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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Distancias y circunferencia
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Calcula la distancia entre P y Q:
a) P (3, 5), Q (3, –7)
b) P (–8, 3), Q (–6, 1)
c) P (0, –3), Q (–5, 1)
d) P (–3, 0), Q (15, 0)
Ä8
a) dist (P, Q) = |PQ| = √(3 – 3) 2 + (–7 – 5) 2 = √122 = 12
b) dist (P, Q) = √(–6 + 8) 2 + (1 – 3) 2 = √4 + 4 = √8 = 2√2
c) dist (P, Q) = √(–5) 2 + (1 + 3) 2 = √25 + 16 = √41
d) dist (P, Q) = √(15 + 3) 2 = √182 = 18
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a) Halla el punto medio del segmento de extremos A(–2, 0), B(6, 4).
b) Comprueba que la distancia del punto medio a cada uno de los extremos es la
misma.
(
)
a) Punto medio M = –2 + 6 , 0 + 4 = (2, 2)
2
2
Ä8
b) dist (A, M) = |AM | = √(2 + 2) 2 + 2 2 = √16 + 4 = √20
Ä8
dist (B, M) = | BM | = √(2 – 6) 2 + (2 – 4) 2 = √16 + 4 = √20
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Comprueba que el triángulo de vértices A (–1, 0), B(3, 2), C (7, 4) es isósceles. ¿Cuáles son los lados iguales?
Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados miden lo mismo.
Ä8
Ä8
Ä8
Calculamos, pues, | AB |, | AC | y | BC |:
°
§
Ä8
§
2
2
| AC | = √(7 + 1) + 4 = √64 + 16 = √80
¢
§
Ä8
| BC | = √(7 – 3) 2 + (4 – 2) 2 = √16 + 4 = √20 §£
Ä8
| AB | = √(3 + 1) 2 + 2 2 = √16 + 4 = √20
Ä8
Ä8
| AB | = | BC |
El triángulo de vértices A, B y C es isósceles.
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Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices
A(–2, –1), B(3, 1), C (1, 6) es rectángulo.
A (–2, –1), B(3, 1), C(1, 6)
Ä8
Ä8
Ä8
° | AB
|2 + | BC |2 + | AC |2 por Pitágoras:
§
Ä8
§
2
2
2
| AC | = √32 + 72 = √9 + 49 = √58 ¢ (√29 ) + (√29 ) = (√58 )
§
Ä8
| BC | = √(–2) 2 + 52 = √4 + 25 = √29 §£ 29 + 29 = 58
Ä8
| AB | = √52 + 2 2 = √25 + 4 = √29
El triángulo de vértices A, B y C es rectángulo.
Unidad 8. Geometría analítica
8
Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C y radio r :
a) C (4, –3), r = 3
b) C (0, 5), r = 6
c) C (6, 0), r = 2
d) C (0, 0), r = 5
a) C (4, –3), r = 3
(x – 4) 2 + (y + 3) 2 = 9 → x 2 – 8x + 16 + y 2 + 6y + 9 = 9 → x 2 + y 2 – 8x + 6y + 16 = 0
b) C (0, 5), r = 6
(x – 0) 2 + (y – 5) 2 = 36 → x 2 + y 2 – 10y + 25 = 36 → x 2 + y 2 – 10y – 11 = 0
c) C(6, 0), r = 2
(x – 6) 2 + y 2 = 4 → x 2 – 12x + 36 + y 2 = 4 → x 2 + y 2 – 12x + 32 = 0
d) C(0, 0), r = 5
x 2 + y 2 = 25 → x 2 + y 2 – 25 = 0
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Di cuáles son el centro y el radio de las circunferencias siguientes:
b) (x + 1)2 + y 2 = 81
c) x 2 + y 2 = 10
a) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
a) (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 → C (2, –3), r = 4
b) (x + 1) 2 + y 2 = 81 → C (–1, 0), r = 9
c) x 2 + y 2 = 10 → C (0, 0), r = √10
■ Aplica lo aprendido
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8
8
8
8
8
2u + v – w = 2(2, 1) + (3, –1) – (2, 3) =
P
= (4, 2) + (3, –1) + (–2, –3) = (5, –2)
PQ = (5, –2)
Q = (5, –2) + (1, 3) = (6, 1)
Q
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8
A partir del punto P (1, 3), trazamos el vector 2u + v – w y llegamos al punto
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8
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Q. Averigua las coordenadas de Q si conocemos u(2, 1), v(3, –1) y w(2, 3).
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8
8
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a) Representa los vectores u = 2 x + y + z y v = –x + 4y – 2 z siendo x(2, 2),
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y(3, 0) y z(1, –2).
8
8
b) Halla las coordenadas de u y v. ¿Son iguales?
a)
8
8
y
v
8
z
8
2x
8
–x
8
u
4y8
8
8
8
b) 8
u = 2 x + y + z = 2(2, 2) + (3, 0) + (1, –2) = (8, 2)
° 8 8
¢ u=v
v = – x + 4 y – 2 z = –(2, 2) + 4(3, 0) – 2(1, –2) = (8, 2) £
8
25
(
8
8
8
(
)
Averigua el valor de k para que se cumpla: 6 , –2 = k(–3, 5)
5
6 , –2 = k(–3, 5) 8 6 = –3k°
§ k=–2
5
5
¢
5
§
–2 = 5k£
)
Unidad 8. Geometría analítica
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a) Determina las coordenadas de los puntos M,
N y P que son los puntos medios de los lados del
triángulo ABC.
