Cuaderno de Ejercicios para el aula.

EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA
I.T.O.P.
Alberto Luceño
Fco. Javier González
Universidad de Cantabria
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1.
1.
Estadı́stica descriptiva
En un estudio entre 145 familias, se ha observado que el número de hijos se distribuye de la siguiente
manera:
hijos
frecuencia
0
31
1
25
2
35
3
20
4
0
5
16
6
12
7
5
8
1
Se pide:
a) Hacer un diagrama de barras.
b)
Calcular, la media, la moda, la mediana y la desviación tı́pica.
◮
2.
x̄ = 2,41, Mo = 2, Me = 2, Sx = 2,11
En diferentes dı́as se ha observado el número de veces que ha sonado la alarma en un servicio de
bomberos, obteniéndose los siguientes datos:
{5, 3, 1, 5, 3, 6, 4, 2, 5, 6, 3, 6, 5, 2, 6, 7, 3}
Se pide:
a) Obtener la moda, la mediana, Q1 , Q3 y el cuantil 0,40.
b)
Obtener la media y la desviación tı́pica.
c) Efectuar un diagrama apropiado.
◮
3.
a) Mo = 3, 5, 6, M e = 5, Q1 = 3, Q3 = 6, c0,40 = 3
b) x̄ = 4,235, Sx = 1,751
El porcentaje de algodón en una tela utilizada para elaborar camisas para hombre se presenta en la
siguiente tabla. Calcular los estadı́sticos más importantes y construir el histograma de frecuencias.
32,1
33,4
33,8
34,4
34,7
35
35,5
36,8
32,5
33,5
34
34,5
34,7
35,1
35,6
36,8
porcentaje
32,6 32,7
33,6 33,6
34,1 34,1
34,5 34,6
34,7 34,7
35,1 35,1
35,7 35,8
36,8 37,1
de algodón
32,8 32,9
33,6 33,6
34,1 34,2
34,6 34,6
34,7 34,7
35,2 35,3
35,9 36,2
37,3 37,6
33,1
33,6
34,3
34,6
34,9
35,4
36,4
37,8
33,1
33,8
34,3
34,6
35
35,4
36,6
37,9
a) Diseñar la distribución de frecuencias con un cambio de variable.
b)
Calcular los estadı́sticos: media, moda, mediana, Q1 , Q3 , c0,6 , varianza y desviación tı́pica.
c) Representar el diagrama de tallo y hojas.
d)
A partir del diagrama anterior determinar la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil y
compárese los resultados con los obtenidos a partir de la distribución de frecuencias.
e)
Representar los histogramas de frecuencias absolutas y acumuladas.
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Alberto Luceño y Fco. Javier González
2
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
f)
Representar el diagrama de caja y determinar los valores extremos.
◮
4.
2
b) Sx
= 1,82, Mo = 34,8, Q1 = 33,8, Q3 = 35,475, c0,60 = 34,9
Un ingeniero se plantea la elección entre dos fabricantes distintos para el suministro de cierto aditivo
para el hormigón. El ingeniero recibe las muestras de los suministradores A y B. Realiza las medidas
para 15 bolsas de cada tipo del suministro. Los resultados se recogen en la tabla:
Laboratorio A
2,769
2,955
3,051
2,865
2,969
3,017
Laboratorio B
2,813
2,962
3,076
2,901
2,984
3,039
2,863
2,98
3,123
2,923
2,981
3,044
2,875
3,007
3,161
2,940
2,996
3,057
2,924
3,028
3,216
2,945
3,002
3,14
Se pide:
a) Diseñar una distribución de frecuencias para cada tipo de aditivo.
b)
Realizar los histogramas adecuados para comparar gráficamente ambos aditivos.
c)
Determinar los principales estadı́sticos.
d)
Justificar el aditivo elegido.
◮
Descriptive Statistics Variable
N
Mean
Median
LabA
15
2,9869
2,9800
LabB
15
2,9869
2,9840
Variable
LabA
LabB
5.
Minimum
2,7690
2,8650
Maximum
3,2160
3,1400
TrMean
2,9860
2,9845
Q1
2,8750
2,9400
StDev SE Mean
0,1273 0,0329 %
0,0688 0,0178 %
Q3 %
3,0760 %
3,0390
Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en un test de habilidad psicomotriz han sido
las siguientes:
Puntuaciones
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 30)
xi
7’5
12’5
17’5
22’5
27’5
fi
3
6
13
7
2
31
xi fi
22’5
75
227’5
157’5
55
537’5
Fi
3
9
22
29
31
a) Calcular los principales estadı́sticos centrales.
b)
Rango intercuartil.
◮
6.
a) x̄ = 17,34, Me = 17,5, Q1 = 13,96, Q3 = 20,9
b) RIQ = 16,94
En la siguiente tabla de frecuencias, se registran los pesos en gramos de ciertas tornillos.
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Alberto Luceño y Fco. Javier González
3
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
intervalo
1≤x<3
3≤x<5
5≤x<7
7≤x<9
9 ≤ x < 11
marca de clase
frecuencia
5
7
10
2
a) Dar las marcas de clase y calcular la frecuencia correspondiente al cuarto intervalo, sabiendo
que la media x es igual a 6 gramos.
b)
Hallar el tercer cuartil Q3 .
◮
1.1.
7.
a) f4 = 13
b) Q3 = 7, 885
Distribución conjunta de dos variables
La siguiente tabla registra en diferentes horas la temperatura (T) del agua de un rı́o y su contenido
en oxı́geno disuelto (DO):
T
29,57
29,99
30,58
31,00
31,34
31,26
31,17
30,96
30,50
29,99
DO
9,88
12,14
13,66
14,19
14,50
13,72
12,54
11,48
9,92
8,32
T
29,48
29,06
28,81
28,60
28,51
28,51
28,43
28,34
28,34
28,26
DO
6,67
5,29
4,23
3,56
2,98
2,58
2,32
2,14
2,09
2,27
T
28,43
28,64
29,02
29,52
30,07
30,67
31,17
31,55
31,76
31,81
DO
2,90
3,94
5,52
7,83
10,68
12,98
14,26
14,93
14,91
14,61
T
31,68
31,34
31,00
30,79
30,45
30,07
29,69
29,36
29,02
28,76
DO
13,80
12,32
11,00
10,00
8,45
6,48
4,91
3,89
3,21
2,83
T
28,51
28,30
28,09
28,00
28,13
28,30
28,72
29,14
29,74
30,37
DO
2,58
2,41
2,51
2,71
3,48
4,36
5,71
7,91
10,61
12,66
Se pide:
a) Construir una distribución conjunta de frecuencias para las dos variables T y DO tomando 5
intervalos.
b)
Dibujar un diagrama de dispersión conjunto de las dos variables.
c) Hacer un estudio de las distribuciones marginales.
d)
Calcular la matriz de varianzas-covarianzas.
◮ Véase el capı́tulo 1 del libro de Luceño y González(2003)
8.
En cierto colectivo de personas se toma una muestra de 30 personas a las que se observa el peso,
obteniéndose los siguientes datos:
{57,2; 92,5; 72,8; 74,8; 60,1; 96,1; 74,3; 89,1; 69,2; 77,7;
65,0; 82,1; 66,2; 51,3; 83,9; 71,3; 84,8; 62,5; 103,2; 64,1;
73,1; 87,3; 58,9; 76,1; 45,8; 79,1; 68,9; 62,5; 81,5; 65,7}
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
4
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Obtener los estadı́sticos más importantes.
◮ Variable
peso
Variable
peso
9.
N
30
Minimum
45,80
Mean
73,24
Median
72,95
Maximum
103,20
TrMean
73,10
Q1
63,70
StDev
13,26
SE Mean %
2,42
Q3 %
82,55
La duración en horas de una serie de bombillas viene dada por la siguiente
7, 24, 31, 34, 26, 19, 88, 76, 81, 44, 43, 40, 54, 55,
61, 58, 59, 29, 37, 36, 47, 49, 66, 70, 39, 50, 68
Obtener los estadı́sticos más importantes.
◮ Variable
horas
Variable
horas
10.
N
27
Minimum
7,00
Mean
47,81
Maximum
88,00
Median
47,00
Q1
34,00
TrMean
47,84
StDev
19,65
SE Mean %
3,78
Q3 %
61,00
Se han obtenido las siguientes medidas en milı́metros de una serie de 30 tornillos cogidos al azar.
124, 116, 144, 133, 109, 120, 146, 114, 112, 110, 123, 115, 123, 138, 127,
111, 125, 137, 132, 140, 121, 139, 126, 130, 139, 131, 125, 142, 124, 122
Obtener los estadı́sticos más importantes.
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Alberto Luceño y Fco. Javier González
5
2. PROBABILIDAD
2.
11.
Probabilidad
(Espacio muestral). Describir el espacio muestral de las siguientes experiencias aleatorias:
a) E1 = {Lanzamiento de un dado y anotamos el resultado}.
b)
E2 = {Lanzamiento tres dados y sumamos las puntuaciones}.
c) E3 = {La duración de una lámpara hasta que se funde}.
d)
e)
f)
12.
E4 = {La resistencia a rotura de unos tubos de aluminio}.
E5 = {Número de piezas defectuosas de un lote de 5000}.
E6 = {Lanzamiento de dos monedas}.
Sean A y B sucesos con P (A) = a, P (B) = b y P (A∩B) = c. Expresar las probabilidades siguientes
en función de a, b y c.
P (A ∪ B)
◮
13.
a) P (A ∪ B) = 1 − c
P (A ∩ B)
b) P (A ∩ B) = b − c
P (A ∪ B)
P (A ∩ B)
c) P (A ∪ B) = 1 − a + c
d) P (A ∩ B) = 1 − a − b + c
Sabiendo que P (A) = 0,2, P (B) = P (C) = 0,2 y P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 0,1 y
P (A ∩ B ∩ C) = 0,05. Calcular la probabilidad de P (A ∪ B ∪ C).
◮ P (A ∪ B ∪ C) = 0,35
14.
El problema de Galileo. Un prı́ncipe italiano preguntó en una ocasión al famoso fı́sico Galileo, ¿por
qué cuando se lanzan tres dados, se obtiene con más frecuencia la suma 10 que la suma 9, aunque
se puedan obtener de seis maneras distintas cada una?
◮
15.
a) P (suman 9) =
25
= 0,116
63
b) P (suman 10) =
27
63
= 0,125
Una urna contiene dos bolas blancas y tres bolas rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas,
determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y, a continuación, una bola roja:
a) Cuando habiendo extraı́do la primera bola ésta es devuelta a la urna para realizar la segunda
extracción.
b)
Cuando habiendo extraı́do la primera bola ésta no es devuelta a la urna para realizar la segunda
extracción.
◮
16.
a) P (BR) =
6
25
b) P (BR) =
6
20
Se extrae una carta de una baraja de 40 cartas. Comprobar cuales de los siguientes pares de sucesos
son independientes:
a) A = {rey}
B = {espadas}
c) A = {rey}
B = {f iguras}
b)
A = {f iguras}
B = {espadas}
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Alberto Luceño y Fco. Javier González
6
2. PROBABILIDAD
◮
17.
b) si
c) no
De una baraja de 40 cartas se extrae una al azar y se mira. Se repite esta operación 4 veces. Tenemos
que apostar a que la 1a es copa, la 2a es oro, la 3a es bastos y la 1a es espadas. Si nos dejan elegir
entre reponer o no la carta extraı́da, ¿qué elegiremos?
◮
18.
a) si
a) con reposición
µ
1
4
¶4
b) sin reposición
10 · 10 · 10 · 10
40 · 39 · 38 · 37
El problema del caballero de la Meré. Se considera generalmente 1654 como el año del nacimiento
de la teorı́a de probabilidades: el caballero de la Meré, filósofo y hombre de letras en la corte de
Luis XIV, propuso dos problemas al célebre matemático Blaise Pascal;
a) ¿Qué es más probable, obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado, u obtener
al menos un doble seis al lanzar 24 veces dos dados?
b)
Se lanza una moneda varias veces. Por cada “1” obtenido, A recibe un punto, y por cada “0”,
se adjudica un punto B. Gana la apuesta el primero que obtenga 5 puntos. Al cabo de siete
jugadas, A tiene 4 puntos y B tiene 3. En este momento se interrumpe el juego. ¿Cómo repartir
la apuesta de la manera más equitativa? Las propuestas de Meré dieron lugar a un intercambio
de correspondencia entre Pascal y Fermat, del que nacieron los fundamentos de la teorı́a de
probabilidades. (Engel, Probabilidad y Estadı́stica, Mestral, 1988).
◮
19.
a) P (S) = 0, 51775,
P (T ) = 0, 4914
b) deben repartir lo apostado en razón de 3 a 1
El problema de las uvas pasas. ¿Cuántas uvas pasas se deben mezclar con 500 gramos de harina
para tener una certeza del 99 % de que un bollo de 50 gramos contenga al menos una pasa? (Engel,
Probabilidad y Estadı́stica, Mestral, 1988).
◮
20.
En una habitación hay una reunión de n personas. ¿Cuál es la probabilidad de que el cumpleaños
de al menos dos personas sea el mismo dı́a?
◮
2.1.
21.
22.
n ≥ 44
p=1−
365 · 364 · 363 · · · (365 − n + 1)
365n
Probabilidad condicionada
Demostrar que si dos sucesos A y B son independientes, también lo son los sucesos complementarios
de A y B.
Demostrar:
P (A|B) > P (A) =⇒ P (B|A) > P (B)
23.
Sean dos sucesos A y B, donde P (A) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,8. Asignar el valor de P (B) para que:
a) A y B sean incompatibles.
b)
A y B sean independientes.
◮
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
a) P (B) = 0,3
b) P (B) = 0,6
7
2. PROBABILIDAD
24.
Indicar en cada caso si los sucesos A y B son incompatibles o independientes:
a) P (A) = 0,2, P (B) = 0,4 y P (A ∪ B) = 0,6.
b)
P (A) = 0,3, P (B) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,65.
c) P (A) = 0,4, P (B) = 0,5 y P (A ∪ B) = 0,7.
25.
Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Tres jugadores A, B y C extraen una bola sin devolución en este mismo orden. Gana el primer jugador que saca una blanca. Calcular la probabilidad
de que gane C.
◮ P (GA ) =
26.
36
15
5
; P (GB ) =
; P (GC ) =
56
56
56
Supongamos que tenemos 10 urnas: 5 de ellas son de tipo U1 y contienen 3 blancas y 3 negras, 3
de ellas son de tipo U2 y contienen 4 blancas y 2 negras, y el resto son de tipo U3 y contienen 1
blanca y 5 negras. Se pide:
a) Probabilidad de que una bola extraı́da al azar de una de las 10 urnas sea blanca.
b)
Probabilidad de que habiendo salido una bola negra, proceda de una urna del tipo U2 .
c) Sabiendo que ha salido una bola negra, ¿de qué tipo de urna es más probable que haya salido?
