 670900 km, c = 6038 km, b2 = a2-c2 = 450070352556,
p= b2/a= 670845,6588·km, e = c / a =0,009
670845,6588 1 0.09
La distancia de la superficie de Júpiter a la superficie Europa para  = /2 es:
670845,6588 71492 599353,6587
1 0.09
/2
(obsérvese que se trata de la longitud del parámetro p menos el radio de Júpiter)
b) La ecuación cartesiana de la órbita de Europa con centro en el centro de la elipse y
dirección del eje de abscisas la del eje polar es
1 
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1
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3.- Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos.
a) Hallar la ecuación polar de la órbita de Marte sabiendo que tiene por excentricidad
e = 0,0934 y que el semieje mayor es a = 227,94 x 106 km.
b) Hallar la distancia más lejana de Marte al Sol (afelio) y la distancia para  = /6.
c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita.
Solución
a) Ecuación polar de la órbita de Marte
b2
p
, con p 
.
1  e cos 
a
c
b 2 a 2  c 2 515.03  1014


e   c  e  a  212.89  10 5  p 
 225.95  10 6
6
a
a
a
227.94  10
r
r
p
225.95  10 6

1  e cos  1  0.0934 cos 
b) Distancia más lejana al sol (afelio):
r
225.95 106
 249.23  106 km
1  0.0934 cos 0
Distancia para  
r
225.95 106

1  0.0934 cos
6

:
6
 245.84  106 km
c) Ecuación cartesiana de la órbita:
x2
y2
x2
y2

1

1
519.57 1014 515.03 1014
(227.94 106 ) 2 (226.94 106 )2
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Cónicas en forma Polar
4.- Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos.
a) Hallar la ecuación polar de la órbita de Júpiter sabiendo que tiene por excentricidad
e = 0,0483 y que el semieje mayor es a = 778,33 x 106 km.
b) Hallar la distancia más cercana de Júpiter al Sol (perihelio) y la distancia para
 = - /9.
c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita.
Solución
a) Ecuación polar de la órbita de Júpiter
b2
p
, con p 
.
1  e cos 
a
c
b 2 a 2  c 2 604.38  1015


e   c  e  a  3.76  10 7  p 
 7.7651  10 6
6
a
a
a
778.33  10
p
7.7651  10 6
r

1  e cos  1  0.0483 cos 
r
b) Distancia más cercana al sol (perihelio):
7.7651106
r
 740.73  106 km
1  0.0483cos 

Distancia para    :
9
6
7.765110
r
 813.43  106 km
 
1  0.0483cos   
 9
c) Ecuación cartesiana de la órbita:
x2
y2
x2
y2

1


1

605.80 1015 604.38 1015
(778.33 106 ) 2 (777.42 106 ) 2
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5.- El 28 de noviembre de 1963, EE.UU. lanzó el Explorer 18. Sus puntos más alto y
más bajo sobre la superficie de la Tierra fueron 119 millas y 122000 millas. El centro
de la Tierra es el foco de la órbita. a) Hallar la ecuación en polares de la órbita del
satélite.
b) Hallar la ecuación polar de las directrices de la órbita.
c) Calcular la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando   60  .
(Suponer que el radio de la Tierra es 4000 millas y que el foco mencionado es el
izquierdo).
Solución
60º
a) Ecuación polar de la órbita del satélite:
2 a = 119 + 122000 + 2 4000 = 130119  a = 65059.5 millas
c = a – 119 – 4000 = 60940.5, e = c/a = 0.94
p = b2/a =
(a 2  c 2 )
= 518994000/a = 7977.22
a
La ecuación de la órbita es:
r
7977.22
p
=
1 - 0.94 cos
1  e cos
b) La ecuación polar de la directriz asociada al foco que coincide con el origen de la referencia
polar es:
a2
dir1  x '  d  (  c)  8516.405346  r cos   8516.405346
c
 8516.405346
r
cos 
La ecuación polar de la directriz asociada al foco que no coincide con el origen de la referencia
polar es:
a2
dir 2  x '  c 
 1.303974053  10 5  r cos   1.303974053  10 5 
c
1.303974053  10 5
r
cos 
c) Distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando   60  :
7977.22
 4000 = 11051.36 millas

1 - 0.94 cos
3
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11
Cónicas en forma Polar
6.- El cometa Halley describe una órbita elíptica de excentricidad e  0.97. la longitud del
eje mayor de la órbita es, aproximadamente, 36.18 unidades astronómicas (una u.a.,
distancia media entre la Tierra y el Sol, es  93 millones de millas). a) Hallar una
ecuación en polares para la órbita b) ¿Cuánto se acerca el cometa Halley al Sol? ¿y la
distancia mayor (afelio)? c) Si su periodo es de 76 años ¿cuánto tiempo invierte desde el
perihelio (=0 hasta = /2). d) Hallar la ecuación polar de sus directrices.
Solución:
a)
c
e  0.97  , 2a  36.18 u.a.  a = 18.09 u.a.
a
F C
Tomamos una referencia polar de tipo1 y la ecuación de la cónica
sería de la forma:
d
p
ed
c
r

1  e cos 1  e cos
a2
c
a2
d
 c ; c = a . e = 17.5473  d = 1.1022 
c
1.0691
p = d . e =1.0691189. Luego, una ecuación en polares para la órbita es: r 
1  0.97 cos
b) La distancia mínima entre el cometa Halley y el Sol es el valor de “r” mínimo, que se
obtiene cuando el denominador 1  0.97 cos es máximo, es decir, para cos  1 :
r
1.0691
 0.5427 u.a.
1  0.97
Distancia del Afelio (millas). α= 0
1.0691
 35.6367 u.a.
1 - 0.97 cos0
c) Aplicamos la segunda Ley de Kepler: Las áreas barridas por los radio vectores son
proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.

