5- Variables aleatorias bidimensionales y de mayor dimension.

5‐ Variables aleatorias
bidimensionales y de mayor dimension.
Edgar Acuna
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Sea S el espacio muestral de un experimento aleatorio. Sean X=X(s) y Y=Y(s) dos funciones que asignan un numero real a cada elemento s de S. Entonces (X,Y) es
llamada una variable aleatoria bidimensional o un vector aleatorio bidimensional.
Se se tuviera Xi(s) para i=1,….n funciones reales definidas sobre el espacio
muestral S entonces (X1,….Xn) es llamada una variable aletoria n‐dimensional.
Variables aleatorias bidimensionales discretas. Si tanto X como Y son discreta
entonces (X,Y) es discreta: Ejemplo: Se lanza un par de dado legales y distinguibles y se define X: la suma de los dados y Y: el producto de los dos dados Variables aleatorias bidimensionales continuas. Si tanto X como Y son continuas
entonces (X,Y) es continua:
Ejemplo: Se elige al azar una persona y se define X: el peso y Y: la altura de la persona (X,Y) es continua
Tambien existe el caso mixto , como por ejemplo X: salario de una persona y Y:si la persona tiene o no casa. ESMA 4001
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5.1 Funcion de probabilidad de una variable aleatoria bidimensional discreta
Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con rango de valores
RXY={(x,y): xεRX,yεRy} entonces se define su probabilidad conjunta por
p X ,Y ( x , y ) = Pr( X = x , Y = y ),
( x , y ) ∈ R XY
p(x,y)>=0 y ∑∑ p(x, y) =1
x
y
Para pequenos rangos de valores de X y Y la funcion de probabilidad puede ser escrita en forma de una tabla
Ejemplo 5.1. Suponga que se lanza un par de dados legales y distinguibles y sea X=Menor de los numeros que aparece y Y=Mayor de los numeros que aparece. a) Hallar la funcion de probabilidad conjunta de (X,Y).
b) Hallar la probabilidad de que el mayor de los numeros sea mayor que 4 y que el menor sea 3 o menos?
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5.1 Funcion de probabilidad de una
variable aleatoria bidimensional discreta
a) La funcion de probabilidad conjunta puede ser presentada mas facilmente en forma de una tabla
Y
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X 1
2
3
4
5
6
P[X=x]
1
1/36
2/36
2/36
2/36
2/36
2/36
11/36
2
0
1/36
2/36
2/36
2/36
2/36
9/36
3
0
0
1/36
2/36
2/36
2/36
7/36
4
0
0
0
1/36
2/36
2/36
5/36
5
0
0
0
0
1/36
2/36
3/36
6
0
0
0
0
0
1/36
1/36
P[Y=y]
1/36
3/36
5/36
7/36
9/36
11/36 1
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5.1 Funcion de probabilidad de una
variable aleatoria bidimensional discreta
La funcion de probabilidad conjunta se puede escribir en terminos de formula como
P(x,y)=2/36 si 1<=x<y<=6
P(x,y)=1/36 si x=y=1,2,3,4,5,6
P(x,y)=0 en otro caso
b) Viendo la tabla se determina que la probabilidad de que el mayor de los numeros
sea mayor que 4 y el menor de los numeros sea menor o igual que 3, es 12/36=1/3. ESMA 4001
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5.2 Funciones de probabilidades
Marginales y Condicionales
Sea (X,Y) es una variable aleatoria discreta con funcion de probabilidad conjunta p(x,y) , entonces las funciones de probabilidades marginales de X y Y respectivamente se definen por
p X (x) =
∑
p ( x, y )
∑
p ( x, y)
Y
pY ( y ) =
x
Ejemplo 5.2: Hallar las funciones de probabilidades marginales de X y Y en el ejemplo 5.1. Sol. De la tabla del ejemplo 5.1 se puede ver que
pX(x)=Prob(X=x)=(13‐2x)/36 para x=1,2,3,4,5,6 y
pY(y)=Prob(Y=y)=(2y‐1)/36 para y=1,2,3,4,5,6 ESMA 4001
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5.2 Funciones de probabilidades
Marginales y Condicionales (cont)
Sea (X,Y) es una variable aleatoria discreta con funcion de probabilidad conjunta p(x,y) , entonces las funcion de probabilidad condicional de X dado Y se define por
p
X /Y
pY
/ X
(x) =
p
(y) =
p
X ,Y
(x, y)
pY ( y)
X ,Y
p
X
(x, y)
(x)
Ejemplo 5.3: Hallar la funcion de probabilidad condicional de X dado Y=3 en el ejemplo 5.1 .
