Formas lineales en variedades 1 Introducción En esta sección se pretende introducir la parte del cálculo exterior en variedades que se utilizará en el desarrollo teórico de la Mecánica Analı́tica. En concreto, se necesita introducir el teorema de Froebenius para el cálculo de la integrabilidad de un sistema de ligaduras cinemáticas, y el recı́proco del lema de Poincaré, para la determinación de la derivabilidad de un sistema de fuerzas generalizadas de un potencial dependiente de las velocidaes. Se procederá a introducir los conceptos fundamentales de la forma más intuitiva posible, para lo que directamente se presentan las formas multilineales alternadas en forma de integrales definidas sobre variedades. El objetivo fundamental es la ágil manipulación de estos conceptos mediante las operaciones definidas. En aras de la brevedad de esta introducción, se omiten demostraciones, que pueden encontrarse en otros tratados de perfil más matemático dedicados especı́ficamente a este tema. Aquellos lectores que hayan estudiado las formas diferenciales sobre variedades podrán omitir las siguientes secciones, sin merma de la continuidad en la exposición de la Mecánica Analı́tica. 2 Variedades Los conjuntos de puntos que componen las curvas, superficies o volúmenes en un espacio euclı́deo tridimensional heredan de éste la posibilidad de definir una distancia entre sus puntos. En el caso de las superficies, éstan admiten parametrizaciones continuas y diferenciables que asignen a cada punto de un subconjunto de R2 un punto de la superficie. En este sentido, se dice que se trata de espacios bidimensionales. En otros casos, se tienen conjuntos cuyos elementos también pueden ser identificados mediante funciones continuas y diferenciables definidas sobre un subconjunto de R2 , pero que no poseen ninguna distancia intrı́nsecamente definida entre sus puntos. Por ejemplo, el estado de un gas ideal viene dado por la presión y el volumen, de forma que existe una función continua y diferenciable entre los pares de valores (p, V ) y los posibles estados del gas. Se reserva el nombre de variedades diferenciables o simplemente variedades para estos conjuntos. En este trabajo se omitirán algunos aspectos de la teorı́a más general de variedades diferenciables, que nos distraerı́an demasiado del contexto mecánico en el que se encuadra. En lo que sigue se entenderá por variedad, variedad diferenciable o variedad infinitamente diferenciable un par 1 V, F en el que V es el conjunto de puntos de la variedad y F es un conjunto de funciones invertibles de dominio Dv ⊂ Rn que se aplican en V v ∈ F ∧ x ∈ Dv ⇒ v(x) ∈ V tal que, si v1 , v2 son dos funciones de F , entonces la función f f (x) = v1−1 (v2 (x)) es una biyección infinitamente diferenciable. Un tratamiento más común exige la introducción de las nociones de espacio topológico, de Haussdorff, etc, que se alejarı́a de la lı́nea seguida en este trabajo. Todas las variedades V presuponen, por definición, la existencia de una función diferenciable v : Dv ⊂ Rn → V que asigne a cada n-erna de Dv un punto de V . Por supuesto, esto implica que existen infinitas funciones de este tipo, pues cualquier isomorfismo diferenciable de Dv ⊂ Rn en D sigue cumpliendo las propiedades exigidas. Realmente no existe ninguna función privilegiada frente al resto, por lo que cualquier elemento o definición intrı́nseca que se realice sobre una variedad debe ser independiente de la función de representación elegida. Esta propiedad es la que determinará el carácter intrı́nseco de los conceptos que se van a definir. Allı́ donde no se dé una demostración, deberá suponerse que la definición es correcta desde este punto de vista. Algunas definiciones se realizarán para