2
0


0
2
2 1 
1 2
1.0691 
r d  

 d = 249. 92
0
2
2  1  0.97 cos 
2
2
 1
1 2
 1.0691 
r d   2 
 d = 0.39
0
2
2  1  0.97 cos 
76
 0.39  0,12 años  1,4 meses .
249.92
d) La ecuación polar de la directriz asociada al foco que coincide con el origen de la referencia
polar es:
 1.1022
a2
dir1  x '  d  (  c)  1.1022  r cos   1.1022  r  
cos 
c
La ecuación polar de la directriz asociada al foco que no coincide con el origen de la referencia
polar es:
36.19678453
a2
dir 2  x '  c 
 36.19678453  r cos   36.19678453  r 
cos 
c
Luego t =
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12
Cónicas en forma Polar
x2 y 2
7.- Dada la ecuación de la hipérbola

 1 , hallar la ecuación polar de su rama
16 9
derecha suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del
eje de abscisas y que el polo está:
a) en el foco derecho de la hipérbola.
b) en el foco izquierdo de la hipérbola.
En el caso a), hallar la ecuación polar de sus directrices y asíntotas.
Solución:
x2 y2

 1  a = 4, b = 3  c 2  a 2  b 2  16  9  25  c = 5 .
16
9
c 5
b2 9
b2 9
Por tanto, e   , p =
 , d=
 .
a 4
a
c
4
5
a)
9 16

.
5 5
p
La ecuación, en este caso, es: r 

1  e cos
9
9
4

.
5
1  4 cos 4  5 cos
La directriz es la recta x  c  d  5 
b)
16
a2
.
La directriz es la recta x   c  d  

5
c
La ecuación que se debe emplear ahora es:
94
9
p

.
r

1  e cos 1  5 4 cos 4  5 cos
Directrices en el caso a):
9
a
9
9
dir  x` (c  )    r cos     r  
5cos 
c
5
5
2
41
a
41
41
dir` x` (c  )    r cos     r  
5cos 
c
5
5
Asíntotas en el caso a):
Son rectas que pasan por O(0,0) en la referencia x y ó bien O(-c, 0) = (-5, 0) en la x`y`, y tienen
b
3
3
de pendiente    , luego su ecuación es: y`0   x `5 .
a
4
4
Pasando a polares:
 15 / 4
3
15 / 4
, r
rsen   r cos   5  r 
3
3
4
sen  cos 
sen  cos 
4
4
2
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13
Cónicas en forma Polar
8.- Dada la parábola de ecuación y2 = 6 x, hallar su ecuación polar suponiendo que la
dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo
está en el foco de la parábola.
Solución:
y 2  6x  2 px  p  3 ; e = 1 .
La ecuación adecuada es:
3
p
.
r

1  e cos 1 cos
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14
Cónicas en forma Polar
21
determina una elipse y hallar los semiejes y
5  2 cos
las ecuaciones polares de sus directrices.
9.- Verificar que la ecuación r 
Solución:
21
21
21
2
5
r

p =
, e=
5  2 cos 1  2 cos
5
5
5
Por ser e < 1, se trata efectivamente de una elipse; y, por la forma de la ecuación, un foco está
en el polo, la directriz no corta al eje polar y la cónica y el foco están en el mismo semiplano
respecto de la directriz.
21
p
5  21 .
y
d
p

de

d


y`
2
e 2
2
a /c
5
p
x` a  p  5 , b =
F
 21 .
2
1 e
x
1  e2
c 2  a 2  b 2  25  21  4  c  2 .
d2
d1
c
La directriz d1 tiene de ecuación:
21
21
21
x` d    r cos     d1  r  
2 cos 
2
2
La otra directriz d2 tiene de ecuación:
29
a2
25 29
29
x` c   2 

 r cos =
 d2  r 
2 cos
c
2
2
2
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15
Cónicas en forma Polar
16
determina la rama derecha de una hipérbola
3  5 cos
y hallar las ecuaciones polares de sus directrices y asíntotas.
10.- Verificar que la ecuación r 
Solución:
16
5
16
16
3
r

p , e= .
3
3  5 cos 1  5 3 cos
3
Por ser e > 1, se trata de una rama de una hipérbola.
A la vista de la ecuación, la cónica y el foco están del
mismo lado respecto de la directriz y el eje polar no
corta a dicha recta, luego, la situación es la siguiente:
Así pues, se trata de la rama derecha de una hipérbola.
p 16
p
p
d 
, a 2
3, b= 2
4 .
e 5
e 1
e 1
c 2  a 2  b 2  25  c  5 .
Las ecuaciones polares de las directrices se hallan de forma análoga a como se hizo en el
problema anterior, obteniéndose:
16
34
d1  r  
, d2  r  
.
y`
y
5 cos
5 cos
d
Las ecuaciones de las asíntotas respecto al sistema de
a2/c
x referencia x , y (de origen el centro de la cónica, y de
F
b
x`
ejes los de la cónica) son: y   x .
c
a
x` x  5
d2
d1
Los nuevos ejes son ahora: 
 y` y
Respecto a estos nuevos ejes, las ecuaciones cartesianas de las asíntotas son, por tanto:
4
y`  ( x `5) .
3
Por consiguiente, las ecuaciones polares de estas rectas son:
4
r sen =  (r cos  5) ; es decir, operando para cada uno de los signos se obtiene:
3
20
- 20
r=
, r=
3 sen - 4 cos
4 cos  3 sen
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16
Cónicas en forma Polar
11.- Una elipse de excentricidad e 
1
tiene un foco F en el origen (polo) y su directriz
4
correspondiente tiene de ecuación polar r cos = 8. Sabiendo que el eje polar es OX+, se
pide:
a) Hallar las coordenadas del otro foco F’.
b) La ecuación polar de la elipse
c) Dibujar la elipse
Solución:
y
De la ecuación de la directriz:
a /c
8
r
 x ` 8

