PS2316 Esquemas No convencionales. Cascada

PS2316
Esquemas No convencionales.
Cascada - Feedforward
Williams Colmenares M.
Universidad Simón Bolı́var
Departamento de Procesos y Sistemas
19 de marzo de 2006
1.
Introducción
En estos apuntes presentaremos esquemas de control que complementan al esquema clásico.
En el esquema clásico la variable controlada o salida del sistema es retroalimentada y comparada con la consigna o referencia del sistema y las perturbaciones que afectan al lazo sólo son
rechazadas cuando su efecto se percibe en la salida controlada.
Los esquemas que presentaremos en estas notas persiguen minimizar el efecto de esas perturbaciones en la salida.
Con el fin de detallar un poco más en el efecto de las perturbaciones, consideremos el intercambiador de calor que se muestra en la figura (1). Observamos que el objetivo del intercambiador
es calentar un determinado producto hasta alguna temperatura de referencia. En este caso el
calor lo suministra el flujo de vapor que se entrega al intercambiador, que es regulado con una
válvula. Adicionalmente, el sistema cuenta con un medidor del flujo de vapor y un medidor de
la temperatura con la que entra el producto frı́o al intercambiador.
FT
TC
vapor
TT
TT
Producto frio
Producto caliente
condensado
Figura 1: Diagrama esquemático de un Intercambiador de Calor
1
Supongamos además que la temperatura de entrada de producto y el suministro de vapor
al intercambiador varı́an considerablemente y que esas variaciones afectan sensiblemente (al
hacerla fluctuar en deması́a) a la temperatura de salida y se desea minimizar el efecto de ambas
perturbaciones en el lazo de control.
Observe que ambas perturbaciones se miden, que la perturbación que afecta al flujo de vapor
puede ser compensada por la acción de la válvula (e.g. si la presión de vapor es baja se puede
abrir un poco más la válvula para compensar la disminución del flujo), y que la perturbación
que afecta la temperatura del producto a la entrada del intercambiador sólo puede ser medida.
Finalmente queremos subrayar que en el lazo simple que se muestra en la figura (1) el
proceso controlado tiene como entrada de control el % de apertura de la válvula y como salida
la temperatura a la salida del intercambiador. El proceso controlado puede descomponerse en
dos subsistemas en cascada, tal como se muestra en la figura (2), uno que se refiere a la válvula
cuya entrada es % de apertura de la válvula y cuya salida es flujo de vapor y un segundo sistema
cuya entrada es flujo de vapor y cuya salida es la temperatura del producto a la salida del
intercambiador.
perturbacion temperatura
Gpertur
perturbacion flujo
y(t)
r(t)
Control
Valvula
Intercambiador
(-)
Figura 2: Diagrama de bloques del intercambiador de calor
2.
Diagramas esquemáticos de Cascada y Feedforward
En la figura (3) se muestra el diagrama esquemático de conexión en cascada.
Observe que el objetivo de esta conexión es minimizar el efecto de las perturbaciones en el
suministro de vapor al intercambiador. Ello se logra con el lazo interno de flujo con el controlador
que hemos llamado FC2. Cualquier diferencia en el flujo de vapor es corregida en la válvula antes
de que tenga efecto en la temperatura de salida del producto.
El diagrama de bloques de la conexión en cascada se muestra en la figura (4).
En la figura (5) se muestra el diagrama esquemático de la conexión adelantada o feedforward.
En este caso lo que se quiere es minimizar el efecto de la perturbación ocasionada por las
variaciones en la temperatura del producto a la entrada del intercambiador.
El diagrama de bloques de la conexión en adelanto se muestra en la figura (6).
2
FC2
FT
TC1
vapor
Producto frio
TT
Producto caliente
condensado
Figura 3: Esquema de conexión en cascada
perturbacion temperatura
Gpertur
perturbacion flujo
y(t)
r(t)
Control I (TT1)
Control II (FC2)
Valvula
Intercambiador
(-)
Figura 4: Diagrama de bloques conexión en cascada
2.1.
algunas observaciones a propósito de los esquemas propuestos
Observe que la intención de los esquemas añadidos es minimizar el efecto de las perturbaciones
externas, sin embargo, no se han añadido actuadores adicionales. En el ejemplo que hemos
trabajado, ambos esquemas –cascada y adelantada–, lo que hacen es corregir la señal de control,
en nuestro caso el % de apertura de la válvula.