◮
27.
a)
29
60
b)
6
31
c) U1
Alarma Falsa. En cierto lugar se ha instalado un dispositivo de alarma. Si hay peligro, el dispositivo
se pone en funcionamiento el 99 % de las ocasiones. Por otra parte, la probabilidad de que se dispare
la alarma espontáneamente es del 0,5 %, y la probabilidad de que una noche haya un intento de
robo es 0,1 %. Si una noche determinada se oye la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que sea falsa
(no haya peligro)?
◮ 0,83
28.
Una persona tiene dos negocios en funcionamiento, A y B. El primer negocio tiene pérdidas en el
25 % de los balances, mientras que el 2o , donde la perspectiva de beneficio es menor, tiene pérdidas
sólo en el 5 % de los casos. Se supone que el conjunto de operaciones es análogo en ambos negocios.
Si, analizando el resultado económico de una de las operaciones, se observan pérdidas, ¿cuál es la
probabilidad de que dicha operación correspondiese al negocio B?
◮ 1/6
29.
Para la elección de las personas de un jurado se disponen de dos urnas. En la 1a hay 10 papeletas
con nombres de 6 hombres y 4 de mujeres, en la 2a hay 5 papeletas con nombres de 2 hombres y 3
de mujeres. Alguien cambia una papeleta de la 1a urna a la 2a e inmediatamente después se extrae
al azar una papeleta de la 2a urna que resulta ser nombre de mujer. ¿Cuál es la probabilidad de
que la papeleta cambiada contenga un nombre de mujer?
◮ 16/34
30.
Considérese tres cartas: una con las dos caras negras, otra con ambas caras blancas y la tercera con
una blanca y la otra negra. Se elige una carta al azar y se coloca sobre la mesa. La cara superior
resulta negra, ¿cuál es la probabilidad de que la cara oculta sea blanca?
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8
2. PROBABILIDAD
A
B
C
◮ 1/3
31.
Una fábrica de ladrillos suministra estos a buen precio pero el 10 % de ellos son defectuosos. Con
objeto de mejorar la calidad del producto se someten los ladrillos a un ensayo no destructivo antes
de su venta. Este ensayo da como buenos el 99 % de los que son buenos y da por malos el 98 % de
los que son malos.
a) Determinar la probabilidad de que un ladrillo en mal estado supere el proceso de control de
calidad.
b)
Determinar la probabilidad de aceptar como bueno un ladrillo cualquiera.
c)
Determinar la probabilidad de que un ladrillo, que ha sido aceptado, esté en malas condiciones
d)
Si el coste estimado por cada ladrillo fabricado en malas condiciones es C euros. Determinar
el precio máximo que debe pagarse por ensayo no destructivo para que este sea rentable.
◮
32.
33.
34.
a) 0,02
b) 0,893
c) 0, 0022
d) 0,098 · C
Los almacenes A, B y C, que están dirigidos por la misma persona, tienen 50, 75 y 100 empleados,
y, respectivamente, el 50 %, 60 % y 70 % de ellos son mujeres. El hecho de que una persona sea
despedida del trabajo es igualmente probable entre todos los empleados, independientemente del
sexo. Se despide un empleado, que resulta ser mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que trabajara en
el almacén C?
◮ 0,5
Dos proveedores A y B entregan la misma mercancı́a a un fabricante, que guarda todas las existencias
de esta mercancı́a en un mismo lugar. Los antecedentes demuestran que el 5 % de la mercancı́a
entregada por A es defectuosa y que el 9 % lo es de B. A entrega 4 veces más que B. Si se saca una
pieza y no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado A?
◮ 0,806
Se diseña un dispositivo de frenado para evitar que un automóvil patine en el que incluye un
sistema electrónico e hidraúlico. El sistema completo puede descomponerse en tres subsistemas
en serie que operan de manera independiente: un sistema electrónico, un sistema hidraúlico y un
sistema mecánico. En un frenado particular, las probabilidades de estas unidades funcionen son
aproximadamente 0,995, 0,993 y 0,994, respectivamente. Calcular la probabilidad de que sistema
frene.
◮
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9
0,98
2. PROBABILIDAD
35.
El volumen de producción diario en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en
la 1a , 1000 en la 2a y 2000 en la 3a planta. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas
producidas en las plantas es de 1 %, 0,8 % y 2 %, respectivamente, determinar la probabilidad de
que:
a) Extraı́da una unidad al azar, resulte no defectuosa.
b)
Habiendo sido extraı́da una unidad defectuosa, haya sido producida en la primera planta.
◮
36.
a) 0,985
b) 0,094
Tres imprentas realizan trabajos para la oficina de publicaciones de la Universidad de Cantabria.
La oficina de publicaciones no negocia una multa contractual por trabajos atrasados, y los datos
siguientes reflejan una gran experiencia con estas imprentas.
imprenta
i
1
2
3
fracción
de contratos
0,2
0,3
0,5
fracción de tiempo
con retraso
0,2
0,5
0,3
Un departamento observa que un pedido tiene más de un mes de retraso. ¿Cuál es la probabilidad
de que el contrato se haya otorgado a la imprenta 3?
◮
37.
15/34
Una compañia de aviones dispone de 20 pilotos y 15 auxiliares de vuelo. Si en cada vuelo viajan
como equipo responsable, dos pilotos y tres auxiliares. Se pide:
a) ¿De cuántos equipos distintos dispone la compañia para los vuelos?
b)
El piloto RX34 tiene a su mujer como auxiliar de vuelo. Si tomamos un vuelo al azar, ¿cuál
es la probabilidad de que vaya el matrimonio en el personal de vuelo?
c) Si elegimos un vuelo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vaya RX34 o su mujer en el
personal de vuelo?
a) 86,450
◮
38.
b) 0,14
c) 0, 28
Una fábrica dispone de 20 transportistas, 45 empleados de mantenimiento y 5 ingenieros supervisores. La contratación de todo el personal se divide en fija y temporal. De los transportistas 8 son
fijos; de los empleados de mantenimiento 35 son fijos y de los ingenieros 3 son fijos. Si elegimos una
persona al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un contrato temporal?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que tenga un contrato temporal y no sea ingeniero?
c) Si elegimos una persona que tiene contrato fijo, ¿cuál es la probabilidad de que sea un transportista?
◮
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
a)
24
70
b)
22
70
c)
8
46
10
3. VARIABLES ALEATORIAS
3.
3.1.
39.
Variables aleatorias
Variables aleatorias discretas
En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A
continuación se lanzan tres dados. Si el número elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veces
lo apostado, y se recupera éste. Si no aparece el número elegido, se pierde lo apostado. Sea X la
variable aleatoria que proporciona la ganancia. Obtener E(X).
◮
40.
E[X] = −0, 078
Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad,
x
P (x)
1
0,05
2
0,20
3
0,05
4
0,45
5
0,25
a) Comprobar que es una función de probabilidad.
b)
c)
d)
e)
f)
Calcular P (x ≤ 3).
Calcular P (x > 3).
Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5).
Calcular E(X).
Representar la función de distribución FX (x).
◮
41.
42.
b) 0,3
c) 0,7
d) 0,35
e) 3,65
Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componente
funciona”. Se define la función indicatriz del suceso A como aquella función IA tal que IA = 1 si A
es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qué indica E(IA )?
A partir la figura 3.1
a) Determinar la función indicatriz de los sistemas.
b)
Determinar la fiabilidad de los sistemas.
c)
Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de los sistemas y compararlos.
1
1
2
1
2
2
3
3
(a) Circuito1
(b) Circuito2
(c) Circuito3
Figura 3.1: Función indicatriz y fiabilidad
◮
a) 1 − (1 − I1 )(1 − I2 )(1 − I3 ), I1 I2 , 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 )
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
b) 1 − q1 q2 q3 , p1 p2 , 1 − (1 − p1 p2 )q3
11
3. VARIABLES ALEATORIAS
1
2
1
3
4
2
(a) Circuito4
1
2
(b) Circuito5
Figura 3.2: Función indicatriz y fiabilidad
43.
Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2
◮
a) I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 I4 ), R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 p4 )
b) I = [1 − (1 − I1 )(1 − I2 )][1 − (1 − I3 )(1 − I4 )], R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 )
44.
Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.3
1
2
1
3
3
2
4
5
4
(a) Circuito6
(b) Circuito7
Figura 3.3: Función indicatriz y fiabilidad
◮
a) I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 )(1 − I4 I5 ), R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 )(1 − p4 p5 )
b) I = I1 + I2 (1 − I1 )(I3 + I4 − I3 I4 ), R = p1 + p2 (1 − p1 )(p3 + p4 − p3 p4 )
45.
Sea una variable aleatoria definida por su función de distribución:

0
x < −2



0,4 −2 ≤ x < 0,5
F (x) =
0,8 0,5 ≤ x < 3



1
x≥3
a) Representar F (x) y calcular la función de probabilidad de esta variable.
b) Calcular E(X).
◮
46.
b) E(X) = 0
Se lanza una moneda tres veces; sea X el número de caras obtenidas. Hallar la función de probabilidad y de distribución de X.
◮
47.
a) P (−2) = 0,4, P (0,5) = 0,4, P (3) = 0,2
P (0) = 1/8, P (1) = 3/8, P (2) = 3/8, P (3) = 1/8 ; F (0) = 1/8, F (1) = 4/8, F (2) = 7/8, F (3) = 1
El número medio de personas que acuden a un local es de 1000 con una desviación tı́pica σ = 20.
¿Cuál es el número de sillas necesarias para asegurar que todos los asistentes puedan sentarse, con
una probabilidad de 0,75? (Usar la desigualdad de Chebyschev.)
◮ n ≥ 1090
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12
3. VARIABLES ALEATORIAS
48.
Sea X variable aleatoria cuya distribución de probabilidad viene dada por
3
1
2 r! (4 − r)!
P (X = r) = 0
P (X = r) =
r = 0, 1, 2, 3, 4
para otros valores
Hallar P (X = 3); P (1 ≤ X ≤ 2,5) y P (X ≤ 2,5).
P (3) = 1/4, P (1 ≤ X ≤ 2,5) = 5/8, P (X ≤ 2,5) = 11/16
◮
49.
Los artı́culos en venta en unos grandes almacenes se someten al control diario
¡ ¢ry se estima que
la probabilidad de que en un dı́a sean vendidos r artı́culos defectuosos es 32 31 . Determinar la
probabilidad de que en un dı́a elegido al azar, de los artı́culos vendidos:
a) Dos o más sean defectuosos.
b)
Cinco sean defectuosos.
c)
Tres ó menos sean defectuosos.
d)
Determinar la esperanza del número de artı́culos defectuosos vendidos en el dı́a.
◮
3.2.
50.
a) 1/9
b)
2
3
µ
1
3
¶5
c) 1 −
µ
1
3
¶4
d) E[X] = 3
Variables aleatorias continuas
De las siguientes afirmaciones sobre la función de distribución de una variable aleatoria, marcar con
⊠ las que sean correctas.
a) F (−∞) = 0, F (∞) = 1.
¤
b)
F es monótona no decreciente.
¤
c)
F es monótona creciente.
¤
d)
F es continua por la derecha, es decir, F (x) = lı́m+ F (a).
¤
e)
P (X = x) = F (x) − F (x− ).
¤
P (x < X ≤ y) = F (y) − F (x).
¤
P (X ≥ x) = 1 − F (x).
¤
f)
g)
a→x
−
P (X = x) = F (x) − F (x ).
¤
h) P (x < X < y) = F (y) − F (x).
i)
51.
¤
Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad de probabilidad f (x) = a(1 + x2 )
si x ∈ (0, 3) y f (x) = 0 en los demás casos. Se pide:
a) Hallar a y la función de distribución de X.
b)
Hallar la probabilidad de que X esté comprendido entre 1 y 2.
c)
P (X < 1).
d)
P (X < 2|X > 1).
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13
3. VARIABLES ALEATORIAS
e)
Calcular P (|X − µ| ≥ k σ), con k = 2.
◮
52.
1
12
a) a = 1/12, F (x) =
µ
¶
1 3
x +x
3
b)
5
18
c) P (X < 1) =
Sea Y una variable aleatoria con función de densidad

 0,2
0,2 + k y
pY (y) =

0
1
9
45
144
e) 0,054
c) 0,25
d) 0,71
d) P (X < 2|X > 1) =
dada por:
−1 ≤ y ≤ 0
0<y≤1
en el resto
a) Determinar el valor de k.
b)
Determinar la función de distribución, FY (y).
c) Calcular P (0 ≤ Y ≤ 0,5).
d)
P (Y > 0,5|Y > 0,1).
◮
53.
a) k = 1,2
b) FY (y) = 0,2y + 0,2
−1<y <0
La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una
dada por:

0




 x2
1
F (x) =
2

x


 4

1
FY (y) = 0,6y 2 + 0,2y + 0,2
0≤y<1
persona en un mes sigue una ley de probabilidad
x<0
0≤x<1
1≤x<2
2≤x<4
4≤x
donde x viene expresado en cientos de euros. Determinar la probabilidad de que, en un mes la
cantidad de dinero ahorrado:
a) Sea superior a 200 euros.
b)
Sea inferior a 450 euros.
c) Sea superior a 50 euros y menor ó igual a 250 euros.
d)
Calcular el ahorro mensual medio.
◮
54.
a) 0,5
b) 1
c) 3/8
d) 175 euros
Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda aleatoria
de sus potenciales clientes se comportará semanalmente con arreglo a la ley de probabilidad definida
por la función de densidad
½ 3
2
0≤x≤2
8 (4x − 2x ),
pX (x) =
0,
en el resto
donde x viene expresada en millones de unidades. ¿Qué cantidad C deberá tener dispuesta a la
venta, al comienzo de cada semana, para poder satisfacer la demanda en dicho periodo con una
probabilidad de 0,5?
◮ C=1
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14
3. VARIABLES ALEATORIAS
55.
Cierta aleación se forma con la mezcla fundida de dos metales. La aleación que resulta contiene
cierto porcentaje de plomo X, que puede considerarse como una variable aleatoria. Suponiendo que
X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:
pX (x) = 10−5
3x(100 − x)
,
5
0 ≤ x ≤ 100,
y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleación, es una función del porcentaje de plomo:
G = A + BX, se pide calcular el beneficio esperado.
◮ E[G] = A + 50 B
56.
Si la duración en horas de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua X con función de
densidad
100
pX (x) = 2 ,
x > 100,
x
SE PIDE:
a) Probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo funciona todavı́a
después de 150 horas de servicio.
b)
Si se instalan tres de estos tubos en un conjunto, probabilidad de que exactamente uno tenga
que ser sustituido después de 150 horas de servicio.
c)
¿Cuál es el número mı́nimo de tubos n que se pueden poner en un sistema en paralelo, de modo
que haya una probabilidad 0,999 de que después de 150 horas de servicio funcione todavı́a el
sistema?
