Integral de l´ınea de campos escalares. Integral de l´ınea de

Integral de lı́nea de campos escalares.
Sean f : Rn → R un campo escalar y C una curva parametrizada por σ : [a, b] → Rn
de modo que
i) σ ∈ C (1) [a, b].
ii) σ([a, b]) ⊂ D(f ).
iii) f ◦ σ es continua en [a, b].
Se define la integral de f a lo largo de C como
Z
Z b
f=
(f ◦ σ)(t) · |σ 0 (t)| dt.
C
a
Si f ◦ σ es continua a trozos o bien σ es de clase C (1) a trozos, la integral se define
como suma de las integrales en cada intervalo de continuidad.
Se puede demostrar (veremos más adelante el caso general) que el valor de la integral
no depende de la parametrización que define la curva.
Ejemplo. Si C es la hélice parametrizada por σ(t) = (cos t, sen t, t) (t ∈ [0, 2π]) y
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , entonces
√
Z
Z 2π
Z 2π √
√
2π
2
f=
(cos2 t + sen2 t + t2 ) · 2 dt =
· (3 + 4π 2 ).
2(1 + t2 ) dt =
3
C
0
0
Interpretación
geométrica. Si P = {t0 , t1 , . . . , tm } es una partición de [a, b] y
R ti
0
∆si = ti−1 |σ (t)| dt = |σ 0 (ξi )| · (ti − ti−1 ) representa la longitud de la curva C en el
intervalo [ti−1 , ti ], entonces
Z
f = lı́m
C
m→∞
m
X
i=1
f (ui )∆si = lı́m
m→∞
m
X
f (σ(ξi )) · |σi0 (ξi )| · (ti − ti−1 ).
i=1
Integral de lı́nea de campos vectoriales.
Sean F : Rn → Rn un campo de fuerzas y C la trayectoria descrita por una partı́cula
bajo la acción de F , parametrizada por σ : [a, b] → Rn .
→
−
Si la trayectoria es una recta dada por el vector d y F es una fuerza constante, el
→
→ −
−
trabajo realizado por la fuerza a lo largo de la trayectoria es F · d .
1
Si la trayectoria es una curva, dividimos [a, b] en subintervalos [t0 , t1 ], [t1 , t2 ], . . . , [tm−1 , tm ]
−−→
y llamamos ∆si = σ(ti ) − σ(ti−1 ) y Fi−1 a la fuerza aplicada en σ(ti−1 ).
Un valor aproximado del trabajo a lo largo de la curva σ([ti−1 , ti ]) es
Wi = Fi−1 · ∆si ∼ Fi−1 · σ 0 (ti−1 ) · ∆ti .
El valor total del trabajo se aproxima mediante la suma
W =
m
X
Wi ∼
i=1
m
X
Fi−1 · σ 0 (ti−1 ) · ∆ti .
i=1
Tomando lı́mites, podemos suponer que
Z b
→
−
→
−
F (σ(t)) · σ 0 (t) dt.
W =
a
Definición. Si F : Rn → Rn es un campo vectorial continuo sobre σ([a, b]) y σ ∈
C (1) [a, b], definimos la integral de lı́nea de F a lo largo de C como
Z
Z
F =
b
F (σ(t)) · σ 0 (t) dt.
a
C
La propia definición indica que el valor de la integral depende, no sólo del campo vectorial, sino de la parametrización que define la curva. Veamos que la parametrización
sólo afecta al signo de la integral.
Cambio de parámetro en la integral de lı́nea. Si ϕ y ψ son dos parametrizaciones
regulares y equivalentes, podemos distinguir dos casos:
R
R
- Si ϕ y ψ conservan la orientación, entonces ϕ F = ψ F .
R
R
- Si ϕ y ψ invierten la orientación, entonces ϕ F = − ψ F .
En el primer caso, sabemos que existe λ : [a, b] → [α, β] biyectiva y creciente (es decir
λ(a) = α, y λ(b) = β), tal que ψ ◦ λ = ϕ. Entonces
Z
Z
b
F (ψ(λ(t))) · ψ 0 (λ(t)) · λ0 (t) dt
F (ϕ(t)) · ϕ (t) dt =
F =
ϕ
b
Z
0
a
Z
a
β
Z
0
F (ψ(u)) · ψ (u) du =
=
α
F.
