1 Resuelve aplicando la definición de logaritmo: a) 9 3 x = b) 16 2x

1
Resuelve aplicando la definición de logaritmo:
1
a)
b)
c)
3x = 9
2 x = 16
log 101 10201 = x
Solución:
1
1
= log 3 9 = 2 ⇒ x =
x
2
a)
x = log 2 16 = 4
b)
101x = 10201 ⇒ x = 2
c)
2
Racionaliza:
5
3
67
a)
4
5
67
b)
6
4
5
c)
Solución:
5
3
5
=
62 3 6
67
3
5 62
=
=
3
363 6 6 2
53 36
216
a)
4
5
67
4
=
5
6 62
5
=
4 63
5
5
6 62 63
5
=
5
4 63
63
=
36
9
b)
6
4
5
4
=
6 53
4
4
5 53
4
=
6 53
5
c)
3
Resuelve utilizando la definición de logaritmo:
log a 4 = 2
a)
log a 243 = 5
b)
log a 1 = 0
c)
Solución:
a) a = 2
b) a = 3
c) a puede ser cualquier número real positivo.
4
3
7
a)
4
7
5
b)
6
3− 2
c)
Solución:
3 7
=
7 7
3 7
7
a)
7
7
4 56
7
=
7
5 56
b)
(
4 56
5
6 3+ 2
)
( 3 − 2 )( 3 + 2 )
=
(
) (
6 3+ 2
=6 3+ 2
3−2
)
c)
5
Calcula los siguientes logaritmos:
log 3 9
a)
log 2 1024
b)
log 2 1
c)
Solución:
a) 2
b) 10
c) 0
6
logx =
1
1
loga + 3logb − (logc + 2logd)
2
3
Si
a, b, c, d
, expresa x en función de
.
Solución:
logx = log a + logb 3 −
7
Racionaliza:
5+3 2
3
a)
2 +3
7+ 3
b)
1
a ·b 3
3
logc·d 2 = log a ·b 3 − log c·d 2 = log
⇒x=
3
3
c·d 2
(
)
a ·b 3
3
c·d 2
a
a+ b
c)
Solución:
5+3 2 3
(
)
5 3 +3 6
3
=
3 3
a)
( 2 + 3)( 7 − 3 ) =
( 7 + 3 )( 7 − 3 )
b)
(
a a− b
)
( a + b )( a − b )
=
14 − 6 + 3 7 − 3 3
=
7−3
(
a a− b
a− b
14 − 6 + 3 7 − 3 3
4
)
c)
8
Calcula:
a)
log 4 2
log 1
3
1
9
b)
c)
log 9 3
Solución:
1
4
a)
b) 2
1
2
c)
9
log 1 a + log b
a
Si a y b son números enteros, calcula
Solución:
-1+ (-1) = -2
10 Racionaliza:
3+x
3-x
a)
5+ x +1
5-x
b)
3+ 2
3
c)
1
b
.
Solución:
3+ x 3-x
3-x
a)
=
3-x
9 − x2
3−x
( 5 + x + 1) 5 - x = ( 5 + x + 1) 5 - x
5−x
5-x 5-x
b)
( 3 + 2) 3 = 3 +
6
3
3 3
c)
11 Calcula a utilizando la definición de logaritmo:
log a 256 = 8
a)
log a 0,125 = 3
b)
log a 0,001 = −3
c)
Solución:
a) a = 2
1
2
b) a =
c) a = 10
12
log2 = 0,301
Si
a)
b)
, halla:
log 2 0,01
log 4 10
Solución:
log 0,01
−2
=
= −6,645
log 2
0,301
a)
log 10
1
=
= 1,661
log 4
2·0,301
b)
13
log2 = 0,301
Sabiendo que
log 1024
a)
log 0,25
b)
1
log
3
16
c)
Solución:
10 log 2 = 10·0,301 = 3,01
a)
, halla:
log
1
= −2 log 2 = −2·0,301 = −0,602
4
b)
−
4
4
log 2 = − ·0,301 = −0,401
3
3
c)
14
log2 = 0,301
Sabiendo que
log5
a)
, halla:
log4 0,08
b)
log3 0,02
c)
Solución:
10
log
= 1 − log 2 = 1 − 0,301 = 0,699
2
a)
1
8
1
3·0,301 − 2
log
= (3 log 2 − 2) =
= −0,274
4
100 4
4
b)
1
2
1
0,301 − 2
log
= (log 2 − 2) =
= −0,566
3
100 3
3
c)
15 Calcula:
log 5 625 − log 3 243 + log 4 256
a)
log 3 1 + log 2 64 + log 3 9 + log 7 49
b)
1
1
log 3 − log 5 0,2 + log 6
− log 2 0,5
9
36
c)
Solución:
a) 4 - 5 + 4 = 3
b) 0 + 6 + 2 + 2 = 10
c) -2 - (-1) + (-2) - (-1) = -2
16
log2 = 0,301
Sabiendo que
log 6
a)
log 30
b)
1
log
3
c)
Solución:
log 3 + log 2 = 0,778
a)
log 3 + log 10 = 1,477
b)
− log 3 = −0,477
c)
log3 = 0,477
y
, halla:
17 Racionaliza:
1+ 2
1− 3
a)
9
5+ 7
b)
5+ 6
2+ 6
c)
Solución:
1+ 2 1+ 3
( )( ) = 1 +
(1 − 3 )(1 + 3 )
a)
(
9 5− 7
)
( 5 + 7 )( 5 − 7 )
b)
=
( 5 + 6 )( 2 − 6 ) =
( 2 + 6 )( 2 − 6 )
3+ 2+ 6
1+ 3 + 2 + 6
=−
1− 3
2
(
)
(
9 5− 7
9 5− 7
=−
5−7
2
)
10 − 30 + 12 − 6
10 − 30 + 12 − 6
=−
2−6
4
c)
18 Calcula:
1
log 3
9
a)
log 1 8
2
b)
log
2
4
c)
Solución:
a) -2
b) -3
c) 4
19 Calcula a utilizando la definición de logaritmo:
3
log a 125 =
2
a)
b)
log 8 4 2 = a
log 2
3
81
=a
16
c)
Solución:
a) a = 25
3
4
b) a =
c) a = -4
20 Racionaliza:
2−5 3
4
6
a)
4 2
3
16
b)
5− 3
3
6
c)
Solución:
(2 − 5 3 ) 6
4
(2 − 5 3 ) 6
4
3
=
4
6
6 63
4
3
a)
3
4 2 16 2
3
=
3
16 16 2
4 2 ·2 2 3 4
= 2 ·3 4
16
b)
( 5 − 3) 6
3
3
=
3
( 5 − 3) 6
3
2
2
6
6 62
c)
21 Racionaliza:
2+ 3
2
a)
6 2
5 3
b)
3 2 +5 3
2 7
c)
Solución:
2+ 3
(
) 2=2
2 2
2+ 6
2
a)
6 2 3
=
5 3 3
b)
(3
6 6 2 6
=
15
5
)
2 +5 3 7
2 7 7
=
(3
)
2 +5 3 7
14
c)
22
Si
log x a = 2
y
log x 16a = 4
, deduce el valor de x.
Solución:
x2 =
x 2 = a, x 4 = 16 a
. Dividiendo obtenemos
pues la base debe ser positiva).
23
Si
a)
log 3 a = x
, expresa como función de x:
log 3 27a
log 3
a
81
b)
c)
log 9 a
log 3
27
a
d)
Solución:
log 3 27 + log 3 a = 3 + x
a)
log 3 a− log 3 81 = x − 4
b)
x
log 3 a
x
= 2 =
log 3 9
2 4
c)
d)
log 3 27 − log 3 a = 3 − x
24 Calcula:
a) (7x + 2y)(7x − 2y);
b) (−a + 5b)(a + 5b);
7  2
7 
2
c)  a + b  a − b .
3  5
3 
5
Solución:
a) 49 x 2 − 4 y 2 ;
b) − a 2 + 25 b 2 ;
4 2 49 2
c)
a −
b .
25
9
25 Calcula:
a) (a − 2b) 3 ;
b) (3x + 2y) 3 ;
c) (−1 + 4h) 3 .
16 a
= 16
a
, con lo que x = 4 (descartamos la solución negativa,
Solución:
a) a 3 − 6 a 2 b+ 12 ab 2 − 8 b 3 ;
b) 27 x 3 + 54 x 2 y + 36 xy 2 + 8 y 3 ;
c) − 1 + 12 h− 48 h 2 + 64 h 3 .
26 Calcula:
(
)
2
a) 3 x + y ;
2
b) (10a − 3b ) ;
2
c) (− 2h − 3z ) .
Solución:
a) 3 x 2 + 2 3 xy+ y 2 ;
b) 100 a 2 − 60 ab + 9 b 2 ;
c) 4 h 2 + 12 hz + 9 z 2 .
27 Calcula:
2
a) (4a − 6b ) ;
b) (−5x + 8y) 2 ;
2
c) (2 + 8h) .
Solución:
a) 16 a 2 − 48 ab + 36 b 2 ;
b) 25 x 2 − 80 xy+ 64 y 2 ;
c) 4 + 32 h+ 64 h 2 .
28 Calcula:
a)
( 3x − y)( 3x + y);
b) (10a + 3b )(10a − 3b );
1  4
1 
4
c)  h − z  − h − z .
3
7
3
7