Solucion: pX/Y(x/y=3)=p(x,3)/pY(3)=(2/36)/*5/36)=2/5 si x=1 o 2
pX/Y(x/y=3)=p(x,3)/pY(3)=(1/36)/*5/36)=1/5 si x=3
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5.3. Distribucion Multinomial
Si un experimento puede ocurrir de k maneras distintas mutuamente excluyentes Ai
cada una de ellos ocurriendo con probabilidad pi (i=1,..k) y este experimento se repite
n veces en forma independiente entonces si se define el vector aleatorio (X1,X2,….Xk‐1) donde Xi es el numero de veces que ocurre el evento Ai entonces se dice que tiene
distribucion Multinomial de dimension k y su funcion de probabilidad conjunta esta
dada por
P(X1 = x1, X2 = x2,....Xk−1 = xk−1) =
n!
p1x1 ..pkx−k−11 (1− p1..− pk−1)n−x1..−xk−1
x1!...xk−1!(n − x1..− xk−1)!
Siempre que 0<=x1+x2+x3+…..+xk‐1<=n. Se escribe X=(X1,…Xk‐1)∼Multinom(n,p1,p2,..pk‐1)
Ejemplo 5.4: En una poblacion la probabilidad de ocurrencia de sangre tipo O es .45, de sangre tipo A es .40 en tanto que las sangres tipo AB y B ocurren con probabiladess .10 y .05 respectivamente. Se eligen al azar 9 personas de la poblacion, cual es la probabilidad de que
a) 3 de ellas sangre tipo O, 3 de tipo A, 2 de tipo AB y 1 de tipo B? ESMA 4001
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5.3. Distribucion Multinomial (cont.)
b) Que 5 sean de tipo O y 4 de tipo A?
Solucion: Sea (X1,X2,X3) , el vector aleatorio que representan las personas con sangre tipo O, A y Ab respectivamente en la muestra de tamano 9. Claramente este
vector aleatorio tiene una funcion de probabilidad conjunta
P( X1 = x1, X 2 = x2 , X 3 = x3 ) =
9!
.45x1.40x2 .10x3 (.05)9−x1 −x2 −x3
x1! x2! x3!(9 − x1 − x2 − x3 )!
Luego, a) P(X1=3,X2=3,X3=2)=(9!/3!3!2!)(.45)3(.40)3(.10)2(.05)
b) P(X1=5,X2=4,X3=0)=(9!/5!4!)(.45)5(.40)4
Casos particulares de la distribucion multinomial son la binomial (k=2) y la Trinomial (k=3). La funcion de probabilidad de una trinomial viene dada por
P( X1 = x1, X 2 = x2 ) =
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n!
p1x1 p2x2 (1− p1 − p2 )n−x1 −x2
x1! x2!(n − x1 − x2 )!
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5.3 Distribucion Multinomial(cont)
Propiedad: Si (X1,X2) is a Trinomial(n,p1,p2) entonces
a) X1 es una Binomial(n,p1) y X2 es una Binomial(n,p2)
b) X1/X2 es una Binomial (n‐X2,p2/(1‐p1)) y X2/X1 es una Binomial(n‐X1,p1/(1‐p2))
Prueba:
p X 1 ( x1 ) =
n − x1
∑ p ( x1 , x2 ) =
x 2=0
n − x1
n!
p1x1 p2x 2 (1 − p1 − p2 ) n − x1− x 2
∑
x 2 = 0 x1! x 2 ! ( n − x1 − x 2 )!
n! p1x1 n − x1
( n − x1 )!
=
p2x 2 (1 − p1 − p2 ) n − x1 − x2
∑
x1!( n − x1 )! x2 = 0 x2 !( n − x1 − x2 )!
Y usando el binomio de Newton en la ultima expresion se tiene
PX 1 ( x1 ) =
⎛n⎞
n!
p1x1 ( p2 + 1 − p1 − p2 ) n − x1 = ⎜⎜ ⎟⎟ p1x1 (1 − p1) n − x1
x1!(n − x1 )!
