Relaciones de equivalencia > 2

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1. Pongamos I = [0, 1] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}. En el conjunto I × I se considera la relación M definida
como sigue:
Dados P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2 ) ∈ I × I pondremos
P 1 = P2
P1 M P2 ⇐⇒
x1 = 0 y x2 = 1 y y1 = 1 − y2
x1 = 1 y x2 = 0 y y1 = 1 − y2
ó
ó
Se pide:
– Probar que M es una relación de equivalencia en I × I
– Describir cómo son las clases de equivalencia
– Interpretar el conjunto cociente (I × I)/M
2. En el conjunto Z de los números enteros se considera la relación R definida como sigue:
Dados n1 , n2 ∈ Z pondremos
n1 R n2 ⇐⇒
n 1 = n2
ó
n1 < 0 y n2 < 0
Se pide:
– Probar que R es una relación de equivalencia en Z
– Describir cómo son las clases de equivalencia
– Interpretar el conjunto cociente Z/R
3. En el conjunto C de los números complejos se considera la relación M definida como sigue:
Dados z1 , z2 ∈ C pondremos
z1 M z2 ⇐⇒ |z1 | = |z2 |
Se pide:
– Probar que M es una relación de equivalencia en C
– Describir cómo son las clases de equivalencia
– Interpretar el conjunto cociente C/M
4. Sea N = {0, 1, 2, 3, . . .} el conjunto de los números naturales. En el conjunto N × N se considera la
relación R definida como sigue:
Dados (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ N × N pondremos
(a1 , b1 ) R (a2 , b2 ) ⇐⇒ a1 + b2 = a2 + b1
Se pide:
– Probar que R es una relación de equivalencia en N × N
– Describir cómo son las clases de equivalencia
– Interpretar el conjunto cociente (N × N)/R
Algebra Básica I