Solución:
a) 3 x 2 − y 2 ;
b) 100 a 2 − 9 b 2 ;
c) −
16 2 1 2
h +
z .
9
49
29 Calcula:
a) (4a + 6b)(4a − 6b );
b) (−5x + 8y)(−5x − 8y);
(
)
c) ( 5h − 3) 5h + 3 .
Solución:
a) 16 a 2 − 36 b 2 ;
b) 25 x 2 − 64 y 2 ;
c) 5 h 2 − 9.
30 Calcula:
2
a)(− 3x − 4y ) ;
2
b) (2a − 7b ) ;
2
c) (− 3h + 12m ) .
Solución:
a) 9 x 2 + 24 xy+ 16 y 2 ;
b) 4 a 2 − 28 ab + 49 b 2 ;
c) 9 h 2 − 72 hm+ 144 m 2 .
31 Calcula:
3
5 
3
a) a + b  ;
3 
5
2
1 
 1
b)  − h + m  ;
2 
 4
c)
( 17m −
5h
)( 17m +
)
5h .
Solución:
27 3 9 2
125 3
a)
a + a b+ 5 ab 2 +
b ;
125
5
27
1 2 1
1
b)
h − hm+ m 2 ;
16
4
4
c) 17 m 2 − 5 h 2 .
32 Calcula las siguientes potencias de polinomios:
(x + 2y )3
a)
(4x − 5y )3
b)
(1 − xy )3
c)
Solución:
x 3 + 6 x 2 y + 12 xy 2 + 8 y 3
a)
64 x 3 − 240 x 2 y + 300 xy 2 − 125 y 3
b)
1 − 3 xy+ 3 x 2 y 2 − x 3 y 3
c)
33 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de
potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:
(x − y + z )2
Solución:
((x− y ) + z )2 = (x − y )2 + 2(x− y ) z+ z 2
= x 2 − 2 xy+ y 2 + 2 xz− 2 yz + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy+ 2 xz− 2 yz
(x − y+ z )(x − y+ z ) = x 2 − xy+ xz− yx+ y 2 − yz+ zx− zy+ z 2
34 Calcula:
(
)(
)
a) 5 − 15 z − 5 − 15 z ;
2
7 
6
b)  x + y  ;
6 
7
2
4