⎝ x1 ⎠
Similarmente se prueba que X2 es binomial(n,p2) ESMA 4001
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5.3 Distribucion Multinomial(cont)
b) X2/X1 es una Binomial(n‐X1,p2/(1‐p1))
Prueba:
n!
p1x1 p2x 2 (1 − p1 − p2 ) n − x1− x 2
p ( x1 , x2 ) x1! x2 !( n − x1 − x2 )!
p X 2 / X 1 ( x2 / x1 ) =
=
n!
p X 1 ( x1 )
p1x1 (1 − p1) n − x1
x1!( n − x1 )!
p2 n − x1 − x2
( n − x1 )! p2x2 (1 − p1 − p2 ) n − x1− x 2 ⎛ n − x1 ⎞ p2 x2
⎜
⎟
=
=
−
(
)
(
1
)
⎜ x ⎟ 1− p
x2 !( n − x1 − x2 )!(1 − p1 ) n − x1
−
p
1
⎝ 2 ⎠
1
1
En forma similar se prueba que X1/X2 es una Binomial(n‐X2,p1/(1‐p2))
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5.4 funcion de densidad conjunta de un variable aleatoria bi‐dimensional
Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional continua entonces su funcion de densidad conjunta f(x,y) debe satisfacer;
a) f(x,y)>=0
b) ∫ ∫ f X ,Y ( x, y )dydx = 1
Notar que
P( B) = ∫
B
∫f
X ,Y
( x, y)dydx = 1
Esta probabilidad representa el volumen de la region limitada superiormente por la superficie z=fX,Y(x,y) e inferiomente por la region B del plano cartesiano XY ( z=0) ESMA 4001
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5.4 funcion de densidad conjunta
(cont).
Ejemplo 5.5. Si (X,Y) tiene funcion de densidad conjunta dada por
fX,Y (x, y) =x2 +xy/3, 0<x<1, 0< y <2
fX,Y (x, y) =0
Hallar P(X+Y>1)
Solucion:
1 1− x
P( X + Y > 1) = 1 − P( X + Y < 1) = 1 − ∫
∫
0 0
1
1
xy
xy 2 1− x
2
( x + )dydx = 1 − ∫ ( x y +
) |0 dx
3
6
0
2
1
= 1 − ∫ [ x (1 − x) + x(1 − x) ]dx = 1 − ∫ x(1 − x)dx = 1 − 1 / 2 + 1 / 3 = 5 / 6
2
0
ESMA 4001
2
0
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5.5. Funciones de densidades
marginales y condicionales
Si (X,Y) tiene una densidad conjunta fX,Y(x,y) entonces las densidades marginales de X y Y
se definen por
fX (x) =
∫
f ( x , y ) dy
fY ( x ) =
∫
f ( x , y ) dx
Asimismo, se definen las funciones de densidades condicionales por
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/ Y( y ) =
f
X
f
Y / X
(x) =
f (x, y)
fY ( y )
f (x, y)
fX (x)
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Ejemplo 5.6
Si el vector aleatorio (X,Y) tiene funcion de densidad conjunta
f(x,y)=2x+2y‐4xy para 0<x<1, 0<y<1; f(x,y)=0 en otro caso.
a) Hallar las densidades marginales de X y Y
b) Hallar la densidad condicional de Y dado que X=1/4
c) Hallar E[Y/X=1/4]
Solucion:
1
f X (x) = ∫ f (x, y)dy = ∫ (2x + 2 y − 4xy)dy = 2x +1− 2x = 1 0 < x < 1
a)
0
Similarmente, se obtiene la densidad de Y. Ambas variables aleatorias se distribuyen uniformemente en (0,1).
