Relaciones de Equivalencia

Apuntes de Matemática Discreta
8. Relaciones de Equivalencia
Francisco José González Gutiérrez
Cádiz, Octubre de 2004
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
ii
Lección 8
Relaciones de Equivalencia
Contenido
8.1
Generalidades . . . . . . .
8.1.1 Definición . . . . . . .
8.1.2 Digrafo asociado a una
8.2 Clases de Equivalencia .
8.2.1 Definición . . . . . . .
8.2.2 Lema . . . . . . . . .
8.3 Conjunto Cociente . . . .
8.3.1 Teorema . . . . . . . .
8.3.2 Definición . . . . . . .
8.3.3 Teorema . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Relación de Equivalencia
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La verdad no es un objeto que se encuentre al cabo de una
cadena lógica rı́gida; tampoco está indeterminada en todas las
direcciones del discurso. En una región limitada por contornos
excepcionales: descubrir estos contornos es iluminar esa región,
es explorar lo posible y precisar lo probable, es aplicar a las
cosas la potencia de la claridad y de orden del espı́ritu; en una
palabra es comprender
Jean Ullmo
8.1
Generalidades
Este tipo de relaciones binarias juegan un papel importante en todas las ciencias porque permiten clasificar los elementos del conjunto en el que están definidas.
Muchas veces trataremos a los elementos de un conjunto más por sus propiedades que como objetos
individuales. En tales situaciones, podremos ignorar todas las propiedades que no sean de interés y
tratar elementos diferentes como “equivalentes” o indistinguibles, a menos que puedan diferenciarse
utilizando únicamente las propiedades que nos interesen.
La noción de “equivalencia” tiene tres caracterı́sticas importantes:
(i) Todo elemento es equivalente a sı́ mismo. (Reflexividad ).
(ii) Si a es equivalente a b, entonces b es equivalente a a. (Simetrı́a).
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Departamento de Matemáticas
(iii) Si a es equivalente a b y b es equivalente a c, entonces a es equivalente a c. (Transitividad ).
Estas propiedades son la base para una clase importante de relaciones binarias sobre un conjunto.
8.1.1
Definición
Una relación binaria R definida sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia cuando es reflexiva,
simétrica y transitiva.
Ejemplo 8.1
Sea A = {1, 2, 3, 4} y
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 3), (3, 3), (4, 4)} .
Ver si R es de equivalencia.
Solución
Reflexividad. En efecto,
(1, 1) ∈ R, (2, 2) ∈ R, (3, 3) ∈ R y (4, 4) ∈ R
luego,
∀x (x ∈ A =⇒ xRx)
es decir, R es reflexiva.
Simetrı́a. En efecto,
(1, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R
(3, 4) ∈ R y (4, 3) ∈ R
luego,
∀x, y ∈ A [(x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R]
es decir, la relación propuesta es simétrica.
Transitividad. En efecto,
(1, 1) ∈ R y (1, 2) ∈ R
=⇒ (1, 2) ∈ R
(1, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R
=⇒ (1, 1) ∈ R
(1, 2) ∈ R y (2, 2) ∈ R
=⇒ (1, 2) ∈ R
(2, 1) ∈ R y (1, 1) ∈ R
=⇒ (2, 1) ∈ R
(2, 1) ∈ R y (1, 2) ∈ R
=⇒ (2, 2) ∈ R
(2, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R
=⇒ (2, 1) ∈ R
(3, 4) ∈ R y (4, 4) ∈ R
=⇒ (3, 4) ∈ R
(3, 3) ∈ R y (3, 4) ∈ R
=⇒ (3, 4) ∈ R
(4, 3) ∈ R y (3, 3) ∈ R
=⇒ (4, 3) ∈ R
(4, 4) ∈ R y (4, 3) ∈ R
=⇒ (4, 3) ∈ R
luego,
∀x, y, z ∈ A [(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ R]
y la relación es, por tanto, transitiva.
Ejemplo 8.2
(a) La relación universal sobre cualquier conjunto A es una relación de equivalencia.
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Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
(b) La relación vacı́a ∅ es una relación de equivalencia sobre el conjunto vacı́o ∅. No es, sin embargo,
una relación de equivalencia sobre cualquier conjunto no vacı́o ya que no es reflexiva.
(c) La relación de igualdad sobre cualquier conjunto es una relación de equivalencia.
8.1.2
Digrafo asociado a una Relación de Equivalencia
El digrafo asociado a una relación de equivalencia, R, tiene algunas caracterı́sticas que lo distinguen.
− Como R es reflexiva, cada vértice tiene un bucle.
− La simetrı́a implica que si existe un arco desde a hasta b, también existe un arco desde b hasta
a.
− La transitividad implica que si existe un camino desde a hasta b, entonces existe un arco desde
a hasta b.
Consecuentemente, cada una de las componentes del digrafo de una relación de equivalencia es un
digrafo completo.
8.2
Clases de Equivalencia
8.2.1
Definición
Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cada a ∈ A, llamaremos clase de
equivalencia de a, al conjunto formado por todos los elementos de A que estén relacionados con él. La
notaremos [a], es decir,
[a] = {x ∈ A : xRa}
Obsérvese que la clase de equivalencia de un elemento a nunca es vacı́a, ya que la reflexividad de R
implica que a ∈ [a].
Ejemplo 8.3
Sea A = {a, b, c, d} y R el conjunto
R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (c, d), (d, c), (d, d)}
Representar el digrafo de R y calcular las clases de equivalencia.
Solución
[a] = {a, b}
[b] = {a, b}
•
a
•
c
•
b
•
d
Digrafo
[c] = {c, d}
[d] = {c, d}
Clases
Ejemplo 8.3
Obsérvese que [a] = [b] y [c] = [d], es decir, existen sólo dos clases de equivalencia.
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8.2.2
Departamento de Matemáticas
Lema
Sea R una relación de equivalencia sobre el conjunto A. Entonces,
(i) [a] = [b] si, y sólo si aRb.
(ii) Si [a] 6= [b], entonces [a] ∩ [b] = ∅
Demostración
(i) [a] = [b] si, y sólo si aRb.
“Sólo si”. En efecto, supongamos que [a] = [b]. Como a ∈ [a] y [a] = [b], entonces a ∈ [b] de aquı́
que aRb.
“Si”. Supongamos que aRb y sea x cualquiera de A, entonces
x ∈ [a] ⇐⇒
xRa
=⇒
xRb
⇐⇒
x ∈ [b]
{Hipótesis y transitividad de R}
tenemos, pues, que
∀x ∈ A (x ∈ [a] =⇒ x ∈ [b])
es decir, [a] ⊆ [b].
Por otra parte,
x ∈ [b] ⇐⇒
xRb
=⇒
xRa
⇐⇒
x ∈ [a]
{Simetrı́a de la hipótesis y transitividad de R}
tenemos, pues, que
∀x ∈ A (x ∈ [b] =⇒ x ∈ [a])
es decir, [b] ⊆ [a].