c)  h − z  .
3

Solución:
a) − 25 + 15 z 2 ;
36 2
49 2
x + 2 xy+
y ;
49
36
16 2 8
c)
h − hz + z 2 .
9
3
b)
35 Calcula:
3
2

a) m + 5h  ;
5

1
 1

b)  a + 2b  − a + 2b ;
3
3



2
c) (− 7x + 8y ) .
Solución:
= x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy+ 2 xz− 2 yz
8
12 2
m3 +
m h+ 30 mh 2 + 125 h 3 ;
125
5
1
b) − a 2 + 2 b 2 ;
9
a)
c) 49 x 2 − 112 xy+ 64 y 2 .
36 Calcula:
(
)(
)
a) h + 7 z h − 7 z ;
2
2 
1
b)  x + y  ;
5
3 

2
1 
 3
c)  − h + m  .
4
3


Solución:
a) h 2 − 7 z 2 ;
1 2 4
4
x +
xy+ y 2 ;
25
15
9
9 2 1
1
c)
h − hm+ m 2 .
16
2
9
b)
37 Calcula:
3
a)(3h − 4m ) ;
3
1 
1
b)  x + y  ;
3 
2
c) (9m − 7h)(9m + 7h).
Solución:
a) 27 h 3 − 108 h 2 m+ 144 hm 2 − 64 m 3 ;
b)
1 2 1 2
1
1 3
x + x y + xy 2 +
y ;
8
4
6
27
c) 81m 2 − 49 h 2 .
38 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de
potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:
(x + y + z )2
Solución:
((x+ y ) + z)2 = (x+ y )2 + 2(x + y ) z+ z 2
= x 2 + 2 xy+ y 2 + 2 xz+ 2 yz + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy+ 2 xz+ 2 yz
(x + y + z)(x+ y+ z ) = x 2 + xy+ xz+ yx+ y 2 + yz+ zx+ zy+ z 2
= x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy+ 2 xz+ 2 yz
39 Calcula:
3
a)(10a + 3b ) ;
3
b) (3h − 2z ) ;
3
c) (− 3x − y ) .
Solución:
a) 1000 a 3 + 900 a 2 b+ 270 ab 2 + 27 b 3 ;
b) 27 h 3 − 54 h 2 z+ 36 hz 2 − 8 z 3 ;
c) − 27 x 3 − 27 x 2 y − 9 xy 2 − y 3 .
40 Calcula:
 3
 3

a)
m − 5h 
m + 5h ;
 2
 2




2
4 
3
b)  x − y  ;
5 
7
3
c) (5h + 2z ) .
Solución:
3
a) m 2 − 25 h 2 ;
4
9 2 24
16 2
b)
x −
xy+
y ;
49
35
25
c) 125 h 3 + 150 h 2 z + 60 hz 2 + 8 z 3 .
41 Calcula las siguientes potencias de polinomios utilizando las identidades notables:
(3x − y )4
a)
(− x + 5y )4
b)
Solución:
((3 x− y ) ) = (9 x
2 2
2
)
2
= 81 x 4 + 36 x 2 y 2 + y 4 − 108 x 3 y + 18 x 2 y 2 − 12 xy 3 =
a)
= 81 x 4 + 54 x 2 y 2 + y 4 − 108 x 3 y − 12 xy 3
((− x+ 5 y ) ) = (x
2 2
2
− 6 xy+ y 2
− 10 xy+ 25 y 2
)
2
= x 4 + 100 x 2 y 2 + 625 y 4 − 20 x 3 y + 50 x 2 y 2 − 500 xy 3 =
b)
= x 4 + 150 x 2 y 2 + 625 y 4 − 20 x 3 y − 500 xy 3
42 Calcula:
(
)(
)
a) 3x − 7 y − 3x − 7 y ;
3
2 

b)  5x + y  ;
5 

c)
( 5x + 3y) .
2
Solución:
a) − 9 x 2 + 7 y 2 ;
b) 125 x 3 + 30 x 2 y +
12 2
8 3
xy +
y ;
5
125
c) 5 x 2 + 6 5 xy+ 9 y 2 .
43 Calcula:
3
2 

a) 3a − b  ;
3 

2
11 
3
b)  x +
y ;
7
3 

 12
 12

c) 
z − 7h  −
z − 7h .
 7
 7

Solución:
a) 27 a 3 − 18 a 2 b+ 2 ab 2 −
8 3
b ;
27
9 2 22
121 2
x +
xy+
y ;
49
7
9
144 2
c) −
z + 49 h 2 .
49
b)
44
Calcula y simplifica:
(2x
2
−y+z−t
)
2
3
+ (3x − y )
Solución:
4 x 4 + y 2 + z 2 + t 2 − 4 x 2 y + 4 x 2 z− 4 x 2 t − 2 yz+ 2 yt − 2 zt + 27 x 3 − 27 x 2 y + 9 xy 2 − y 3 =
= 4 x 4 + y 2 + z 2 + t 2 − 31 x 2 y + 4 x 2 z− 4 x 2 t − 2 yz+ 2 yt − 2 zt + 27 x 3 + 9 xy 2 − y 3
45 Calcula:
2
a)(6z + 7h) ;
b)
( 15 z − 8h)( 15 z + 8h);
3
7