cos
F
F`
x
x` se deduce que la directriz está a la derecha del
c
foco F (polo); por tanto, el eje polar corta a la
dir
directriz y la cónica y el foco están en el mismo
dir`
semiplano (izquierdo) respecto de la misma.
p
Debe usarse una ecuación del tipo 3: r 
1  e cos
a) Las coordenadas polares del otro foco serán: F`(r = 2c,    ). Hallemos c:
y`
2
a2
16c 2
8
1 c
c 
 c  15c  c  .
  a  4c , luego 8 
c
c
15
4 a
8 16
Por tanto: F`( r = 2 
,    ).
15 15
e
2
p
2
b 2 a 2  c2  4c   c 15 8

b) p 



2 r 
1
1  e cos
a
a
4c
4 15
1  cos 
4
c)
2
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17
Cónicas en forma Polar
12.- La Luna describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra tal que el centro de la
Tierra es uno de sus focos. La longitud del eje mayor de dicha órbita es 768.806 km y la
del menor 767.746 km. Se pide:
a) Hallar su excentricidad y las distancias del centro de la Tierra al perigeo y al apogeo.
b) Suponiendo que el centro de la Tierra se encuentra en el foco derecho de la elipse y el
eje polar es la semirrecta con origen en dicho foco y dirección opuesta al otro foco, hallar
la ecuación polar de la órbita y de sus directrices.
Solución:
a) Por ser una órbita elíptica la excentricidad es e 
2b=767746
km,
luego
a=384403
km,
c
, los datos nos dicen que 2a=768806 km,
a
b=383873
km,
en
consecuencia,
c  a 2  b 2  20178,857 km. Por lo tanto:
e=0,052; perigeo=a-c= 364224,1427 km;
apogeo=a+c=404581,8572 km.
b)
La ecuación polar de la elipse correspondiente al sistema
F
 a2

   c 
 c

b2
p
donde p 
a
1  e cos 
383343,7307
=383343,7307, luego r 
1  0,052 cos 
de referencia descrito es r 
d
Las ecuaciones de las directrices en el sistema cartesiano asociado al polar dado son:
d
p / e 7302617,699


x=-d rcos=d  r 
cos  cos 
cos 
 a2

 a2

7342975,414
x=    c  rcos=    c  = 7342975,414  r 
cos 
 c

 c

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18
Cónicas en forma Polar
13.-Los planetas describen órbitas elípticas con el sol en uno de sus focos.
a) Hallar la ecuación polar de la órbita de Saturno sabiendo que el semieje mayor de la
órbita es a = 1.427 109 millas y la excentricidad es e = 0.0543.
b) Hallar la distancia más cercana de Saturno al Sol (perihelio) y la distancia para  =
/4.
c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita.
Solución:
a) Ecuación polar de la órbita de Saturno
b2
p
, con p 
.
r
a
1  e cos 
c
b 2 a 2  c 2 2.03 1018
9
e   c  e  a  0.077 10  p 


 1.423 109
9
1.427  10
a
a
a
r
p
1.423 109

1  e cos  1  0.0543cos 
b) Distancia más cercana al sol (perihelio):
7.7651 10 6
 740.73  10 6 millas
1  0.0483 cos 

Distancia para    :
9
9
1.423  10
9
r
 1.480  10 millas
 
1  0.0543cos  
4
r
c) Ecuación cartesiana de la órbita:
x2
y2
x2
y2

1


1

2.036 1018 2.030  1018
(1.427 109 ) 2 1.425 109 2
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19
Cónicas en forma Polar
14.-El asteroide Apolo describe una órbita aproximada de
del sol. Se pide:
a) La excentricidad.
b) La distancia para  = /4.
c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita.
d) Sabiendo que tarda 79 días en desplazarse desde   
r

2
9
9  5cos 
hasta  
alrededor

2
, calcular el
período del asteroide.
Solución:
a) Excentricidad
r
5
9
1
p


 e
9
9  5cos  1  5 cos  1  e cos 
9
b) Distancia
r
9

9  5cos 
9

9  5cos  
4

9
95
2
2

162  45 2
137
c)
b 2 a 2  c2
p
, con p 

 1.
r
a
a
1  e cos 
2
5 
a2    a 
2
2
2
c 5
5
b
a c
 9   1  a  81
e    c  a  p 


a 9
9
a
a
a
56
2
2
81
 81   45 
b2  a 2  c2       
 56   56  56
Ecuación cartesiana de la órbita:
x2
y2
x 2 y2

1


1

6561 81
a 2 b2
3136 56

d) A 
 
 2 , 2 


Área de la elipse =  a b =
79
x
2
1 
9

2
  2 
 d  0.904292 u
2  2  9  5 cos 
729 14 
 5.465065 u 2
1568
0.904292
5.465065
x = 477.4344 días
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20
Cónicas en forma Polar
x 2 y2
15.- a) Hallar la ecuación polar de la rama izquierda de la hipérbola 2  2  1 que
b
a
tiene de excentricidad e = 2 y una de sus directrices es la recta x = 1, tomando el polo en
su foco izquierdo y la dirección del eje polar la de OX  .
b) Hallar la ecuación polar de la rama derecha de la hipérbola
x 2 y2

 1 que
a 2 b2
tiene de excentricidad e = 2 y una de sus directrices es la recta x = 1, tomando el polo en
su foco izquierdo y la dirección del eje polar la de OX  .
c) Halla la ecuación polar de sus asíntotas.
Solución:
c
a
a
a2
x 1
c
e2
c
c2 1
2 
c  4 a  2;
 1
4 c


b2
b  c  a  12  p 
6
a
2
2
2
a) Se trata de una ecuación polar de tipo 3, luego: r 
p
6

