CONJUNTOS Y N´UMEROS. HOJA 7

CONJUNTOS Y NÚMEROS. HOJA 7
1. Comprobar que las siguientes son relaciones de orden:
a) La inclusión “⊆” en P(X) (partes de X).
b) La relación de divisibilidad en N (aRb si y sólo si a|b).
c) El orden lexicográfico, o alfabético, en el conjunto de las palabras de un idioma.
d ) Dados α = (a, b, c) y β = (a0 , b0 , c0 ) en N3 , la relación (orden lexicográfico) dada por
α ≤ β ⇐⇒ (a < a0 ) ∨ (a = a0 ∧ b < b0 ) ∨ (a = a0 ∧ b = b0 ∧ c ≤ c0 ).
e) En el conjunto de las funciones f : [0, 1] −→ R definimos f ≤ g si y sólo si f (x) ≤ g(x)
para todo x ∈ [0, 1].
2. Dada la relación de orden en N, nRm ⇐⇒ n divide a m, hallar los elementos maximales,
minimales, máximos y mı́nimos (si existen) del conjunto A = {2, 3, 5, 6, 15, 10, 30}. ¿Es R una
relación de orden total en A?
3. En (R; ≤) hallar el máximo, mı́nimo, supremo e ı́nfimo de los conjuntos siguientes:
a) (0, 1)
b) [0, 1)
c) (0, 1]
d) [0, 1]
e) {2−n }n=1,2,3,...
f) Q ∩ [−π, π)
4. Sea el conjunto A = {a, b, c}. Define una relación de orden total, R, en P(A) tal que para todo
X, Y ∈ P (A), X ⊂ Y =⇒XRY .
5. a) Estudiar si los conjuntos N, Z y R con sus órdenes naturales y N×N con el orden lexicográfico
están bien ordenados.
b) ¿Es cierto que si (A, ≤) es un conjunto bien ordenado, entonces cualquier subconjunto no
vacı́o X ⊂ A tiene un máximo?
6. ¿Son equivalentes (N, ≤) y (Q, ≤)?
7. Probar las siguientes afirmaciones:
a) Si (X; R), (Y ; S) son equivalentes y R es un orden total, entonces S es también total.
b) Demostrar que si (X; R) está bien ordenado, entonces cualquier otro conjunto ordenado
(Y ; S) que sea del mismo tipo que (X; R) estará también bien ordenado.
c) Demostrar que todo conjunto numerable admite un buen orden.
8. Considerar la relación sobre Z definida por: (m, n) ∈ R ⇐⇒ m + n es par. Demostrar que es
una relación de equivalencia. Describir las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
9. Definimos en Q la siguiente relación: xRy ⇐⇒ existe h ∈ Z tal que x − y = h. Estudiar si es
una relación de equivalencia y, en caso afirmativo, describir las clases de 0 y de 1/2, el conjunto
cociente y decidir si 2/3 y 1/3 pertenecen a la misma clase.
10. Definimos en Q la siguiente relación: xRy ⇐⇒ existe h ∈ Z tal que x = 3y+h
3 . Estudiar si es
una relación de equivalencia y, en caso afirmativo, describir el conjunto cociente y decidir si
2/3 y 4/5 pertenecen a la misma clase.
11. Sea A un conjunto y B un subconjunto de A. En P(A) se considera la siguiente relación: dados
X, Y ∈ P(A), XRY ⇐⇒ X ∩ B = Y ∩ B. Estudia si es una relación de equivalencia y en caso
afirmativo describe el conjunto cociente.
12. Sea S el conjunto de todos los seres humanos. Sean x, y ∈ S . Decimos que x está relacionado
con y si x e y son hermanos (o sea, tienen la misma madre y el mismo padre). Probar que es
una relación de equivalencia. ¿Qué son las clases de equivalencia?
13. Sea S el conjunto de todos los seres humanos. Sean x, y ∈ S. Decimos que x está relacionado
con y si x e y tienen al menos un progenitor en común. ¿Es una relación de equivalencia?