c)  x + 3y  .
3

Solución:
a) 36 z 2 + 84 zh+ 49 h 2 ;
b) 15 z 2 − 64 h 2 ;
c)
243 3
x + 7 x 2 y + 63 xy 2 + 27 y 3 .
27
46 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 2x 3 + 6x 2 − 50x + 42;
b) 3x 3 − 15x 2 − 3x + 15;
c) x 3 − 9x.
Solución:
a) 2(x − 3)(x − 1)(x + 7) ; b) 3(x − 1)(x + 1)(x − 5) ; c) x(x− 3)(x + 3).
Raíces: a) -7, 1, 3
b) -1, 1, 5
c) -3, 0, 3
47 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces:
a) -5, -4, 1, 2
b) -1, 0, 1
Solución:
(x + 5 )(x + 4)(x− 1)(x− 2) = x 4 + 6 x 3 − 5 x 2 − 42 x + 40
a)
x(x − 1)(x + 1) = x 3 − x
b)
48 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 + 6x 2 − 31x − 36;
b) x 3 − 9x 2 − 5x + 33;
c) x 3 − 2x 2 − 45x + 126.
Solución:
a) (x + 1)(x + 9)(x − 4) ; b) (x + 3)(x − 11)(x − 1) ; c) (x + 7)(x − 6)(x − 3).
Raíces: a) -9, -1, 4
b) -3, 1, 11
c) -7, 3, 6
49 Obtén dos polinomios diferentes cuyas únicas raíces sean -6, 0, 1.
Solución:
x(x+ 6)(x− 1) = x 3 + 5 x 2 − 6 x
Por ejemplo:
− x(x+ 6)(x − 1) = − x 3 − 5 x 2 + 6 x
y
50 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces:
a) -5, 3, 8
b) 0, 3, 6
Solución:
(x + 5 )(x − 3)(x− 8 ) = x 3 − 16 x 2 + 79 x− 120
a)
x(x − 3 )(x − 6 ) = x 3 − 9 x 2 + 18 x
b)
51 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (x - 13)(x + 1)(x - 7)(x + 6).
a) ¿De qué grado es el polinomio?
b) ¿Cuánto vale el término independiente?
Solución:
a) El grado es 4.
b) El término independiente vale -13·1·(-7)·6 = 546.
52 Obtén un polinomio que tenga únicamente las siguientes raíces:
a) 0, 4, 5
b) 3, 4
Solución:
x(x − 4 )(x − 5 ) = x 3 − 9 x 2 + 20 x
a)
(x − 3)(x − 4 ) = 9 x 2 − 7 x+ 12
b)
53 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 4x 2 − 37x + 40;
b) x 3 + 13x 2 + 42x;
c) x 3 − 7x 2 + 7x + 15.
Solución:
a) (x + 5)(x − 8)(x − 1) ; b) x(x+ 7)(x + 6) ; c) (x − 5)(x + 1)(x − 3).
Raíces: a) -5, 1, 8
b) -7, -6, 0
c) -1, 3, 5
54 Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 13x 2 + 42x;
b) 4x 3 − 32x 2 + 4x + 168;
c) x 3 − 3x 2 − 88x − 240.
Solución:
a) x(x− 7)(x − 6) ; b) 4(x + 2)(x − 7)(x − 3) ; c) (x + 5)(x − 12)(x + 4).
Raíces: a) 0, 6, 7
b) -2, 3, 7
c) -5, -4, 12
55 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 9x 2 − 84x + 196;
b) x 3 − 3x 2 − 97x + 99;
c) x 3 + 6x 2 − 61x − 210.
Solución:
a) (x − 2)(x + 7)(x − 14) ; b) (x − 1)(x + 9)(x − 11) ; c) (x + 3)(x − 7)(x + 10).
Raíces: a) -7, 2, 14
b) -9, 1, 11
c) -10, -3, 7
56 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 6x 3 + 19x 2 − 321x − 54;
b) x 3 + 3x 2 − 97x − 99;
c) x 3 + 9x 2 − 84x − 196.
Solución:
a) (6 x + 1)(x − 6)(x + 9) ; b) (x + 1)(x − 9)(x + 11) ; c) (x + 2)(x − 7)(x + 14).
1
6
Raíces: a) -9, -
,6
b) -11, -1, 9
c) -14, -2, 7
57 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 + 6x 2 − 55x − 252;
b) x 3 + 27x 2 + 191x + 165;
c) x 3 − 12x 2 + 44x − 48.
Solución:
a) (x + 9)(x − 7)(x + 4) ; b) (x + 1)(x + 11)(x + 15) ; c) (x− 2)(x − 4)(x − 6).
Raíces: a) -9, -4, 7
b) -15, -11, -1
c) 2, 4, 6
58 Al descomponer factorialmente un polinomio se obtiene (5x + 1)(3x - 1)(x + 6)(x - 2).
a) ¿De qué grado es el polinomio?
b) ¿Cuánto vale el término independiente?
Solución:
El grado es 4.
El término independiente vale 1·(-1)·6·(-2) = 12.
59 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 2x 3 + 5x 2 − 28x − 15;
b) x 3 + 5x 2 − 29x − 105;
c) x 3 − 7x 2 − 7x + 8.
Solución:
a) (2 x + 1)(x − 3)(x+ 5) ; b) (x + 7)(x− 5)(x + 3) ; c) (x + 8)(x 2 − x + 1).
−
Raíces: a) -5,
1
2
,3
b) -7, -3, 5
c) -8
60 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 6x 3 + 32x 2 − 74x − 28;
14 2 93
18
b) x 3 +
x −
x+
;
5
5
5
c) x 3 − 16x 2 − 19x + 34.
Solución:
1
1


a) 6 x + (x − 2)(x + 7) ; b)  x − (x + 6)(x − 3) ; c) (x − 17)(x − 1)(x + 2).
3
5