De la doble inclusión hallada se sigue el resultado.
(ii) Si [a] 6= [b], entonces [a] ∩ [b] = ∅
Probaremos la contrarrecı́proca. Es decir,
[a] ∩ [b] 6= ∅ =⇒ [a] = [b]
En efecto,
[a] ∩ [b] 6= ∅
=⇒
∃x ∈ A : x ∈ [a] ∧ x ∈ [b]
⇐⇒
∃x ∈ A : xRa ∧ xRb
=⇒
∃x ∈ A : aRx ∧ xRb
{Simetrı́a}
=⇒
aRb
{Transitividad}
⇐⇒
[a] = [b]
{Apartado (ii)}
Obsérvese que de todo lo anterior se sigue que cualquiera de los elementos que componen una clase de
equivalencia puede elegirse como representante de la misma.
202
Matemática Discreta
8.3
Francisco José González Gutiérrez
Conjunto Cociente
8.3.1
Teorema
Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A, entonces la familia de todas las clases de
equivalencia de los elementos de A produce una partición de A.
Demostración
Dado que cada clase de equivalencia es un subconjunto de A, el conjunto de todas ellas será una familia
de subconjuntos de A.
Veamos que, en efecto, es una partición de A.
1. [a] 6= ∅, ∀a ∈ A
En efecto, como ya dijimos antes, al menos a pertenece a su clase de equivalencia, luego son no
vacı́as.
2. Si [a] 6= [b], entonces [a] ∩ [b] = ∅
Directamente de (ii) en el lema anterior.
3.
[
[a] = A
a∈A
Veamos que la unión de todas las clases de equivalencia es el conjunto A. En efecto,
x∈
[a]⊆A
[
[a] =⇒ ∃a ∈ A : x ∈ [a] =⇒ x ∈ A
a∈A
luego,
!
∀x x ∈
[
[a] =⇒ x ∈ A
a∈A
es decir,
[
[a] ⊆ A
a∈A
Por otra parte,
x ∈ A =⇒ x ∈ [x] =⇒ x ∈
[
[a]
a∈A
luego,
!
∀x x ∈ A =⇒ x ∈
[
[a]
a∈A
es decir,
A⊆
[
[a]
a∈A
de la doble inclusión se sigue el resultado,
A=
[
[a]
a∈A
203
Universidad de Cádiz
8.3.2
Departamento de Matemáticas
Definición
Dada una relación de equivalencia sobre un conjunto A, llamaremos conjunto cociente al formado por
todas las clases de equivalencia, lo notaremos por A/R, indicando ası́ que es el conjunto A partido
por la relación de equivalencia R.
A/R = {[a] : a ∈ A}
Ejemplo 8.4
8.1
Determinar el conjunto cociente A/R siendo R la relación de equivalencia del ejemplo
Solución
A = {1, 2, 3, 4}
[1] = {x ∈ A : xR1} = {1, 2}
[2] = {x ∈ A : xR1} = {1, 2}
[3] = {x ∈ A : xR1} = {3, 4}
[4] = {x ∈ A : xR1} = {3, 4}
Consecuentemente,
A/R = {[1] , [3]} = {{1, 2} , {3, 4}}
Ejemplo 8.5
Sea el conjunto Z+ × Z+ y consideremos en él la relación
(a, b)R(c, d) si, y sólo si a + d = b + c
cualesquiera que sean (a, b) y (c, d) de Z+ × Z+ .
(a) Probar que la relación propuesta es de equivalencia.
(b) Hallar las clases de equivalencia.
(c) Obtener el conjunto cociente.
(d) Escribir el conjunto cociente que se obtiene en el caso de que la relación se defina en el conjunto
A × A siendo A = {1, 2, 3, 4, 5}.
(e) Construir una gráfica que represente al conjunto cociente para A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Solución
(a) Probaremos que R cumple las condiciones exigidas para ser de equivalencia.
Reflexividad. En efecto, para cada par (a, b) de Z+ × Z+ se verifica que
a+b=b+a
de aquı́ que
(a, b)R(a, b)
y la relación es, por tanto, reflexiva.
Simetrı́a. En efecto, si (a, b) y (c, d) son cualesquiera de Z+ × Z+ tales que
(a, b)R(c, d)
204
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
tendremos que
a+d=b+c
de donde por la conmutatividad de la suma en Z+ se sigue que
d+a=c+b
luego
(c, d)R(a, b)
y R es, por tanto, simétrica.
Transitividad. Sean (a, b), (c, d) y (e, f ) tres elementos arbitrarios de Z+ × Z+ , tales que
(a, b)R(c, d) y (c, d)R(e, f )
es decir, tales que
a+d=b+c y c+f =d+e
si sumamos miembro a miembro ambas igualdades obtendremos
a+d+c+f =b+c+d+e
de donde se sigue que
a+f =b+e
luego
(a, b)R(e, f )
y, consecuentemente, R es transitiva.
Por ser reflexiva, simétrica y transitiva, R será una relación de equivalencia
(b) Hallemos las clases de equivalencia.
Sea (a, b) un par de enteros positivos cualesquiera. Entonces,
[(a, b)]
= {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : (x, y)R(a, b)}
= {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x + b = y + a}
= {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = a − b}
= {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = d}
donde d es la diferencia entre a y b. Cuando el par (a, b) recorra todo el conjunto Z+ ×Z+ , su diferencia, d,
recorrerá el conjunto Z de los números enteros ya que será un entero negativo, cero o positivo dependiendo
de que a sea menor, igual o mayor que b.
Por lo tanto, la clase de equivalencia de cualquier elemento tendrá la forma:
(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = d, con d ∈ Z
Por ejemplo,
(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = 0
será la clase de equivalencia del par (1, 1) y del (2, 2), del (3, 3), etc..., en general de todos los pares de
la forma (a, a). Tomando como representante el (1, 1),
[(1, 1)] = (x, y) ∈ Z+ × Z+ : x = y = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), . . . . . .}
y el conjunto
(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = −8 = {(1, 9), (2, 10), (3, 11), (4, 12), . . . . . .}
205
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
será, por ejemplo, [(1, 9)], clase de equivalencia del par (1, 9).
(c) Obtengamos el conjunto cociente.
Z+ × Z+ /R
= {
······
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = −2} ,
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = −1} ,
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = 0} ,
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = 1} ,
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = 2} ,
······
}
es decir,
Z+ × Z+ /R
=
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = d}d∈Z− ,
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = 0} ,
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = d}d∈Z+
=
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = −d}d∈Z+ ,
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = 0} ,
{(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x − y = d}d∈Z+
=
{(x, x + d) ∈ Z+ × Z+ }d∈Z+ , {(x, x) ∈ Z+ × Z+ } , {(y + d, y) ∈ Z+ × Z+ }d∈Z+
= {[(x, x + d)] , [(x, x)] , [(y + d, y)] , con d ∈ Z+ }x∈Z+ ,y∈Z+