◮
57.
a) 1/4
b) 4/9
c) n ≥ 7
El tiempo de vida (en cientos de horas) de un transistor es una variable aleatoria Z con función de
distribución
½
0
z<0
FZ (z) =
−z 2
1−e
0≤z
SE PIDE:
a) Demostrar que FZ (z) es una función de distribución.
b)
Obtener la función de densidad de probabilidad pZ (z).
c)
Calcular la probabilidad de que un determinado transistor dure más de 200 horas.
◮
58.
b) pZ (z) = 2z e−z
2
c)
1
e4
Una estructura metálica puede sufrir, debido al calor, una dilatación que (medida en cm) es una
variable aleatoria X con función de densidad de probabilidad dada por:

ax
0≤x≤3

b
3<x<5
pX (x) =
 b
3 (8 − x) 5 ≤ x ≤ 8
a) Sabiendo que la función de densidad de probabilidad es una función continua de x, determinar
a y b.
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15
3. VARIABLES ALEATORIAS
b)
Calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatación sea inferior a 3.
c) Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado más de 3 cm, ¿con qué probabilidad la dilatación estará entre 3 y 5 cm?
a) a =
◮
59.
1
1
;b=
15
5
b)
3
10
4
7
c)
Sea una variable aleatoria X, que tiene como función de densidad:
(
x+6
−6 ≤ x ≤ 4
pX (x) =
50
0
resto
a) Calcular la función de distribución de X.
b)
Hallar k, si P (k ≤ x ≤ k + 1) = 0,09.
◮
60.
62.
1 1 2
( x + 6x + 18)
50 2
b) k = −2
La demanda, expresada en toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuya
función de densidad es:
x
pX (x) =
2≤x≤4
6
¿Cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda? El fabricante del producto sabe
que cada kilo vendido reporta un beneficio de 12 euros, y cada kilo que queda sin vender supone
una pérdida de 6 euros. Es por tanto, importante para él establecer cuál es la cantidad a fabricar.
Si el criterio para establecer dicha cantidad es el maximizar la ganancia esperada, determinar cuál
es la fabricación óptima.
3.3.
61.
a) F (x) =
Cambio de variable
Sea X una variable aleatoria con E(X) = 2 y V ar(X) = 0,5. Sea Y = 3X − 8. Hallar E(Y ) y
V ar(Y ).
Supongamos que una variable aleatoria X tiene función de densidad de probabilidad:
pX (x) = 2x
0<x<1
Determinar la función de densidad de probabilidad de las variables Y = H1 (X) = 3X + 1, Z =
H2 (X) = e−X y W = H3 (X) = X 2 .
a) FY (y) =
◮
³
y−1
3
b) FZ (z) = 1 − ln2 z
c) FW (x) = w
63.
´2
pY (y) =
2
3
³
y−1
3
pZ (z) = −2
pW (w) = 1
´
1<y<4
ln z
z
e−3 < z < e−1
0<w<1
Para medir la velocidad del aire se usa un tubo que permite medir la diferencia de presión. Esta
diferencia está dada por R = 12 d V 2 , con d la densidad del aire (supuesta constante) y V la velocidad del viento (en km/h). Si V es una función de densidad de probabilidad uniforme en (10, 20),
encontrar la función de densidad de probabilidad de R.
◮
Universidad de Cantabria.
pR (r) =
Alberto Luceño y Fco. Javier González
1
√
10 2rd
;
50d < r < 200d
16
3. VARIABLES ALEATORIAS
64.
La tabla siguiente representa la distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria discreta (X, Y ). Determinar
Y \X
1
2
3
1
2
1
12
1
6
1
9
1
4
0
1
18
3
0
1
5
2
15
a) Calcular P (X = 2, Y = 1); P (X = 2); P (Y = 1) y P (X = 3|Y = 2).
b)
65.
Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ).
Dos lı́neas de producción fabrican cierto tipo de artı́culo. Supóngase que la capacidad es de 5
artı́culos para la lı́nea I y de 3 artı́culos para la lı́nea II, y que el número verdadero de artı́culos
producidos por cada lı́nea es una variable aleatoria. Sea (X, Y ) la representación de la variable
aleatoria bidimensional que da el número de artı́culos producidos por la lı́nea I y por la lı́nea II:
Y \X
0
1
2
3
0
0
0,01
0,01
0,01
1
0,01
0,02
0,03
0,02
2
0,03
0,04
0,05
0,04
3
0,05
0,05
0,05
0,06
4
0,07
0,06
0,05
0,096
5
0,09
0,08
0,06
0,05
a) Determinar la probabilidad del suceso: la lı́nea I produce más artı́culos que la lı́nea II.
b)
Hallar las distribuciones marginales.
c)
Calcular P (X = 3) y P (Y = 1).
d)
Calcular E(X) y E(Y ).
e)
Calcular P (X = 2|Y = 2).
◮
Universidad de Cantabria.
a) 0,13
c) P (x = 3) = 0,21, P (y = 1) = 0,26
Alberto Luceño y Fco. Javier González
d) E[X] = 3,39, E[Y ] = 1,48
17
e)
1
5
4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES
4.
66.
Distribuciones discretas más comunes
Suponiendo que cada bebé tiene una probabilidad 0,51 de ser varón, hállese la probabilidad de que
una familia de 6 hijos tenga:
a) Por lo menos un niño.
b)
Por lo menos una niña.
◮
67.
70.
1 − q 10 − 10 p q 9 , con p = 1/5 y q = 4/5
Demostrar que si la variable aleatoria X tiene distribución binomial (X ∼ Bin(n, p)), se tiene:
µX = np
69.
b) 0,982
Si la probabilidad de acertar en un blanco es 1/5 y se hacen 10 disparos de forma independiente,
¿cuál es la probabilidad de acertar por lo menos dos veces?
◮
68.
a) 0,986
;
2
σX
= npq.
Se lanza una moneda 500 veces. Estimar la probabilidad de que el número de caras esté comprendido
entre 240 y 260.
◮ 0,6208
En una regulación de calles por semáforos, la luz verde está encendida durante 15 segundos, la luz
ámbar 5 segundos y la luz roja 55 segundos. Supongamos que las condiciones de tráfico inducen
variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los automóviles, de forma que “llegar cuando el
semáforo está verde” es un suceso aleatorio. Para cinco coches que lleguen en tiempos diferentes e
indeterminados, calcular la probabilidad de que:
a) solo tres encuentren la luz verde;
b)
a lo sumo cuatro encuentren la luz verde;
c) más de uno encuentre la luz verde.
◮
71.
a) 0, 0512
b) 0, 99968
c) 0, 26272
Una firma de pedidos por correo envı́a una carta a sus clientes. La probabilidad de que un cliente
elegido al azar conteste a esa carta es de p = 0,1. Hallar:
a) Distribución de probabilidad del número X de cartas que debe enviar hasta obtener exactamente 1 respuesta.
b)
La esperanza y varianza matemática de la variable X.
c) Distribución de probabilidad del número Y de cartas que debe enviar para obtener exactamente
k respuestas.
d)
La esperanza y varianza matemática de la variable Y .
◮
Universidad de Cantabria.
a) P (X = k) = p q k−1
µ
¶
n−1
c)
pk q n−k
k−1
Alberto Luceño y Fco. Javier González
b) E[X] = 1/p,V ar[X] = q/p2
d) E[Y ] = k/p,V ar[Y ] = kq/p2
18
4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES
72.
Una caja con 12 artı́culos tiene 4 defectuosos. Si se toma una muestra de 3, en un caso con reemplazamiento y en otro sin reemplazamiento, ¿cuál será la probabilidad de no incluir artı́culos
defectuosos
µ
¶
8 3
336
en la muestra?
◮ a)
b)
12
73.
1320
Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece un 6. Si X mide el número del
lanzamiento en que ocurre. Se pide:
a) ¿Qué función de probabilidad tiene la variable aleatoria X?
b)
Calcular P (X = 3).
c)
Calcular P (X > 4).
◮
a) P (X = k) = p q k−1
b) p(X = 3) = p q 2
c) p(X > 4) = q 4 , siendo p la probabilidad de que salga un 6 y
q =1−p
74.
Sea X una variable aleatoria geométrica de parámetro p. Demostrar que:
P (X > a + b|X > a) = P (X > b),
para cualesquiera constantes positivas a y b.
75.
Para controlar la natalidad, un polı́tico algo excéntrico, propone para los nuevos matrimonios la
siguiente norma: únicamente podrán tener hasta un varón y como máximo 5 hijos. Sea X la variable
número de hijos y V la variable número de varones de un matrimonio. Se pide:
a) Probabilidad de que un matrimonio solo tenga un hijo.
76.
b)
Probabilidad de que un matrimonio tenga k hijos.
c)
Número medio de hijos por matrimonio.
d)
Número medio de varones por matrimonio.
e)
¿Reduce esta norma la frecuencia de varones en la población?
Tres personas A, B, y C lanzan sucesivamente en el orden A, B, C un dado. La primera persona
que saque un 6 gana. Si p es la probabilidad de sacar un 6 y q = 1 − p, ¿cuáles son sus respectivas
probabilidades de ganar?
◮ P (GA ) =
77.
p
;
1 − q3
P (GB ) =
pq
;
1 − q3
P (GC ) =
pq 2
1 − q3
Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta obtener dos seises y X mide el número del
lanzamientos hasta que dicho suceso ocurre. Se pide:
a) ¿Qué función de probabilidad tiene la variable aleatoria X?
b)
P (X = 3).
c)
P (X > 4).
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19
4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES
78.
Sea X una variable aleatoria binomial negativa N B(k, p). Demostrar que:
µ=
79.
k
p
;
σx2 = k
q
.
p2
Se conoce de estudios anteriores que el tipo de grupo sanguı́neo de una población se distribuye de
acuerdo a los siguientes datos.
Grupo
Porcentaje
A
43,2
B
14,2
AB
6
O
36,6
En determinada situación de emergencia se necesitan realizar 5 transfusiones del tipo A. Se solicitan
voluntarios a la población y se realizan extracciones sucesivas. ¿Cuál es la probabilidad de cubrir
la emergencia con el décimo donante?
80.
Sea X binomial Bin(n, p) y sea Y binomial negativa N B(k, p), demostrar las siguientes relaciones
entre ellas:
a) P (Y ≤ n) = P (X ≥ r).
b)
81.
P (Y > n) = P (X < r).
La centralita telefónica de un hotel recibe un número de llamadas por minuto que sigue una ley de
Poisson con media 0,5. Determinar la probabilidad de que en un minuto al azar:
a) Se reciba una única llamada.
b)
Se reciban un máximo de dos llamadas.
c) La centralita quede bloqueada, sabiendo que no puede realizar más de 3 conexiones por minuto.
◮
82.
a) 0, 303
b) 0, 986
c) 0, 002
En una gran ciudad se producen 2 incendios anuales por término medio. ¿Cuál es la probabilidad
de que el próximo año se produzcan más de cuatro?
◮
83.
Sea X una variable aleatoria de Poison de parámetro λ, P o(λ). Demostrar que:
µ=λ ;
84.
0, 0527
σx2 = λ.
Se lanza una moneda 500 veces. Hallar la probabilidad de que la frecuencia relativa de caras esté comprendida entre 0,45 y 0,65.
◮ 0,987
85.
¿Cuántas veces habrı́a que lanzar una moneda regular a fin de tener al menos un 95 % de seguridad
de que la frecuencia relativa de caras diste a lo más 0,1 de la probabilidad teórica 0,5?
◮ 96
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20
4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES
86.
87.
88.
89.
¿Cuántas veces habrı́a que lanzar un dado regular a fin de tener al menos un 95 % de seguridad de
que la frecuencia relativa de caras diste a lo más 0,1 de la probabilidad teórica 1/6?
◮ 54
Una fábrica produce artı́culos defectuosos con una probabilidad del 5 %. ¿Cuántas tornillos habrı́a
que inspeccionar para tener al menos un 98 % de seguridad de que la frecuencia relativa de tornillos
defectuosos fD diste de 0,05 en menos de 0,02? Contestar a la pregunta anterior si la probabilidad
real de 0,05 es desconocida.
◮ n ≥ 643 n ≥ 3383
Dos personas juegan a cara o cruz y han convenido en continuar la partida hasta que tanto la cara
como la cruz se hayan presentado por lo menos 3 veces. Hallar la probabilidad de que el juego no
se acabe cuando se han hecho 10 tiradas.
◮ 0, 109375
Un test psicotécnico comprende 50 preguntas, para cada una existe una única respuesta correcta
sobre 5 posibles. Cada respuesta correcta vale 1 punto.
a) Si se somete a una persona a este test y responde al azar, hallar la probabilidad de que obtenga
cero puntos.
b)
Si fuesen 200 personas respondiendo al azar, hallar el número medio de personas que obtienen
10 puntos.
◮
90.
a) 1,4 10−5
Una gran empresa celebra, exactamente dentro de un año, su centenario. La dirección decide que
todos los hijos de los trabajadores que nazcan el dı́a del centenario tendrán derecho a una cuenta
de ahorro de 5000 euros. Suelen nacer 730 niños al año, es decir, unos 2 por dı́a. El valor esperado
del desembolso a efectuar es de 10000 euros. La dirección destina 25000 euros para prevenir alguna
desviación. ¿Cuál es la probabilidad de que esta cantidad resulte insuficiente?
◮
91.
92.
b) 28
0,0166
El 4 % de las reservas de un vuelo no son utilizadas. Según esta observación, una compañia de
aviación vende 75 billetes para 73 plazas. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los pasajeros
consigan plaza?
◮ 0,8069
Supóngase que en un estudio dental sobre niños se ha obtenido la proporción p = 2/3 de la población
infantil que tiene alguna caries. Calcular:
a) Probabilidad de que haya que examinar 6 niños para encontrar uno con caries.
b)
Probabilidad de que haya que examinar 15 niños para encontrar 5 con caries.
◮
93.
a) p q 5
b)
µ
14
4
¶
p5 q 10
El departamento de matemáticas propone un exámen de test consistente en 25 cuestiones. Cada
cuestión tiene 5 respuestas listadas. Si un estudiante no conoce la respuesta correcta de ninguna
cuestión y prueba suerte, calcular:
a) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas y su desviación tı́pica?
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Alberto Luceño y Fco. Javier González
21
4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES
b)
Suponiendo que cada respuesta acertada vale 1 punto, ¿cuánto debe valer cada respuesta
fallada para que la nota esperada del estudiante que prueba suerte sea nula?
c) Si se pasa el examen cuando se responden correctamente 13 cuestiones, ¿cuál es la probabilidad
de que pase el alumno que ha probado suerte?
◮
94.
95.
a) E[X] = 5, σ = 2
b) −0,25
c) 0,004
Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que aparece un 6. Si sabemos que no salió en la
primera tirada, ¿cuál es la probabilidad de necesitar más de 3 lanzamientos?