una función v ∈ F determinada, llamada función de representación y deberá asumirse que las definiciones basadas sobre una determinada función de representación son válidas para cualquier otra. 3 Curvas sobre variedades Dada una variedad V , una representación v y un intervalo I ⊂ R, cualquier función diferenciable c de I en Dv define un conjunto de puntos v(c(x)) x ∈ I sobre la variedad, que constituye una nueva variedad unidimensional o curva de V . Dos curvas c1 , c2 son tangentes si c01 = c02 en el punto considerado. La tangencia es una relación de equivalencia que determina, cuando actúa como cociente del conjunto de curvas, el conjunto T (V ) de tangentes. Este conjunto no depende de la representación de partida. Dada una función f definida sobre los puntos de la variedad, si se asume una representación v, queda determinada una función fv (x) = f (v(P )), que, mientras no haya lugar a confusión se denotará de la misma forma que f . Sea una función f y una tangente t en el punto P0 ; se puede definir la derivada de f según t. Sea c una curva de la tangente t, que pasa por P0 ; la derivada de f según t es el escalar X dci ∂f tf = dx ∂xi dci donde, llamando ai a en P0 , se tiene dt X ∂ tf = ( ai i )f ∂x 2 que permite representar cualquier tangente a la variedad mediante la expresión X ai ∂ ∂xi Si se tiene un campo de tangentes t(P ), entonces los coeficientes ai son funciones del punto de la variedad ai = ai (x1 , . . . , xn ) . t(P ) = X ai (x1 , . . . , xn ) Dados dos campos de tangentes ta = campo de tangentes [ta , tb ] = X P ai ∂ ∂xi X ∂ ∂ , tb = bj j se define otro i ∂x ∂x j X ∂bj ∂ ∂ j ∂ i ∂ j ∂ i i ∂a b −b a = a −b a ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj i que se conoce como corchete de Lie de ta , tb . Las tangentes aquı́ definidas corresponden con lo que en teorı́a de tensores se denominan vectores contravariantes. 4 Formas lineales Dada una variedad V y una representación v, una función que asigne a cada curva c de V un número real dado por una integral ω= Z x1 ωi dxi x0 donde dxi du, u ∈ I du es una forma lineal definida sobre la variedad. Las formas lineales son funciones lineales definidas sobre las curvas y no dependen de la representación elegida. En la teorı́a general de tensores sobre variedades, las formas lineales son los vectores covariantes. La forma lineal ω se denotará dxi = dci = ω = ω1 dx1 + . . . + ωn dxn Dada una función f , ésta define una función lineal df = función lineal corresponde a la integral Z x1 ∂f ω= dxi = f (x1 ) − f (x0 ) i x0 ∂x 3 P ∂f dxi . Esta ∂xi Se puede definir el producto interior de una función lineal P i ∂ de tangentes a ∂xi X ω◦t= ai ωi P ωi dxi y un campo Un conjunto de funciones lineales Ω = {ωi } define un conjunto perpendicular de tangentes TΩ formado por aquéllas que verifiquen ωi ◦ t = 0 Un sistema de funciones lineales es un elemento del conjunto cociente entre el de conjuntos de funciones lineales y la relación de equivalencia de compartir el mismo conjunto perpendicular de tangentes. 5 Subvariedades de una variedad Al igual que se ha realizado con las curvas, pueden definirse subvariedades de dimensión superior. En efecto, dada una variedad V y una representación v cualquier biyección (c1 (u1 , . . . , um ), . . . , cn (u1 , . . . , um )) diferenciable no degenerada definida de un conjunto I ⊂ R2 en un dominio m-dimensional K ⊂ Dv define una subvariedad m-dimensional de V . Existe una relación de equivalencia entre subvariedades dada por la inclusión de los mismos puntos. Sin embargo, dos subvariedades no se consierarán iguales sólo por tener el mismo conjunto de puntos, sino que además deberán tener la misma orientación. En efecto, si c, d son dos variedades m-dimensionales