y como x − (x + d) = −d, x − x = 0 y d + y − y = d independientemente de los valores que tomen x e
y, podemos tomar x = 1 e y = 1, es decir elegir como representante de cada clase a los pares (1, 1 + d),
(1, 1) y (1 + d, 1), respectivamente. Entonces,
Z+ × Z+ /R = [(1, 1 + d)] , [(1, 1)] , [(1 + d, 1)] , con d ∈ Z+
y haciendo 1 + d = p,
Z+ × Z+ /R = [(1, p)] , [(1, 1)] , [(p, 1)] , con p ∈ Z+ \ {1} = [(1, p)] , [(p, 1)] , con p ∈ Z+
(d) Escribiremos el conjunto cociente para el subconjunto de Z+ , A = {1, 2, 3, 4, 5}
A × A/R
= {[(1, p)] , [(p, 1)] , con p ∈ A}
= {[(1, 5)] , [(1, 4)] , [(1, 3)] , [(1, 2)] , [(1, 1)] , [(2, 1)] , [(3, 1)] , [(4, 1)] , [(5, 1)]}
= {{(1, 5)} , {(1, 4)(2, 5)} , {(1, 3), (2, 4), (3, 5)} , {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} ,
=
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} , {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)} , {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} ,
=
{(4, 1), (5, 2)} , {(5, 1)}}
(e) Construiremos una gráfica representativa del conjunto cociente para el subconjunto de Z+ ,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .
206
Matemática Discreta
(2, 10)
(3, 10)
(4, 10)
(5, 10)
(6, 10)
(8, 10)
(7, 10)
(9, 10)
(10, 10)
(1, 9)
(2, 9)
(3, 9)
(4, 9)
(5, 9)
(6, 9)
(7, 9)
(8, 9)
(9, 9)
(10, 9)
(1, 8)
(2, 8)
(3, 8)
(4, 8)
(5, 8)
(6, 8)
(7, 8)
(8, 8)
(9, 8)
(10, 8)
(1, 7)
(2, 7)
(3, 7)
(4, 7)
(5, 7)
(6, 7)
(7, 7)
(8, 7)
(9, 7)
(10, 7)
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)
(7, 6)
(8, 6)
(9, 6)
(10, 6)
(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)
(7, 5)
(8, 5)
(9, 5)
(10, 5)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)
(7, 4)
(8, 4)
(9, 4)
(10, 4)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(7, 3)
(8, 3)
(9, 3)
(10, 3)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)
(7, 2)
(8, 2)
(9, 2)
(10, 2)
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)
(7, 1)
(8, 1)
(9, 1)
(10, 1)
Conjunto cociente
Ejemplo 8.6
En el conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se considera la relación
aRb si, y sólo si a − b es múltiplo de 3
Probar que es de equivalencia, hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
Solución
Obsérvese que
a − b es múltiplo de 3 ⇐⇒ a − b = 3k; k ∈ Z.
luego la relación puede escribirse en la forma
aRb ⇐⇒ a − b = 3k; k ∈ Z
Reflexiva. Para cada a de A se verifica que
a−a=0
lo cual puede escribirse en la forma
a − a = 3 · 0; 0 ∈ Z
207
[(1
0,
1)
]
[(9
,1
)]
[(8
,1
)]
[(7
,1
)]
)]
[(6
,1
[(5
,1
)]
)]
[(4
,1
)]
[(3
,1
)]
[(2
,1
[(1
,1
)]
[(1
,2
)]
[(1
,3
)]
[(1
,4
)]
[(1
,5
)]
[(1
,6
)]
[(1
,7
)]
[(1
,8
)]
[(1
,9
)]
[(1
,1
0)
]
(1, 10)
Francisco José González Gutiérrez
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
luego aRa.
Simétrica. Si a y b son cualesquiera de A tales que aRb, entonces
a − b = 3k; k ∈ Z
de aquı́ que
b − a = 3(−k); −k ∈ Z
y por tanto, bRa.
Transitiva. En efecto, si a, b y c son cualesquiera de A tales que aRb y bRc, entonces
a − b = 3k1 ; k1 ∈ Z y b − c = 3k2 ; k2 ∈ Z
y si sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones, tendremos que
a − c = 3(k1 + k2 ); k1 + k2 ∈ Z
luego aRc.
Clases de equivalencia. Si a es cualquiera de A, entonces
x ∈ [a] ⇐⇒
xRa
⇐⇒
x − a = 3k; k ∈ Z
⇐⇒
x = a + 3k; k ∈ Z
luego
[a] = {x : x = a + 3k; k ∈ Z} .
Ası́ pues,
[0] = {x : x = 3k; k ∈ Z} = {0, 3, 6, 9}
[1] = {x : x = 1 + 3k; k ∈ Z} = {1, 4, 7}
[2] = {x : x = 2 + 3k; k ∈ Z} = {2, 5, 8}
El conjunto cociente será, por tanto,
A/R = {{0, 3, 6, 9} , {1, 4, 7} , {2, 5, 8}}
8.3.3
Teorema
Dada una partición de un conjunto A, puede definirse en él una relación de equivalencia R tal que el
conjunto cociente A/R coincida con la partición dada.
Demostración
Sea {A1 , A2 , . . . , An } una partición del conjunto A. Definimos la siguiente relación:
Dos elementos de A están relacionados si, y sólo si pertenecen al mismo subconjunto de la partición.
es decir, si a y b son cualesquiera de A, entonces
aRb ⇐⇒ ∃Ai ⊆ A : a y b ∈ Ai
Veamos que R es de equivalencia.
En efecto,
208
Matemática Discreta
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Reflexividad. Si a es cualquiera de A, como {A1 , A2 , . . . , An } es una partición de A, será
A=
n
[
Ai
i=1
luego
a∈
n
[
Ai =⇒ ∃Ai : a ∈ Ai =⇒ a y a ∈ Ai =⇒ aRa
i=1
por lo tanto,
∀a (a ∈ A =⇒ aRa)
es decir, la relación es reflexiva.
Simetrı́a. Sean a y b dos elementos cualesquiera de A, entonces
aRb ⇐⇒ ∃Ai ⊆ A : a y b ∈ Ai =⇒ ∃Ai ⊆ A : b y a ∈ Ai ⇐⇒ bRa
o sea,
∀a, b ∈ A (aRb =⇒ bRa)
y la relación es, por tanto, simétrica.
Transitividad. En efecto, si a, b y c son tres elementos arbitrariamente elegidos en A, entonces
aRb ⇐⇒ ∃Ai ⊆ A : a y b ∈ Ai
y
bRc ⇐⇒ ∃Aj ⊆ A : b y c ∈ Aj
de donde se sigue que b ∈ Ai ∩ Aj , consecuentemente Ai ∩ Aj 6= ∅ y por la definición de partición
tendremos que Ai = Aj .
Resulta, pues, que a y c pertenecen al mismo subconjunto de la partición y, por lo tanto, aRc.
Ası́ pues,
∀a, b, c ∈ A (aRb ∧ bRc =⇒ aRc)
es decir, R es transitiva.
Veamos el conjunto cociente.
Por la forma en que hemos definido la relación, se sigue directamente que las clases de equivalencia
correspondientes son los subconjuntos de la partición, luego
A/R = {A1 , A2 , . . . , An }
Ejemplo 8.7 Sea A = {1, 3, 3, 4} y {{1, 2, 3} , {4}} una partición de A. Determı́nese la relación de
equivalencia correspondiente en A.
Solución
Si tenemos en cuenta que las clases de equivalencia son los subconjuntos de la partición, tendremos
[1] = {1, 2, 3} y [4] = {4}
A partir de la definición de clases de equivalencia y de que R ha de ser de equivalencia, tendremos:
[1] = {1, 2, 3} , luego (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) ∈ R
[4] = {4} , luego (4, 4) ∈ R
209
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
de aquı́ que
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4)}
Ejemplo 8.8 Determinar si la relación R cuya matriz se da es una relación de equivalencia sobre el
conjunto A = {a, b, c}.
(a) MR
(b) MR