ψ
En el segundo caso, existe λ : [a, b] → [α, β] biyectiva y decreciente, tal que ψ ◦ λ = ϕ.
2
Entonces
Z
Z
Z
b
F (ψ(λ(t))) · ψ 0 (λ(t)) · λ0 (t) dt
a
Z
Za α
0
F (ψ(u)) · ψ (u) du = − F.
=
0
F (ϕ(t)) · ϕ (t) dt =
F =
ϕ
b
ψ
β
Relación entre la integral de lı́nea de campos escalares y la de campos
vectoriales.
Si llamamos T (t) al vector unitario tangente a la trayectoria, T (t) = σ 0 (t)/|σ 0 (t)|,
resulta
Z
Z b
Z b
σ 0 (t)
0
F =
F (σ(t)) · 0
· |σ (t)| dt =
F (σ(t)) · T (t) · |σ 0 (t)| dt.
|σ
(t)|
σ
a
a
Deducimos ası́ que la integral de lı́nea del campo vectorial F se reduce a la integral
de lı́nea de la componente tangencial de F a lo largo de σ.
Notación. Si F (F1 , . . . , Fn ) es un campo vectorial, escribiremos
Z
Z
F =
F1 dx1 + · · · + Fn dxn .
C
La expresión
Pn
i=1
C
Fi dxi se llama forma diferencial.
Ejemplos. Calcular la integral del campo vectorial F a lo largo de la curva indicada.
i) F (x, y, z) = (x, y, z), σ(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2π.
ii) F (x, y, z) = (x2 , xy, 1), σ(t) = (t, t2 , 1), 0 ≤ t ≤ 1.
iii) F (x, y, z) = (cos z, ex , ey ), σ(t) = (1, t, et ), 0 ≤ t ≤ 2.
iv) F (x, y, z) = (x3 , y, z), σ es la circunferencia situada en el plano Y Z de radio a y
centro el origen.
Teorema fundamental de la integral de lı́nea. Sean f : Rn → R un campo escalar y C una curva regular parametrizada por σ : [a, b] → Rn tal que f ∈ C (1) (σ[a, b]).
Entonces
Z
∇f ds = f (σ(b)) − f (σ(a)).
C
3
Demostración. Definimos la función auxiliar g(t) = f (σ(t)), t ∈ [a, b]. Entonces, por
la regla de la cadena, g 0 (t) = ∇f (σ(t)) · σ 0 (t), de donde
Z b
Z
Z b
0
∇f (σ(t)) · σ (t) dt =
g 0 (t) dt = g(b) − g(a) = f (σ(b)) − f (σ(a)).
∇f ds =
a
C
a
Observaciones.
1. El resultado sigue siendo válido si la curva es regular a trozos (basta descomponer la integral en suma de integrales sobre cada trayectoria regular).
Z
∇f ds = 0 (pues los puntos inicial y final de la
2. Si C es una curva cerrada,
C
trayectoria coinciden).
Ejemplos.
1. Si C es la hélice parametrizada por σ(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π], y F (x, y, z) =
x2 + y 2 + z 2
(x, y, z), entonces F = ∇f , con f (x, y, z) =
, de donde
2
Z
F ds = f (σ(2π)) − f (σ(0)) = f (1, 0, 2π) − f (1, 0, 0) = 2π 2 .
C
2. Si C es la circunferencia x2 + y 2 = r2 , z = 1 y F (x, y, z) = (2x, 3y 2 , 4z 3 ), entonces σ(t) = (r cos t, r sen t, 1), t ∈ [0, 2π], y F (x, y, z) = ∇f , donde f (x, y, z) =
x2 + y 3 + z 4 . Ası́ pues,
Z
F ds = f (σ(2π)) − f (σ(0)) = f (r, 0, 1) − f (r, 0, 1) = 0.
C
mM −
→
→
3. Si queremos calcular el trabajo realizado por la fuerza F (−
x ) = −G →
x al
|−
x |3
mover una partı́cula de masa m desde el punto (1, 2, 2) hasta el punto (0, 5, 0)
a lo largo de cualquier curva suave a trozos, basta observar que F = ∇f , donde
mM
→
f (−
x)=G −
, de modo que
|→
x|
Z
mM
mM
F ds = f (0, 5, 0) − f (1, 2, 2) = G
−G
.