1
3
Raíces: a) -7, -
1
5
,2
b) -6,
,3
c) -2, 1, 17
61 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 5x 2 + 11x − 28;
b) 3x 4 + 16x 3 − 37x 2 − 14x;
c) 3x 3 − 22x 2 − 47x + 18.
Solución:
a) (x − 4)(x 2 − x + 7) ; b) x(3 x + 1)(x− 2)(x+ 7) ; c) (3 x − 1)(x− 9)(x+ 2).
−
Raíces: a) 4
1
3
b) -7,
1
3
, 0, 2
c) -2,
,9
62 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 6x 2 − 6x − 7;
b) x 3 − x 2 − 89x − 231;
c) x 4 + 9x 3 − 25x 2 − 225x.
Solución:
a) (x − 7)(x 2 + x + 1) ; b) (x + 3)(x− 11)(x+ 7) ; c) x(x− 5)(x+ 5)(x+ 9).
Raíces: a) 7
b) -7, -3, 11
c) -9, -5, 0, 5
63 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 + 8x 2 − 80x − 384;
b) 11x 3 + 21x 2 − 35x + 3;
c) x 3 − 23x 2 + 135x − 225.
Solución:
a) (x + 4)(x − 8)(x + 12) ; b) (11 x − 1)(x − 1)(x + 3) ; c) (x − 3)(x − 5)(x − 15).
1
11
Raíces: a) -12, -4, 8
b) -3,
,1
c) 3, 5, 15
64 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 5x 3 + 36x 2 − 83x − 18;
b) 10x 3 + 9x 2 − 301x + 30;
c) x 3 + 3x 2 − 64x + 60.
Solución:
a) (5 x + 1)(x + 9)(x − 2) ; b) (10 x − 1)(x + 6)(x − 5) ; c) (x − 1)(x + 10)(x − 6).
−
1
5
1
10
,2
Raíces: a) -9,
b) -6,
,5
c) -10, 1, 6
65 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) x 3 − 4x 2 − 103x − 182;
b) x 3 − 7x 2 − 16x + 112;
c) x 3 − 4x 2 + 9x − 10.
Solución:
a) (x + 7)(x+ 2)(x− 13) ; b) (x − 4)(x+ 4)(x− 7) ; c) (x − 2)(x 2 − 2 x + 5).
Raíces: a) -7, -2, 13
b) -4, 4, 7
c) 2
66 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
a) 9x 3 − 8x 2 − 271x − 30;
b) x 3 − 5x 2 − 138x + 792;
c) x 3 − 2x 2 − 73x − 70.
Solución:
a) (9 x + 1)(x − 6)(x + 5) ; b) (x − 11)(x + 12)(x − 6) ; c) (x + 1)(x − 10)(x + 7).
−
1
9
Raíces: a) -5,
,6
b) -12, 6, 11
c) -7, -1, 10
67 Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
x 4 − 3x 3 + x 2 + 4
a)
x 5 + 3x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 3x + 1
b)
x 6 + 6x 5 + 14x 4 + 18x 3 + 17x 2 + 12x + 4
c)
Solución:
(
)
2
(
)
3
a) x 2 + x + 1 (x − 2)
b) x 2 + 1 (x + 1)
Raíces: a) 2 (doble)
b) -1 (triple)
(
2
c) -1 (doble), -2 (doble)
68 Obtén un polinomio cuyas raíces sean:
a) 0 (raíz doble), -1 (raíz triple)
b) 0 (raíz simple), 1 (raíz triple), 2 (raíz doble)
Solución:
)
2
c) x 2 + 1 (x + 1) (x + 2 )
3
x 2 (x + 1) = x 5 + 3 x 4 + 3 x 3 + x 2
a)
3
2
x(x − 1) (x − 2) = x 6 − 7 x 5 + 19 x 4 − 25 x 3 + 16 x 2 − 4 x
b)
69 Obtén un polinomio de cuarto grado que no tenga raíces reales.
Solución:
4
Por ejemplo: x + 1
70 Obtén un polinomio cuyas raíces sean:
a) 1 (raíz doble), -1 (raíz triple)
b) -3 (raíz simple), 0 (raíz triple), 1 (raíz doble)
Solución:
(x − 1)2 (x + 1)3
= x 5 + x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 + x+ 1
a)
2
x 3 (x + 3 )(x − 1) = x 6 + x 5 − 5 x 4 + 3 x 3
b)
71 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
x 4 − 13x 2 + 36 = 0
a)
x 4 − 26x 2 + 25 = 0
b)
Solución:
2
a) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 13z + 36 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3
2
b) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 26z + 25 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5
72 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
2 x + 6 = 10
4 x + 7 = 16
Solución:
a) Se aísla el radical:
2 x =4
x =2
Se simplifica:
Se eleva al cuadrado: x = 2
x+ 7 = 4
b) Se simplifica:
Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16
Se opera: x = 9
73 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
2x + 2 5x + 10 = 16
x− x =6
Solución:
5 x + 10 = 8 − x
a) Simplificando:
2
Elevando al cuadrado: 5x + 10 = 64 - 16x + x
2
Operando: x - 21x + 54 = 0;
⇒ x = 3 y x = 18; Solución válida: x = 3
− x =6−x
b) Aislando el radical:
2
Elevando al cuadrado: x = 36 - 12x + x
2
Operando: x - 13x + 36 = 0
⇒
x = 9 y x = 4; Solución válida. x = 9
74 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 5x + 10 = 12x - 4
b) 4x + 2 - 2x = 8x
c) 6x - 9x = 18 - 27
d) 2 + 4x - 15 = - 13x + 4
Solución:
a) x = 2;
b) x = 1/3;
c) x = 3;
d) x = 1
75 Resuelve las siguientes ecuaciones:
x 2 + 5x + 4 = 0
a)
x 2 + 5x + 6 = 0
b)
x 2 − 5x + 6 = 0
c)
x 2 + 6x − 7 = 0
d)
Solución:
a) x = -1 y x = -4;
b) x = -2 y x = -3;
c) x = 2 y x = 3;
d) x = -7 y x = 1
76 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 2(x - 3) + 3(x - 1) = 1
b) 4x + 2(x - 1) - 3(x - 2) = 13
c) (1 - x) + 2(2x + 3) = 4
d) x + 2x + 3x = 5(1 - x) + 6
Solución:
a) x = 2;
b) x = 3;
c) x = -1;
d) x = 1.
77 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 2x + 4 = x + 6
b)x + 2x + 3x = 5x + 1
c) x + 51 = 15x + 9
d) -x + 1 = 2x + 4
Solución:
a) x = 2;
b) x = 1;
c) x = 3;
d) x = -1
78 Resuelve las siguientes ecuaciones:
x2 − 1 = 0
a)
x2 + x − 6 = 0
b)
x 2 − 9x + 20 = 0
c)
x 2 − 6x − 7 = 0
d)
Solución:
a) x = 1 y x = -1;
b) x = -3 y x = 2;
79 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
x 4 − 5x 2 + 4 = 0
a)
x 4 − 25x 2 + 144 = 0
b)
Solución:
c) x = 4 y x = 5
d) x = -1 y x = 7
2
a) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 5z + 4 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 4.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = 1; x = - 1; x = - 2 y x = 2
2
b) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 25z + 144 = 0; cuyas soluciones son: z = 9 y z = 16.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = - 3; x = 3; x = - 4 y x = 4
80 Preguntado un padre por la edad de su hijo contesta: “el producto de su edad hace 6 años por el de su
edad hace 4 años es mi edad actual que son 48 años. Calcula la edad del hijo.
Solución:
Se plantea la ecuación, “x” es la edad del hijo: (x - 6) · (x - 4) = 48
2
Operando: x - 10x - 24 = 0
Soluciones: x = 12 y x = -1. La solución válida es 12 años.
81 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
72 + 2x + 8 − 24 x + 4 = 4x − 2
4 x + 7 = 16
12 − 2 x =
x
− 12
8
c)
Solución:
− 12 x + 4 = x − 41
a) Se simplifica:
2
Se eleva al cuadrado: 144(x + 4) = x - 82x + 1681