.
1  e cos  1  2 cos 
b) Se trata de una ecuación polar de tipo 4, luego: r 
p
6

.
1  e cos  1  2 cos 
c) Las asíntotas son rectas que pasan por el punto (x’, y’) =(c, 0) y tienen de pendiente

b
  3 , siendo x’, y’ el sistema de referencia cartesiano con origen en el foco izquierdo
a
de la cónica. Su ecuación es:
y ' 0   3  x ' 4   rsen   3  r cos   4   r 
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4 3
sen  3 cos 
21
Cónicas en forma Polar
x2 y2
16.- Dada la elipse de ecuación

 1, hallar su ecuación polar suponiendo que la
25 16
dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo
está:
a) En el foco derecho de la elipse.
b) En el foco izquierdo de la elipse.
Solución
x2 y2

 1  a  5, b = 4  c 2  a 2  b 2  25  16  9  c  3 .
25 16
c 3
b 2 16
b 2 16
.
Por tanto, e   , p =

, d=

a 5
a
5
c
3
a)
x=25/3 La directriz es la recta:
16
25
x d c
 3
.
3
3
F
Por las condiciones del problema, la ecuación a
(0,0)
3 5
16
p
5
=
emplear es:  

1  e cos
1  3 cos
5
16

.
5  3 cos
b)
La directriz es la recta:
x=-25/3
16
25
x  d  c    3  
.
3
3
F
En este caso, la ecuación adecuada es:
(0,0)
-5 -3
16
p
16
5




1  e cos 1  3 cos
5  3 cos
5
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22
Cónicas en forma Polar
17.- Verificar que la ecuación  
144
determina una elipse y hallar sus semiejes.
13  5 cos
Solución
144
144
p
144
5
13
.



p
, e=
13  5 cos 1  5 cos 1  e cos 
13
13
13
Al ser e < 1 , se trata de una elipse.
b 2 a 2  c 2 144
p


, con p 
.
r
1  e cos 
a
a
13
2
5 
a2    a 
2
2
2
c 5
5
b
a c
 13   144  a  13
e    c  a  p 


a 13
13
a
a
a
13
b 2  a 2  c 2  132  52  12 2  b  12
O bien, sus semiejes son:
144
p
13  169  13
a
2 
1 e
1  25 69 13
b
p
1 e2
144

12
13
13

144
 12
12
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23
Cónicas en forma Polar
18.- Verificar que la ecuación  
18
determina la rama derecha de una hipérbola
4  5 cos
y hallar sus semiejes.
Solución
9
18
9
5
18
2
4



p , e= .
5
5
2
4
4  5 cos 1 
4 cos 1  4 cos
Por ser e > 1, se trata de la rama de una hipérbola.
F
(0,0)
A la vista de la ecuación dada, es una cónica tal que
ella y el foco se encuentran en el mismo semiplano
respecto de la directriz, y el eje polar no corta a
dicha directriz; se trata por tanto, de la rama derecha
de la hipérbola.
9
18
p
d  2
,
5
5
e
4
b2 c2  a 2 9
p

 .
, con p 
r
a
a
2
1  e cos 
2
5 
 a   a2

2
2
2
c 5
5
b
c a
9
4 
e    c  a  p 


  a 8
a 4
4
a
a
a
2
b 2  c 2  a 2  10 2  82  62  b  6
9
p
p
2  16  8 , b 
O bien, los semiejes son: a  2


e  1 25  1 2
e2  1
16
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9
3
26
4
24
Cónicas en forma Polar
p
los puntos:
1 - cos
a) cuyos radios polares sean mínimos.
b) cuyos radios polares sean iguales al parámetro de la parábola.
19.- Hallar en la parábola  =
Solución
p
será mínimo cuando 1 - cos sea máximo, es decir, para cos  1,
1 - cos
p
y, por tanto, para    . Para este ángulo, es  = .
2
p 
Así pues, el punto pedido es :  ,   .
2 
a)  =




p
2
b) Ha de ser:  =
 p  1 - cos  1  cos  0  
.
1 - cos
   

2

 

Por tanto, los puntos buscados son  p,  y  p,   .
2
 2

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25
Cónicas en forma Polar
x2 y2
20.- Dada la hipérbola de ecuación 2  2  1 , hallar su ecuación polar, suponiendo que
b
a
la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el
polo está en el centro de la hipérbola.
Solución
x=a2/c

c
a
O
a
Sea P un punto genérico de la hipérbola, P  ( ,  ) en
coordenadas polares, ó bien P  (  cos  ,  sen  ) en
cartesianas.
Aplicando la definición de cónica, ha de ser:
(  cos   c ) 2  2 sen 2 
e
.
a2
 cos  
c
P
F x
c
Vamos a operar en esta expresión con el fin de simplificarla:
a2 2
[ e (  cos   )]  (  cos   c ) 2  2 sen 2  .
c
Efectuando los cuadrados, sustituyendo e por c/a y agrupando, se obtiene:
b2
a 2 (c 2  a 2 )
a 2 b2
b2
2
2  2






.
c cos2   a 2 c 2 cos2   a 2
c 2 2 cos2   1
1  e 2 cos2 
a
La ecuación polar de la hipérbola es, por tanto:
b2
 
.
1  e 2 cos2 
2
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26
Cónicas en forma Polar
x2 y2
21.- Dada la elipse de ecuación 2  2  1, hallar su ecuación polar, suponiendo que la
b
a
dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo
está en el centro de la elipse.
Solución
y
y`
a2/c
F
F`
x
x`
c
dir`
Sea P un punto genérico de la elipse, P  ( ,  )
en coordenadas polares, ó bien
P  (  cos  ,  sen  ) en cartesianas.
Aplicando la definición de cónica, ha de ser:
(  cos   c ) 2  2 sen 2 
e
.
a2
 cos  
c
dir
Vamos a operar en esta expresión con el fin de simplificarla:
a2 2
[ e (  cos   )]  (  cos   c ) 2  2 sen 2  .
c
Efectuando los cuadrados, sustituyendo e por c/a y agrupando, se obtiene:
a 2 (c2  a 2 )
a 2 b 2
b 2
b2
2
2
  2