f Y / X ( y / x = 1 / 4) =
b)
f (1 / 4, y ) 1 / 2 + 2 y − y
=
= y +1/ 2
f X (1 / 4)
1
0 < y <1
1
c)
E[Y / X = 1/ 4] = ∫ yfY / X ( y / x)dy =∫ y( y + 1/ 2)dy =E[Y + 1/ 2] = E[Y ] + 1/ 2 = 1 + 1 / 2 = 3 / 2
0
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Ejemplo 5.7
Si (X,Y) se distribuye uniformemente en la region R: limtada superiormente por la diagonal y=x e inferiormente por la parabola y=x2. Esto es,
f(x,y)=1/Area(R)
a) Hallar f(x,y)
b) Hallar las densidades marginales de X y Y
c) Hallar P(X+Y<1/2)
d) Hallar las densidades condicionales de X dado Y y de Y dado X
e) Calcular P(X>.6/y=.5) Solucion: a) Los puntos de interseccion en el primer cuadrante de la parabola y la diagonal son (0,0) y (1,1). Luego,
1 x
1
Area ( R ) = ∫ ∫ dydx = ∫ ( x − x 2 ) dx = 1 / 2 − 1 / 3 = 1 / 6
0 x2
0
Luego, f(x,y)=6 para (x,y) en R y f(x,y)=0 en otro caso.
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Ejemplo 5.7 (cont.)
x
b)
f X ( x ) = ∫ f X ,Y ( x, y )dy = ∫ 6dy = 6( x − x 2 )
0 < x <1
x2
fY ( y ) = ∫ f X ,Y ( x, y )dx =
y
∫ 6dx = 6(
y − y)
0 < y <1
y
c) La interseccion de x+y=1/2 con y=x ocurre en (1/4,1/4) y la interseccion de 3 −1
x+y=1/2 con y=x2 en el primer cuadrante ocurre cuando
x=
2
Luego, 1/ 4 x
P ( X + Y < 1 / 2) =
3 −1
2 1/ 2− x
1/ 4
∫ ∫ 6dydx + ∫ ∫ 6dydx = 6 ∫ ( x − x
0 x
2
1/ 4
x
2
0
2
) dx + 6
3 −1
2
∫ (1 / 2 − x − x
2
) dx
1/ 4
( 3 − 1) 3
6[1 / 32 − 1 / 192 + 3 / 4 − 3 / 8 − 1 / 2 + 3 / 4 + 1 / 32 −
+ 1 / 192 ]
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6[ 3 / 2 − 26 / 32 − 3 / 4 + 5 / 12] = 6[.0371] = .2226
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Ejemplo 5.7 (cont.)
d)
f X / Y ( x / y) =
fY / X ( y / x) =
e)
f ( x, y)
6
=
=
fY ( y) 6( y − y)
f ( x, y)
6
1
=
=
f X ( x) 6( x − x2 ) x(1− x)
P( X > .6 / Y = .5) =
∫ f (x / y = .5)dx =
x>.6
ESMA 4001
1
y−y
.5
∫
.6
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y<x< y
x2 < y < x
1
.5 − .6
dx =
= .5171
.5 − .5
.5 − .5
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Ejemplo 5.8
Si el vector aleatorio (X,Y) tiene densidad conjunta
f ( x, y ) = {
λ 3 xe − λ y
0
0< x< y
e .o .c
a) Hallar la densidades marginales de X y de Y
b) Hallar E(Y) y E(X/Y=1)
Solucion:
∞
a) f X ( x) =
∫ f ( x , y ) dy = ∫ λ xe
3
− λy
x
y
fY ( y ) =
∫ f ( x , y ) dx = ∫ λ xe
3
− λy
∞
dy = λ x ∫ λ e − λ y dy = λ 2 xe − λ x
2
x
dx = λ e
3
−λy
0
b ) E (Y ) =
ESMA 4001
∫
y
∫ xdx =
0
∞
yf Y ( y ) dy = ∫ y
0
x>0
λ3
2
2
y e
− λy
λ3
2
∞
y 2 e − λy
t
dy = ∫ λ ( ) e
3
0
3
λ
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−t
y>0
dt
1
=
2λ 2λ
∞
3 −t
∫ t e dt =
0
Γ (4)
3!
3
=
=
2λ
2λ λ
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Ejemplo 5.8(cont.)
E ( X / Y = 1) =
fX
/Y
∫
( x / y = 1) =
xf
X /Y
( x / y = 1 ) dx
f ( x ,1 )
λ 3 xe − λ
=
= 2x
λ3 −λ
f Y (1 )
e
2
0 < x < 1
1
E ( X / Y = 1) =
∫
x ⋅ 2 xdx
= 2 /3
0
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