1
= 0
0
0
1
1

0
1 
1

0
1
0

1
0 
1
1
= 0
0
Solución
Supongamos que rij es un elemento cualquiera de la matriz, donde i indica la fila a la que pertenece y j
la columna.
(a) Veamos si cumple las condiciones para que la relación propuesta sea de equivalencia.
Reflexiva. En efecto lo es ya que todos los elementos de la diagonal principal son unos, lo cual
significa que
∀x (x ∈ A =⇒ xRx)
Simétrica. También lo es, ya que
rij = rji , ∀i, j = 1, 2, 3; i 6= j
lo cual significa que
∀x, y ∈ A (xRy =⇒ yRx)
Transitiva. Se prueba con facilidad que
si rij = 1 ∧ rjk = 1, entonces rik = 1
y
si rik = 0, entonces rij = 0 ∨ rjk = 0
lo cual significa que
∀x, y, z ∈ A (xRy ∧ yRz =⇒ xRz)
(b) La relación propuesta no es de equivalencia ya que r13 = 1 y r31 = 0, lo cual significa que
aRc y, sin embargo cR
/a
es decir, la relación propuesta no es simétrica.
Ejemplo 8.9
equivalencia.
Determinar si las relaciones cuyos grafos dirigidos se dan en la figura siguiente son de
210
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
• 2
1 •
1 •
• 2
6 •
5 •
3 •
• 3
4 •
(a)
(b)
Solución
(a) Veamos si cumple las tres condiciones.
Reflexiva. En efecto lo es, ya que en cada uno de los vértices hay un bucle.
Simétrica. También lo es, ya que entre cada dos vértices x e y hay dos aristas, una que va desde x
hasta y y otra que va desde y hasta x.
Transitiva. En efecto, para cada camino entre dos puntos x e y del digrafo, hay una arista entre
los mismos.
(b) Veamos si cumple las condiciones exigidas para que la relación representada por el digrafo sea de
equivalencia.
Reflexiva. En cada uno de los vértices hay un bucle, luego la relación es reflexiva.
Simétrica. No lo es, ya que por ejemplo entre 1 y 2 hay una arista, pero no ası́ entre 2 y 1.
Consecuentemente, la relación no es de equivalencia.
Ejemplo 8.10 Si {{a, c, e} , {b, d, f }} es una partición del conjunto A = {a, b, c, d, e, f }, determinar la
relación de equivalencia correspondiente.
Solución
Si R es la relación de equivalencia buscada, entonces el conjunto cociente es
A/R = {{a, c, e} , {b, d, f }}
luego las clases de equivalencia son
[a] = {a, c, e} y [b] = {b, d, f }
Pues bien,
[a] = {a, c, e} , luego (a, a), (a, c), (a, e), (c, a), (c, c), (c, e), (e, a), (e, c) y (e, e) están en R
211
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
también,
[b] = {b, d, f } , luego (b, b), (b, d), (b, f ), (d, b), (d, d), (d, f ), (f, b), (f, d) y (f, f ) están en R
Consecuentemente, la relación es
R
= {(a, a), (a, c), (a, e), (c, a), (c, c), (c, e), (e, a), (e, c), (e, e),
(b, b), (b, d), (b, f ), (d, b), (d, d), (d, f ), (f, b), (f, d), (f, f )}
Ejemplo 8.11
Sobre el conjunto Z+ × Z+ se define la relación,
(a, b)R(c, d) ⇐⇒ ad = bc
(a) Probar que R es de equivalencia.
(b) Obtener las clases de equivalencia.
(c) Escribir el conjunto cociente.
(d) Escribir el conjunto cociente y dibujar una gráfica explicativa del mismo para el conjunto A × A,
siendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Solución
(a) Probaremos que R es de equivalencia.
Reflexiva. Sea (a, b) cualquiera de Z+ × Z+ A. Por la conmutatividad del producto de enteros, ab = ba,
luego (a, b)R(b, a), es decir,
∀(a, b) (a, b) ∈ Z+ × Z+ =⇒ (a, b)R(a, b)
y la relación es, en efecto, reflexiva.
Simétrica. Sean (a, b) y (c, d) dos elementos arbitrarios de Z+ × Z+ . Entonces,
(a, b)R(c, d) ⇐⇒ ad = bc ⇐⇒ bc = ad ⇐⇒ (c, d)R(a, b)
luego,
∀(a, b), (c, d) ∈ Z+ × Z+ [(a, b)R(c, d) =⇒ (c, d)R(a, b)]
es decir, R es simétrica.
Transitiva. Si (a, b), (c, d) y (e, f ) son cualesquiera de Z+ × Z+ , entonces

(a, b)R(c, d) ⇐⇒ ad = bc 
y
=⇒ adcf = bcde =⇒ af = be ⇐⇒ (a, b)R(e, f )