aplicables sobre el mismo conjunto de puntos, existe una biyección infinitamente diferenciable entre sus dominios Ic , Id El determinante jacobiano de esta transformación será positivo o negativo (no puede ser cero, por lo que será positivo o negativo en todos sus puntos). Si es positivo, entonces las dos subvariedades tienen la misma orientación y pueden considerarse la misma subvariedad. En caso contrario, tienen distinta orientación. Además, una subvariedad m dimensional que no sea cerrada define una frontera que es una variedad m − 1dimensional. Ésta hereda de la variedad que delimita una orientación. Si se utiliza una parametrización tal que la subvariedad m-dimensional corresponda a valores u1 < 0, entonces la frontera queda paramentrizada inmediatamente por el resto de parámetros u2 , . . . , um . Esta parametrización define la orientación de la frontera. Una función Z ω = ωij dx1i dx2j integrada sobre una subvariedad de dimensión 2, en la que ωij = −ωji y dxik = ∂ck i du ∂ui constituye una forma bilineal. 4 En este contexto se debe subrayar la diferencia entre las formas bilineales y las funciones bilineales, puesto que aquéllas son un caso particular de éstas (las antisimétricas en cualquier par de argumentos). Esta diferencia se mantendrá al introducir formas m−lineales. Dadas dos formas lineales λ, σ, se define su producto exterior como una forma bilineal ω = λ ∧ σ tal que, de acuerdo con la definición anterior ωij = 1 (λi σj − λj σi ) 2 El producto exterior cumple las propiedades normales de un producto y es anticonmutativo. Para las formas lineales dxi , dxj , se tiene dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi Puede demostrarse que cualquier forma bilineal puede representarse por una serie de la forma X ω= ωij dxi ∧ dxj i,j para todos los pares (i, j), o bien, X ω= 2ωij dxi ∧ dxj i,j donde los subı́ndices están ordenados i < j. Una función Z ω = ωi1 i2 ...im dx1i1 dx2i2 dxmim integrada sobre una subvariedad de dimensión m, en la que ωi1 i2 ...im es antisimétrico en cualquier par de ı́ndices y dxik = ∂ck i du ∂ui constituye una forma m-lineal. La operación producto exterior puede ampliarse. En efecto, asumiendo la asociatividad de este producto, se puede definir el producto exterior de dos formas multilineales. Si λ, σ son formas m, k-lineales, entonces ω =λ∧σ es una forma m + k-lineal. Para determinarla, se han de definir los coeficientes ωi1 i2 ...im+k . Suponiendo que las formas λ, σ son a su vez los productos exteriores reiterados m, k veces de las p = m + k formas lineales ω1 ∧ ω2 ∧ . . . ∧ ωp 5 entonces j ...j ωi1 i2 ...im+k = δh11 ...hpp p! ωj1 h1 . . . ωjp hp donde se ha utilizado la delta de Kronecker generalizada δ j1 . . . δ jp h1 h1 j ...j δh11 ...hpp = . . . . . . . . . j1 jp δhp . . . δhp Puede demostrarse que cualquier forma m−lineal ω ouede representarse por una combinación de la forma X ω= ωi1 ,...,im dxi1 ∧ dxi2 ∧ dxim i1 ,...,im . El conjunto de las formas m−dimensionales tiene estructura de espacio vectorial. Dada una forma m−dimensional ω, se puede obtener una forma m + 1dimensional dω, llamada derivada exterior que verifique que si A es la frontera del dominio cerrado m + 1dimensional B, se tenga Z Z ω= dω A B Esta forma viene dada por dω = X j,i1 ,...,im ∂ωi1 ,...,in j dx ∧ dx1i1 ∧ dx2i2 ∧ dxmim ∂xj ( de esta propiedad, que se conoce como teorema de Stokes generalizado, se deducen, como casos particulares, los clásicos teoremas de Gauss-Ostrogradsky y de Stokes). La derivada exterior verifica las leyes habituales de derivación frente a combinaciones lineales y productos. 