2
Operando: x - 226x + 1105 = 0
⇒ x = 5 y x = 221; Solución válida, x = 5
x+ 7 = 4
b) Se simplifica:
Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16
Se opera: x = 9
− 16 x = x − 192
c) Se simplifica:
2
Se eleva al cuadrado: 256x = x + 36864 - 384x
2
Operando: x - 640x + 36864 = 0; ⇒ x = 64 y x = 576; Solución válida, x = 64
82 Irene pregunta a Enrique: ¿cuántos litros de combustible caben en el depósito de tu coche? A lo que
Enrique contesta: Si a la mitad del contenido de mi depósito le echas 25 litros queda igual de lleno que si a
la quinta parte del depósito le echas 40 litros.
Solución:
x
x
+ 25 = + 40
2
5
Se plantea la ecuación:
Operando: x = 50 litros.
83 Un alumno pregunta al profesor: “¡Profe!, ¿cuántos alumnos se presentan a la recuperación de
matemáticas?” A lo que el profesor responde: “Si restamos 72 al producto del número de alumnos que se
presentan menos 6 por el numero de alumnos que se presentan menos 7, obtendríamos el número de
alumnos que se debería presentar que es cero”.
Solución:
Se plantea el problema, “x” es el número de alumnos que se presenta a la recuperación: (x - 6) · (x - 7) - 72 = 0
2
Operando: x - 13x - 30 = 0
Las soluciones son: x = -2 y x = 15. La solución válida es 15 alumnos.
84 Preguntado un padre por la edad de sus tres hijos contesta: mis hijos se llevan cada uno un año con el
siguiente, si sumamos sus edades se obtienen 9 años más que si sumamos las edades de los dos más
pequeños.
Solución:
Se plantea la ecuación: edad del más pequeño “x” entonces x + (x + 1) + (x + 2) = 9 + x + (x + 1)
Operando: x = 7 años, x + 1 = 8 años y x + 2 = 9 años.
85 Resuelve las siguientes ecuaciones:
2x 2 + 3 = x 2 + 4
a)
x2 + x − 3 = 3
b)
2x 2 − 3x + 3 = x 2 + 2x − 3
c)
x 2 + 3x − 7 = −3x
d)
Solución:
a) x = -1 y x = 1;
b) x = -3 y x = 2;
c) x = 2 y x = 3;
86 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
2 x + 6 = 10
4 x + 7 = 16
x − 5 x = −x
Solución:
a) Se aísla el radical:
2 x =4
x =2
Se simplifica:
Se eleva al cuadrado: x = 2
x+ 7 = 4
b) Se simplifica:
Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16
Se opera: x = 9
− 4 x = −x
c) Se opera:
2
Se eleva al cuadrado: 16x = x
2
⇒
Se opera: x - 16x = 0
x = 0 y x = 16
87 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 10(20 - x) = 8(2x - 1)
x 21 3x 5x
−
−
+
=7
2
3
4
6
b)
3x − 5 4x 3x + 5
−
=
2
5
20
c)
40 + 14x − 1 − 2x −5x + 15
=
3
5
d)
Solución:
a) x = 8
b) Multiplicando por 12 queda: 6x - 84 - 9x + 10x = 84; x = 24
c) Multiplicando por 20 queda: 30x - 50 - 16x = 3x - 5;
x=5
d) Multiplicando por 15 queda: 200 + 70x - 5 - 10x = - 15x + 45; x = - 2
88 Resuelve las siguientes ecuaciones:
x 4 − 17x 2 + 16 = 0
a)
x 4 − 34x 2 + 225 = 0
b)
d) x = -7 y x = 1
c)
x 4 − 10x 3 + 24x 2 = 0
Solución:
2
a) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 17z + 16 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 16.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = -4 y x = 4
2
b) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 34z + 225 = 0; cuyas soluciones son: z = 9 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -3; x = 3; x = -5 y x = 5
c) Sacando factor común, queda la ecuación:
2
2
x ·(x - 10x + 24) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 0, x = 4 y x = 6.
89 La raíz cuadrada de un número al que hemos añadido 6 unidades es igual a ese mismo número si le
restamos 6 unidades. Averigua de que número se trata.
Solución:
x+ 6 = x− 6
Se plantea el problema:
2
Elevando al cuadrado: x + 6 = x + 36 - 12x
2
Operando: x - 13x + 30 = 0;
⇒
x = 10 y x = 3; Solución válida, x = 10
90 Resuelve las siguientes ecuaciones:
x 2 + 10 = 9x + 10
a)
2x 2 − 12x + 14 = 0
b)
2x 2 − 5x + 12 = x 2 + 5x − 12
c)
2x 2 − 3 = x 2 − 6
d)
Solución:
a) x = 4 y x = 5;
b) x = -1 y x = 7;
c) x = 4 y x = 6;
d) x = -3 y x = 3
91 Resuelve las siguientes ecuaciones:
x 4 − 10x 2 + 9 = 0
a)
x 4 − 29x 2 + 100 = 0
b)
2x 3 − 20x 2 + 48x = 0
c)
Solución:
2
a) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 10z + 9 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 9.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = -3 y x = 3
2
b) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z -29z + 100 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -5 y x = 5
c) Sacando factor común, queda la ecuación:
2
x·(2x -20x + 48) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 4 y x = 6.
92 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
x 4 − 13x 2 + 36 = 0
a)
x 4 − 26x 2 + 25 = 0
b)
x 4 − 9x 2 + 20 = 0
c)
Solución:
2
a) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 13z + 36 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3
2
b) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 26z + 25 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 25.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5
2
c) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación:
2
z - 9z + 20 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 5.
Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -
5
yx=
5
93 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
2x 4x x
−
+ =3
3
6
4
a)
3x − 5 4x 3x + 5
−
=
2
5
20
b)
6x − 22 10x − 2 2x − 14 10x − 12
−
=
−
3
14
6
21
c)
2(x − 1) −2(1 − x)
−
=5
4
3
d)
Solución:
a) Multiplicando por 12 queda:
b) Multiplicando por 20 queda:
c) Multiplicando por 42 queda:
d) Multiplicando por 12 queda:
8x - 8x + 3x = 36;
x = 12
30x - 50 - 16x = 3x - 5;
x=5
84x - 308 - 30x + 6 = 14x - 98 - 20x + 24;
6x - 6 + 8 - 8x = 60;
x = - 29
x = 19/5
94 En una tienda se venden pantalones originales de la marca Jorge's a 85 Euros y los de imitación a 32
Euros. En el transcurso de la semana se han vendido 43 pantalones, recaudando 2860 Euros. ¿Cuántos
pantalones de cada clase se vendieron?
Solución:
Planteamos el problema: x = pantalones auténticos; y = pantalones de imitación
x + y = 43