(c, d)R(e, f ) ⇐⇒ cf = de
(b) Obtengamos las clases de equivalencia.
Sea (a, b) un par de enteros positivos cualquiera. Entonces,
[(a, b)]
= {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : (x, y)R(a, b)}
= {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : xb = ya}
a
+
+ x
=
(x, y) ∈ Z × Z : =
y
b
Por ejemplo,
[(9, 15)] =
x
9
(x, y) ∈ Z+ × Z+ : =
y
15
212
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
ahora bien,
9
=
15
9
3
15
3
=
3
, siendo 3 = m.c.d.(9, 15)
5
y
3
3k
=
, con k ∈ Z+
5
5k
luego,
3
+
+ x
[(9, 15)] = (x, y) ∈ Z × Z : =
= [(3, 5)]
y
5
y
[(3, 5)]
=
3
x
(x, y) ∈ Z+ × Z+ : =
y
5
= {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x = 3k e y = 5k, con k ∈ Z+ }
= {(3k, 5k) : k ∈ Z+ }
= {k(3, 5) : k ∈ Z+ }
En general podemos razonar de forma análoga.
a
− Si m.c.d.(a, b) = 1, es decir si la fracción es irreducible, entonces
b
ka
a
=
, con k ∈ Z+
b
kb
− Si m.c.d.(a, b) = d 6= 1, entonces
a
=
b
y la fracción
a
d
b
d
a
d
b
d
es irreducible, luego
a
d
b
d
=
k ad
k db
con k ∈ Z+
Por lo tanto, si llamamos d al m.c.d.(a, b), tendremos
x
a/d
[(a, b)] =
(x, y) ∈ Z+ × Z+ : =
y
b/d
a
b
+
+
+
=
(x, y) ∈ Z × Z : x = k e y = k , con k ∈ Z
d
d
a b
=
k ,k
, con k ∈ Z+
d d
a b
+
=
k
,
, con k ∈ Z
d d
Por ejemplo, si queremos calcular la clase de equivalencia del par (3, 7), como m.c.d.(3, 7) = 1, tendremos
que
[(3, 7)] = {k(3, 7), con k ∈ Z+ }
= {(3, 7), (6, 14), (9, 21), (12, 28), (15, 35), . . .}
y si queremos calcular la clase del par (16, 20), como m.c.d.(16, 20) = 4,
16 20
[(16, 20)] =
k
,
, con k ∈ Z+
4 4
= {k(4, 5), con k ∈ Z+ }
= {(4, 5), (8, 15), (16, 20), (20, 25), (24, 30), . . .}
213
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
(c) Escribamos el conjunto cociente Z+ × Z+ /R.
Según lo que hemos visto en el punto anterior,
Z+ × Z+ /R
= {{k(a, b), con k ∈ Z+ } (a, b) ∈ Z+ × Z+ y m.c.d.(a, b) = 1}
= {[(a, b)] : (a, b) ∈ Z+ × Z+ y m.c.d.(a, b) = 1}
(d) Veamos cual es el conjunto cociente para A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Por el punto anterior,
= {{k(a, b), con k ∈ Z+ } (a, b) ∈ A × A y m.c.d.(a, b) = 1}
A × A/R
= {[(a, b)] : (a, b) ∈ A × A y m.c.d.(a, b) = 1}
luego tenemos que saber cuantos pares de números primos entre sı́ hay en el conjunto A × A. En la
siguiente tabla figuran los divisores de todos los números y en los cruces los divisores comunes.
1
2
3
4
5
6
1
8
9
10
1
1,2
1,3
1,2,4
1,5
1,2,3,6
1,7
1,2,4,8
1,3,9
1,2,5,10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1,2
1
1,2
1
1,2
1
1,2
1
1,2
1
1,2
3
1,3
1
1
1,3
1
1
1,3
1
1
1,3
1
4
1,2,4
1
1,2
1
1,2,4
1
1,2
1
1,2,4
1
1,2
5
1,5
1
1
1
1
1,5
1
1
1
1
1,5
6
1,2,3,6
1
1,2
1,3
1,2
1
1,2,3,6
1
1,2
1,3
1,2
7
1,7
1
1
1
1
1
1
1,7
1
1
1
8
1,2,4,8
1
1,2
1
1,2,4
1
1,2
1
1,2,4,8
1
1,2
9
1,3,9
1
1
1,3
1
1
1,3
1
1
1,3,9
1
10
1,2,5,10
1
1,2
1
1,2
1,5
1,2
1
1,2
1
1,2,5,10
Por lo tanto,
A × A/R
= {[(1, 10)] , [(1, 9)] , [(1, 8)] , [(1, 7)] , [(1, 6)] , [(1, 5)] , [(2, 9)] , [(1, 4)] , [(2, 7)] ,
[(3, 10)] , [(1, 3)] , [(3, 8)] , [(2, 5)] , [(3, 7)] , [(4, 9)] , [(1, 2)] , [(5, 9)] , [(4, 7)] ,
[(3, 5)] , [(5, 8)] , [(2, 3)] , [(7, 10)] , [(5, 7)] , [(3, 4)] , [(7, 9)] , [(4, 5)] , [(5, 6)] ,