◮ 0,694
Una caja contiene 100 artı́culos, de los que 4 son defectuosos. Sea X el número de artı́culos defectuosos encontrados en una muestra de 9.
a) Hallar P (X = 2).
b)
Aproximar la probabilidad anterior por una binomial.
c) Aproximar la probabilidad anterior por una Poisson.
◮
96.
a) 0,0376
b) 0,0432
c) 0,0452
Supóngase que el número de llamadas telefónicas que recibe una operadora desde las 9:00 horas
hasta las 9:05 horas sigue una distribución de Poisson con λ = 4. Hallar:
a) Probabilidad de que la operadora no reciba ninguna llamada al dı́a siguiente en ese intervalo
de tiempo.
b)
Probabilidad de que en los dos próximos dias la operadora reciba un total de 3 llamadas en
ese intervalo de tiempo.
◮
97.
a) 0,018
b) 0,0286
Un almacén suministra un determinado tipo de grúa. El número de pedidos por dı́a se ajusta a
una distribucción de Poisson con parámetro λ = 2. Tres de estas grúas por lo general se tienen
disponibles en el almacén. Si se piden más de tres, el comprador debe desplazarse a una distancia
considerable hasta una empresa de ingenierı́a.
a) En un dı́a cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que se realice un viaje a la empresa de
ingenierı́a?
b)
¿Cuál es el número medio de pedidos por dı́a?
c) ¿Cuántas grúas de repuesto deben permanecer en el almacén para despachar a los compradores
el 90 % de las veces?
d)
¿Cuál es el número medio de compradores atendidos diariamente en el almacén?
e)
¿Cuál es el número esperado de veces que el compradores realizará el viaje a la empresa de
ingenierı́a?
◮
98.
a) 0,1680
b) E[X] = 3
c) n = 5
d) 2,328
e) 0,672
Se supone que el número de accidentes por semana que ocurren en una fábrica sigue una distribución
de Poisson con parámetro λ = 2. Se pide:
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22
4. DISTRIBUCIONES DISCRETAS MÁS COMUNES
a)
b)
c)
d)
e)
Probabilidad de que en una semana cualquiera ocurra un solo accidente.
Probabilidad de que, en un grupo de 10 semanas, ocurran 3 accidentes en tres semanas distintas.
Probabilidad de que en una semana haya más de 3 accidentes.
Función de densidad del tiempo entre dos accidentes.
Probabilidad de que el tiempo entre dos accidentes sea superior a 3 semanas.
◮
99.
a) p = 0, 27067
b)
µ
10
3
¶
p3 q 7
c) 0, 14288
d) Exponencial(α = 2)
e) 0, 002
Una agencia inmobiliaria dedicada a la venta de apartamentos en la Costa ha realizado un estudio
de ventas, comprobando que solo el 5 % de las personas que acuden a visitar el piso piloto compran
un apartamento. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hasta vender un apartamento.
b) Calcular la probabilidad de que tenga que recibir 10 visitas hasta vender dos apartamentos.
c) Se han tenido que recibir 10 visitas hasta vender 2 apartamentos. ¿Cuál es la probabilidad de
que las 3 primeras visitas no efectuaran ninguna compra?
◮
100.
a) 0, 03151
b) 0, 01493
c) 6/9
Un video club tiene 12 pelı́culas infantiles para alquilar a diario. Para este grupo se estima que la
demanda sigue un proceso de Poisson con tasa 10 pelı́culas/dı́a. Se pide:
a) Probabilidad de que en un dı́a se hayan alquilado todas las pelı́culas.
b) ¿Cuantas pelı́culas deberı́a haber en existencia para que la probabilidad de no satisfacer la
demanda de un dı́a solo fuese del 0,07 %?
◮
101.
102.
a) 0, 208
b) n = 15
Un lote de 10 motores eléctricos se debe rechazar totalmente o vender, según el resultado de la
siguiente operación: se escogen dos motores al azar sin sustitución y se inspeccionan. Si uno o más
son defectuosos, el lote se rechaza; en otro caso es aceptado. Supongamos que cada uno de los
motores cuesta 75$ y se vende por 100$. Si el lote contiene un motor defectuoso, ¿cúal es beneficio
neto esperado del fabricante?
◮ E[B] = 50
A un hotel llegan dos carreteras A y B. El número de llegadas diarias por cada carretera siguen
distribuciones de Poisson independientes con parámetros 8 y 9 respectivamente.
a) Si un dı́a llegaron 12 personas, ¿cuál es la probabilidad de que 7 llegaran por la carretera A?
b) El coste diario de manutención por persona es de 2000 euros si son menos de 5 personas y
1500 euros si son 5 ó más personas. ¿Cuál será el coste diario esperado?
◮
103.
a) 0, 16834
Una empresa de fabricación de explosivos tiene dos secciones una segura S y otra con riesgo de
accidentes R. En la sección S hay 2000 empleados donde el número de accidentes XS por año
sigue una distribución de Poisson de parámetro λ1 = 5 y en R hay 500 empleados y el número de
accidentes YR por año sigue una distribución de Poisson de parámetro λ2 = 10. Los accidentes se
producen de forma independiente en las dos secciones.
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23
4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan cinco accidentes en la sección S?
b) ¿Cuál es el número medio de accidentes por año en la empresa?
c) Si en un año se han registrado 8 accidentes, ¿cuál es la probabilidad de que se hayan producido
6 accidentes en la sección R?
La compañia ”La Avispa.asegura a cada empleado de la sección S por una prima de p1 euros
y a cada empleado de la sección R por una prima de p2 euros y una indemnización común de
10 millones por accidentado.
d ) Expresar los beneficios B por año de la compañia.
e) ¿Cuáles son los valores mı́nimos justos de las primas p1 y p2 , para que el beneficio esperado
por la compañia no sea negativo?
a) 0, 1754
◮
4.
104.
c) 0,273
e) p1 = 2500 , p2 = 20000
Distribuciones continuas más comunes
Una variable aleatoria X se distribuye de forma uniforme en (2, 4). Se pide:
a)
b)
c)
d)
105.
b) 15
P (X < 2,5)
P (X > 3,2)
P (2,2 < X < 3,5)
E(X) y V ar(X)
Se sabe que la cantidad aleatoria demandada durante un cierto periodo de tiempo por parte de una
empresa textil tiene distribución uniforme y no supera la tonelada. Determinar para dicho periodo
de tiempo:
a) Probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kg.
b) Probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900 kg.
c) La demanda esperada.
◮
106.
107.
b) 0,1
c) E[X] = 500 kilos
Una empresa tiene una función de costes que viene dada por C = 100,000 + 2X. En el mercado
vende cada unidad a 5 euros y la demanda X del citado artı́culo tiene una distribución uniforme
entre 25000 y 30000 unidades. ¿Cuál será el beneficio esperado?
◮ −17,500
Comprobar que si T es exponencial de parámetro α se cumple la propiedad
µT =
108.
a) 0, 9
1
α
;
σT2 =
1
.
α
Comprobar que si T es exponencial de parámetro α se cumple la propiedad
P (T > s + t|T > s) = P (T > t)
¿Porqué se suele decir que la variable aleatoria exponencial “no tiene memoria”?
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24
4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES
109.
La variable aleatoria T es de tipo Exponencial(λ). ¿Cuál es la probabilidad de que T sea superior
a su valor esperado? ¿Cuál es la probabilidad de que T sea superior al doble de su valor esperado?
a) e−1
◮
110.
b) e−2
La función de densidad del tiempo T entre dos averı́as de una instalación de cálculo es
f (t) = 0,25e−0,25t .
Para resolver un determinado problema es necesario que funcione la instalación sin fallos durante 3
minutos, que es el tiempo necesario para la resolución del problema. Si falla la instalación durante
el periodo de 3 minutos hay que volver a empezar con el cálculo del problema teniendo en cuenta
que la existencia de una averı́a sólo se aprecia después de los tres minutos. Sea Y el tiempo total
necesario para la resolución del problema. Hallar:
a) Distribución de Y .
b)
Tiempo medio de resolución del problema.
c)
Probabilidad de que en 18 minutos puedan ser resueltos 3 problemas.
◮
111.
a) P (Y = 3k) = p q k−1 con p = 0,472
b) 6, 35
c) 0,7072
La duración de la vida de una bombilla es Exponencial(α). La probabilidad de que sobrepase las
100 horas de uso es 0,9.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrepase 200 horas de uso?
b)
112.
113.
¿Cuántas horas se mantiene funcionando con una probabilidad 0,95?
El tiempo medio de funcionamiento de una bombilla es de 120 horas. Se ponen en funcionamiento
6 bombillas al mismo tiempo. Sea Ti el tiempo que transcurre hasta que se estropean i bombillas.
Determinar E[Ti ] para i = 1, 3, 6.
◮ Grado de dificultad: Grande
En la figura 4.4 cada componente tiene una función de fiabilidad de tipo exponencial con parámetro
αi . Determinar la función de fiabilidad del sistema y el tiempo medio de vida del sistema.
α1
α1
α2
α2
(a) Sistema-1
(b) Sistema-2
Figura 4.4: Fiabilidad en serie y paralelo
a) G(t) = e−(α1 +α2 )t
◮
114.
E[t] =
1
α1 +α2
b) G(t) = 1 − (1 − e−α1 t )(1 − e−α2 t )
E[t] =
1
α1
+
1
α2
−
1
α1 +α2
En la figura 4.5 cada componente tiene la misma función de fiabilidad de tipo exponencial con
parámetro α. Determinar la función de fiabilidad del sistema y el tiempo medio de vida del sistema.
Universidad de Cantabria.
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25
4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES
α1
α2
α3
(a) Sistema-3
Figura 4.5: Fiabilidad en serie y paralelo
115.
116.
117.
En la figura 4.4 cada componente tiene una función de fiabilidad de tipo exponencial con parámetro
αi . Sea A el suceso la componente 1 se estropea antes que la componente 2. Determinar la probabilidad del suceso A.
Sean 30 instrumentos electrónicos E1 , E2 , . . . , E30 . Tan pronto como falla E1 se activa E2 , y ası́ sucesivamente. Si el tiempo en que falla Ei , para cualquier i, es de tipo exponencial con parámetro
α = 0,1 hora−1 y T es el tiempo total de funcionamiento de los 30 instrumentos, hallar la probabilidad de que T supere las 350 horas.
Sea Z una variable aleatoria normal con µ = 0 y σ = 1. Calcular:
a) p(Z ≤ 0)
c) p(Z > 1)
e) p(−1 < Z < 1)
118.
Sea X una variable aleatoria normal con µ = 50 y σ 2 = 25. Calcular:
a) p(X ≤ 40)
c) p(X > 65)
e) p(40 < X < 60)
119.
120.
b) p(Z ≤ 1)
d) p(Z > −1)
f ) p(−2 < Z < −1)
b) p(X ≤ 60)
d) p(X > 35)
f ) p(30 < X < 42)
Se sabe que el número X de personas que entran diariamente en unos grandes almacenes se distribuye normalmente. Si hay una probabilidad 0,58 de que entren menos de 75 clientes y una
probabilidad 0,38 de que entren entre 75 y 80 clientes, determinar la media y la varianza de la
variable X.
◮ µ = 74,35 y σ = 3,22
La duración aleatoria de un determinado tipo de artı́culos, en horas, viene regulada por la ley de
probabilidad N (180, 5). Determinar la probabilidad de que la duración de tal artı́culo:
a) Sea superior a 170 horas.
b) Sea inferior a 150 horas.
◮
121.
a) 0,9773
b) 0
Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina durante un cierto periodo de tiempo se comporta
con arreglo a la ley normal de media 150000 litros y desviación tı́pica 10000 litros, determinar la
cantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho periodo para poder satisfacer la demanda
con una probabilidad de 0,95.
◮ C = 169600 litros
Universidad de Cantabria.
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26
4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES
122.
Un instrumento electrónico está formado por tres componentes. Dos formas posibles de disponer
estas componentes son: i) en serie, ii ) en paralelo. Si los tiempos de fallo de cada componente son
independientes y siguen una distribución exponencial con función de densidad:
f (t) = 0,01 e−0,01t ,
se desea saber:
a) Probabilidad de que el instrumento funcione después de 50 horas en los dos casos.
b)
Si el sistema no ha fallado durante 20 horas, ¿cuál es la probabilidad de que falle en las 30
horas siguientes?
◮
123.
124.
a) e−1
0,8452
b) 0,4512
0,1261
Para ganar el jubileo un peregrino decide ir, a golpe de alpargata, desde su pueblo hasta Santiago
de Compostela, siendo la distancia entre ambos lugares de 300 km. Este peregrino es precisamente
fabricante de dicho tipo de calzado y sus datos han permitido establecer a un ingeniero, que vive
en el pueblo, a efectos de control de calidad, que los kilómetros que se pueden recorrer con un par
de alpargatas, antes de que queden inservibles, es una variable N (20, 16). Aunque el peregrino no
le importa disciplinarse severamente, tampoco quiere correr un riesgo excesivo de destrozarse los
pies. Por eso, quiere saber cuál es el menor número de pares de alpargatas que debe llevar para
tener una garantı́a de al menos un 91 % de que no tendrá que caminar descalzo.
◮ n ≥ 17
Un individuo juega con probabilidad de ganar igual a 1/2 en cada juego. Si gana en un juego obtiene
5 euros y si pierde paga 5 euros. Durante una tarde juega 400 veces. ¿Con cuánto dinero debe acudir
si quiere tener una probabilidad de 0,95 de hacer frente a sus posibles pérdidas?
◮ 196
125.
126.
127.
Un corredor de bolsa adquiere 50 acciones diferentes. Se sabe, por estudios anteriores, que los
beneficios de cada acción se distribuyen uniformemente en el intervalo (1000, 2000), y que dichos
beneficios son independientes. Dicho corredor concierta con sus clientes una ganancia, por cada
acción de 1200 euros, ¿qué probabilidad tiene de no perder dinero?
◮ 0,8
Un instituto de opinión publica quiere obtener una muestra de votantes de un cierto estado, suficientemente grande para que la probabilidad de obtener una proporción de votos a favor del candidato
A inferior al 50 %, sea de 0,01, si la intención de voto a favor de dicho candidato es realmente del
52 %. ¿Qué tamaño deberá tener la muestra?
◮ n ≥ 3388
Dos individuos A y B realizan un juego bajo las siguientes condiciones: se lanza un dado perfecto,
si sale “1 o 2” el jugador A paga 6 euros a B, pero si sale “3, 4, 5 ó 6” el jugador B paga 21 euros
a A. Se pide:
a) Si juegan 300 partidas determinar la probabilidad de A gane entre 175 y 230 euros.
b)
El beneficio esperado para ambos jugadores en 300 partidas.
c)
Si B lleva en el bolsillo 200 euros, ¿cuántas partidas al menos hay que jugar para que B lo
pierda todo con una probabilidad de al menos 0,9772?