85 x + 32 y = 2860 
Soluciones x = 28; y = 15
95 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
2x + 4y = 10 
4x + 3y = 1


2x + y = 7 
x + y =1 
a)
Solución:
a) x = 3; y = 1
b)
b) x = -2; y = 3
96 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
2x − 4y = 2

x
4x + 3y = 1
+ 2y = 3 

3

x + y =1 
a)
Solución:
a) x = 3; y = 1
b)
b) x = -2; y = 3
97 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
2x + 4y = 10 

4x + 2y = 14 
2x + 3y = 5 

− x − y = −1
a)
b)
Solución:
a) x = 3; y = 1
b) x = -2; y = 3
98 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.
x + 2y = 5 
3x − 2y = −12 


− 2x + 4y = 2
− x + 2y = 8 
b)
a)
Solución:
a) x = 3; y = 1
b) x = -2; y = 3
99 En una frutería se venden peras de 1ª a 1,9 Euros/kg y de 2ª a 1,2 Euros/kg. Si en el transcurso del día se
han vendido 140 kg de peras con una recaudación total de 227,5 Euros. ¿Cuántos kilogramos de cada clase
se han vendido?
Solución:
Planteamos el problema: x= kg de primera; y = kg de segunda
x + y = 140


1,9 x + 1,2 y = 227,5 
Soluciones x = 85; y = 55
10 Resuelve los siguientes sistemas no lineales:
0
y=x−2 
xy = 15 


3 x
x 5 

+ = 4
=
x y
y 3 

a)
b)
Solución:
2
3
a) x = 3, y = 1;
x=
−
4
3
,y=
b) x = -5, y = -3;
x = 5, y = 3
10 Resuelve los siguientes sistemas no lineales:
1
y

x + y - = 1
3x 2 − 5y2 = 30 
x



x+y=5

x 2 − 2y2 = 7 
a)
Solución:
a) x = 1, y = 4
b)
b) x = -5, y = -3;
x = -5, y = 3;
x = 5, y = -3;
x = 5, y = 3
10 Con dos clases de café de 9 Euros/kg y 12 Euros/kg se quiere obtener una mezcla de 10 Euros/kg. Halla la
2 cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg de mezcla.
Solución:
Planteamos el problema: x = kilo de la clase más barata; y = kg de la clase más cara.
9 x + 12 y = 300 

x + y = 30 
Soluciones: x = 20; y = 10
10 Resuelve el siguiente sistema no lineal:
3
3 
x 2 + y2 + xy =
4 

