Coordinación de Matemática I (MAT021)

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemática I (MAT021)
1er Semestre 2009
Hoja de Trabajo “Relaciones”
1. Sea A = {x/x es dı́gito} y considere las siguientes relaciones
R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 3), (5, 6), (7, 2), (8, 0), (9, 1)}
S = {(4, 7), (5, 2), (3, 1), (0, 8), (1, 9), (3, 2), (2, 3), (1, 1)}
Determine S −1 ∩ R−1 , S ◦ R, S ◦ R−1 y S −1 ◦ R−1
2. En R se tienen las siguientes relaciones
R = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ x2 } ,
S = {(x, y) ∈ R × R : x2 + y 2 ≤ 1}
Encuentre Dom(R ∩ S), Rec(R ∩ S) y grafique R ∩ S, R−1 , S −1 , R−1 ∩ S −1
3. Encuentre una relación R en el conjunto A = {1, 2, 3} que no sea simétrica y no sea antisimétrica.
4. Sea R una relación de equivalencia en A ¿ R−1 es de equivalencia?
5. Considere el conjunto N × N . Definamos una relación N × N de la forma siguiente:
(a, b)R(c, d) sı́ y sólo sı́ a + b = b + c. Pruebe que R es una relación de equivalencia.
6. Para cada una de las siguientes relaciones, decir cuáles son de equivalencia. Todas las relaciones son sobre el
conjunto de los seres humanos.
a) xRy representa que x es hijo de y.
b) xRy representa que x es un descendiente de y.
c) xRy representa que x e y tienen los mismos padres.
d ) xRy representa que x es de la misma estatura o de menor estatura que y.
7. Sea R una relación sobre el conjunto de los enteros positivos, tal que R = {(a, b)/a−b es entero positivo impar}.
¿Será esta relación de equivalencia?.
8. Sean S : A → B y R : B → C. Pruebe que (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1
9. Sea A un conjunto no vacı́o y sea f una función cuyo dominio es A. Sea R = {(x, y) : f (x) = f (y)} una
relación en A. Demuestre que R es una relación de equivalencia ¿cuáles son las clases de equivalencias de R?
10. Demuestre que la relación R, que consiste de todos los pares (x, y) en los que x e y son cadenas de bits de
longitud al menos 3 que coinciden en sus 3 primeros bits, es una relación de equivalencia. Determine [010],
[1011].
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