6 Lema de Poincaré y su recı́proco El lema de Poincaré establece que si ω es una n-forma, entonces dddω = 0 y su recı́proco afirma que si dν = 0 entonces existe una forma ω tal que ν = dω 6 . La demostración del lema de Poincaré es bastante inmediata. Dada la definición de derivada exterior presentada en este trabajo, es inmediato que si ω es una forma n-lineal, entonces define un escalar sobre cada subvariedad n-dimensional. La forma n+1-lineal dω asigna a cada subvariedad n+1 dimensional el resultado de evaluar ω sobre su frontera (que es una subvariedad n dimensional). Obviamente, dω da resultado nulo al evaluarse sobre formas n + 1-dimensionales cerradas. Por lo tanto, ddω, que representarı́a una forma n+2 lineal que asignase a cada subvariedad n+2 dimensional el resultado de evaluar dω sobre su frontera es nulo, pues esta última es cerrada. La demostración del recı́proco del lema de Poincaré es como sigue. Si ν es una k-forma, entonces ν asocia a cada subvariedad k-dimensional un escalar. Por lo tanto, dν asocia a cada subvariedad k + 1-dimensional el valor de ν en su frontera. Si dν es nula, entonces todas las subvariedades k-dimensionales cerradas tienen un valor de ν nulo, es decir, dada una variedad k −1 dimensional cerrada, todas las variedades k dimensionales de igual orientación que la tengan como frontera tienen el mismo valor de ν. Esto permite definir una función k-1-lineal sobre cualquier variedad k-1 dimensional cerrada. Si se establece un sistema arbitrario para cerrar las variedades k-1 dimensionales que cierre dichas variedades a partir de sus fronteras k-2 dimensionales, entonces se tiene una función k-1 lineal cuya derivada exterior es, por construcción ν, que es lo que se querı́a demostrar. La prueba anterior es fácilmente ilustrable en el caso en que ν sea una forma bilineal alternada. En este caso, ν asocia un escalar a cada subvariedad bidimensional. Si dν es nula, entonces este escalar es nulo para todas las superficies cerradas. Elegida una curva cerrada, todas las superficies que se apoyen en ella por el mismo lado, tienen el mismo valor de ν, con lo que se tiene un valor asignado a cada curva frontera, es decir, a cada curva cerrada. Si se elige un método (con lı́neas rectas en una parametrización concreta, con geodésicas, definida un métrica arbitraria, etc) para cerrar curvas abiertas, se tiene una forma lineal que asocia a cada curva un escalar y es tal que, por el proceso de construcción, ν = dω como se querı́a demostrar. 7 Condición de integrabilidad total de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias A continuación se desarrollan las condiciones necesarias y suficientes para la integración completa de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. El tratamiento está basado en el excelente libro de Lovelock. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales ∂xi = aiα (tβ , xj ) ∂tα 7 donde los subı́ndices latinos (i ,j ) toman valores desde 1 hasta n y los subı́ndices griegos (α , β) toman valores desde 1 hasta m. Se tiene por tanto un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, que son las funciones x1 (t1 , . . . , tm ) . . . , xn (t1 , . . . , tm ). Se trata de investigar las condiciones necesarias y suficientes para que el sistema anterior sea resoluble. En general dada una elección arbitraria de las n × m funciones aiα el sistema, que sólo contiene n funciones incógnita xi , es incompatible. La forma de presentar el problema asegura que, dados los valores de las incógnitas en un punto t01 , . . . , t0m la solución (si existe) es única. La existencia de solución se traduce en la existencia de una familia de hipersuperficies de simensión m en un espacio n + m dimensional, lo que tiene una transcendencia fundamental en la determinación de los dos parámetros más importantes de un sistema: el número de grados de libertad ` y