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
27
4. DISTRIBUCIONES CONTINUAS MÁS COMUNES
◮
128.
a) 0,99
b) E[BA ] = 3600 E[BB ] = −3600
c) n ≥ 28
El contenido de un bote de cerveza se distribuye normalmente con media 30 cl, y desviación tı́pica
2 cl.
a) ¿Cual es la probabilidad de que un bote determinado tenga más de 33 cl?
b)
En un envase de 6 botes ¿cual es la probabilidad de que el contenido lı́quido total sea inferior
a un litro y tres cuartos?
◮
129.
130.
a) 0,0668
b) 0
Sabiendo que el 30 % de los enfermos con infartos de miocardio que ingresan en un hospital, fallecen
en el mismo, y que al año ingresan 2000, determinar la probabilidad de que fallezcan en el hospital
un máximo de 550.
◮ 0,0073
En un proceso de fabricación se sabe que el número aleatorio de unidades defectuosas producidas
diariamente, viene dado por la ley de probabilidad:
P (X = r) = e−10
10r
r!
r = 0, 1, 2, . . .
Determinar la probabilidad de que en 150 dı́as, el número de unidades defectuosas producidas supere
las 1.480 unidades.
◮ 0,69
131.
132.
133.
134.
Una empresa sabe que la demanda aleatoria de un artı́culo que produce, se ajusta por la ley
N(10000, 100). Si la empresa decide seguir produciendo el artı́culo en el futuro, supuesto que la
demanda esté comprendida entre 9930 y 10170 unidades, determinar la probabilidad de que no siga
produciendo tal artı́culo.
◮ 0,2866
Una tienda comercial dispone a la venta diariamente sólo dos artı́culos a precios p1 y p2 , de forma
que: el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del artı́culo de precio p1 y el 30 % restante lo son del
artı́culo de precio p2 . Si en un dı́a determinado se venden 2000 unidades, determinar la probabilidad
de que más de 800 unidades correspondan al artı́culo de precio p2 .
◮ 0
Un concesionario de automóviles vende a particulares vehı́culos de la misma marca. Sabiendo que
la probabilidad de que este tipo de vehı́culos esté en servicio dos años después es de 0,8, determinar
la probabilidad de que–de 4000 automóviles vendidos–más de 3120 estén en servicio dentro de dos
años.
◮ 0,9992
La demanda de un producto oscila diariamente entre 20 y 40 unidades. Determinar la probabilidad
de que en un periodo de 182 dı́as, el n0 de unidades demandadas supere 6370 unidades, supuesta
la independencia de la demanda de cada dı́a respecto de las restantes.
◮
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
0
28
5. AJUSTE DE DISTRIBUCIONES
5.
135.
Ajuste de Distribuciones
Se lanza un dado 1200 veces y se obtienen los siguientes resultados:
Xi
Oi : frecuencia
1
175
2
215
¿Es el dado regular?
136.
4
190
5
170
6
230
◮ Se rechaza con χ2 = 15,75 > χ25 = 11,07
para α = 0,05
Para cuatro variedades de plantas, la teorı́a de Mendel predice descendientes en la proporción 9 : 3 :
3 : 1. Por cruzamiento se tomaron 240 descendientes y se agruparon por variedades, obteniéndose:
Xi
Oi : frecuencia
Var1
120
¿Están de acuerdo los resultados con la teorı́a?
137.
3
220
Var 2
40
Var 3
55
Var 4
25
◮ Se rechaza con χ2 = 11,11 > χ23 = 7,81
para α = 0,05
Durante la Segunda Guerra Mundial se dividió el mapa de Londres en cuadrı́culas de 1/4 km y se
contó el número de bombas caı́das en cada cuadrı́cula durante un bombardeo alemán. Los resultados
fueron:
x: Impactos en cuadrı́cula
Oi : frecuencia
0
229
1
211
2
93
3
35
4
7
5
1
Se quiere contrastar la hipótesis de que los datos siguen una distribución de Poisson. Se pide:
a) Diseñar las columnas adecuadas que registren las frecuencias observadas y las esperadas.
b)
Calcular el estadı́stico del contraste χ2 .
c)
Hallar el cuantil 0,95 de la distribución χ2g.l. y decidir si se acepta que los datos de la muestra
se ajustan a la distribución teórica.
b) χ2 = 1,02
◮
138.
c) χ23;0,95 = 7,81
Se desea contrastar que el número de rayos gamma emitidos por segundo, por cierta sustancia
radiactiva, es una variable aleatoria que tiene ddistribución de Poisson con λ = 2,6. Utilizar los
siguientes datos obtenidos en 300 intervalos de un segundo para contrastar esta hipótesis nula en el
nivel de significación del 0,05.
Número de rayos gamma
Oi : frecuencia
0
19
1
48
2
66
3
74
4
44
5
35
6
10
7 ó más
4
◮ Se acepta con χ2 = 12,4 < χ27 = 14,07
139.
para α = 0,05
El tiempo de vida de 70 motores se registra en la siguiente tabla:
Años de funcionamiento
Oi : frecuencia
Universidad de Cantabria.
(0, 1)
30
(1, 2)
23
(2, 3)
6
Alberto Luceño y Fco. Javier González
(3, 4)
5
≥4
6
29
5. AJUSTE DE DISTRIBUCIONES
Contrastar la hipótesis de que los datos siguen una distribución exponencial.
◮ Se acepta con χ2 = 3,18 < χ23 = 7,81;
140.
α = 0,05
La siguiente tabla proporciona los tiempos (en minutos) que transcurren entre sucesivas conexiones
de los usuarios al servidor encargado de mantener el servicio del sitio Web de una empresa.
9,71
15,58
3,76
6,07
17,59
39,88
0,72
1,27
0,96
20,31
2,59
12,69
16,76
2,47
9,16
2,44
3,53
10,97
16,47
16,28
Se pide:
a) Dibujar la muestra en papel probabilı́stico exponencial.
b)
Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hipótesis nula que afirma
que los datos proceden de una distribución exponencial de parámetro desconocido.
◮ Véase el capı́tulo 5 del libro de Luceño y González(2003)
141.
La siguiente tabla proporciona los tiempos (en años) que transcurren hasta que se averı́a una
máquina.
2,63
1,8
2,5
3,25
3,52
2,94
2,79
3,7
4,56
4,33
5,03
3,09
4,99
4,16
3,68
3,86
3,28
4,21
2,12
3,27
Se pide:
a) Dibujar la muestra en papel probabilı́stico de Weibull.
b)
Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hipótesis nula que afirma
que los datos proceden de una distribución de Weibull de parámetros desconocidos.
◮ β̂ = 4,49434; θ̂ = 3,82296. Véase el capı́tulo 5 del libro de Luceño y González(2003)
142.
Los números de pedidos recibidos en una fábrica durante las últimas 20 semanas aparecen en la
siguiente tabla.
298
300
302
302
305
288
297
296
283
317
309
319
286
295
292
304
304
313
307
306
Se pide:
a) Dibujar la muestra en papel probabilı́stico de normal.
b)
Usando pruebas del tipo de la de Kolmogorov-Smirnov, contrastar la hipótesis nula que afirma
que los datos proceden de una distribución normal de parámetros desconocidos.
◮ x̄ = 301,15; s = 9,65333. D + = 0,072; D − = 0,062; D = 0,072; no se rechaza H0 : α > 0,15. A2 = 0,143; α = 0,965.
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
30
6. CALIDAD Y MONITORIZACIÓN DE PROCESOS
6.
143.
Calidad y monitorización de procesos
En una fábrica de automóviles que produce discos de frenado se han observado los diámetros de 30
discos. Los datos obtenidos están dados en centı́metros en la siguiente tabla:
Intervalo de muestreo (t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Diámetro xt1
14,97
15,00
14,97
15,01
15,07
14,99
15,00
15,01
14,96
15,06
Diámetro xt2
14,98
15,03
14,96
15,02
15,04
15,00
15,01
15,01
15,03
14,97
Diámetro xt3
14,98
14,97
15,01
14,98
14,99
15,00
14,97
14,97
14,98
15,04
Estos datos han sido obtenidos a lo largo de 10 intervalos de muestreo sucesivos (t = 1, 2, . . . , 10
horas), en cada uno de los cuales se han elegido al azar 3 discos para medir sus diámetros (xt1 , xt2
y xt3 ). Se pide:
a) Calcular las abscisas y las ordenadas de los puntos que hay que dibujar en un gráfico X̄.
Calcular las abscisas y las ordenadas de los puntos que hay que dibujar en un gráfico R.
b)
Dibujar el gráfico X̄. A la vista de este gráfico, ¿puede decirse que la media del proceso
está bajo control estadı́stico?
c)
Dibujar el gráfico R. A la vista de este gráfico, ¿puede decirse que la variabilidad del proceso
está bajo control estadı́stico?
d)
Dibujar el gráfico co-plot usando una constante de suavización de 0,7 para el gráfico EWMA.
e)
Dibujar el gráfico CUSUM unilateral superior suponiendo que el valor objetivo del diámetro
es 15 cm, que se desea detectar variaciones en la media del proceso del orden de +0,04 cm y
que el intervalo de decisión es 0,12 cm. Repetir el gráfico usando MINITAB.
f)
Dibujar el gráfico EWMA usando MINITAB. Explicar las diferencias observadas respecto del
gráfico EWMA dibujado previamente.
◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003)
144.
Usando los datos del ejercicio anterior, se pide:
a) Estimar los ı́ndices de capacidad Cp , CpU , CpL , Cpk , Cpm y Cpc usando estimadores “globales”.
b)
Estimar los ı́ndices de capacidad Cp , CpU , CpL y Cpk usando estimadores “dentro de” cada
intervalo de muestreo.
c)
Obtener el análisis de capacidad proporcionado por MINITAB.
◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003)
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
31
6. CALIDAD Y MONITORIZACIÓN DE PROCESOS
145.
En una fábrica de barras de acero se va a empezar a producir un nuevo tipo de barras que debe
tener una resistencia a tracción en el intervalo 1250 ± 10 Kg/cm2 . Después de dedicar algún tiempo
para tratar de poner el proceso de fabricación bajo control se desea conocer si el estado de control
alcanzado es adecuado para comenzar la fabricación en serie de dichas barras. Para ello, durante 10
horas sucesivas, se han ensayado a rotura 3 barras elegidas al azar de entre las producidas en cada
hora, habiéndose obtenido los datos de la tabla siguiente.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xt1
1247,10
1247,25
1248,63
1250,87
1249,18
1248,15
1245,88
1249,49
1246,91
1251,93
xt2
1250,15
1255,38
1248,63
1250,00
1249,95
1251,03
1249,15
1249,08
1248,89
1252,18
xt3
1247,75
1246,75
1248,71
1251,34
1246,98
1251,37
1244,17
1248,65
1251,58
1248,87
Se pide:
a) Estimar los ı́ndices de capacidad Cp , CpU , CpL , Cpk , Cpm y Cpc usando estimadores “globales”.
b)
Estimar los ı́ndices de capacidad Cp , CpU , CpL y Cpk usando estimadores “dentro de” cada
intervalo de muestreo.
c) Obtener el análisis de capacidad proporcionado por MINITAB.
◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003)
146.
El jefe de obra de la empresa que está construyendo una autopista utiliza una norma según la
cual debe extraer diariamente 50 probetas de hormigón y vigilar que el porcentaje de probetas que
superan una baterı́a de ensayos se mantenga constantemente alrededor de 60 %. Los números de
probetas que han superado la baterı́a de ensayos durante los últimos 40 dı́as han sido los siguientes.
28
34
31
26
36
28
28
30
31
32
30
31
30
24
25
38
35
30
30
31
27
29
25
30
27
33
26
25
25
24
26
28
28
31
33
28
24
34
30
35
Se pide:
a) Dibujar un gráfico np. Repetir el gráfico usando MINITAB con todos los tests disponibles.
b)
Dibujar un gráfico EWMA con λ = 0,2. Repetir el gráfico usando MINITAB con todos los
tests disponibles.
c) Dibujar un gráfico CUSUM suponiendo que se desea detectar variaciones en la media del
proceso del orden de ±0,5σ y que el intervalo de decisión es 14. Repetir el gráfico usando
MINITAB.
◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003)
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
32
6. CALIDAD Y MONITORIZACIÓN DE PROCESOS
147.
El jefe de relaciones con los clientes de una gran marca considera normal que el número medio
semanal de reclamaciones de los clientes sea alrededor de 80. Si aumenta el número de reclamaciones,
quiere enterarse lo antes posible puesto que ello puede indicar que está disminuyendo la calidad de
sus productos. Si disminuye el número de reclamaciones, también desea saberlo cuanto antes porque
ello puede indicar un cambio de actitud de los clientes hacia su marca.
Durante las últimas 20 semanas se han producido los siguientes números de reclamaciones.
82
89
97
94
93
80
81
87
91
93
80
78
85
97
79
92
100
79
82
104
Se pide:
a) Dibujar un gráfico c. Repetir el gráfico usando MINITAB con todos los tests disponibles.
b)
Dibujar un gráfico EWMA con λ = 0,25. Repetir el gráfico usando MINITAB con todos los
tests disponibles.
c)
Dibujar un gráfico CUSUM unilateral superior suponiendo que se desea detectar variaciones
en la media del proceso del orden de +5 y que el intervalo de decisión es 36. Repetir el gráfico
usando MINITAB.
◮ Véase el capı́tulo 6 del libro de Luceño y González(2003)
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
33
7. INFERENCIA ESTADÍSTICA
7.
148.
Inferencia Estadı́stica
Se ha analizado un conjunto de n microprocesadores y se encuentran x defectuosos.
a) No se conoce la probabilidad p de que uno cualquiera sea defectuoso. Estimar p por el método
de los momentos.
b)
No se conoce n, pero sı́ la probabilidad de ser defectuoso p. Estimar n por el método de los
momentos.
◮
149.
a) p
b=
x
n
b) n
b =
Los defectos en una placa fotográfica siguen una distribución de Poisson P o(λ). Se estudian 7
placas encontrando 3, 5, 2, 2, 1, 3 y 4 defectos, respectivamente. Calcular el estimador de máxima
verosimilitud de λ.
◮
150.
b = 20
λ
7
Si x1 , x2 , . . . , xn es una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria normal de media µ y
varianza σ 2 , y consideramos la cuasi-varianza muestral
Pn
(xi − x̄)2
2
s = i=1
n−1
determinar E[s2 ].
151.
x
p
◮ E[ŝ2 ] = σ
2
Una máquina automática fabrica piezas, de las cuales se desea controlar su longitud X, que se sabe
se distribuye de forma N (60; 1,52 ). Se extraen regularmente muestras de 9 piezas.
a) ¿Cuál es la ley de probabilidad de X̄?
b)
¿En qué intervalo (a, b) simétrico respecto de µ existe una probabilidad 0,95 de hallar X̄?
c) Para controlar la varianza σ 2 se estudian los valores de la variable
S2 =
9
X
1
(Xi − X̄)2
¿cuál es la ley de probabilidad de S 2 /σ 2 ?
d)
¿Cuál es la esperanza de S 2 ? ¿Cuál es su varianza?
e)
En qué intervalo (0, a) debe encontrarse S 2 con una probabilidad 0,95?