  2

.
c 2 cos 2   1 1  e2 cos 2 
c cos 2   a 2 c2 cos 2   a 2
a
La ecuación polar de la elipse es, por tanto:
b2
 
.
1  e 2 cos 2 
2
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27
Cónicas en forma Polar
22.- Dada la parábola de ecuación y 2  2 px , hallar su ecuación polar, suponiendo que la
dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo
está en el vértice de la parábola.
Solución
Sea P un punto genérico de la parábola, P  ( ,  ) en coordenadas polares, ó bien
P  (  cos  ,  sen  ) en cartesianas.
Aplicando la definición de cónica, ha de ser:
2
p

2
2
  cos      sen 
2

e
1 .
p
 cos  
2
Vamos a operar en esta expresión con el fin de simplificarla:
2
2
p
p


2
2
  cos      sen     cos    .
2
2


Efectuando los cuadrados, se obtiene:
2 cos   2 sen 2 
La ecuación polar de la parábola es, por tanto:

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2 p cos 
.
sen 2 
28
Cónicas en forma Polar
23.- Hallar la ecuación en polares de la circunferencia de radio “a” y centro en el punto C
de coordenadas polares C = (b,  ), suponiendo “b” positivo. ¿Cómo queda la ecuación si
la circunferencia pasa por el origen? ¿Y si además el centro está sobre el eje de abscisas?
¿y sobre el de ordenadas?
Solución
P
P
a
A
C
P
α
r
b
θ
2
r
α
α
O
O
Figura 1
Figura 2
Sea P = (r,  ) un punto cualquiera de la circunferencia, como se muestra en la figura 1.
Aplicando la fórmula del coseno al triángulo OPC, se obtiene:
a 2  r 2  b 2  2br cos       r 2  2br cos       b 2  a 2  0 
r
2b cos       4b 2 cos 2
     4  b2  a 2 
2
r  b cos       b 2 cos 2

      a 2  b2 
Para circunferencias que pasan por el origen, es a = b y la ecuación puede escribirse como
r  2a cos   
En particular, cuando  = 0 (centro sobre el eje de abscisas), queda:
r  2a cos 
Cuando  =



(centro sobre el eje de ordenadas), al ser cos   -   sen , queda:
2
2

r  2a sen
En este caso el triángulo OAP de la figura 2 nos proporciona un método geométrico más
directo de obtener la ecuación anterior, ya que r es aquí el cateto opuesto al ángulo agudo  .
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29
Cónicas en forma Polar
24.- Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos, como muestra
la figura
a) Hallar la ecuación polar de Venus siendo a = 6.693·x 107 millas;
e = 0,0068.
b) Hallar la distancia al Sol para el afelio y para  = 10/9.
c) Hallar las áreas barridas por un rayo trazado desde el Sol hasta el planeta mientras 
crece desde 0 hasta /9 y desde =  hasta +/9.
d) Aplicar la segunda Ley de Kepler para estimar, respectivamente, el tiempo que Venus
tarda en recorrer los dos arcos anteriores (período de traslación  225 días)
Solución:
a)
#1: r =
2
(1 - e )·a
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1 - e·COS(α)
2
7
11
(1 - 0.0068 )·(6.693·10 )
1.673172628·10
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1 - 0.0068·COS(α)
2500 - 17·COS(α)
#2:
r
6, 692600515 107
1  0, 0068cos 
b) Distancia del Afelio (millas). α= 0
11
1.673172628·10
7
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 6.738512396·10
2500 - 17·COS(0)
#3:
Distancia al Sol del punto α=10π/9 (en millas)
11
1.673172628·10
7
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 6.650196357·10
⎛ 10·π ⎞
2500 - 17·COS⎜⎯⎯⎯⎯⎟
⎝
9 ⎠
#4:
c) Áreas barridas (en millas al cuadrado)
π/9
#5:
⌠
⎮
⎮
⌡
⎛
11 ⎞2
1 ⎜ 1.673172628·10
⎟
14
⎯·⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dα = 7.922922816·10
2 ⎝ 2500 - 17·COS(α) ⎠
0
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30
Cónicas en forma Polar
π + π/9
⌠
⎮
⎮
⌡
#6:
⎛
11 ⎞2
1 ⎜ 1.673172628·10
⎟
14
⎯·⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dα = 7.714554982·10
2 ⎝ 2500 - 17·COS(α) ⎠
π
d) El área total barrida en cada periodo de traslación (225 días) es el área de
la elipse:
2·π
#19:
⌠
⎮
⎮
⌡
⎛
11 ⎞2
1 ⎜ 1.673172628·10
⎟
16
⎯·⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dα = 1.407283128·10
2 ⎝ 2500 - 17·COS(α) ⎠
0
Como el planeta tarda tiempos iguales en barrer áreas iguales, mediante una
simple regla de tres obtenemos el tiempo en días
#20:
14
7.922922816·10
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·225 = 12.66737018
16
1.407283128·10
#21:
14
7.714554982·10
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·225 = 12.33422639
16
1.407283128·10
El área barrida desde α=0 hasta α=π/9 es mayor que el área barrida desde α=π
hasta α= π+π/9, sin embargo los arcos de elipse son iguales por tratarse de arcos
simétricos, el primero comienza en el afelio y el segundo en el perihelio, luego
Venus va a mayor velocidad en el perihelio, como prueba el que Venus tarde menor
tiempo en recorrer el segundo arco.
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31
Cónicas en forma Polar
x2
y2
25.- Dada la hipérbola de ecuación