5
3
C
4
Independencia de la trayectoria.
Mediante los siguientes resultados, vamos a establecer las condiciones que se requieren
para que una integral de lı́nea sea independiente de la trayectoria.
Condición necesaria y suficiente para que la integral sea independiente de
la trayectoria.
Z
n
n
F ds es
Si F : R → R una función continua en un dominio D, la integral
C
Z
independiente de la trayectoria si y sólo si
F ds = 0 para toda trayectoria cerrada
C
en D.
Para poder aplicar este resultado, necesitamos responder la siguiente pregunta:
¿Qué funciones tienen integral independiente de la trayectoria?
Sea D unZ abierto conexo y representamos por ∂D a la frontera de D. Si F es continua
F ds es independiente de la trayectoria, entonces F es conservativo, es
en D y
∂D
decir F es el gradiente de algún campo escalar.
Z
F ds, donde C es cualquier curva
Basta para ello definir la función f (x, y, z) =
C
contenida en D que va desde un punto fijo (x0 , y0 , z0 ) hasta (x, y, z), y comprobar que
∇f = F . La forma más sencilla de elegir dicha curva C es seguir la trayectoria formada
por los tres segmentos de recta que unen los puntos (x0 , y0 , z0 ), (x, y0 , z0 ), (x, y, z0 ),
(x, y, z), pues dichos segmentos llevan direcciones paralelas a los ejes coordenados.
En la práctica es posible calcular el potencial de un campo conservativo mediante
este método.
4
3
Ejemplo. Sean F (x, y, z)
R = (y, x, 0) y C la curva parametrizada por σ(t) = (t /4, sen tπ/2, 0),
t ∈ [0, 1]. Para calcular C F , basta observar que F es un campo conservativo y que
f (x, y, z) = xy es el potencial de F . Por tanto, sabiendo que σ(0) = (0, 0, 0) y
σ(1) = (1/4, 1, 0), resulta:
Z
Z
F =
∇f = f (1/4, 1, 0) − f (0, 0, 0) = 1/4.
C
C
El resultado anterior no especifica qué campos son conservativos pues, en general, no
es sencillo comprobar la independencia de la integral respecto a la trayectoria.
¿Cuándo un campo vectorial es conservativo?
Condición necesaria: Si F = (F1 , F2 , F3 ) es un campo conservativo de clase C (1)
5
en un dominio D, entonces
∂F1
∂F2 ∂F1
∂F3 ∂F2
∂F3
=
,
=
,
=
.
∂y
∂x ∂z
∂x ∂z
∂y
(Observemos que esta condición equivale a decir que rot F = 0.)
Condición suficiente: Si D es una región abierta simplemente conexa y F un campo
vectorial de clase C (1) en D tal que rot F = 0, entonces F es conservativo.
[En el caso de R2 , este resultado es consecuencia del teorema de Green.]
Ejemplo (ley de conservación de la energı́a).
Sea F un campo de fuerzas continuo que se aplica a una partı́cula de masa m a lo
largo de una trayectoria C dada por σ : [a, b] → R3 , siendo σ(a) = A y σ(b) = B los
puntos inicial y final de la trayectoria. Por la segunda ley del movimiento de Newton,
F (σ(t)) = m · σ 00 (t).
El trabajo ejercido vendrá dado por la fórmula
Z
Z
Z b
m b d
0
(|σ 0 (t)|2 ) dt
W =
F ds =
F (σ(t)) · σ (t) dt =
2
dt
a
C
a
m 0 2
m
0
2
2
=
(|σ (b)| − |σ (a)| ) = (|v(b)| − |v(a)|2 ) = E(B) − E(A),
2
2
lo que representa precisamente la variación de la energı́a cinética de la partı́cula.
En particular, si F es un campo conservativo, F = ∇f o bien F = −∇V , donde V
es la energı́a potencial del objeto, entonces
Z
Z
W =
F ds = − ∇V ds = −V (σ(b)) + V (σ(a)) = V (A) − V (B).
C
C
Igualando ambos resultados, obtenemos la ley de conservación de la energı́a
E(B) − E(A) = V (A) − V (B), o bien E(B) + V (B) = E(A) + V (A)
(lo que justifica el nombre de campo conservativo al que verifica esta propiedad).