◮
152.
√
a) N (60,1; 52 / 9)
b) 60,1 ± 3, 267
c) χ28
d) E
h
S2
σ2
i
=8
V ar
h
S2
σ2
i
= 16
e) 0 < S 2 < 68,25
El diámetro interior de un anillo de pistón seleccionado al azar es una variable aleatoria con media
12 cm y desviación tı́pica 0,04 cm.
a) Si x̄ es el diámetro medio de una muestra de n = 16, ¿donde está centrada la distribución de
x̄, y cuál es la desviación tı́pica de la distribución de x̄?
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
34
7. INFERENCIA ESTADÍSTICA
b)
Contestar a las preguntas anteriores si n = 64.
c)
Suponiendo que X se distribuye de forma Normal, calcular P (11,99 ≤ X̄ ≤ 12,01) cuando
n = 16.
d)
Suponiendo que X se distribuye de forma Normal, ¿cuál es la distribución de la cuasi-varianza
muestral s2 ?
e)
Hallar P (10−3 ≤ s2 ≤ 2 10−3 ).
◮
153.
a) µ = 12; σx̄ = 0,01
b) µ = 12; σx̄ = 0,005
c) 0,6826
d)
15 s2
2
∼ χ15
σ2
e) 0,6318
Cierto tipo de componentes eléctricas tienen una resistencia media de 200 Ω, con desviación tı́pica
σ = 10 Ω. Se utilizan 25 de ellas en un circuito:
a) Calcular la probabilidad de que la resistencia media de las 25 componentes esté entre 199 y
202 Ω.
b)
Calcular la probabilidad de que la resistencia total de las 25 componentes no supere lo 5100
Ω.
◮
154.
a) 0,5328
b) 0,9772
Sea p la proporción de fumadores en una población. Entre 1000 personas elegidas al azar, hay 600
fumadores. Determinar un intervalo de confianza para p, con un nivel de confianza 0,95.
◮ 0,6 ± 0,030
155.
La proporción de escolares zurdos es p. En una muestra aleatoria de 100 escolares, hay 10 zurdos.
Dar un intervalo de confianza para p, con un nivel de confianza 0,95.
◮ 0,1 ± 0,0588
156.
Al examinar a 20000 madrileños, se han obtenido los siguientes resultados:
Grupo sanguı́neo
Porcentaje
A
43,2
B
14,2
AB
6
O
36,6
Determinar un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 95,45 % para la proporción p
de personas con grupo sanguı́neo del tipo O.
◮ 0,366 ± 0,00667
157.
Se quiere estimar la proporción de zurdos en una población con una confianza del 95 % y una
precisión de 0,01.
a) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra elegida?
b)
Mediante un muestreo previo se estima que p ≈ 0,1. ¿Qué tamaño debe tener la muestra si
para calcularlo se utiliza la estimación de p dada?
◮
158.
a) n ≥ 97
b) n ≥ 35
Se quiere estimar la proporción p de electores que votarán al candidato polı́tico A, con un nivel de
confianza 0,9 y una precisión de 0,05. ¿Qué tamaño debe tener la muestra?
◮ n ≥ 269
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
35
7. INFERENCIA ESTADÍSTICA
159.
En una población muy grande, se extrae al azar una muestra de 100 votantes para conocer sus
opiniones respecto de dos candidatos. De los individuos de la muestra, 55 apoyan al candidato A y
45 apoyan al candidato B. Se pide:
a) Calcular un intervalo de confianza para la proporción de votos a favor de cada candidato.
b)
Calcular cuál deberı́a ser el tamaño de la muestra para que una fracción 0,55 de partidarios
de A nos dé una confianza del 95 % de que éste saldrá elegido.
◮
160.
a) 0,55 ± 0, 097
0,45 ± 0, 097
b) n ≥ 400
La resistencia media de fractura de cierto tipo de vidrio es de 1 kg/cm2 con una desviación tı́pica
de 0,14 kg/cm2 :
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia media de una muestra de 100 piezas sea superior
a 1,028 kg/cm2 ?
b)
Construir un intervalo de confianza al nivel de confianza 95 % para la media de la muestra x.
◮
161.
a) 0,0228
b) 1 ± 0,02744
Si la vida en horas de una bombilla eléctrica de 75 watios se distribuye de forma normal, con
desviación tı́pica σ = 5 horas y elegimos una muestra aleatoria de 20 bombillas cuya vida media es
de 1014 horas, se pide:
a) Construir un intervalo de confianza bilateral para la vida media de las bombillas con un nivel
de significación del 0,05.
b)
Construir un intervalo de confianza inferior al para la vida media de las bombillas con un nivel
de significación del 0,05.
c) Si queremos tener un nivel de confianza del 95 % de que el error en la estimación de la vida
media fuera menor que dos horas, ¿qué tamaño de muestra elegirı́amos?
162.
163.
Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempo de secado en promedio de una nueva pintura
para interiores. Si en 12 áreas de prueba de igual tamaño, él obtuvo un tiempo de secado medio de
66,3 minutos y una cuasi-desviación tı́pica de 8,4, construir un intervalo de confianza con un nivel
de significación del 0,05.
◮ 66,3 ± 5,33
Las resistencias a fractura X, en kg/cm2 , de unas placas de acero fueron:
69,5; 71,9; 72,6; 73,3; 73,5; 75,5; 75,7; 75,8; 76,1; 76,2;
77; 77,9; 78,1; 79,6; 79,7; 79,9; 80,1; 82,2; 83,7; 93,7
Calcular un intervalo de confianza para la desviación tı́pica σx de la distribución de la resistencia a
fractura al nivel de confianza 0,99. ¿Es válido este intervalo, cualquiera que sea el tipo de distribución
de la variable aleatoria X?
◮ 13,275 < σ 2 < 74,84
164.
La longitud de los cráneos de 10 esqueletos fósiles de una especie de aves extinta tiene una media de
5,68 cm y una cuasi-desviación tı́pica de 0,29 cm. Suponiendo que estas longitudes están distribuidas
de forma normal, obtener un intervalo de confianza al 95 % de la longitud media de los cráneos de
esta especie de aves.
◮ 5,68 ± 0,207
Universidad de Cantabria.
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36
7. INFERENCIA ESTADÍSTICA
165.
Una empresa se dedica a la fabricación de lámparas de radio y televisiones. Las de radio tienen una
duración media de 2500 horas y una desviación tı́pica de 250 horas. Las de televisión una media de
2200 horas y 100 horas de desviación. Se cogen 50 lámparas de radio y 75 de televisión al azar. Se
pide:
a) Distribución muestral de la diferencia de medias.
b)
Probabilidad de que la diferencia de medias esté comprendida entre 250 y 400.
c)
Probabilidad de que la duración media de las lámparas de radio no sea superior en más de 200
horas a la duración media de las lámparas de televisión.
◮
166.
167.
168.
a) N (300; 37,2)
b) 0,9069
c) 0,0036
Se están probando dos composiciones diferentes de gasolina sin plomo para determinar sus octanajes.
La varianza del octanaje para la composición 1 es σ12 = 1,5 y para la composición 2 es σ22 = 1,5. Se
extraen sendas muestras aleatorias de tamaño n1 = 15 y n2 = 20, y se miden los octanajes medios
respectivos, x̄1 = 89,6 y x̄2 = 92,5. Construir un intervalo de confianza al 95 % para estimar la
diferencia de los octanajes medios de las dos composiciones de gasolina sin plomo.
Se tomaron muestras aleatorias de tamaño 20 de dos poblaciones independientes. Las medias y las
desviaciones tı́picas de las muestras fueron x̄1 = 22, x̄2 = 21,5, s1 = 1,8 y s2 = 1,5. Suponiendo que
σ12 = σ22 construir un intervalo de confianza al nivel de confianza 95 % para µ1 − µ2 .
Las capacidades de producción de calor del carbón extraı́do de dos minas se estudian con dos
muestras:
M inaA
M inaB
8500
7710
8330
7890
8480
7920
7960
8270
8030
7860
Suponiendo que los datos constituyen muestras aleatorias independientes tomadas de poblaciones
con varianzas iguales, construir un intervalo de confianza al nivel 95 % para la diferencia entre el
promedio real de las capacidades de producción de calor del carbón extraı́do de ambas minas.
◮
169.
170.
440 ± 336
Se lleva a cabo un estudio para determinar la proporción de casas que poseen al menos dos aparatos
de televisión. ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza del 99 % de que
el error al estimar esta proporción sea menor que 0,01?
Un técnico en computadoras está investigando la eficacia de dos lenguajes de diseño diferentes en el
mejoramiento de tareas de programación. A 12 programadores expertos, familiarizados con ambos
lenguajes, se les pide que codifiquen una función estándar en ambos lenguajes, y se registra el tiempo
en minutos que ambos códigos emplean en su ejecución. Los tiempos se muestran en la tabla:
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
37
7. INFERENCIA ESTADÍSTICA
programador
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
lenguaje 1
17
16
21
14
18
24
16
14
21
23
13
18
lenguaje 2
18
14
19
11
23
21
12
13
19
24
15
20
Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia en los tiempos de codificación medios.
¿Hay alguna indicación de que uno de los lenguajes de diseño sea preferible?
◮
171.
(−2,2; 1,2)
Un médico dice poseer un método para determinar el sexo de los niños 6 meses antes de su nacimiento
con una efectividad del 80 %. Para probar esta afirmación se utiliza el siguiente procedimiento. Se
le dejan hacer 14 predicciones. Si el número de éxitos X es al menos de 11, se acepta su método y
en caso contrario no se acepta.
a) Calcular la probabilidad de que se acepte su método siendo malo.
b)
Calcular la probabilidad de que se rechace su método siendo bueno.
c) ¿Parece justo este procedimiento?
◮
a) 0,0286
b) 0,30
c) Este procedimiento no parece justo pues, aunque es pequeña la probabilidad de que se
le admita su método siendo realmente malo, la probabilidad de rechazarle cuando su método es válido es del 0,30. Un buen
procedimiento debe tener estas dos probabilidades pequeñas.
172.
Un grafólogo busca empleo. Con el fin de verificar su cualificación, se le entregan 10 pares de muestras
de escrituras. Cada par contiene la escritura de un médico y de un abogado. Se le contratará si
identifica correctamente por lo menos 8 de los 10 pares. Sea p su probabilidad de éxito. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad L(p) de que sea contratado?
b)
Determinar L(p) para p = 0,5 y p = 0,85.
◮
173.
a) L(p) =
P 10
i=8
µ
10
i
¶
pi q 10−i
b) L(0,5) = 0,055
L(0,85) = 0,82
Se dispone de una moneda cuyo aspecto no es simétrico. Se quiere contrastar si es regular, es decir,
si p = 1/2. Se lanza la moneda 1000 veces y se obtiene 550 veces “cruz”. ¿Qué podemos decidir?
◮ no es realmente regular
174.
En la experiencia de la “moneda regular”, se ha obtenido 530 veces “cruz”. ¿Es significativo este
resultado en contra de la hipótesis de que la moneda es regular para un nivel de significación 5 %?
◮ si: α = 0,0287
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
38
7. INFERENCIA ESTADÍSTICA
175.
176.
177.
Al lanzar un dado 600 veces se obtienen 120 “seises”. ¿Es significativo este resultado en contra de
la hipótesis de que el dado es regular para un nivel de significación 5 %?
Cierta enfermedad es mortal en el 10 % de los casos. De doscientos mineros afectados por dicha enfermedad, se mueren 29. ¿Significa esto que los mineros son más vulnerables a la citada enfermedad?
¿Cuál es la probabilidad de obtener, al azar, una desviación tan grande?
Un ingeniero se plantea la elección entre dos fabricantes distintos para el suministro de cierto aditivo
para el hormigón. El ingeniero recibe las muestras de los laboratorios A y B. Realiza un estudio de
las 15 bolsas de cada tipo del suministro obteniendo:
Descriptive Statistics Variable
N
Mean
Median
LabA
15
2,9869
2,9800
LabB
15
2,9869
2,9840
Variable
LabA
LabB
Minimum
2,7690
2,8650
Maximum
3,2160
3,1400
TrMean
2,9860
2,9845
Q1
2,8750
2,9400
StDev
0,1273
0,0688
SE Mean
0,0329 %
0,0178
Q3
3,0760 %
3,0390
¿Cuál es el aditivo más conveniente?
178.
Los datos que aparecen en la siguiente tabla fueron obtenidos en un experimento diseñado para
estimar la posible diferencia sistemática entre los rendimientos obtenidos en un proceso quı́mico
con dos catalizadores diferentes, que llamaremos A y B.
Dı́a
1
2
3
4
5
6
7
8
Catalizador A
81,31
77,40
80,89
82,15
79,25
80,77
81,19
79,86
Catalizador B
81,01
77,57
74,72
81,73
74,60
78,68
78,80
81,17
Se teme que el rendimiento pueda variar de unos dı́as a otros dependiendo de factores que no
pueden controlarse. Por ello, se eligieron 8 dı́as diferentes y en cada uno de dichos dı́as se realizó el
proceso una vez con el catalizador A y otra vez con el catalizador B. El orden en que se usaron los
catalizadores A y B se eligió al azar cada dı́a.
2
Sean µA y σA
la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos con el catalizador
2
A. Análogamente, sean µB y σB
la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos
con el catalizador B.
Se pide:
a) Estimar la diferencia de medias µA − µB puntualmente y mediante un intervalo de confianza
para al nivel de confianza 0,95.
Universidad de Cantabria.
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39
7. INFERENCIA ESTADÍSTICA
b)
¿Puede rechazarse la hipótesis nula H0 : µA = µB frente a la hipótesis alternativa H1 : µA 6= µB
con un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significación
de la prueba usada.
2
2
2
2
c) ¿Puede rechazarse la hipótesis nula H0 : σA
= σB
frente a la hipótesis alternativa H1 : σA
6= σB
usando un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significación
de la prueba usada.
◮
179.
a) 1,818; (−0,312; 3,947)
b) no: α ≈ 0,083
c) Véase el capı́tulo 7 de Luceño y González(2003): Datos apareados.
Los datos que aparecen en la siguiente tabla fueron obtenidos en un experimento diseñado para
estimar la posible diferencia sistemática entre los rendimientos obtenidos en un proceso quı́mico
con dos catalizadores diferentes, que llamaremos A y B.
Catalizador A
81,31
77,40
80,89
82,15
79,25
80,77
81,19
79,86
Catalizador B
73,93
75,62
70,38
75,91
71,65
72,77
76,45
73,13
Durante 16 dı́as consecutivos se realizó el proceso quı́mico con uno de los catalizadores elegido al
azar entre A y B, realizando el sorteo de forma que no se obtuvieran más de 8 datos con ninguno
de los catalizadores.
