Capítulo IV Variación de funciones. Extremos

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
Capítulo IV Variación de funciones. Extremos
INTRODUCCIÓN
En múltiples problemas de ingeniería se requiere optimizar
una o varias de las variables que intervienen en problemas.
Se dice que el ingeniero es un resolvedor de problemas de
optimización tales como: la determinación de volúmenes
máximos, superficies mínimas, máximos rendimientos, costos
mínimos, áreas máximas, alturas mínimas, resistencias
máximas, tiempos mínimos, velocidades máximas, fuerzas
mínimas, intensidades de corriente máximas, esfuerzos
mínimos y gastos hidráulicos máximos, entre otros.
TEOREMAS DEL VALOR MEDIO
TEOREMA DE WEIERSTRASS
Sea la función y = f ( x ) , continua en el intervalo cerrado
⎡⎣a, b⎤⎦. Entonces hay un valor de la función f ( x1 ) = M llamado
máximo absoluto, que no es superado por ningún otro valor
de la función en el intervalo y un valor f ( x2 ) = m , llamado
mínimo absoluto, que no supera a ningún otro valor de la
función en el intervalo.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
y
y
M
M = f ( x1 )
m
y = f ( x)
m = f ( x2 )
a
x1
x2
y = f ( x)
M = f ( a)
M
m
b
x
x1 = a
m = f ( b)
x2 = b
x
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
y
y
y = f ( x)
M = f ( x1 )
M
m
y = f ( x)
M = m = f ( x)
m = f ( x2 )
a = x1
b = x2
x
a
b
x
TEOREMA DE BOLZANO
Sea y = f ( x ) una función continua en el intervalo cerrado
⎡⎣a, b⎤⎦ y sea y0 un valor de f ( x ) tal que m ≤ y0 ≤ M.
Entonces existe al menos un valor x0 de x en el intervalo
⎡⎣a, b⎤⎦ para el cual y0 = f ( x0 )
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En la figura se ilustra este teorema donde se ve que se
demuestra para dos valores de x :
x0 ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦ y x1 ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦
;
y0 = f ( x0 ) = f ( x1 )
y
M
y = f ( x)
f ( x0 ) = f ( x1 )
m
x0
xM
x1
xm
b
x
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
3
TEOREMA DE ROLLE
Sea la función
y = f ( x)
que cumple las siguientes
condiciones:
i) Que f sea continua en el intervalo cerrado ⎡⎣a, b⎤⎦.
ii)
iii)
Que f sea derivable en el intervalo abierto
Que f ( a) = f ( b ) .
( a, b ) .
Entonces existe por lo menos un valor en el intervalo abierto
x1 ∈ ( a, b ) para el cual f ' ( x1 ) = 0
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Gráficamente, el teorema se verifica con claridad.
y
f ' ( x2 ) = 0
y = f ( x)
f ( a) = f ( b )
f ' ( x1 ) = 0
a
x1
f ' ( x3 ) = 0
x2
x3
b
x
Se cumple para x1 , x2 , x3 , donde la derivada vale cero.
TEOREMA DE LAGRANGE
(DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL)
Sea la función
y = f ( x)
que cumple las siguientes
condiciones:
i) Que f sea continua en el intervalo cerrado ⎡⎣a, b⎤⎦.
ii) Que f sea derivable en el intervalo abierto ( a, b ) .
Entonces existe por lo menos un valor en el intervalo abierto
f ( b ) − f ( a)
x1 ∈ ( a, b ) para el cual f ' ( x1 ) =
b−a
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
4
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
y
y = f ( x)
f ( b)
f ( b ) − f ( a)
f ( a)
a
x1
x2
x3
x4
b
x
b−a
En la figura se ve que el teorema se cumple en cuatro puntos.
Ejemplo. Verificar para las siguientes funciones que se
cumple el teorema mencionado y obtener el o los valores de
x que satisfacen la hipótesis:
x3
i) y =
− x en x ∈ ⎡ -2 3,2 3 ⎤ " ( T. de Rolle )
⎣
⎦
12
ii) y = x 3 − 2 x − 5 en x ∈ ⎡⎣−2,3 ⎤⎦ " ( T. de Lagrange )
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
5
Ejemplo. Comprobar que se cumple el teorema del Valor
medio del Cálculo diferencial para la función
f ( x) = x
4
3
en el intervalo ⎡⎣−1,1⎤⎦ y obtener el o los valores de x que lo
satisfacen.
Ejemplo.