 1 hallar la ecuación polar de su rama
169 100
derecha suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del
eje de abscisas y que el polo está:
i) en el foco izquierdo de la hipérbola.
ii) en el centro de la hipérbola.
En el caso i), hallar la ecuación polar de sus directrices y asíntotas.
Solución
i) a 2  169  a  13
b 2  100  b  10
c 2  a 2  b 2  269 
c  269

b 2 100

p 
a
13


caso 4
e  c  269

a
13
100
100
p
13

 r
r
1  ecos
13  269 cos 
269
1
cos 
13

Ecuación polar de las directrices:
dir1  x '  c 
438 269
a2
169
438 269
 269 
 r cos 
 r
269 cos
c
269
269
dir2  x '  c 
100 269
a2
169
100 269
 269 
 r cos  
 r
269 cos
c
269
269
Ecuación polar de las asíntotas:
Son rectas que, en el sistema de referencia x’ y’, pasan por el punto (c, 0) y tienen de pendiente
b
 ; por tanto, tienen de ecuación:
a
b
10
10
y'   x 'c   y'  
x ' 269  r sen  
r cos  269
a
13
13
y despejando r se obtiene ya la ecuación polar:
10

269
13
r
10
sen  cos
13




ii)
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32
Cónicas en forma Polar

PF
P (r,  )  hipérbola 
 e.
dist (P, dir )
Por el teorema del coseno en el triángulo OPF, se verifica:
 2
PF  r 2  c 2  2rc cos
a2

dist (P, dir )  PD  OM 
c
a2
r cos c



r 2  c 2  2rc cos c
 .
a
a2
r cos c
Elevando al cuadrado en la expresión anterior y operando se obtiene:
PF
Por tanto,
e
dist (P, dir )
c 2 r 2 cos 2  a 4  a 2 r 2  a 2 c 2  r 2  a 2  c 2 cos 2   a 4  a 2 c 2  a 2  a 2  c 2  
 a 2  b 2   r 2 
 a 2b 2

a 2  c 2 cos 2
b2

b2

1  e 2 cos 2
c2
cos 2
a2
100
16900

r2  
269
169  269cos 2
1
cos 2
169
1
2º método
Efectuando el cambio a polares en la propia ecuación cartesiana de la hipérbola pues ahora
coincide el polo con el origen del sistema de referencia cartesiano:
100r 2 cos 2  169r 2sen 2
x2
y2
r 2 cos 2 r 2sen 2

1 

1
1
169 100
169
100
16900
16900

r 2 100cos 2   169sen 2   16900  r 2 
2
100cos   169sen 2 
16900
16900

2
2
100cos   169 1 - cos 
169  269cos 2 




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33
Cónicas en forma Polar
26.- a) Hallar la ecuación polar de la órbita elíptica que describe el planeta Tierra
alrededor del sol, sabiendo que:
a = 92, 957 x 106 millas;
e = 0,0167.
b) Hallar la ecuación polar de sus directrices.
c) Hallar las distancias del afelio (punto más alejado) y perihelio (punto más cercano).
Solución:
a) Ecuación polar de la órbita de la Tierra:
e = c/a, luego c = a . e = 1.5523819·x 106 millas;
Conociendo a y c, se obtiene b con la fórmula b 2  a 2  c 2 y finalmente se calcula el
b2
parámetro de la cónica: p =
= 9.293107522·x 107 millas.
a
La ecuación de la órbita es:
r
9.293107522·x 10 7
p
=
1 - 0.0167 cos
1  e cos
b) La ecuación polar de la directriz asociada al foco que coincide con el origen de la referencia
polar es:
a2
dir1  x '  d  (  c)  5.564735043  10 9  r cos   5.564735043  10 9 
c
5.564735043  10 9
cos 
La ecuación polar de la directriz asociada al foco que no coincide con el origen de la referencia
polar es:
a2
 5.567839807  10 9  r cos   5.567839807  10 9 
dir 2  x '  c 
c
5.567839807  10 9
r
cos 
r
c) Distancia del Perihelio (millas). α= π
9.293107522·x 10 7
 9.140461809·107
1 - 0.0167 cos
Distancia del Afelio (millas). α= 0
9.293107522·x 10 7
 9.45093819·107
1 - 0.0167 cos0
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34
Cónicas en forma Polar
27.- a) Hallar una ecuación polar de la órbita de Urano sabiendo que:
a = 287.1 x 107 km; e = 0.0461.
b) Calcular la distancia al Sol para el afelio y para  = /6.
Solución:
a) Suponiendo el origen de la referencia polar en el foco izquierdo y el eje polar en OX+, la
p
c
ecuación es de la forma r 
. Por otro lado, e   c  ae , luego
1  e cos 
a
2
2
a 2 1  e 2 
b 2 a 2  c 2 a   ae 
p



 a 1  e 2  , en consecuencia la ecuación toma
a
a
a
a
la forma r 
a 1  e 2 
1  e cos 
, sustituyendo se obtiene r 
2.8648985221
· 09
.
1  0, 0461cos 
b) La distancia para el afelio se obtiene para  =0 r (0) = 3.003353099··109 km y la
distancia para para  = /6  r (/6) = 2.984032346·109 km .
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35
Cónicas en forma Polar
28.- Se conoce la excentricidad de la órbita de un cometa e = 0.54769 así como la
distancia del cometa al sol en el perihelio q = 1.874519 UA.
a) Hallar una ecuación en polares de la órbita del cometa.
b) Para dicha ecuación, hallar de manera aproximada la distancia del cometa al
sol cuando  = /4.
c) Hallar también una ecuación en cartesianas de la órbita.
Solución
a) e = c / a = 0.54769  c  0.54769 a
a = q + c = 1.874519 + 0.54769 a  a 1  0.54769   1.874519  a 
1.874519

