Momentos y funciones generatrices de Momentos

9‐ Momentos y funciones
generatrices de Momentos
Edgar Acuna
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9.1 Momentos
Sea X una variable aleatoria se define su k‐esimo momento con respecto al origen
como μk=E[Xk], siempre que
∑|x|
k
p ( xk ) < ∞
x
en el caso discreto y que
∞
∫| x |
k
f X ( x ) dx < ∞
−∞
en el caso continuo.
Obviamente, μ=μ1..Tambien, se puede definir el k‐esimo con respecto a la media por μ’k=E[(X‐μ)k]. Claramente, σ2=μ’2. Mientras mas momentos se conoce de una
variable aleatoria X mas se conoce acerca de una distribucion. Otros parametros
son el coeficiente de asimetria y el coeficiente de curtosis (aplanamiento), definidos por
E ( X − μ )3
μ 3'
γ1 = 3 =
σ
σ3
μ 4'
E ( X − μ )4
−3
γ2 = 4 =
σ
σ4
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Ejemplo 9.1
Los momentos de una distribucion no siempre existen. Por ejemplo, si X es una
variable aleatoria con una funcion de densidad Cauchy entonces probar que E(X) no existe
Solucion: si X tiene una distribucion Cauchy entonces su funcion de densidad esta
dada por
f (x) =
1
π (1+ x2 )
−∞ < x < ∞
Luego,
∞
E( X ) =
x
∫ π (1 + x
−∞
2
)
dx =
1
Ln(1 + x 2 ) |∞−∞ = ∞ − ∞
2π
Que es una forma indeterminada por lo tanto E(X) no existe. La densidad Cauchy no tiene momentos de ningun orden.
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Teorema
Si E(Xk) existe entonces E(XJ) con j<k tambien existe.
Prueba. Solo consideraremos el caso continuo. Sea X una variable aleatoria continua con funcvion de densidad f(x). E(Xj) existira si
∞
E (| X | ) = ∫ | x | j f ( x)dx < ∞
j
−∞
E (| X | j ) =
∫| x |
j
f ( x)dx +
| X |≤1
≤
∫
| X | ≤1
f ( x)dx +
∫| x |
∫| x |
j
f ( x)dx
| X | >1
k
f ( x)dx ≤ 1 + ∞ < ∞
| X | >1
El calculo del k‐esimo momento podria ser tedioso muchas veces y para
simplificarlo se introduce la funcion generatriz de momentos.
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9.2. Funcion generatriz de momentos
Sea X una variable aleatoria se define su funcion generatriz de momentos (fgm) por
MX (t)=E(eXt), Siempre que el valor esperado exista, para el numero real t.
Ejemplo 9.2 Calcular la fgm de una variable aleatoria binomial X con parametros n y p. Solucion:
n
n
⎛n⎞
⎛n⎞
M X (t ) = E (e Xt ) = ∑ e xt ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p ) n − x = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟(et p ) x (1 − p) n − x = ( p et + 1 − p ) n
x =0
x =0 ⎝ x ⎠
⎝ x⎠
La ultima igualdad es simplemente una aplicacion del teorerma del binomio de Newton.
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Mas ejemplos
Ejemplo 9.3. Si X es una variable Poisson con parametro λ, hallar su funcion generatiz
de momentos. −λ x
Solucion:
∞
∞
e
(et λ) x −λ et λ −λ +et λ
λ
Xt
xt
−λ
M X (t ) = E(e ) = ∑e
=e ∑
=e e =e
x
x
!
!
x=0
x=0
Ejemplo 9.4. Si X es exponencial con parametro λ, hallar su funcion generatriz de momentos.
Solucion:
∞
∞
MX (t) = E(e ) = ∫ e λe dx = ∫ λe
Xt
xt
−∞
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−λx
−∞
−(λ−t ) x
λ ∞
λ
−(λ−t ) x
dx =
(
λ
−
t
)
e
dx
=
, si t < λ
λ −t −∫∞
λ −t
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Mas ejemplos (cont)
Ejemplo 9.5. Si X es una normal estandar N(0,1) , hallar su funcion generatriz de momentos.