[(6, 7)] , [(7, 8)] , [(8, 9)] , [(9, 10)] , [(1, 1)] , [(10, 9)] , [(9, 8)] , [(8, 7)] , [(7, 6)] ,
[(6, 5)] , [(5, 4)] , [(9, 7)] , [(4, 3)] , [(7, 5)] , [(10, 7)] , [(3, 2)] , [(8, 5)] , [(5, 3)] ,
[(7, 4)] , [(9, 5)] , [(2, 1)] , [(9, 4)] , [(7, 3)] , [(5, 2)] , [(8, 3)] , [(3, 1)] , [(10, 3)] ,
[(7, 2)] , [(4, 1)] , [(9, 2)] , [(5, 1)] , [(6, 1)] , [(7, 1)] , [(8, 1)] , [(9, 1)] , [(10, 1)]}
= {{(1, 10)} , {(1, 9)} , {(1, 8)} , {(1, 7)} , {(1, 6)} , {(1, 5) , (2, 10)} , {(2, 9)} ,
{(1, 4) , (2, 8)} , {(2, 7)} , {(3, 10)} , {(1, 3) , (2, 6) , (3, 9)} , {(3, 8)} , {(2, 5) , (4, 10)} ,
{(3, 7)} , {(4, 9)} , {(1, 2) , (2, 4) , (3, 6) , (4, 8) , (5, 10)} , {(5, 9)} , {(4, 7)} ,
{(3, 5) , (6, 10)} , {(5, 8)} , {(2, 3) , (4, 6) , (6, 9)} , {(7, 10)} , {(5, 7)} , {(3, 4) , (6, 8)} ,
{(7, 9)} , {(4, 5) , (8, 10)} , {(5, 6)} , {(6, 7)} , {(7, 8)} , {(8, 9)} , {(9, 10)} , {(1, 1)} ,
{(10, 9)} , {(9, 8)} , {(8, 7)} , {(7, 6)} , {(6, 5)} , {(5, 4) , (10, 8)} , {(9, 7)} ,
{(4, 3) , (8, 6)} , {(7, 5)} , {(10, 7)} , {(3, 2) , (6, 4) , (9, 6)} , {(8, 5)} , {(5, 3) , (10, 6)} ,
{(7, 4)} , {(9, 5)} , {(2, 1) , (4, 2) , (6, 3) , (8, 4) , (10, 5)} , {(9, 4)} , {(7, 3)} ,
{(5, 2) , (10, 4)} , {(8, 3)} , {(3, 1) , (6, 2) , (9, 3)} , {(10, 3)} , {(7, 2)} , {(4, 1) , (8, 2)} ,
{(9, 2)} , {(5, 1) , (10, 2)} , {(6, 1)} , {(7, 1)} , {(8, 1)} , {(9, 1)} , {(10, 1)}}
Veamos una gráfica del conjunto cociente para A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
214
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
[(1, 4
•
[(1
, 2)
•
[(1
,1
)]
1 •
•
1
)]
, 3•
4
(
[
•
[(2
,3
[(1,
3
•
]
2 •
•
)]
•
)]
3 •
•
)]
•
[(3
,4
•
, 1)
[(2
]•
•
2
•
)]
•
,2
[(3
[(3,
1)]
•
)]
[(4, 1
•
3
•
•
4
)]
•
•
•
•
•
)]
,8
([ 9 •
•
•
)]
, 7•
8
[(
]•
7)
,
[(9
•
)]
7
0,
[(1
•
•
• )]
,5
[(9
4)]
[(9, •
•
)]
[(7
,8
)]
)]
)]
, 5•
6
[(
•
[(4
,5
]
[(3
, 5)
5)]
[(2,
•
)]
4 •
•
)]
, 4•
5
(
[
•
)]
, 6•
7
(
[
•
)]
,5
[(7
•
2)]
•
•
)]
[(7, 2
•
[(5, 1)]
•
•
[(7, 1)]
•
[(6, 1)]
•
5
•
)] •
,5
[(8
• )]
•
,4
7
(
[
3)]
[(7,•
•
3)]
[(8,
•
3)]
,
5
[(
[(5,
•
6
•
]
[(6
,7
•
•
[(1, 5)]
5 •
•
[(5
,7
)]
•
•
[(5
,6
)]
•
•
[(7
,1
8)]
[(5
,
[(4
, 7)
]
7)]
•
)]
•
•
[(7
,9
[(4,
9)]
[(3, 1
•
[(2, 7
[(3,
•
•
]
•
•
8)]
•
[(3,
[(1, 8)]
]
•
[(1, 6)]
6 •
•
[(1, 7)]
7 •
•
0)]
8 •
•
[(9
,1
0)
•
•
[(8
,9
)]
•
9 •
•
0)
]
•
[(2, 9)
•
[(1, 9)] [(1, 10)]
10 •
Francisco José González Gutiérrez
[(5
, 9)
]
Matemática Discreta
•
7
[(8, 1)]
•
[(10,
•
3)] •
•
[(9, 2)
•
•
•
[(9, 1)] [(10, 1)]
•
8
]•
9)
0,•
1
[(
•
9
•
•
10
Conjunto cociente
Ejemplo 8.12
Sobre Z+ × Z+ se define la relación,
(a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + b = c + d
(a) Probar que R es de equivalencia.
(b) Hallar las clases de equivalencia.
(c) Obtener el conjunto cociente.
Solución
215
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
(a) Probemos que R es de equivalencia.
Reflexiva. Para todo (a, b) de Z+ × Z+ se verifica que a + b = a + b, de aquı́ que (a, b)R(a, b) y R
sea reflexiva.
Simétrica. Para todo (a, b) y (c, d) de Z+ × Z+ , se verifica,
(a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + b = c + d ⇐⇒ c + d = a + b ⇐⇒ (c, d)R(a, b)
luego R es simétrica.
Transitiva. Para todo (a, b), (c, d) y (e, f ) de AZ+ × Z+ , se verifica,