Investigar si la función
f ( x ) = sen x cumple las
condiciones del teorema de Rolle en el intervalo ⎡⎣0,2π ⎤⎦ y en
caso de hacerlo, obtener los valores de x en los que se
satisface el teorema. Hacer una gráfica aproximada de la
función en el intervalo considerado, señalando, si existen, los
valores en los cuales se satisface el teorema.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
6
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
DEFINICIÓN. Una función es creciente si para dos valores
cualesquiera x1 y x2 de su dominio, se cumple que:
x2 > x1 ⇒ f ( x2 ) > f ( x1 )
Dos tipos de función creciente:
y
y
f ' ( x1 ) > 0
f ( x2 )
f ' ( x1 ) > 0
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 )
f
x1
x2
x
f
x1
x2
x
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
7
La derivada es la pendiente de la tangente, luego en una
función creciente, por la geometría analítica y dado que la
derivada es el límite del cociente de Δy (positivo ) entre
Δx (positivo ) , entonces es positiva en todo su dominio.
DEFINICIÓN. Una función es decreciente si para dos valores
cualesquiera x1 y x2 de su dominio, se cumple que:
x2 > x1 ⇒ f ( x2 ) < f ( x1 )
Dos tipos de funciones decrecientes:
y
y
f ' ( x1 ) < 0
f ' ( x1 ) < 0
f ( x1 )
f ( x1 )
f ( x2 )
f
x1
x2
x
f
f ( x1 )
x1
x2
x
TEOREMA. Sea y = f ( x ) una función continua en el intervalo
cerrado ⎡⎣a, b⎤⎦ , derivable en el intervalo abierto
que f ' ( x ) > 0 en el intervalo ( a, b ) .
Entonces la función es creciente en el intervalo
( a, b )
y tal
( a, b ) .
TEOREMA. Sea y = f ( x ) una función continua en el intervalo
cerrado ⎡⎣a, b⎤⎦ , derivable en el intervalo abierto
que f ' ( x ) < 0 en el intervalo ( a, b ) .
Entonces la función es decreciente en el intervalo
( a, b )
y tal
( a, b ) .
Ejemplo. Investigar para qué intervalos de " x " la siguiente
función es creciente y decreciente. Hacer una gráfica
aproximada.
9
f ( x ) = x3 − x2 + 6x − 1
2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
8
SIGNO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función biyectiva es aquella que cumple con ser
inyectiva o uno a uno y suprayectiva o sobre, por lo que su
derivada no cambia de signo, es decir, que permanece
creciente o decreciente en todo su dominio. Como ejemplos:
x2
i) f ( x ) =
− 1 ; f : ⎡⎣0, ∞ ) → ⎡⎣−1, ∞ )
2
x2
y=
− 1 ⇒ x 2 = 2y + 2 ⇒ x = + 2y + 2 ∀ y ∈ ⎡⎣−1, 0 )
2
Si se deriva se obtiene:
x2
f ( x) =
− 1 ⇒ f ' ( x ) = 2 x ≥ 0 ∀ x ∈ ⎡⎣0, ∞ )
2
luego es siempre creciente en el dominio considerado. Su
gráfica aproximada es:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
9
y
y=
x2
−1
2
Df = [ 0, ∞ )
Rf = [ −1, ∞ ) = Cf
x
f '( x) > 0
( 0, − 1)
ii) f ( x ) = 4 − x 2
;
( creciente )
f : ⎡⎣0, 2 ⎤⎦ → ⎡⎣0,4 ⎤⎦
y = 4 − x2
⇒
f ( x ) = 4 − x2
⇒
x = + 4 − y ∀ y ∈ ⎡⎣0,4⎤⎦
f ' ( x ) = −2 x ≤ 0 ∀ x ∈ ⎡⎣0, 2⎤⎦
Es una función decreciente en su dominio y su gráfica es:
y
f ( x ) = 4 − x2
( 0, 4 )
Df = [0,2]
Rf = [ 0, 4] = Cf
( 2, 0 )
f ' ( x ) < 0 ( decreciente )
x
EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS
DEFINICIÓN.
f ( x0 )
Una función
para un valor
cumple que:
x = x0
f ( x0 ) ≥ f ( x )
f ( x)
tiene un máximo relativo
en un intervalo
∀
⎡⎣a, b⎤⎦ , si se
x ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
10
y
y
( a)
( b)
f ' ( x0 ) = 0
f
f ' ( x0 ) → ∞
f
f ( x0 ) = máximo
f ( x0 ) = máximo
relativo
x0
a
relativo
x
b
a
x0
b
x
Como se aprecia en ambas figuras, antes del máximo
relativo la función es creciente
( f ' ( x ) > 0 ) y después
decreciente
( f ' ( x ) < 0 ) . Y en el máximo relativo la derivada
vale cero como en la figura
como en la figura
( b) .