la dimensión del espacio de configuración nq . En principio, si el sistema tiene solución, se puede calcular: ∂aiα ∂ajα ∂ 2 xi = + ajβ ∂tα ∂tβ ∂tβ ∂xj que, como debe ser simétrica respecto a α, β, se tiene que los parámetros Qiαβ = ∂aiβ ∂aiα ∂aiβ ∂aiα − + ajβ − ajα ∂tβ ∂tα ∂xj ∂xj deben ser nulos. Por lo tanto, la nulidad de los parámetros Q es condición necesaria para la integrabilidad del sistema original de ecuaciones. Se demostrará a continuación que la nulidad de estas constantes es, además, condición suficiente. En efecto, elijamos un punto t0α y un conjunto de parámetros λα . Entonces, tenemos definida una aplicación tα = t0α + sλα que asigna a cada s un punto del espacio de variables independientes. Sea ahora el sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas totales: dyi = λα aiα (t0γ + sλγ , yj ) ds Que siempre define un conjunto de soluciones yi = yi (s, λα , yj0 ) Sean las funciones wiα (s, λγ , yj0 ) = ∂yi − saiα (t0γ + sλγ , yj ) ∂λα derivando la ecuación (1) ∂ 2 yi ∂aiβ ∂aiβ ∂aiβ = aiα + sλβ ( + ajα ) + λβ wj α ∂λα ∂s ∂tα ∂xj ∂xj 8 (1) si derivamos w ∂ 2 yi ∂aiα ∂wiα ∂aiα = − biα − sλβ ( + ajβ ) ∂s ∂s∂λα ∂tβ ∂xj lo que permite escribir ∂wiα ∂aiβ − λβ wjα = sλβ Qiαβ ∂s ∂xj dado que el segundo miembro es nulo por hipótesis, nos queda una ecuación diferencial lineal homogénea para w que en s = 0 vale 0, por lo que wiα = 0 para todos los valores de λ, s. Por lo tanto, ∂yi = saiα (t0γ + sλγ , yj ) ∂λα Se define ahora la función zi (s, tα , y0 ) = yi (s, la cual se deriva tα − t 0 , y0 ) s ∂zi = aiα (tγ , zj ) ∂tα ∂zi =0 ∂s Por lo que las funciones zi no son funciones explı́citas de s. Si ahora se hace xi (tα , y0 ) = zi (s, tα , y0 ) que verifica las condiciones iniciales del teorema. 8 Índice de integrabilidad A continuación se presenta un desarrollo original que permita, dado un conjunto de formas lineales, deducir la mı́nima dimensión de las subvariedades integrales que determina. Las anteriores condiciones de integrabilidad se pueden expresar en función de los vectores tangentes permitidos por el sistema Ω de formas diferenciales Ω = {ω1 , . . . , ωp }. Sea DΩ el conjunto de vectores tangentes tal que • si A ∈ TΩ es un vector tangente permitido por Ω, entonces A ∈ DΩ , es decir TΩ ⊂ DΩ • si A ∈ DΩ ∧ B ∈ DΩ , entonces [A, B] ∈ DΩ . 9 es decir DΩ es cerrado para la operación binaria descrita por el corchete de Lie. Una base del conjunto TΩ la constituyen los vectores tangentes m X ∂ ∂ A1 = + δ1k k ∂xk ∂t k=1 ... m X Pn ∂ ∂ Ai = k=1 aki k + δik k ∂x ∂t k=1 ... m X Pn ∂ ∂ Aj = k=1 akj k + δjk k ∂x ∂t k=1 ... m X Pn ∂ k ∂ δmk k Am = k=1 am k + ∂x ∂t Pn k k=1 a1 k=1 El producto de Lie de dos vectores del conjunto anterior es [Ai , Aj ] = Ai Aj − Aj Ai = n X k,h=1 (aki h ∂ahj ∂ k ∂ai − a ) j ∂xj ∂xj ∂xh Obviamente, comparando esta expresión con los términos Qiαβ de la sección anterior, se deduce que los productos de Lie de la base de TΩ son nulos si y sólo si lo son los Qiαβ . Por consiguiente, la condición necesaria y suficiente para la integrabilidad total de un sistema Ω de formas lineales es que DΩ = TΩ . La no integrabilidad total de un conjunto Ω no impide la existencia de variedades integrales de dimensión mayor que m. Obviamente estas variedades serán descritas por un conjunto de formas lineales Γ que sean implicadas por Ω y por consiguiente TΩ ⊂ TΓ . Si se elige el sistema Γ tal que TΓ = DΩ , se tiene entonces TΓ = DΓ , con lo que Γ es totalmente integrable y su dimensión es la de la variedad menos la dimensión de DΩ . Se tiene, pues, el siguiente resultado Dado un sistema de formas lineales Ω definido en una variedad de dimensión N , la dimensión mı́nima de las subvariedades integrales de Ω es igual a N menos la dimensión de DΩ 10