(a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + b = c + d 
y
=⇒ a + b = e + f ⇐⇒ (a, b)R(e, f )

(c, d)R(e, f ) ⇐⇒ c + d = e + f
luego R es transitiva y, consecuentemente, de equivalencia.
(b) Hallemos las clases de equivalencia.
Sea (a, b) cualquier par de enteros positivos. Entonces,
[(a, b)]
= {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : (x, y)R(a, b)}
= {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x + y = a + b}
= {(a + b − y, y) ∈ Z+ × Z+ }
= {(a + b − y, y) : a + b − y ∈ Z+ e y ∈ Z+ }
= {(a + b − y, y) : a + b − y > 1 e y > 1}
= {(a + b − y, y) : y 6 a + b − 1 e y > 1}
= {(a + b − y, y) : 1 6 y 6 a + b − 1}
Por ejemplo,
[(1, 1)] = {(1 + 1 − y, y) : 1 6 y 6 1 + 1 − 1} = {(2 − y, y) : y = 1} = {(1, 1)}
y
[(5, 8)]
= {(5 + 8 − y, y) : 1 6 y 6 5 + 8 − 1}
= {(13 − y, y) : 1 6 y 6 12}
= {(12, 1), (11, 2), (10, 3), (9, 4), (8, 5), (7, 6), (6, 7), (4, 9), (3, 10), (2, 11), (1, 12)}
(c) Obtengamos el conjunto cociente.
Z+ × Z+ /R = [(a, b)] : (a, b) ∈ Z+ × Z+
donde
[(a, b)]
= {(a + b − y, y) : 1 6 y 6 a + b − 1}
= {(a + b − 1, 1) , (a + b − 1, 2) , . . . , (2, a + b − 2) , (1, a + b − 1)}
=
[(a + b − 1, 1)]
es decir, en cada clase habrá un par cuya segunda componente es 1 y que elegiremos como representante, luego
Z+ × Z+ /R = [(a + b − 1, 1)] : a ∈ Z+ y b ∈ Z+ .
Además,
a ∈ Z+
y
b ∈ Z+