( a)
y no existe (tiende a infinito)
DEFINICIÓN. Una función f ( x ) tiene un mínimo relativo f ( x0 )
para un valor x = x0 en un intervalo ⎡⎣a, b⎤⎦ , si se cumple que:
f ( x0 ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦
y
y
( a)
( b)
f
f
f ' ( x0 ) → ∞
f ' ( x0 ) = 0
f ( x0 ) = mínimo
f ( x0 ) = mínimo
relativo
a
x0
b
x
relativo
a
x0
b
x
En las definiciones anteriores se pudo hablar de una
vecindad (entorno) de x = x0 en lugar del intervalo ⎡⎣a, b⎤⎦ .
Dado que se habla del mayor o del menor valor en el
intervalo o en la vecindad, una función, considerando todo
su dominio, puede tener uno o más extremos relativos (de ahí
el nombre) o locales. Asimismo, por la definición de estos
extremos, se pude tener una función con un mínimo relativo
mayor que un máximo relativo. Véase la siguiente figura:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
11
y
MA
f
mA
Mr
Mr
Mr
mr
Mr
mr
x1
x2
x4
x3
mr
x5 x6
x
x7
También se puede presentar el caso de una función que no
tenga extremos relativos, a pesar de que la derivada pase
por el valor cero o por la no existencia.
y
f ' ( x0 ) → ∞
y
asíntota
f ' ( x0 ) = 0
a
x0
f
f
b
x
a
x0
x
b
∴ no hay máximos ni mínimos relativos
DEFINICIÓN. Se conocen como valores críticos de la variable
independiente " x " a los valores del eje de las abscisas
donde la derivada es cero o no existe.
y
f ' ( x ) no existe
f
f '( x ) = 0
f '( x ) → ∞
f '( x ) = 0
no hay
Mr = MA
no hay
asíntota
m r (pico )
x
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
12
Para calcular los extremos relativos de una función se
estudiarán dos métodos atendiendo a su primera y segunda
derivada respectivamente.
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
1. Se calcula la derivada de la función.
2. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale
cero o no existe.
3. Se analiza el posible cambio de signo de la derivada,
antes y después de cada punto crítico, lo que manifestaría
la presencia de un extremo relativo. Si la función no está
definida o si la derivada no cambia de signo, no hay
extremos relativos. Si la función está definida, entonces se
pueden presentar los siguientes casos:
- Si la derivada cambia de positiva a negativa, quiere
decir que la función cambia de creciente a decreciente y
se tiene un máximo relativo.
- Si la derivada cambia de negativa a positiva, quiere
decir que la función cambia de decreciente a creciente y
se presenta un mínimo relativo.
Ejemplo. Obtener los máximos y mínimos relativos de las
funciones siguientes por medio del método de la primera
derivada y hacer un trazo aproximado de sus gráficas a partir
de los resultados obtenidos:
x4 x3 3 x2
i) f ( x ) =
; ii) y = 2 sen x + sen 2 x ; 0 ≤ x ≤ 2π
−
−
4
6
2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
13
Ejemplo. Determinar los extremos relativos de las siguientes
funciones y hacer un trazo aproximado de sus gráficas:
2
i) y = 2
x
;
ii) f ( x ) = x + 3 x
2
3
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
14
Ejemplo. Determinar los extremos relativos de la siguiente
función y trazar de manera aproximada su gráfica:
⎧
x2
4
−
⎪⎪
2
f ( x) = ⎨
⎪ x +1
⎪⎩ 2
si
x≤2
si
x>2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
15
Ejemplo. Determinar los máximos y mínimos de la función
f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 . Graficar los resultados obtenidos.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
TEOREMA. Sea una función y = f ( x ) , derivable en x = x0 y
supóngase que f ' ( x0 ) = 0
y
f '' ( x0 ) < 0 . Entonces esta función
tiene un máximo relativo en x = x0 .
TEOREMA. Sea una función
y = f ( x ) , derivable en
supóngase
y
que
f ' ( x0 ) = 0
f '' ( x0 ) > 0 .
x = x0 y
Entonces
esta
función tiene un mínimo relativo en x = x0 .
Secuela de pasos del criterio de la segunda derivada para
determinar los máximos y mínimos relativos de una función:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
16
1. Se calcula la derivada de la función.
2. Se obtienen los valores críticos donde la derivada vale
cero o no existe.
3. Se calcula la segunda derivada de la función y se sustituye
en ella cada uno de los valores críticos.
- Si la segunda derivada es negativa, la función presenta
un máximo relativo en ese valor crítico.
- Si la segunda derivada es positiva, la función presenta un
mínimo relativo en ese valor crítico.
Nota. Si la segunda derivada es cero o no existe, entonces
habría que utilizar el criterio de la primera derivada para ver
si se presentan extremos relativos.