2
Sean µA y σA
la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos con el catalizador
2
A. Análogamente, sean µB y σB
la media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos
con el catalizador B.
Se pide:
a) Estimar la diferencia de medias µA − µB puntualmente y mediante un intervalo de confianza
para al nivel de confianza 0,95.
b)
¿Puede rechazarse la hipótesis nula H0 : µA = µB frente a la hipótesis alternativa H1 : µA 6= µB
con un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significación
de la prueba usada.
2
2
2
2
c) ¿Puede rechazarse la hipótesis nula H0 : σA
= σB
frente a la hipótesis alternativa H1 : σA
6= σB
usando un riesgo de primera especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de significación
de la prueba usada.
◮
180.
a) 6,623; (4,604; 8,641)
b) sı́: α < 0,001
c) no: α ≈ 0,347(testF ); α ≈ 0,219(Levene). Datos independientes.
El departamento de control de calidad de una empresa ha examinado 1000 unidades de un producto fabricado por la empresa, habiéndose observado que no hay ninguna unidad defectuosa en la
muestra. Se pide:
a) Estimar puntualmente la proporción de unidades defectuosas producidas en la fábrica.
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
40
7. INFERENCIA ESTADÍSTICA
b)
Calcular intervalos de confianza para dicha proporción al nivel de confianza 0,95, usando dos
métodos diferentes.
c)
Una hipótesis nula que afirma que la proporción de unidades defectuosas producida es igual a
0.001. ¿Puede rechazarse esta hipótesis?
◮
181.
a) 0
b) un intervalo es (0,000000; 0,002991)
c) no puede rechazarse: α ≈ 0,4
En un experimento sobre la influencia de la propaganda en los gustos de las personas, se ha seleccionado una muestra al azar de 350 personas.
A todas estas personas se les ha pedido que dijeran si les gusta o no un cierto tipo de comida rápida.
De las 350 personas consultadas, 125 contestaron que sı́ les gusta y el resto contestaron que no.
Después de invitar a estas personas a ver una pelı́cula que contiene anuncios subliminales, se les
invitó a una merienda en las que se les proporcionó “exactamente” el tipo de comida rápida objeto
del estudio. Posteriormente, se les pasó una encuesta para que dijeran si les habı́a gustado o no la
merienda. De las 125 personas que contestaron afirmativamente a la pregunta del apartado anterior,
110 dijeron que les gustó la merienda y 15 que no les gustó. De las 225 personas que contestaron
negativamente a la pregunta del apartado anterior, 75 dijeron que les gustó la merienda y 150 que
no les gustó.
Se pide:
a) Estimar puntualmente la diferencia entre las proporciones de personas que contestaron afirmativamente antes y después de la proyección de la pelı́cula.
b)
Calcular un intervalo de confianza para la diferencia entre las proporciones de personas que
contestan afirmativamente antes y después de ver pelı́culas con anuncios subliminales, usando
un nivel de confianza 0,95.
c)
Una hipótesis nula que afirma que no hay diferencia entre las proporciones del apartado anterior. ¿Puede rechazarse esta hipótesis?
◮ Véase el capı́tulo 7 del libro de Luceño y González(2003). Es el caso de datos apareados.
182.
Para realizar el acabado de una superficie metálica pueden usarse dos máquinas diferentes: A y B.
De las 150 veces que se usó la máquina A, en 10 ocasiones fue necesario hacer una segunda pasada
para conseguir una superficie sin defectos. De las 150 veces que se usó la máquina B, solamente fue
necesaria una segunda pasada en 6 ocasiones. Se pide:
a) Estimar puntualmente la diferencia entre las proporciones de veces que hay que hacer una
segunda pasada con cada una de las máquinas.
b)
Calcular un intervalo de confianza para la diferencia entre las proporciones de veces que hay
que hacer una segunda pasada con cada una de las máquinas, usando un nivel de confianza
0,95.
c)
Una hipótesis nula que afirma que no hay diferencia entre las proporciones del apartado anterior. ¿Puede rechazarse esta hipótesis?
◮
a) 0,02667
b) (−0,0240966; 0,0774299)
Universidad de Cantabria.
c) no puede rechazarse: α ≈ 0,3. Es el caso de datos independientes.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
41
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
8.
Tablas estadı́sticas
α
d(α)
0,15
1,138
0,1
1,224
0,05
1,358
0,025
1,480
0,01
1,628
Tabla 5.4: Tabla de Smirnov.
Caso
I
II
III
IV
Ki (n)
√
√
n − 0,01 + 0,85
n
√
0,5
n + 0,26 + √
n
√
√n
n
Gi (n)
0
0,2
n
0,15
0,775
0,926
0
0
0,1
0,819
0,995
1,160
0,803
α
0,05
0,895
1,094
1,290
0,874
di (α)
0,025
0,995
1,184
1,420
0,939
0,01
1,035
1,298
1,530
1,007
Tabla 5.9: Generalizaciones de la tabla de Smirnov para los siguientes casos: (I) Normal con µ̂ = x̄
y σ̂ 2 = s2 ; (II) Gumbel con ψ conocido y δ estimado usando ML; (III) Gumbel con δ conocido y ψ
estimado usando ML; y (IV) Gumbel con δ y ψ estimados usando ML.
Caso
0
I
II
III
IV
Ki (n)
1 + 1/n
1 + 0,5/n
1 + 0,16/n
1 √
1 + 0,2/ n
Gi (n)
0,4
0,6
n − n2
0
0
0
0
0,15
0,284
0,091
0,148
0,1
0,347
0,104
0,175
0,320
0,102
α
0,05
0,461
0,126
0,222
0,431
0,124
di (α)
0,025
0,581
0,148
0,271
0,547
0,146
0,01
0,743
0,178
0,338
0,705
0,175
Tabla 5.10: Tabla de Cramer-von Mises para los casos: (0) Cualquier distribución continua con
todos sus parámetros especificados (I) Normal con µ̂ = x̄ y σ̂ 2 = s2 ; (II) Gumbel con ψ conocido y
δ estimado usando ML; (III) Gumbel con δ conocido y ψ estimado usando ML; y (IV) Gumbel con
δ y ψ estimados usando ML.
Caso
0
I
II
III
IV
Ki (n)
√
√
n + 0,155 + 0,24
n
√
0,82
√
n + 0,05 + n
√
√
n + 0,24 + 0,35
n
√
n
√
n
Universidad de Cantabria.
Gi (n)
0
0
0,2
n
0
0
0,15
1,537
1,320
1,445
0,1
1,620
1,386
1,527
1,460
1,372
α
0,05
1,747
1,489
1,655
1,580
1,477
di (α)
Alberto Luceño y Fco. Javier González
0,025
1,862
1,585
1,774
1,690
1,557
0,01
2,001
1,693
1,910
1,810
1,671
42
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
Tabla 5.11: Tabla de Kuiper para los mismos casos que la tabla 5.10.
Caso
0
I
II
III
IV
Ki (n)
1 + 0,8/n
1 + 0,5/n
1 + 0,16/n
√
1 + 0,15/√ n
1 + 0,2/ n
Gi (n)
0,1
0,1
n − n2
0
0
0
0
0,15
0,131
0,085
0,112
0,1
0,152
0,096
0,129
0,123
0,097
α
0,05
0,187
0,116
0,159
0,152
0,117
di (α)
0,025
0,221
0,136
0,189
0,181
0,138
0,01
0,267
0,163
0,230
0,220
0,165
0,025
3,070
0,918
1,591
2,854
0,877
0,01
3,857
1,092
1,959
3,640
1,038
Tabla 5.12: Tabla de Watson para los mismos casos que la tabla 5.10.
Caso
0
I
II
III
IV
Ki (n)
1
1 + 4/n − 25/n2
1 + 0,6/n
1 √
1 + 0,2/ n
Gi (n)
0
0
0
0
0
0,15
1,610
0,576
0,916
0,1
1,933
0,656
1,062
1,725
0,637
α
0,05
2,492
0,787
1,321
2,277
0,757
di (α)
Tabla 5.13: Tabla de Anderson-Darling para los casos que la tabla 5.10.
n
d2
2
1,128
3
1,693
4
2,059
5
2,326
6
2,534
7
2,704
8
2,847
9
2,970
10
3,078
9
3,676
10
3,861
Tabla 6.1: Valores de d2 para la fórmula (6.5).
n
dR
2
1,323
3
1,906
4
2,340
5
2,691
6
2,988
7
3,247
8
3,472
Tabla 6.2: Valores de dR para la fórmula (6.6).
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
43
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
x
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
1.55
1.60
1.65
Φ(x)
0.50000
0.51994
0.53983
0.55962
0.57926
0.59871
0.61791
0.63683
0.65542
0.67364
0.69146
0.70884
0.72575
0.74215
0.75804
0.77337
0.78814
0.80234
0.81594
0.82894
0.84134
0.85314
0.86433
0.87493
0.88493
0.89435
0.90320
0.91149
0.91924
0.92647
0.93319
0.93943
0.94520
0.95053
x
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.20
2.25
2.30
2.35
2.40
2.45
2.50
2.55
2.60
2.65
2.70
2.75
2.80
2.85
2.90
2.95
3.00
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
Φ(x)
0.955435
0.959941
0.964070
0.967843
0.971284
0.974412
0.977250
0.979818
0.982136
0.984222
0.986097
0.987776
0.989276
0.990613
0.991802
0.992857
0.993790
0.994614
0.995339
0.995975
0.996533
0.997020
0.997445
0.997814
0.998134
0.998411
0.998650
0.998856
0.999032
0.999184
0.999313
0.999423
0.999517
0.999596
x
3.40
3.45
3.50
3.55
3.60
3.65
3.70
3.75
3.80
3.85
3.90
3.95
4.00
4.05
4.10
4.15
4.20
4.25
4.30
4.35
4.40
4.45
4.50
4.55
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
4.85
4.90
4.95
5.00
6.00
Φ(x)
0.999663019
0.999719659
0.999767327
0.999807344
0.999840854
0.999868846
0.999892170
0.999911555
0.999927628
0.999940919
0.999951884
0.999960908
0.999968314
0.999974378
0.999979331
0.999983367
0.999986646
0.999989304
0.999991454
0.999993188
0.999994583
0.999995703
0.999996599
0.999997315
0.999997885
0.999998339
0.999998698
0.999998982
0.999999206
0.999999382
0.999999520
0.999999628
0.999999713
0.999999999
Tabla 8.1: Algunos valores de la función de distribución normal estándar. Debe tenerse en cuenta
que Φ(−x) = 1 − Φ(x).
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
44
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
α
0.50
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.80
0.81
0.82
0.83
Φ−1 (α)
0.00000
0.02507
0.05015
0.07527
0.10043
0.12566
0.15097
0.17637
0.20189
0.22755
0.25335
0.27932
0.30548
0.33185
0.35846
0.38532
0.41246
0.43991
0.46770
0.49585
0.52440
0.55338
0.58284
0.61281
0.64334
0.67449
0.70630
0.73885
0.77219
0.80642
0.84162
0.87790
0.91537
0.95416
α
0.840
0.850
0.860
0.870
0.880
0.890
0.895
0.900
0.905
0.910
0.915
0.920
0.925
0.930
0.935
0.940
0.941
0.942
0.943
0.944
0.945
0.946
0.947
0.948
0.949
0.950
0.951
0.952
0.953
0.954
0.955
0.956
0.957
0.958
Φ−1 (α)
0.99446
1.03643
1.08032
1.12639
1.17499
1.22653
1.25357
1.28155
1.31058
1.34075
1.37220
1.40507
1.43953
1.47579
1.51410
1.55477
1.56322
1.57179
1.58047
1.58927
1.59819
1.60725
1.61644
1.62576
1.63524
1.64485
1.65463
1.66456
1.67466
1.68494
1.69540
1.70604
1.71688
1.72793
α
0.968
0.969
0.970
0.971
0.972
0.973
0.974
0.975
0.976
0.977
0.978
0.979
0.980
0.981
0.982
0.983
0.984
0.985
0.986
0.987
0.988
0.989
0.990
0.991
0.992
0.993
0.994
0.995
0.996
0.997
0.998
0.999
0.9999
0.99999
Φ−1 (α)
1.85218
1.86629
1.88079
1.89570
1.91103
1.92684
1.94314
1.95996
1.97737
1.99539
2.01409
2.03352
2.05375
2.07485
2.09693
2.12007
2.14441
2.17009
2.19728
2.22621
2.25713
2.29036
2.32634
2.36561
2.40892
2.45727
2.51213
2.57583
2.65209
2.74777
2.87815
3.09024
3.71947
4.26546
Tabla 8.2: Algunos valores de la función Φ−1 (α), inversa de la función de distribución normal
estándar, para 0,5 ≤ α < 1. Para 0 < α ≤ 0,5 puede usarse la relación Φ−1 (1 − α) = −Φ−1 (α).
Obsérvese además que Φ−1 (α) ≡ zα siendo zα el cuantil α de la distribución normal estándar.
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
45
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
100
200
∞
α=
6.3137
2.9200
2.3534
2.1318
2.0150
1.9432
1.8946
1.8595
1.8331
1.8125
1.7959
1.7823
1.7709
1.7613
1.7531
1.7459
1.7396
1.7341
1.7291
1.7247
1.7207
1.7171
1.7139
1.7109
1.7081
1.7056
1.7033
1.7011
1.6991
1.6973
1.6839
1.6706
1.6602
1.6525
1.6449
0.1
12.7062
4.3027
3.1824
2.7765
2.5706
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
2.2010
2.1788
2.1604
2.1448
2.1315
2.1199
2.1098
2.1009
2.0930
2.0860
2.0796
2.0739
2.0687
2.0639
2.0595
2.0555
2.0518
2.0484
2.0452
2.0423
2.0211
2.0003
1.9840
1.9719
1.9600
0.05
t(n, 1 − α/2)
31.8210 63.6559
6.9645
9.9250
4.5407
5.8408
3.7469
4.6041
3.3649
4.0321
3.1427
3.7074
2.9979
3.4995
2.8965
3.3554
2.8214
3.2498
2.7638
3.1693
2.7181
3.1058
2.6810
3.0545
2.6503
3.0123
2.6245
2.9768
2.6025
2.9467
2.5835
2.9208
2.5669
2.8982
2.5524
2.8784
2.5395
2.8609
2.5280
2.8453
2.5176
2.8314
2.5083
2.8188
2.4999
2.8073
2.4922
2.7970
2.4851
2.7874
2.4786
2.7787
2.4727
2.7707
2.4671
2.7633
2.4620
2.7564
2.4573
2.7500
2.4233
2.7045
2.3901
2.6603
2.3642
2.6259
2.3451
2.6006
2.3263
2.5758
0.02
0.01
318.2888
22.3285
10.2143
7.1729
5.8935
5.2075
4.7853
4.5008
4.2969
4.1437
4.0248
3.9296
3.8520
3.7874
3.7329
3.6861
3.6458
3.6105
3.5793
3.5518
3.5271
3.5050
3.4850
3.4668
3.4502
3.4350
3.4210
3.4082
3.3963
3.3852
3.3069
3.2317
3.1738
3.1315
3.0902
0.002
636.5776
31.5998
12.9244
8.6101
6.8685
5.9587
5.4081
5.0414
4.7809
4.5868
4.4369
4.3178
4.2209
4.1403
4.0728
4.0149
3.9651
3.9217
3.8833
3.8496
3.8193
3.7922
3.7676
3.7454
3.7251
3.7067
3.6895
3.6739
3.6595
3.6460
3.5510
3.4602
3.3905
3.3398
3.2905
0.001
Tabla 8.3: Algunos cuantiles de la distribución t(n) de Student.