1  0.54769
4.144323583
c= 0.54769 a = 2.269804583  b2 = a2 - c2 = 12.02340511  p 
b2
= 2.901174309
a
Luego, una ecuación en coordenadas polares de la órbita del cometa es:
r
b) r 
c)
2.901174309

1  0.54769 cos
4
p
2.901174309

1  e cos  1  0.54769 cos 
= 4.734874194 UA
x2
y2
x 2 y2

1


1

17.17541796 12.02340511
a 2 b2
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36
Cónicas en forma Polar
29.- Se conoce la medida del semieje mayor de la órbita de un cometa a = 4.14432358 UA,
así como la distancia del cometa al sol en el perihelio q = 1.874519 UA.
a) Hallar la excentricidad de la órbita del cometa.
b) Hallar una ecuación en polares de la órbita del cometa.
c) Para dicha ecuación, hallar de manera aproximada la distancia del cometa al sol
cuando  = /2.
d) Calcular la distancia del cometa al sol en el afelio.
e) Hallar también una ecuación en cartesianas de la órbita
Solución
a) c = a – q = 2.269804579 , e = c / a = 0.5476899993
b) b2 = a2 - c2 = 12.02340510  p 
b2
= 2.901174309
a
Luego, una ecuación en coordenadas polares de la órbita del cometa es:
r
p
2.901174309

1  e cos  1  0.5476899993cos 
c)
r
2.901174309

1  0.5476899993cos
2

2.901174309 UA
d)
r
2.901174309

1  0.5476899993cos 0
6.414128152 UA
e)
x2
y2
x 2 y2

1

1
17.17541793 12.02340510
a 2 b2
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37
Cónicas en forma Polar
Ejercicios propuestos
1) Determinar las cónicas que se dan en coordenadas polares mediante las ecuaciones
siguientes:
5
10
6
a) r 
b) r 
c) r 
1
3
1  cos 
1  cos 
1  cos 
2
2
12
5
1
d) r 
e) r 
f) r 
2  cos 
3  4 cos 
3  3 cos 
Solución:
a) Elipse b) Parábola c) Una rama de una hipérbola d) Elipse e) Una rama de una
hipérbola f) Parábola.
y2
x2

 1 , hallar la ecuación polar de su rama
25 144
izquierda, suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje
de abscisas y que el polo está:
a) en el foco izquierdo de la hipérbola;
b) en el foco derecho.
Solución:
144
144
b) r  
a) r 
5  13 cos 
5  13 cos 
2) Dada la ecuación de la hipérbola
3) Hallar en la elipse r 
12
3  2 cos 
los puntos cuyos radios polares son iguales a 6.
Solución:

  
 6,  ,  6,  
 4 
4
4) Hallar en la hipérbola  
15
los puntos cuyos radios polares son iguales a 3.
3  4cos 
Solución:
 


 3, 2  ,  6,  2 .

3 
3
p
los puntos:
1 - cos
a) cuyos radios polares sean mínimos.
b) cuyos radios polares sean iguales al parámetro de la parábola.
Solución:

p 
  
a)  ,   , b)  , p ,  p, 
2
2 
2  
5) Hallar en la parábola r =
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
38
Cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a un
punto fijo F (llamado foco) y a una recta fija (llamada directriz) es una cantidad
constante e (llamada excentricidad). Además, la cónica es una elipse si 0 ≤ e < 1, una
parábola si e = 1 y una hipérbola si e > 1.
Ecuación polar de una cónica (elipse, una rama de hipérbola ó parábola)
d
P
r

F
2) Si, con el mismo sistema polar de
coordenadas que en el caso anterior, la
cónica y el foco están en distinto semiplano
respecto de la directriz, la ecuación es
p
r
.
1  e cos
3) Si el polo sigue en el foco, pero, el eje polar
va hacia la directriz, y la cónica y el foco están
en el mismo semiplano respecto de la directriz,
p
la ecuación es: r 
1  e cos
4) Si, con el mismo sistema polar de
coordenadas que en el caso 3, la cónica y el foco
están en distinto semiplano respecto de la
p
directriz, la ecuación es r 
.
1  e cos
(corresponde a una rama de la hipérbola)
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
1) Si el polo se sitúa en el foco, el eje polar
es perpendicular y va en dirección opuesta a
la directriz (cuya distancia al foco es d), y
la cónica está en el mismo semiplano que el
foco respecto de la directriz, entonces la
ecuación de la cónica en coordenadas
p
polares es r 
, donde p es el
1  e cos
parámetro focal, p = d e = (longitud de la
semicuerda focal).
(corresponde
hipérbola)
a
una
rama
de
la
d
F1
F2
P
r
d