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B(–1, 3)
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b) Halla las coordenadas de los vectores MN, MP y
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8
8
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PN y comprueba que MN = 1 AC; MP = 1 BC
2
2
8
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y PN = 1 AB .
2
M
A(–4, –2)
N
P
C(3, –3)
a) M es el punto medio del segmento de extremos A(–4, –2) y B (–1, 3):
(
) (
)
M = – 4 – 1 , –2 + 3 = – 5 , 1
2
2
2 2
N es el punto medio del segmento de extremos B(–1, 3) y C (3, –3):
(
)
N = –1 + 3 , 3 – 3 = (1, 0)
2
2
P es el punto medio del segmento de extremos A y C:
(
) (
)
b) MN = (1, 0) – (– 5 , 1 ) = ( 7 , – 1 )
2 2
2 2
MP = (– 1 , – 5 ) – (– 5 , 1 ) = (2, –3)
2 2
2 2
PN = (1, 0) – (– 1 , – 5 ) = ( 3 , 5 )
2 2
2 2
P = – 4 + 3 , –2 – 3 = – 1 , – 5
2
2
2 2
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Ä8
Ä8
Ä8
AC = (3, –3) – (–4, –2) = (7, –1) = 2MN → MN = 1 AC
2
Ä8
Ä8
Ä8
Ä8
BC = (3, –3) – (–1, 3) = (4, –6) = 2 MP → MP = 1 BC
2
Ä8
Ä8
Ä8
→
AB = (–1, 3) – (–4, –2) = (3, 5) = 2PN → PN = 1 AB
2
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8
8
8
Dados los vectores u(3, 2), v(x, 5) y w(8, y), calcula x e y para que se veri8
8
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fique: 2u – v = w.
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8
2u – v = w → 2(3, 2) – (x, 5) = (8, y) → (6, 4) – (x, 5) = (8, y)
(6 – x, –1) = (8, y)
6 – x = 8 → x = –2
–1 = y
Luego: x = –2, y = –1
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Dados los vectores u(5, –3), v(1, 3) y w(2, 0), calcula el valor de m y n para
8
8
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que se verifique: u = m v + n w.
8
8
8
u = m v + nw → (5, –3) = m(1, 3) + n(2, 0)
5 = m + 2n ° m = –1
¢
–3 = 3m £ n = 3
Unidad 8. Geometría analítica
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Comprueba, en cada caso, que los puntos dados están alineados:
a) A (1, 2), B(4, 3), C(19, 8)
b) P(–2, –3), Q(2, 0), R (–26, –21)
y –y
y –y
a) 2 1 = 3 2 8 3 – 2 = 8 – 3 8 1 = 5 Cierto.
x2 – x1 x3 – x2
4 – 1 19 – 4
3 15
b) 0 + 3 = –21 – 0 8 3 = 21 Cierto.
2 + 2 –26 – 2
4 28
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dos.
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Calcula m para que los puntos R (5, –2), S (–1, 1) y T (2, m) estén alinea-
R (5, –2), S(–1, 1) y T(2, m)
Ä8
RS = (–1, 1) – (5, –2) = (–6, 3) ° – 6
3
Ä8
¢ 3 = m – 1 → –2(m – 1) = 3
ST = (2, m) – (–1, 1) = (3, m – 1) £
–2m + 2 = 3 → –2m = 1 → m = – 1
2
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En el segmento AB de extremos A(0, 2) y B(6, 5),
halla las coordenadas de los puntos P y Q tales que:
8
8
8
8
AP = 1 AB, AQ = 2 AB
3
3
P
Q
B
A
O
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OP = OA + AP = OA + 1 AB = (0, 2) + 1 (6, 3) = (0, 2) + (2, 1) = (2, 3)
3
3
Ä8
Ä8
Ä8
Ä8
Ä8
2
OQ = OA + AQ = OA + AB = (0, 2) + 2 (6, 3) = (0, 2) + (4, 2) = (4, 4)
3
3
Solución: P (2, 3) y Q (4, 4)
Ä8
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Ä8
Ä8
Ä8
Comprueba si los puntos A(18, 15) y B(–43, –5) pertenecen a la recta
x – 3y + 27 = 0.
A : 18 – 3 · 15 + 27 = 0 8 A é r
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B : –43 – 3 · (–5) + 27 ? 0 8 B è r
Calcula m y n para que las rectas r: 3x + my – 8 = 0 y s: nx – 2y + 3 = 0 se
corten en el punto P (1, 5).
r : 3x + my – 8 = 0 8 3 · 1 + m · 5 – 8 = 0 8 m = 1
s: nx – 2y + 3 = 0 8 n · 1 – 10 + 3 = 0 8 n = 7
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Escribe la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por (4, –3) en
los siguientes casos:
a) r : 2x + 7 = 0
b) r : –y + 4 = 0
a) 2x + 7 = 0 → x = – 7 es paralela al eje Y.
2
Por tanto, la recta perpendicular a r es paralela al eje X → y = k
Como pasa por (4, –3), su ecuación es y = –3 → y + 3 = 0
b) –y + 4 = 0 → y = 4 es paralela al eje X.
Por tanto, la recta perpendicular a r es paralela al eje Y → x = k
Como pasa por (4, –3), su ecuación es x = 4 → x – 4 = 0
Unidad 8. Geometría analítica