Lo segundo es que la perturbación en el flujo, dado que también es medible con el medidor
de flujo FT, hubiera podido ser “rechazada” con un esquema del tipo feedforward. No obstante,
es preferible usar el esquema en cascada, cuando se pueda, porque, como veremos más adelante,
la calidad de la entonación de los lazos feedforward requieren de un buen modelo del sistema
mientras que los esquemas en cascada se basan en la realimentación lo que puede asegurar parte
de un buen comportamiento aunque no se tenga un buen modelo.
Lo tercero es que para el esquema en cascada no se requiere de la medición directa de la
perturbación sino más bien de su efecto en alguna parte intermedia del proceso a controlar,
en nuestro caso entre la válvula y el intercambiador. Por lo que lo que necesitamos es poder
disgregar el proceso controlado en varios bloques en cascada y tener acceso medible a los puntos
intermedios. Podrı́an implantarse tantos lazos en cascada como bloques en cascada (y valga la
redundancia) tenga el proceso a controlar.
3
+
TC1
FF
vapor
TT
TT
Producto frio
Producto caliente
condensado
Figura 5: Esquema de conexión adelantada o feedforward
perturbacion temperatura
FF
TT
Gpertur (s)
perturbacion flujo
y(t)
r(t)
Control I (TT1)
Valvula
+
+
Intercambiador
+
(-)
Figura 6: Diagrama de bloques conexión adelantada o feedforward
3.
Entonación de los esquemas en cascada
Para la entonación de los lazos en cascada nos referiremos a la figura (4). Observe que hay dos
lazos de control. Uno interno y que denominaremos secundario y uno externo que llamaremos
primario. Como ambos lazos son lazos de realimentación, su entonación puede realizarse por
cualquiera de las estrategias de entonación estudiadas en el curso. Las únicas consideraciones
que debe tener el diseñador para la entonación de lazos en cascada son:
1. Se debe entonar primero el lazo interno o secundario y luego el lazo primario.
2. el lazo secundario debe ser más rápido que el lazo primario, para permitir que se rechacen
las perturbaciones antes de que afecten la salida del sistema.
3. Como la variable que controla el lazo secundario no tiene ningún interés desde el punto de
vista del lazo de control, el controlador a implantar en el lazo secundario deberı́a ser muy
sencillo. En muchas situaciones una simple ganancia basta.
4
3.1.
Caso de estudio
Para la entonación del lazo en cascada supongamos que el sistema tiene las siguientes funciones de transferencia:
Gval (s) =
0,5
,
(s + 1)
Ginter (s) =
2
(5s + 1)(10s + 1)
pero que no tenemos forma de acceder a tales funciones de transferencia sino a través de la
prueba al escalón.
Al hacer esa prueba se determina la la función de transferencia del sistema válvula + intercambiador es:
e−4,35s
G(s) = Ginter (s)Gval (s) =
(12,45s + 1)
Para este sistema se entonó un controlador PI usando Ziegler y Nichols dado por:
µ
¶
1
GP I = 12,56 1 +
13,05s
Al sistema se le introduce una perturbación en t = 100 y en la figura (7) se muestra cómo la
perturbación afecta sensiblemente la salida del sistema.
Para reducir el efecto de la perturbación se decide implantar un esquema en cascada, para
ello se realiza una identificación de la función de transferencia de la válvula (que como es de
primer orden es muy fácil de identificar) obteniéndose:
Gval (s) =
0,5
(s + 1)
Para el lazo interno simplemente se escoge una ganancia que haga que la válvula (a lazo
cerrado) sea unas 5 veces más rápida, esto es, se coloca un controlador de ganancia 10. Al cerrar
el lazo interno o secundario, la función de transferencia de lazo cerrado resulta:
Gnueval (s) =
10Gval (s)
5
=
(1 + 10Gval (s))
(s + 6)
Al hacer de nuevo la prueba de respuesta al escalón incorporando los efectos del lazo secundario se identifica la siguiente función de transferencia:
Gn (s) = Ginter (s)Gnueval (s) =
1,6666e−3,55s
(12,45s + 1)
De nuevo usamos Ziegler y Nichols para entonar un PI que resulta:
µ
¶
1
n
GP I = 12,56 1 +
13,05s
El resultado de aplicar una perturbación en t = 100 se muestra en la figura (7)
Observe cómo el efecto de la perturbación es mucho menor y desaparece mucho más rápidamente al introducir la cascada. Para el cálculo de los controladores simplemente hemos usado
Ziegler y Nichols. Posiblemente hubiéramos podido tener mejores prestaciones usando cualquiera de los otros métodos presentados en el curso. Preferimos, sin embargo, usar el enfoque más
simple para concentrarnos en el enfoque en cascada.