1
x 2 − y2 − xy = − 
4 
Solución:
1
1
x = − ,y = − ;
2
2
x=−
1
, y = 1;
2
x=
1
, y = −1;
2
x=
1
1
,y =
2
2
10 Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.
4
x + 2y = 5 
x + y = 18 


2x + y = 7
10x + y = 9
a)
b)
Solución:
a) Igualación:
x = 5 − 2 y
7−y

;
7 − y  5 − 2y =
x=
2

2 
10 − 7 = 4 y − y; ⇒ y = 1; x = 3
Reducción:
− 2 ⋅ (x + 2 y = 5 ) - 2 x- 4 y = -10

2 x+ y = 7  2 x+ y = 7
- 3 y = - 3 ⇒ y = 1; x = 3
b) Igualación:
y = 18 − x 
 18 - x = 9 - 10 x
y = 9 − 10 x 
10 x- x = 9 - 18;
⇒ x = -1; y = 19
Reducción:
− (x + y = 18 ) − x − y = −18

10 x + y = 9  10 x + y = 9
9x
= -9
⇒ x = -1; y = 19
10 Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.
5
5
2x + 2y = 
3
5
4x − y = 
x + y = 18 
6 

10x + y = 9
a)
Solución:
a) Igualación:
b)
y = 18 − x 
 18 - x = 9 - 10 x
y = 9 − 10 x 
10 x- x = 9 - 18;
⇒ x = -1; y = 19
Reducción:
− (x + y = 18 ) - x- y = -18

10 x + y = 9  10 x + y = 9
9x
= -9;
x = -1 ⇒ y = 19
b) Igualación:
5

− 2x 
3
 5 - 6 x − 5 + 24 x
y=
=

2
6
6

5
y = − + 4 x
6

1
1
30 x = 10;
x= ; y=
3
2
Reducción:
5 
10
2 x+ 2 y =

3 
6
10
5 

2 ⋅  4 x − y =  8 x- 2 y =
6
6 

2 x+ 2 y =
10 x
=
20
20 1
; x=
= ;
6
60 3
y=
1
2
10 Resuelve los siguientes sistemas no lineales:
6
y=x+2 

1 x

− = 0
(x + y )(x − y ) = 7
x y


3x − 4y = 0

a)
Solución:
a) x = -1, y = 1;
b)
x = 2, y = 4
b) x = -4, y = -3;
x = 4, y = 3
10 Una calculadora y un reloj cuestan 115 Euros. En las calculadoras se está haciendo un descuento del 20%
7 y en los relojes del 10%. Pagando de este modo solo101,5 Euros. ¿Cuál es el precio de cada objeto?
Solución:
Planteamos el problema: x = precio de la calculadora; y = precio del reloj
x + y = 115


0,8 x + 0,9 y = 101,5 
Soluciones: x = 20; y = 95
10 Enrique invierte sus 30000 Euros en 2 bancos. En el banco del Teide le dan el 7% de beneficios y en Caja
8 Europa el 3%.Teniendo en cuenta que recibió por su dinero 1780 Euros de beneficios. ¿Cuánto dinero
colocó en cada banco?
Solución:
Plantemos el problema: x = dinero en Banco del Teide, y = dinero en Caja Europa
x + y = 30000


0,07 x + 0,03 y = 1780 
Soluciones, x = 22000; y = 8000
10 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y reducción.
9
x + 2y = 5 
2x + 4y = 10 


2x + y = 7
2x + y = 7 
a)
b)
Solución:
a) Sustitución:
x + 2 y = 5
x =5 - 2y

2 x + y = 7 2(5 - 2 y) + y = 7
10 − 4 y + y = 7; - 3 y = -3;
y =1 ⇒ x = 3
Reducción
− 2 ⋅ (x + 2 y = 5 ) - 2 x- 4 y = -10

2 x+ y = 7  2 x + y = 7
- 3 y = - 3 ⇒ y = 1; x = 3
b) Sustitución
2 x + 4 y = 10 
y =7 - 2x

2 x + y = 7  2 x + 4(7 - 2 x) = 10
2 x + 28 − 8 x = 10; - 6 x = -18; x = 3
Reducción:
− (2 x + 4 y = 10 ) - 2 x- 4 y = -10

2 x+ y = 7  2 x+ y = 7
- 3 y = -3
⇒ y =1
⇒ y = 1; x = 3
11 Resuelve el siguiente sistema no lineal:
0
2x − 1 y + 3

+
= 3
x +1
y+1

x (x − 2 ) = y(1 − y ) 
Solución:
x = 2, y = 1;
x=
2
3
,y = −
13
13
11 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución e igualación.
1
2x + 4y = 10 
4x + 3y = 1


4x + 2y = 14 
x + y =1 
a)
b)
Solución:
a) Sustitución:
10 - 4 y
x=
2 x + 4 y = 10 
2

4 x + 2 y = 14  4 ⋅  10 - 4 y  + 2 y = 14
2 

20 − 8 y + 2 y = 14; - 6 y = -6; y = 1 ⇒ x = 3
Igualación:
10 − 4 y 
x=
 10 − 4 y 14 − 2 y
2
=
14 − 2 y 
2
4

x=
4

20 − 8 y = 14 − 2 y; - 6 y = -6; y = 1 ⇒ x = 3
b) Sustitución:
4 x + 3 y = 1
x = 1- y

x + y = 1  4(1 - y) + 3 y = 1
4 − 4 y + 3 y = 1;
- y = -3;
Igualación:
1− 3 y
 1- 3 y
x=
= 1− y
4 
4
x = 1 − y 
1 − 3 y = 4 − 4 y; y = 3 ⇒
y=3
⇒
x = -2
x = 1 - 3 = -2