F
d
F1
F2
1
Focos
Focos de una sección cónica son los puntos de contacto de su plano con las esferas
inscritas en el cono y tangentes a dicho plano (el de la sección).
Relativo a una cónica es cada uno de los puntos fijos que determinan la cónica. Las
cónicas con centro (elipse e hipérbola) tienen dos (a una distancia c del centro) y la
parábola uno.
Folium de Descartes
Hoja de Descartes (1638)
U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía
92
Directriz
Directriz de una sección cónica es la recta intersección del plano de la cónica con
el plano que contiene a la circunferencia de contacto (con el cono) correspondiente
a uno de los focos.
En una cónica es la recta fija que la determina. Las cónicas con centro (elipse e
hipérbola) tienen dos y la parábola una.
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Hipérbola
La diferencia de las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a los focos es igual a
2a.
x2 y 2
Sea la hipérbola de ecuación canónica 2  2  1 , entonces:
a
b
c
 Excentricidad: e   1
a
 Vértices: A(a,0); A’(-a,0).
 Focos: F(c,0); F’(-c,0).
 Directrices: x  a 2 / c; x  a 2 / c
 Ejes de simetría: x=0; y=0; eje focal: y=0
 Centro: O(0,0) punto de intersección de los ejes de simetría
 Distancia focal: d(F,F’)=2c.
 Parámetro focal: p  b 2 / a
 Hipérbola equilátera: cuando a=b
Coordenadas polares
Sea O un punto fijo del plano, denominado “polo” y sea la semirrecta de origen O,
denominada “eje polar”. Entonces cualquier punto del plano P, queda determinado
por el par (r, θ) siendo r la distancia euclídea del punto P al polo (r > 0) y θ el
argumento, el ángulo formado por el eje polar y el segmento OP en el sentido
 x  r cos 
positivo (contrario a las agujas del reloj). 
 y  rsen
P (x,y)
y
r
θ Argumento
O Polo
x
Eje
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Asíntotas de una función
Verticales: Si x  a  y  .
lím f (x)    x  a es una asíntota vertical
x a
(Sólo puede haber asíntotas verticales en los puntos que no pertenecen al dominio)
Horizontales: Si x    y  b.
lím f (x)  b  y  b es una asíntota horizontal
x 
Oblicuas: y = mx + n es una asíntota oblicua, siendo:
 f (x) 
m  lím 
;
x   x 
n  lím
x 
 f (x)  mx 
Nota: las asíntotas nos informa de si la función está o no acotada.
Asíntotas de una hipérbola
Las asíntotas de una hipérbola son rectas que pasan por el centro de la cónica y
tienen de pendiente m, solución de la ecuación: a 11  2a 12 m  a 22 m 2  0 .
Este último resultado se obtiene de aplicar que, en general, las asíntotas oblicuas a
f (x)
x   x
una curva de ecuación y = f(x) tienen de pendiente lim
Asíntotas en una curva plana
En este párrafo, t0 puede ser un número real ó   .
a) Si lim
x(t)  a ,
lim y(t)   , entonces: la recta x = a es asíntota vertical.
t t
t t
0
b) Si
0
lim x(t)   ,
lim y(t)  b , entonces: la recta y = b es asíntota
t t0
horizontal.
x(t)   ,
c) Si lim
t t
0
c1) Si lim
t t
0
t t0
lim y(t)  
t t0
y(t) 0

x(t) 
, la curva carece de asíntota y se dice que tiene una
rama parabólica.
y(t)
m
0 x(t)
c21) lim (y(t)  m  x(t))   , entonces no hay asíntota; tiene una rama
c2) Si lim
t t
t t0
parabólica.
c22) lim
(y(t)  m  x(t))  b , entonces la recta y = mx + b es asíntota
t t
0
oblicua.
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Elipse
La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al doble de
su semieje mayor.
x2 y 2
Sea la elipse de ecuación reducida 2  2  1 , entonces:
a
b
c
 Excentricidad: e   1
a
 Vértices: A(a,0); A´(-a,0); B(0,b); B´(0,-b).
 Semieje mayor: a; semieje menor: b.
 Focos: F(c,0); F’(-c,0).
a2
 Directrices: x  
c
 Ejes de simetría: x=0; y=0; eje focal o eje mayor: y=0.
 Centro: O(0,0) punto de intersección de los ejes de simetría.
 Distancia focal: d(F,F´)=2c.
 Parámetro focal: p  b 2 / a
Parábola
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo F, llamado foco, y una recta fija r, llamada directriz.
Sea la parábola de ecuación reducida y 2  2px , entonces:
 Foco: F (p/2,0).
 Directriz: x= - p/2.
 Eje de simetría: es la perpendicular del foco a la directriz y=0
 Vértice: O(0,0) punto de intersección de la curva con el eje de simetría.
 Parámetro: es la distancia del foco a la directriz p.
 Excentricidad: e=1
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Semiejes
En una elipse son las distancias entre los vértices dividas por dos:
 Semieje mayor: a
 Semieje menor: b
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Excentricidad
Valor constante del cociente de la distancia de los puntos de la cónica al foco y a la
directriz. En el caso de la elipse es menor que 1, igual a 1 para la parábola y
mayor que 1 en la hipérbola.
e
cos  c
 ; siendo c la semidistancia focal y a el semieje real
cos  a
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Eje
Eje es la recta del plano o del espacio que sirve de referencia a los puntos de ese
plano o de ese espacio o bien a una figura o a una transformación.
La elipse y la hipérbola tienen dos ejes de simetría; la parábola solamente uno que
pasa por su vértice.
Eje de coordenadas: cada una de las rectas mediante las que se define un sistema
de coordenadas cartesianas en el plano o en el espacio.
Eje de abscisas: eje de coordenadas, generalmente horizontal, en un sistema de
coordenadas cartesianas del plano y que se denomina X.
Eje de ordenadas: eje de coordenadas, generalmente vertical, en un sistema de
coordenadas cartesianas del plano y que se denomina Y.
Eje focal: en una cónica es el eje de simetría que contiene a los focos.
 Eje mayor en la elipse corresponde al eje focal
 Eje menor en la elipse corresponde al eje no focal
Eje polar en coordenadas cartesianas polares es la semirrecta que parte del polo.
Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano
que tienen la misma potencia respecto de las dos circunferencias.
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http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/Apogeoyperigeo.JPG[13/02/2012 13:27:33]
http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/Apuntes/Vademecum/AfelioyPerihelio.JPG[13/02/2012 13:30:12]
Centro
 Punto alrededor del cual la figura es simétrica (centro de la elipse o de la
hipérbola).
 Las transformaciones geométricas que tienen un único punto invariante se
denomina centro. Así tenemos el centro del giro en el plano, el centro de
homotecia y el centro de semejanza cuando la razón es k  1.
 Centro radical de tres circunferencias es un punto del plano que tienen la
misma potencia respecto de las tres circunferencias.
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