Solucion
∞ − ( x 2 −2 xt ) / 2
∞ − ( x −t ) 2 / 2 + t 2 / 2
∞ xt − x 2 / 2
e e
e
e
M X (t ) = E (e Xt ) = ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx
2π
2π
2π
−∞
−∞
−∞
∞
2
e − ( x −t ) / 2
t /2
M X (t ) = e ∫
dx = et / 2
2π
−∞
2
2
La ultima integral da 1, porque es la integral de una densidad Normal(t,1). Para hallar la densidad de una Normal general necesitamos la siguiente propiedad.
Propiedad 9.1: Si X tiene funcion generatriz MX(t) entonces la fgm MY(t) de Y=aX+b
esta dada por ebtMX(at).
Prueba: MY(t)=E(eYt)=E[e(aX+b)t]=E[ebt+X(at)]=ebtE[eX(at)]=ebtMX(at)
Ejemplo 9.6. Si X es N(μ,σ2), hallar su fgm.
Solucion: Estandarizando Z=(X‐μ)/σ. Luego, X=μ+σZ , asi usando a=σ y b=μ se llega a que MX(t)=eμtMZ(σt)=eμteσ2t2/2=eμt+σ2t2/2
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Propiedades de la fgm
Teorema: Si X tiene fgm MX(t) entonces
M X( k ) (0) = E ( X k )
Prueba:
∞
∞ k
( Xt ) k
t E( X k )
M X (t ) = E (e ) = E[∑
]=∑
k
!
k!
k =0
k =0
Xt
Por otro lado, la serie de Taylor de MX(t) alrededor de t=0 esta dada por
∞
M X( k ) (0)t k
M X (t ) = ∑
k!
k =0
Luego igualando los coeficientes de tk en las dos series anteriores se tiene
M X( k ) (0) = E ( X k )
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Ejemplo 9.7
Si X es una exponencial con parametro λ
a) Hallar E(Xk)
b) Hallar los coeficientes de simetria y de kurtosis
Solucion:
a) Del ejemplo 9.4 se tiene que MX(t)=λ/(λ‐t). Una alternativa es derivar varias
veces la fgm MX(t) y por inspeccion encontrar una expresion para la k‐esima
derivada . La segunda alternativa seria usar series de potencia de MX(t). Asi,
∞
1
t k ∞ k!tk
MX (t) =
=∑( ) =∑
1−(t / λ) k=0 λ k=0 λkk!
Luego, E(Xk) =MX(k) (0)=k!/λk.
Asi, E(X)=1/λ, E(X2)=2/λ2, E(X3)=6/λ3, E(X4)=24/λ4. En consecuencia, Var(X)=σ2=E(X2)‐[E(X) ]2= 1/λ2. Tambien,
γ1=E(X‐μ)3/σ3=(E(X3)‐3 μ E(X2)+3 μ3‐μ3)λ3=[6/λ3‐ 6/λ3+ 2/λ3] λ3=2 y
γ2=E(X‐μ)4/σ4=(E(X4)‐4 μ E(X3)+ 6μ2E(X2)‐4 μ4+μ4)λ4‐3=[12/λ4‐ 72/λ4] λ4
‐3=‐57
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Ejemplo 9.8
Si X es una Poisson con parametro λ. Hallar sus tres primeros momentos y su
coeficiente de asimetria.
Solucion:
Si X es Poisson(λ) entonces su fgm es MX(t)=e‐λ+λet
Luego, M’X(t)=λete‐λ+λet , M’X(0)= λ=E(X), M’’X(t)= λete‐λ+λet+ λ2e2te‐λ+λet
M”X(0)=λ(1+λ) =E(X2), M”’X(t)= λete‐λ+λet+ 3λ2e2te‐λ+λet+ λ3e3te‐λ+λet
M’’’X(0)= λ(1+3λ+λ2)=E(X3).
Por lo tanto,
γ1 =
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E ( X − λ )3
σ3
λ (1 + 3λ + λ2 ) − 3λ2 (1 + λ ) + 2λ3 λ
=
= 3/ 2 = 1/ λ
3
λ
( λ)
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Ejemplo 9.9
Si X es N(0,1) hallar el k‐esimo momento de X con respecto al origen.
Solucion:
Si X es N(0,1) entonces por el ejemplo 9.5
M X (t ) = e
t2 / 2
∞
∞
∞
(t 2 / 2) k
t 2k
(2k )!t 2 k
=∑
=∑ k =∑ k
k!
k =0
k = 0 2 k!
k =0 2 k!( 2k )!