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
46
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
40
50
60
70
80
90
100
250
500
α=
3.9E-05
0.010
0.072
0.207
0.412
0.676
0.989
1.344
1.735
2.156
2.603
3.074
3.565
4.075
4.601
5.142
5.697
6.265
6.844
7.434
8.034
8.643
9.260
9.886
10.520
13.787
20.707
27.991
35.534
43.275
51.172
59.196
67.328
196.160
422.303
0.005
9.8E-04
0.051
0.216
0.484
0.831
1.237
1.690
2.180
2.700
3.247
3.816
4.404
5.009
5.629
6.262
6.908
7.564
8.231
8.907
9.591
10.283
10.982
11.689
12.401
13.120
16.791
24.433
32.357
40.482
48.758
57.153
65.647
74.222
208.098
439.936
0.025
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
43.773
55.758
67.505
79.082
90.531
101.879
113.145
124.342
287.882
553.127
0.95
χ2 (n, α)
5.024
7.378
9.348
11.143
12.832
14.449
16.013
17.535
19.023
20.483
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
28.845
30.191
31.526
32.852
34.170
35.479
36.781
38.076
39.364
40.646
46.979
59.342
71.420
83.298
95.023
106.629
118.136
129.561
295.689
563.851
0.975
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
50.892
63.691
76.154
88.379
100.425
112.329
124.116
135.807
304.939
576.493
0.99
7.879
10.597
12.838
14.860
16.750
18.548
20.278
21.955
23.589
25.188
26.757
28.300
29.819
31.319
32.801
34.267
35.718
37.156
38.582
39.997
41.401
42.796
44.181
45.558
46.928
53.672
66.766
79.490
91.952
104.215
116.321
128.299
140.170
311.346
585.206
0.995
10.827
13.815
16.266
18.466
20.515
22.457
24.321
26.124
27.877
29.588
31.264
32.909
34.527
36.124
37.698
39.252
40.791
42.312
43.819
45.314
46.796
48.268
49.728
51.179
52.619
59.702
73.403
86.660
99.608
112.317
124.839
137.208
149.449
324.831
603.446
0.999
Tabla 8.4: Algunos cuantiles de la distribución χ2 (n) de Pearson.
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
47
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
n2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
40
50
75
100
125
150
200
500
∞
n1 =
647.8
38.51
17.44
12.22
10.01
8.813
8.073
7.571
7.209
6.937
6.724
6.554
6.414
6.298
6.200
6.115
6.042
5.978
5.922
5.871
5.827
5.786
5.750
5.717
5.686
5.568
5.424
5.340
5.232
5.179
5.147
5.126
5.100
5.054
5.024
1
799.5
39.00
16.04
10.65
8.434
7.260
6.542
6.059
5.715
5.456
5.256
5.096
4.965
4.857
4.765
4.687
4.619
4.560
4.508
4.461
4.420
4.383
4.349
4.319
4.291
4.182
4.051
3.975
3.876
3.828
3.800
3.781
3.758
3.716
3.689
2
864.2
39.17
15.44
9.979
7.764
6.599
5.890
5.416
5.078
4.826
4.630
4.474
4.347
4.242
4.153
4.077
4.011
3.954
3.903
3.859
3.819
3.783
3.750
3.721
3.694
3.589
3.463
3.390
3.296
3.250
3.222
3.204
3.182
3.142
3.116
3
F (n1 , n2 )
899.6 937.1
39.25 39.33
15.10 14.73
9.604 9.197
7.388 6.978
6.227 5.820
5.523 5.119
5.053 4.652
4.718 4.320
4.468 4.072
4.275 3.881
4.121 3.728
3.996 3.604
3.892 3.501
3.804 3.415
3.729 3.341
3.665 3.277
3.608 3.221
3.559 3.172
3.515 3.128
3.475 3.090
3.440 3.055
3.408 3.023
3.379 2.995
3.353 2.969
3.250 2.867
3.126 2.744
3.054 2.674
2.962 2.582
2.917 2.537
2.890 2.511
2.872 2.494
2.850 2.472
2.811 2.434
2.786 2.408
4
6
948.2
39.36
14.62
9.074
6.853
5.695
4.995
4.529
4.197
3.950
3.759
3.607
3.483
3.380
3.293
3.219
3.156
3.100
3.051
3.007
2.969
2.934
2.902
2.874
2.848
2.746
2.624
2.553
2.461
2.417
2.390
2.373
2.351
2.313
2.288
7
956.6
39.37
14.54
8.980
6.757
5.600
4.899
4.433
4.102
3.855
3.664
3.512
3.388
3.285
3.199
3.125
3.061
3.005
2.956
2.913
2.874
2.839
2.808
2.779
2.753
2.651
2.529
2.458
2.366
2.321
2.295
2.278
2.256
2.217
2.192
8
968.6
39.40
14.42
8.844
6.619
5.461
4.761
4.295
3.964
3.717
3.526
3.374
3.250
3.147
3.060
2.986
2.922
2.866
2.817
2.774
2.735
2.700
2.668
2.640
2.613
2.511
2.388
2.317
2.224
2.179
2.153
2.135
2.113
2.074
2.048
10
Tabla 8.5: Cuantiles q0,975 de la distribución F de Snedecor.
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
48
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
n2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
40
50
75
100
125
150
200
500
∞
n1 =
976.7
39.41
14.34
8.751
6.525
5.366
4.666
4.200
3.868
3.621
3.430
3.277
3.153
3.050
2.963
2.889
2.825
2.769
2.720
2.676
2.637
2.602
2.570
2.541
2.515
2.412
2.288
2.216
2.123
2.077
2.050
2.032
2.010
1.971
1.945
12
982.5
39.43
14.28
8.684
6.456
5.297
4.596
4.130
3.798
3.550
3.359
3.206
3.082
2.979
2.891
2.817
2.753
2.696
2.647
2.603
2.564
2.528
2.497
2.468
2.441
2.338
2.213
2.140
2.046
2.000
1.973
1.955
1.932
1.892
1.866
14
986.9
39.44
14.23
8.633
6.403
5.244
4.543
4.076
3.744
3.496
3.304
3.152
3.027
2.923
2.836
2.761
2.697
2.640
2.591
2.547
2.507
2.472
2.440
2.411
2.384
2.280
2.154
2.081
1.986
1.939
1.911
1.893
1.870
1.830
1.803
16
F (n1 , n2 )
990.3 993.1
39.44 39.45
14.20 14.17
8.592 8.560
6.362 6.329
5.202 5.168
4.501 4.467
4.034 3.999
3.701 3.667
3.453 3.419
3.261 3.226
3.108 3.073
2.983 2.948
2.879 2.844
2.792 2.756
2.717 2.681
2.652 2.616
2.596 2.559
2.546 2.509
2.501 2.464
2.462 2.425
2.426 2.389
2.394 2.357
2.365 2.327
2.338 2.300
2.233 2.195
2.107 2.068
2.033 1.993
1.937 1.896
1.890 1.849
1.862 1.820
1.843 1.801
1.820 1.778
1.779 1.736
1.751 1.708
18
20
1001.4
39.46
14.08
8.461
6.227
5.065
4.362
3.894
3.560
3.311
3.118
2.963
2.837
2.732
2.644
2.568
2.502
2.445
2.394
2.349
2.308
2.272
2.239
2.209
2.182
2.074
1.943
1.866
1.765
1.715
1.685
1.665
1.640
1.596
1.566
30
1009.8
39.48
13.99
8.360
6.123
4.959
4.254
3.784
3.449
3.198
3.004
2.848
2.720
2.614
2.524
2.447
2.380
2.321
2.270
2.223
2.182
2.145
2.111
2.080
2.052
1.940
1.803
1.721
1.612
1.558
1.524
1.502
1.474
1.423
1.388
60
1018.3
39.50
13.90
8.257
6.015
4.849
4.142
3.670
3.333
3.080
2.883
2.725
2.595
2.487
2.395
2.316
2.247
2.187
2.133
2.085
2.042
2.003
1.968
1.935
1.906
1.787
1.637
1.545
1.417
1.347
1.303
1.271
1.229
1.137
1.000
∞
Tabla 8.6: Cuantiles q0,975 de la distribución F de Snedecor (continuación).
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
49
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
n2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
40
50
75
100
125
150
200
500
∞
n1 =
16212
198.5
55.55
31.33
22.78
18.63
16.24
14.69
13.61
12.83
12.23
11.75
11.37
11.06
10.80
10.58
10.38
10.22
10.07
9.944
9.829
9.727
9.635
9.551
9.475
9.180
8.828
8.626
8.366
8.241
8.167
8.118
8.057
7.950
7.879
1
19997
199.0
49.80
26.28
18.31
14.54
12.40
11.04
10.11
9.427
8.912
8.510
8.186
7.922
7.701
7.514
7.354
7.215
7.093
6.987
6.891
6.806
6.730
6.661
6.598
6.355
6.066
5.902
5.691
5.589
5.529
5.490
5.441
5.355
5.298
2
21614
199.2
47.47
24.26
16.53
12.92
10.88
9.597
8.717
8.081
7.600
7.226
6.926
6.680
6.476
6.303
6.156
6.028
5.916
5.818
5.730
5.652
5.582
5.519
5.462
5.239
4.976
4.826
4.635
4.542
4.488
4.453
4.408
4.330
4.279
3
F (n1 , n2 )
22501 23440
199.2 199.3
46.20 44.84
23.15 21.98
15.56 14.51
12.03 11.07
10.05 9.155
8.805 7.952
7.956 7.134
7.343 6.545
6.881 6.102
6.521 5.757
6.233 5.482
5.998 5.257
5.803 5.071
5.638 4.913
5.497 4.779
5.375 4.663
5.268 4.561
5.174 4.472
5.091 4.393
5.017 4.322
4.950 4.259
4.890 4.202
4.835 4.150
4.623 3.949
4.374 3.713
4.232 3.579
4.050 3.407
3.963 3.325
3.912 3.277
3.878 3.245
3.837 3.206
3.763 3.137
3.715 3.091
4
6
23715
199.4
44.43
21.62
14.20
10.79
8.885
7.694
6.885
6.303
5.865
5.524
5.253
5.031
4.847
4.692
4.559
4.445
4.345
4.257
4.179
4.109
4.047
3.991
3.939
3.742
3.509
3.376
3.208
3.127
3.080
3.048
3.010
2.941
2.897
7
23924
199.4
44.13
21.35
13.96
10.57
8.678
7.496
6.693
6.116
5.682
5.345
5.076
4.857
4.674
4.521
4.389
4.276
4.177
4.090
4.013
3.944
3.882
3.826
3.776
3.580
3.350
3.219
3.052
2.972
2.925
2.894
2.856
2.789
2.744
8
24222
199.4
43.68
20.97
13.62
10.25
8.380
7.211
6.417
5.847
5.418
5.085
4.820
4.603
4.424
4.272
4.142
4.030
3.933
3.847
3.771
3.703
3.642
3.587
3.537
3.344
3.117
2.988
2.823
2.744
2.698
2.667
2.629
2.562
2.519
10
Tabla 8.7: Cuantiles q0,995 de la distribución F de Snedecor.
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
50
8. TABLAS ESTADÍSTICAS
n2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
40
50
75
100
125
150
200
500
∞
n1 =
24427
199.4
43.39
20.70
13.38
10.03
8.176
7.015
6.227
5.661
5.236
4.906
4.643
4.428
4.250
4.099
3.971
3.860
3.763
3.678
3.602
3.535
3.474
3.420
3.370
3.179
2.953
2.825
2.661
2.583
2.536
2.506
2.468
2.402
2.358
12
24572
199.4
43.17
20.51
13.21
9.878
8.028
6.872
6.089
5.526
5.103
4.775
4.513
4.299
4.122
3.972
3.844
3.734
3.638
3.553
3.478
3.411
3.351
3.296
3.247
3.056
2.831
2.703
2.540
2.461
2.415
2.385
2.347
2.281
2.237
14
24684
199.4
43.01
20.37
13.09
9.758
7.915
6.763
5.983
5.422
5.001
4.674
4.413
4.201
4.024
3.875
3.747
3.637
3.541
3.457
3.382
3.315
3.255
3.201
3.152
2.961
2.737
2.609
2.445
2.367
2.320
2.290
2.252
2.185
2.142
16
F (n1 , n2 )
24766 24837
199.4 199.4
42.88 42.78
20.26 20.17
12.98 12.90
9.664 9.589
7.826 7.754
6.678 6.608
5.899 5.832
5.340 5.274
4.921 4.855
4.595 4.530
4.334 4.270
4.122 4.059
3.946 3.883
3.797 3.734
3.670 3.607
3.560 3.498
3.464 3.402
3.380 3.318
3.305 3.243
3.239 3.176
3.179 3.116
3.125 3.062
3.075 3.013
2.885 2.823
2.661 2.598
2.533 2.470
2.369 2.306
2.290 2.227
2.244 2.180
2.213 2.150
2.175 2.112
2.108 2.044
2.064 2.000
18
20
25041
199.5
42.47
19.89
12.66
9.358
7.534
6.396
5.625
5.071
4.654
4.331
4.073
3.862
3.687
3.539
3.412
3.303
3.208
3.123
3.049
2.982
2.922
2.868
2.819
2.628
2.401
2.272
2.105
2.024
1.976
1.944
1.905
1.835
1.789
30
25254
199.5
42.15
19.61
12.40
9.122
7.309
6.177
5.410
4.859
4.445
4.123
3.866
3.655
3.480
3.332
3.206
3.096
3.000
2.916
2.841
2.774
2.713
2.658
2.609
2.415
2.184
2.050
1.876
1.790
1.738
1.704
1.661
1.584
1.533
60
25466
199.5
41.83
19.32
12.14
8.879
7.076
5.951
5.188
4.639
4.226
3.904
3.647
3.436
3.260
3.111
2.984
2.873
2.776
2.690
2.614
2.546
2.484
2.428
2.377
2.176
1.932
1.786
1.589
1.485
1.420
1.374
1.314
1.184
1.000
∞
Tabla 8.8: Cuantiles q0,995 de la distribución F de Snedecor (continuación).
Universidad de Cantabria.
Alberto Luceño y Fco. Javier González
51