Licenciatura en Física Física Cuántica

Licenciatura en Física
Física Cuántica - 2002
TP4 El oscilador armónico
1.
2.
Cohen p. 356. Suponga una partícula de masa m en un potencial V (x) ¸ V0 . Sea à (x) una solución de la Ec. de
Sch. estacionaria
¸
~ 2 d2
¡
+ V (x) Ã (x) = EÃ (x)
2m dx2
¤
Multiplique por à (x) e integre y demuestre que E ¸ V0 . Utilice el principio de incerteza para demostrar que
nunca puede ser E = V0 (un resultado cuántico).
Resolución del problema del Oscilador Armónico mediante los operadores a y ay .
p
p
^ = m!=~X y P^ = P= m~! y calcule su conmutador.
a. De…na los operadores adimensionales X
b.
^ escriba H
^ en función de P^ y X.
^
Si de…nimos el hamiltoniano adimensional H = ~! H,
c.
Si de…nimos los operadores
´
1 ³^
p X
+ iP^
2
³
´
1
^ ¡ iP^
ay = p X
2
£
¤
y
^
^
calcule X y P en función de a y a . Calcule a; ay .
a =
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
operador destrucción
operador creación
£
¤
^ [N; a] y N; ay .
Si de…nimos el operador N = ay a, calcule H,
¯ ®
¯ ®
¯ ®
° ¯ ®°2
Considere un autovector ¯'iº de N , es decir que: N ¯'iº = º ¯'iº . Usando que °a ¯'iº ° ¸ 0, demuestre que
º ¸ 0.
¯
¯ ®
®
Demuestre que a ¯'iº=0 = 0. Demuestre que si º > 0, el ket a ¯'iº es autovector no nulo de N con autovalor
º ¡ 1.
¯ ®
¯ ®
Demuestre que ay ¯'iº es siempre no nulo y que a ¯'iº es un autovalor de N con autovalor º + 1.
¯ ®
¯ ®
Demuestre que º sólo puede ser un entero positivo (¯'iº = ¯'in ) y que las posibles energías del oscilador
armónico son En = (n + 1=2) ~!.
¯ ®
Usando que a ¯'i0 = 0, resuelva la ecuación diferencial para 'i0 (x).
¯ ®
Demuestre que los autovectores de N son no-degenerados (¯'in = j'n i) y normalícelos (jni = j'n i = h'n j'n i).
p
p
^ X
^ y
Demuestre que ay jni = n + 1 jn + 1i y a jni = n jn ¡ 1i. Calcule los elementos de matriz de a, ay , H,
P^ en la base fjnig.
3.
Cohen p 535, Schi¤ p 66. Resuelva de manera directa la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico.
4.
Discuta qué conceptos físicos determinan la aparición de estados discretos en el problema cuántico del oscilador
armónico. Discuta dónde se introducen dichos conceptos en la resolución directa y en la realizada mediante el uso
de los operadores a y ay .
5.
Demuestre que a y ay son uno el operador adjunto del otro. ¿Son a y ay operadores relacionados con magnitudes
observables?
6.
Cohen p. 503. Si un oscilador armónico se encuentra en uno de los autoestados de N , encuentre las incertezas en
^ 2 y P^ 2 en función de a
la posición y el momento ¿para qué valor de n es mínimo el producto ¢x¢p? (Expresar X
y
y a ).
7.
Demuestre las siguientes propiedades algebraicas de los operadores a y ay :
£ ¡ y ¢n ¤
¡ ¢n¡1
a.
a; a
= n ay
£ y n¤
b.
a ; a = ¡nan¡1
Física Cuántica - 2002
TP4 El oscilador armónico - pág. 2
8.
Cohen p. 547. Resuelva el problema del oscilador isotrópico tridimensional. Discuta la degeneración de los niveles
de energía.
9.
Una partícula de masa m y carga e se encuentra sujeta a un potencial:
1
V (x) = m(!x)2 + eEx
2
correspondiente a una partícula de carga e en un potencial de oscilador armónico bajo un campo eléctrico uniforme
E.
10.
11.
a.
Muestre que este potencial puede escribirse de la forma:
1
V (z) = m(!z)2 + V0
2
donde V0 es constante.
b.
Encuentre las autofunciones y autovalores en función de x, !, m, e y E.
Encuentre los niveles de energía para una partícula que se encuentra en un potencial de la forma (adapte el problema
del oscilador armónico a las nuevas condiciones de contorno):
½
1
x<0
V (x) =
1
2
m(!x)
x>0
2
Shankar p 46. Considere el problema clásico de dos masas iguales unidas a soportes rígidos por resortes de constante
k = m!2 , y entre sí por un resorte de constante k0 = ¸k.
a.
Demuestre que la ley de movimiento para cada masa es
mÄ
x1
mÄ
x2
b.
= ¡m!2 (1 + ¸) x1 + m!2 x2
= ¸m!2 x1 ¡ m! 2 (1 + ¸) x2
Encuentre los modos normales del problema y, redi…niendo las variables, solucione el problema cuántico.
Bibliografía
R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, New York, 1994 (2da. ed.).
L. Schi¤, Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1968 (3ra. ed.).
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu y F. Laloë, Quantum Mechanics, Wiley-Interscience Publications, Paris, 1977.
W. Greiner, Quantum Mechanics, Springer, 1994 (3ra. ed.).