Obervando los coeficientes de tJ se concluye que E(XJ)=0 si j=2k+1, para k=0,1,2,3,..
y que E(X2k)=(2k)!/2kk!. O sea que, todos los momentos impares de una normal son 0. Luego, el coeficiente de asimetria γ1 debe ser cero y como E(X2)=1 y E(X4)=3, entonces el coeficiente de kurtosis γ2 tambien da cero
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes
Propiedad 9.2. Si X y Y son dos variabkes aleatorias independientes entonces
MX+Y(t)=MX(t)MY(t)
Prueba: MX+Y(t)=E(e(X+Y)t]=E[eXteYt]=E[eXt]E[eYt], por independencia y en consecuencia
MX+Y(t)=MX(t)MY(t)
La propiedad anterior se puede aplicar a una secuencia de n variables aleatorias
independientes. Esto es,
n
M X1 +...X n (t ) = M X1 (t ).....M X n (t ) = ∏M Xi (t )
i =1
Si ademas, las variables Xi’s son igualmente distribuidas con fgm MX(t) . Entonces,
M X 1 + ... X n (t ) = [ M X (t )] n
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes(cont)
Propiedad 9.3 : Sean X y Y dos variables aleatorias tales que MX(t)=MY(t) entonces X y Y son identicamente distribuidas.
Ejemplo 9.10. Si Xi (i=1,…2) es una variable aleatoria Poisson con parametro λi. Considerando Independencia de las Xi’s , probar que X1+X2….+Xn es tambien una
Poisson.
Solucion: Por el ejemplo 9.3 se tiene que −λ +λ e
M Xi (t ) = e
t
i
i
Aplicando la propiedad 9.2 se tendria
M X1 +...X n (t ) = e−λ1 +λ1e .....e−λn +λne = e
t
t
n
n
i=1
i=1
∑λi +(∑λi )et
−
Luego, X1+X2….+Xn tambien se distribuye como una Poissson con parametro
λ1+λ2….+λn
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes(cont)
Ejemplo 9.11. Si Xi (i=1,…2) es una variable aleatoria Normal con media μI y varianza
σi2 . Considerando independencia de las Xi’s probar que X1+X2….+Xn se distribuye
tambien en forma Normal.
Solucion: Por el ejemplo 9.6 se tiene que
M Xi (t ) = eμit +σi t
2 2
/2
Aplicando la propiedad 9.2 se tendria
n
μ1t +σ12t 2 / 2
M X1 +...Xn (t) = e
μnt +σ n2t 2 / 2
.....e
(
n
∑μi )t +(∑σi2 )t 2 / 2
= e i=1
i=1
Luego, X1+X2….+Xn tambien se distribuye como una Normal con media n
n
∑μ
i =1
i
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y varianza
∑σ
i =1
2
i
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes(cont)
Ejemplo 9.12. Si Xi (i=1,…2) es una variable aleatoria distrbuida como una χ2 con ni
grados de libertad. . Considerando independencia de las Xi’s probar que X1+X2….+Xn
se distribuye tambien como una χ2.
Solucion: Una χ2 con n grados de libertad es un caso particular de una Gamma con parametros α=n/2 y β=2. Luego, su funcion de densidad esta dada por
x n / 2−1e− x / 2
f ( x) =
,
Γ(n / 2)2n / 2
x>0
Luego, su fgm. esta dada por
∞ xt n/ 2−1 −x/ 2
∞
∞
xn/ 2−1e−x(1/2−t)
1
xn/2−1e−x(1/ 2−t)
1
ex e
dx
dx
dx
MX (t) = E[e ] = ∫
=
=
=
∫0 Γ(n/ 2)2n/2 (1−2t)n/2 ∫0 Γ(n/ 2)[2/(1−2t)]n/2 (1−2t)n/2
Γ(n/ 2)2n/2
0
Xt
Siempre que t<1/2. La ultima integral vale 1, porque es la integral de una densidad
Gamma(n/2,2/(1‐2t)).
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Funcion generatriz de una suma de variables aleatorias independientes(cont)
Ejemplo 9.12 (cont).
Luego,
MX
1
+.... X n
(t ) =
1
1
..........
..
=
(1 − 2t ) n1 / 2
(1 − 2t ) nn / 2
1
n
∑ ni / 2
(1 − 2t ) i=1
n
Por lo tanto, X1+X2….+Xn tambien se distribuye como una χ2 con ∑n
i =1
i
grados de libertad
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