Teorema de Green.
Un resultado fundamental del cálculo vectorial es el teorema de Green, que permite
expresar una integral doble sobre una región plana D como una integral de lı́nea
sobre la curva frontera de dicha región. Su primera manifestación corresponde a un
6
trabajo sobre electricidad y magnetismo que publicó el matemático y fı́sico inglés G.
Green en 1828, aunque de forma independiente fue descubierto por el matemático
ruso Ostrogradski.
El teorema afirma que, si F = (P, Q) : R2 → R2 es un campo vectorial de clase C (1)
en un abierto A ⊂ R2 y C es una curva cerrada simple suave a trozos contenida en
A y que recorre en sentido antihorario la frontera de la región D, entonces
ZZ Z
∂Q ∂P −
dxdy =
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
∂y
D ∂x
C
Esta fórmula permite también calcular áreas de regiones planas mediante una integral
de lı́nea. Para ello podemos utilizar cualquiera de las fórmulas siguientes:
Z
Z
Z
1
a(D) =
x dy =
−y dx =
x dy − y dx,
2 ∂D
∂D
∂D
∂Q ∂P
−
= 1.
∂x
∂y
El teorema de Green también es válido cuando la curva ∂D no es simple, por ejemplo
cuando la región D no sea simplemente conexa (es decir que tenga algún agujero en
su interior).
pues en los tres casos se verifica que
Ejemplos.
p
R
1. Calcular C (3y − esen x ) dx + (7x + y 4 + 1) dy, donde C es la circunferencia
x2 + y 2 = 9.
Al aplicar el teorema de Green, si llamamos D a la región x2 +y 2 ≤ 9, la integral
se calcula fácilmente por
ZZ
(7 − 3) dxdy = 4a(D) = 4π · 32 = 36π.
D
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
Parametrizamos la elipse mediante la función σ(t) = (a cos t, b sen t), con 0 ≤
t ≤ 2π. Ası́,
Z
Z
2. Calcular el área de una elipse
2π
área =
a cos t · b cos t dt = πab.
x dy =
C
0
−y
x
dx
+
dy, donde C es cualquier trayectoria cerrada
2
2
x2 + y 2
C x +y
simple y orientada positivamente, que sea frontera de una región D que contiene
Z
3. Calcular
7
al origen.
En este caso la función integrando no es continua en el origen, de modo que
definimos D0 a la región interior a C pero exterior a C 0 , que es la circunferencia
contenida en D de centro el origen y radio ε. Sobre C ∪ C 0 la función sı́ es
continua, por lo que se puede aplicar el teorema de Green. Teniendo en cuenta
∂Q ∂P
−
= 0, tenemos:
además que
∂x
∂y
ZZ
Z
∂Q ∂P
P dx + Q dy =
(
−
) dxdy = 0.
∂y
C∪−C 0
D0 ∂x
Z
Z
Z
P dx + Q dy =
P dx + Q dy −
P dx + Q dy = 0, es
Por otra parte,
C∪−C 0 Z
C
C0
Z
decir
P dx + Q dy =
P dx + Q dy y esta última integral se puede calcular
C0
C
parametrizando la circunferencia C 0 por σ(t) = (ε cos t, ε sen t). Ası́:
Z 2π
Z
(sen2 t + cos2 t) dt = 2π.
P dx + Q dy =
C0
0
Forma vectorial del teorema de Green.
Haciendo uso del operador rotacional, la fórmula dada en el teorema de Green se
puede escribir como
ZZ
Z
→
−−−→ −
→
−
rot F · k dxdy.
F ds =
∂D
D
Ahora bien, por definición, la integral de lı́nea corresponde a la integral de la compo→
−
nente tangencial de F a lo largo de la curva ∂D. Una fórmula similar que involucra
→
−
la componente normal de F a lo largo de ∂D es la siguiente:
Z
ZZ
→ −
−
→
F · n ds =
div F dxdy
∂D
D
→
(−
n representa el vector unitario normal exterior a la curva), fórmula que recibe el
nombre de teorema de la divergencia en el plano.
Ejercicios.
1)
R Si2 C es el perı́metro del cuadrado unidad, recorrido en sentido antihorario, calcular
x dx + xy dy.
C
8