5
1.4
Sin cascada
1.2
Amplitud de la señal de salida
1
Con cascada
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
100
Tiempo
120
140
160
180
200
Figura 7: Rechazo de perturbación con y sin cascada
4.
Entonación de controladores feedforward
Para el ajuste de los controladores feedforward consideremos la figura (6) para el que supondremos las mismas funciones de transferencia para la válvula y el intercambiador y que fue
identificada con una prueba de respuesta al escalón de la forma:
G(s) = Ginter (s)Gval (s) =
e−4,35s
(12,45s + 1)
y se le ajusta el controlador PI que se mencionó en la sección anterior:
µ
¶
1
GP I = 12,56 1 +
13,05s
El lazo se ve afectado por una perturbación en la temperatura del producto de entrada y el
efecto se muestra en la figura (8).
Para reducir el efecto de esa perturbación se implantará un controlador feedforward. Ello
supone que añadimos el controlador FF que se muestra en la figura (6).
Para ajustar el controlador FF necesitamos conocer, adicionalmente, la función de transferencia entre la temperatura del producto frı́o (que entra al intercambiador) y la temperatura de
salida del producto. Supongamos conocida esa función (Gper (s)).
Observe que, al añadir el controlador FF la perturbación, en la figura (6), recorre un camino
a través de la función de transferencia Gper (s) –la que no podemos evitar–, y, un segundo camino,
a través del controlador FF. Para anular su efecto en la salida debe cumplirse que:
Gper (s) + Ginter (s)(s)Gval (s)F F (s) = 0
o equivalentemente (recordando que G(s) = Ginter (s)(s)Gval (s)),
F F (s) = −
6
Gper (s)
G(s)
(1)
en la expresión (1) para el controlador FF hemos incluido la función de transferencia del sensor
que mide la perturbación (TT en la figura).
Observe que el cálculo del controlador feedforward (ecuación (1)) requiere de la inversión de
la función de transferencia que tengamos del sistema controlado. Por lo que debemos considerar
que:
1. al invertir G(s) nos podrı́a resultar que el controlador F F (s) no es fı́sicamente realizable
porque aparece una eθs , es decir, se requerirı́a que el controlador feedforward prediga el
futuro lo cual no es posible. En esos casos, simplemente, ignoramos el término no causal
(eθs ).
2. también nos podrı́a resultar que F F (s) tiene más ceros que polos, i.e., tiene derivadores puros lo que tampoco es fı́sicamente realizable y además incorpora al lazo elevadas ganancias
para las señales de frecuencias altas, normalmente asociadas al ruido. Luego tampoco es
una situación deseable. En ese caso podemos, bien añadir un número de polos adicionales
para compensar el exceso de ceros. Estos polos deberı́an estar bien adentro del semiplano
izquierdo porque su función es la de limitar la ganancia en altas frecuencias. Por otra parte
se puede simplemente reemplazar el controlador F F (s) por una ganancia pura igual a la
ganancia DC del controlador feedforward (F F (0)). En cualquiera de los casos tendremos
un funcionamiento degradado del controlador pero todavı́a rechazando las perturbaciones.
4.1.
Caso de estudio
Supongamos que se hizo una prueba de respuesta al escalón y se identificó que la función de
transferencia de la perturbación es:
Gper
0,1e−6s
=
(15s + 1)
En este caso la función de transferencia del controlador feedforward es:
F F (s) =
10(12,45s + 1)e−1,65s
(15s + 1)
y al implantar en el controlador en el lazo su efecto sobre la perturbación se muestra en la figura
(8). Observe como la perturbación se reduce sensiblemente aunque sólo estamos usando modelos
aproximados del sistema real.
Finalmente, remarcamos que si el retraso de la función de transferencia de la perturbación
hubiera sido menor de 4,35 entonces el controlador feedforward hubiera sido simplemente el
cociente entre el cero y el polo.
7
1.4
1.2
Sin feedforward
Amplitud de la salida
1
Con feedforward
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
100
Tiempo
120
140
160
180
200
Figura 8: Rechazo de perturbación con y sin feedforward
8