7- Distribuciones de sumas de variables aleatorias independientes

7‐ Distribuciones de sumas de variables aleatorias independientes
Edgar Acuna
ESMA 4001
Edgar Acuna
1
7.1 El caso discreto
Si (X,Y) es un vector aleatorio con funcion de probabilidad conjunta p(x,y), y Z=X+Y. Entonces
P[Z=k]=P[X+Y=k]=ΣJP[X=j,Y=k‐j]
Si X y Y son independientes entonces
P[ Z = k ] = ∑ P[ X = j ]P[Y = k − j ] = ∑ p X ( j ) pY (k − j )
j
ESMA 4001
j
Edgar Acuna
2
Ejemplo 7.1
Sea X una variable aleatoria binomial con parametrso m y p, y sea Y otra variable aleatoria binomial con parametros n y p. Considerando que X y Y son independientes, calcular la distribucion de Z=X+Y.
Solucion
k
⎛m⎞
⎛ n ⎞ k− j
⎟⎟ p (1 − p ) n − k + j
P[ Z = k ] = P[ X + Y = k ] = ∑ p X ( j ) pY ( k − j ) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ p j (1 − p ) m − j ⎜⎜
−
j
k
j
j
j =0 ⎝
⎠
⎝
⎠
k
⎛ m ⎞⎛ n ⎞ ⎛ m + n ⎞ k
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ p (1 − p ) m + n − k
= p k (1 − p ) m + n − k ∑ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜
j = 0 ⎝ j ⎠⎝ k − j ⎠
⎝ k ⎠
La ultima igualdad es por propiedad de los coeficientes binomiales. Luego
Z=X+Y tiene una distrbucion binomial con parametros m +n y p.
ESMA 4001
Edgar Acuna
3
Ejemplo 7.2
Sean X y Y dos variables aleatorias independientes distribuidas como una Poisson con parametros λ1 y λ2 respectivamente. Hallar la funcion de probabilidad de Z=X+Y.
Solucion:
e − λ1 λ1j e − λ2 λk2− j e − ( λ1 +λ2 )
P[ Z = k ] = ∑ p X ( j ) pY (k − j ) = ∑
=
j
!
(
k
−
j
)!
k!
j
j =0
k
e −( λ1 +λ2 )
=
k!
k
∑
j =0
k!λ1j λk2− j
j!(k − j )!
⎛ k ⎞ j k − j e −( λ1 +λ2 )
⎜⎜ ⎟⎟λ1 λ2 =
(λ1 + λ2 ) k k = 0,1,2,....
∑
k!
j =0 ⎝ j ⎠
k
La ultima identidad se justifica por el uso del binomio de Newton. Luego la Suma de dos variables independientes Poisson produce una nueva distrbucion Poisson con parametro igual a la suma de los parametros de las variables originales.
ESMA 4001
Edgar Acuna
4
7.2. El caso continuo
Si (X,Y) tiene funcion de densidad conjunta fX,Y(x,y)entonces la funcion de distribucion
acumulada de la suma Z=X+Y esta dada por
FZ (z) = P[Z ≤ z] = P[ X + Y ≤ z] =
∫∫ f
X ,Y
(x, y)dydx
X +Y ≤ z
Si consideramos que X y Y son independientes, entonces
FZ ( z) =
∫∫
X +Y ≤ z
∞ z−x
f X( x) fY ( y)dydx =
∫∫f
∞
X
−∞ −∞
z−x
( x) fY ( y)dydx = ∫ f X ( x)[ ∫ fY ( y)dy]dx =
−∞
−∞
∞
∫f
X
( x) FY ( z − x)dx
−∞
Derivando la acumulada con respecto a z , se obtiene la funcion de densidad de Z=X+Y. Luego,
∞
f Z ( z) =
∫f
X
( x) fY ( z − x)dx = f X * fY ( z )
−∞
ESMA 4001
Edgar Acuna
5
Ejemplo 7.3
Si X y Y son variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente con parametros λ1 y λ2 respectivamente. Hallar la funcion de densidad de Z=X+Y.
Solucion:
∞
z
λ
λ
fZ (z) = ∫ fX (x) fY (z − x)dx= ∫λ1e−λ xλ2e−λ (z−x)dx= 1 2 e−λ z ∫(λ1 −λ2)e−(λ −λ )xdx
λ1 −λ2
0
−∞
0
λλ
λλ
fZ (z) = 1 2 e−λ z[1−e−(λ −λ )z ] = 1 2 [e−λ z −e−λ z ]
λ1 −λ2
λ1 −λ2
z
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
Siempre y cuando λ1>λ2. Si λ1=λ2=λ entonces,
z
f Z ( z ) = ∫ λ2 e −λz dx =λ2 ze −λz
0
Esta densidad es una Gamma(2,λ), que es llamada una densidad de Erlang‐2 con parametro λ
ESMA 4001
Edgar Acuna
6
Ejemplo 7.4
Sean X y Y dos variables uniformes distribuida uniformemente en el intervalo (0,1) . Hallar la funcion de densidad de la suma Z=X+Y. Solucion:
Si X es Uniforme en (0,1) entonces su funcion de densidad es fX(x)=1 si 0<x<1 y fX(x)=0 en otro caso. En forma similar se define la densidad fY (y) de Y. Luego,
fZ (z) = ∫ f X (x) fY (z − x)dx = ∫1⋅1dx = ∫ dx
Los limites de integracion hay que tomarlos con cuidado. Primero notar que fY(z‐
x)=1 si 0<z‐x<1 e fY(y)=0 en otro caso. O sea, que fY(y)=1 solo si z‐1<x<z. Luego, notar que como z=x+y , entonces el rango de valores de z es [0,2]. En consecuencia,
z
∫ dx = z
0 < z <1
∫ dx = 2 − z
1< z < 2
f Z ( z) = { 1
0
z −1
ESMA 4001
Edgar Acuna
7
Ejemplo 7.5
Sea X una variable aleatoria Normal con media 0 y varianza 1 y Y una variable aleatoria
Normal con media 0 y varianza 4. Asumiendo que X y Y son independientes, hallar la funcion de densidad de Z=X+Y.
Solucion:
Si X~N(0,1) y Y ~N(0,4) entonces sus funciones de densidades respectivas son:
e−x /2
f X ( x) =
2π
e − y /8
fY ( y ) =
2 2π
2
Luego,
∞
2
1
e− x / 2 e−( z − x) / 8
f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z − x)dx = ∫
dx =
2 2π
2 2π
−∞ 2π
e − z /10
=
5 2π
2
∞
2
2
∞
∫
−∞
e −(5 x
2
+ z 2 − 2 xz ) / 8
2π
dx
e −5 ( x − z / 5 ) / 8
e − z / 2 ( 5)
dx =
∫−∞ 2
5 2π
2π
5
2
2
La ultima integral vale uno proque la integral de una densidad Normal con media z/5 y varianza 4/5. Por lo tanto Z=X+Y tiene una densidad Normal con media 0 y ESMA 4001
Edgar Acuna
varianza 5.
8
Otro manera de encontrar la distribucion de sumas de variables aleatorias
independientes es haciendo uso de la funcion generatriz de momentos. Este metodo
sera mostrado en una clase posterior. ESMA 4001
Edgar Acuna
9