Ejemplo. Determinar los extremos relativos de las siguientes
funciones mediante el criterio de la segunda derivada y
hacer un trazo aproximado de sus gráficas, utilizando los
resultados obtenidos:
i) f ( x ) = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 + 1 ; ii) y = x 1+ x
x4
iii) f ( x ) =
16
;
5
3
iv) y = 3 x + 10 x
2
3
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
17
Ejemplo. Determinar los extremos relativos y absolutos de la
⎡ 3 5⎤
siguiente función, definida en el intervalo ⎢ − , ⎥ . Hacer un
⎣ 2 2⎦
trazo aproximado de su gráfica.
f ( x ) = x3 − 3 x + 3
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
18
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
DEFINICIÓN. Se dice que una curva es cóncava hacia arriba
cuando las rectas tangentes a todos sus puntos están
situadas por debajo de su gráfica, y cóncava hacia abajo
cuando las rectas tangentes están por encima de su gráfica.
DEFINICIÓN. Al punto en el que una curva cambia su
concavidad se le conoce como Punto de Inflexión y es en
este punto el único lugar en el cual la tangente corta a la
curva sin tocar su gráfica en otro lugar.
y
concavidad
hacia arriba
PI
concavidad
hacia abajo
f
x
PI (Punto de inflexión)
Otra forma de definir la concavidad es:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
19
DEFINICIÓN. La curva que representa gráficamente a la
función y = f ( x ) , continua en el punto P ( x0 , y0 ) , es cóncava
hacia arriba en P si existe un entorno de P en el cual todos
sus puntos pertenecientes a la curva excepto
P , se
encuentran arriba de su tangente en P .
DEFINICIÓN. La curva que representa gráficamente a la
función y = f ( x ) , continua en el punto P ( x0 , y0 ) , es cóncava
hacia abajo en P si existe un entorno de P en el cual todos
sus puntos, pertenecientes a la curva, excepto
P , se
encuentran abajo de la tangente a la curva en P .
Relación entre la concavidad y la segunda derivada:
TEOREMA.
Sea la función
y = f ( x ) y considérese que su
segunda derivada existe y es positiva en el punto P ( x0 , y0 ) ,
es decir,
f '' ( x0 ) > 0 . Entonces su gráfica es una curva
" C"
cóncava hacia arriba en dicho punto.
TEOREMA.
Sea la función
y = f ( x ) y considérese que su
segunda derivada existe y es negativa en el punto P ( x0 , y0 ) ,
es decir, f '' ( x0 ) < 0 . Entonces su gráfica es una curva " C "
cóncava hacia abajo en dicho punto.
TEOREMA. Sea la función y = f ( x ) cuya representación es la
curva " C " . Y considérese que para x = x0 se cumple que:
f '' ( x0 ) = 0 y f ''' ( x0 ) ≠ 0
Entonces el punto P ( x0 , y0 ) es un punto de inflexión de la
curva " C " .
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
20
y
Máximo
relativo
Punto de
Inflexión
mínimo
relativo
y = sen x
π
π
4
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
+
7π
4
2π
+
y ' = cos x
x
x
−
+
x
y '' = − sen x
−
+
y ''' = − cos x
−
−
x
Criterio para determinar los puntos de inflexión y el sentido de
la concavidad. Secuela de pasos:
1. Se calculan la primera, segunda y tercera derivadas.
2. Se iguala cero o se analiza la no existencia de la
segunda derivada para determinar los valores " x "
donde es posible que haya puntos de inflexión.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
21
3. En los valores donde puede haber punto de inflexión se
analiza la tercera derivada que si es diferente de cero
garantiza la existencia de punto de inflexión lo que se
hace también al investigar si hay cambio de signo en la
segunda derivada o cambio en la concavidad. Se hace
el siguiente razonamiento:
d2 y
- Si
cambia de negativa a positiva, entonces, si la
dx 2
función existe, se presenta un punto de inflexión y la
gráfica de la función cambia de cóncava hacia abajo a
cóncava hacia arriba.
d2 y
- Si
cambia de positiva a negativa, entonces, si la
dx 2
función existe, se presenta un punto de inflexión y la
gráfica de la función cambia de cóncava hacia arriba a
cóncava hacia abajo.
Ejemplo. Dada la siguiente función, investigar dónde es
creciente o decreciente, determinar sus extremos relativos,
calcular sus puntos de inflexión, decir en qué intervalos es
cóncava hacia arriba y en cuáles hacia abajo, y hacer un
trazo aproximado de su gráfica:
f ( x ) = −3 x 5 + 5 x 3
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
22
De la tabla se puede concluir que la función:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
23
Ejemplo. Calcular los extremos relativos, los puntos de
inflexión, los intervalos de creciente o decreciente y el
sentido de la concavidad para la siguiente función:
y = x5 −
20 x 3
3
Hacer un trazo aproximado de la gráfica de a función con los
resultados obtenidos.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
24
De la tabla se puede concluir que la función:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