=⇒ a > 1 


=⇒ b > 1
=⇒ a + b > 2 =⇒ a + b − 1 > 1 =⇒ a + b − 1 ∈ Z+



216
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
es decir, cuando el par (a, b) recorra Z+ × Z+ , a + b − 1 recorrerá Z+ , luego si hacemos a + b − 1
igual a k, tendremos que
Z+ × Z+ /R = [(k, 1)] : k ∈ Z+ .
La gráfica siguiente es una representación parcial del conjunto cociente.
(1, 10)
(1, 9)
(2, 9)
(1, 8)
(2, 8)
(3, 8)
(1, 7)
(2, 7)
(3, 7)
(4, 7)
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)
(7, 4)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(7, 3)
(8, 3)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)
(7, 2)
(8, 2)
(9, 2)
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)
(7, 1)
(8, 1)
(9, 1)
(10, 1)
[(1
)]
1
0,
)]
,1
[(9
)]
,1
[(8
)]
)]
)]
)]
,1
[(7
,1
[(6
,1
[(5
,1
[(4
)]
,1
[(3
)]
,1
[(2
)]
,1
[(1
Conjunto cociente
Ejemplo 8.13
En el conjunto Z+ se define la siguiente relación R
√ √
xRy ⇐⇒ E
x = E ( y)
donde E(x) significa “parte entera de x”.
Demostrar que se trata de una relación de equivalencia, hallar las clases de equivalencia y el conjunto
cociente.
Solución
217
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
R es de equivalencia.
√
√
En efecto, para cada entero positivo x se verifica que E( x) = E( x), luego,
∀x x ∈ Z+ =⇒ xRx
es decir, R es reflexiva.
También es simétrica puesto que,
√
√
√
√
∀x, y ∈ Z+ xRy =⇒ E( x) = E( y) ⇐⇒ E( y) = E( x) =⇒ yRx
y transitiva, ya que
√ √
√
√
√ √
∀x, y, z ∈ Z+ xRy ∧ yRz =⇒ E( x) = E( y) ∧ E( y) = E( z) =⇒ E( x) = E( z) =⇒ xRz
Clases de equivalencia.
Sea n un número entero positivo cualquiera, entonces
[n] = x ∈ Z+ : xRn
luego,
x ∈ [n] ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
es decir,
xRn
√
√
E ( x) = E ( n)
√
√
√
E ( n) 6 x < E ( n) + 1
√ 2
√
2
(E ( n)) 6 x < (E ( n) + 1)
n
2 o
√ √ 2
n
6x< E
n +1
[n] = x ∈ Z+ : E
Por ejemplo,
n
√ 2
√ 2 o
[1] =
x ∈ Z+ : E
1
1 +1
6x< E
= {x ∈ Z+ : 1 6 x < 4} = {1, 2, 3}
n
√ √ 2
2 o
4
6x< E
4 +1
= {x ∈ Z+ : 4 6 x < 9} = {4, 5, 6, 7, 8}
[4] =
x ∈ Z+ : E
y ası́, sucesivamente.
Conjunto cociente.
Observemos lo siguiente:
√
√
√
E( 1) = 1,
E( 2) = 1, E( 3) = 1,
√
√
√
E( 4) = 2,
E( 5) = 2, E( 6) = 2,
√
√
E( 9) = 3, E( 10) = 3,
...
√
√
E( 16) = 4, E( 17) = 4,
...
√
E( 25) = 4,
...
...
√
E( 7) = 2,
√
E( 8) = 2
...
...
√
E( 15) = 3
...
...
...
√
E( 24) = 4
...
...
...
...
y ası́ sucesivamente, de aquı́ que el conjunto cociente sea
Z+ /R
= {[1] , [4] , [9] , [16] , [25] . . . . . .}
2 =
n : n ∈ Z+
√ 2
√ 2 n2
6x< E
n2 + 1
=
x ∈ Z+ : E
=
x ∈ Z+ : n2 6 x < (n + 1)2 n ∈ Z+
= {{1, 2, 3} , {4, 5, 6, 7, 8} {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} , {16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24} , . . .}
218
Matemática Discreta
Ejemplo 8.14
Francisco José González Gutiérrez
Dado A = R2 , sea R la siguiente relación en A,
(x1 , y1 )R(x2 , y2 ) ⇐⇒ x1 = x2
(a) Verificar que es una relación de equivalencia.
(b) Describir geométricamente las clases de equivalencia y el conjunto cociente que la relación R determina en el conjunto A.
Solución
(a) Veamos que es una relación de equivalencia.
Reflexiva. Para todo (x, y) ∈ R2 , se verifica que x = x luego (x, y)R(x, y).
Simétrica. Dados dos puntos cualesquiera de R2 , se verifica que:
(x1 , y1 )R(x2 , y2 ) ⇐⇒ x1 = x2 =⇒ x2 = x1 ⇐⇒ (x2 , y2 )R(x1 , y1 )
Transitiva. Para cada terna de puntos de R2 , se verifica:
)
(x1 , y1 )R(x2 , y2 ) ⇐⇒ x1 = x2
=⇒ x1 = x3 ⇐⇒ (x1 , y1 )R(x3 , y3 )
(x2 , y2 )R(x3 , y3 ) ⇐⇒ x2 = x3
(b) Estudiemos las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
Si (a, b) es cualquier punto de R2 , entonces
[(a, b)] = (x, y) ∈ R2 : (x, y)R(a, b)
luego,
(x, y) ∈ [(a, b)] ⇐⇒ (x, y)R(a, b) ⇐⇒ x = a
de aquı́ que
[(a, b)] = (x, y) ∈ R2 : x = a
es decir, la clase de equivalencia de un punto (a, b) es el conjunto formado por todos los puntos del
plano cuya primera componente es igual a a, o lo que es igual la recta paralela al eje de ordenadas
x = a.
El conjunto cociente será
R2 /R = {x = a : a ∈ R}
es decir el plano queda partido en rectas paralelas al eje de ordenadas.
Ejemplo 8.15
En R se considera la siguiente relación:

x = y

ó
xRy ⇐⇒

x+y = 3
(a) Probar que R es una relación de equivalencia.
(b) Calcular la clase de equivalencia de 113.
(c) Calcular la clase de equivalencia de un elemento x.
Solución
219
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
(a) Veamos si es de equivalencia.
Reflexiva. Dado cualquier número real x, se verifica que x = x, luego xRx.
Simétrica. Dados dos números reales cualesquiera, x e y, se tiene




 x=y

 y=x

∨
∨
xRy ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒ yRx




x+y =3
y+x=3
Transitiva. Si x, y, z son tres números reales arbitrarios. Entonces,
(xRy) ∧ (yRz)
=⇒
[(x = y) ∨ (x + y = 3)] ∧ [(y = z) ∨ (y + z = 3)]
=⇒
[((x = y) ∨ (x + y = 3)) ∧ (y = z)] ∨
[((x = y) ∨ (x + y = 3)) ∧ (y + z = 3)]
=⇒
[((x = y) ∧ (y = z)) ∨ ((x + y = 3) ∧ (y = z))] ∨
[((x = y) ∧ (y + z = 3)) ∨ ((x + y = 3) ∧ (y + z = 3))]
⇐⇒
[(x = z) ∨ (x + z = 3)] ∨ [(x + z = 3) ∨ (x = z)]
=⇒
(x = z) ∨ (x + z = 3)
⇐⇒
xRz
(b) En general,
[a] = {x ∈ R : xRa}
luego,

 x=a
∨
x ∈ [a] ⇐⇒ xRa ⇐⇒

x + a = 3 =⇒ x = 3 − a
es decir,
[a] = {x ∈ R : x = a ∨ x + a = 3} = {a, 3 − a}
de aquı́ que
[113] = {−110, 113}
(c) Del apartado anterior
[x] = {x, 3 − x}
Ejemplo 8.16 En el conjunto A = {1, 2, 3, . . . . . . , q}, siendo q un número entero positivo, se define la
siguiente relación:
aRb ⇐⇒ m.c.d.(a, p) = m.c.d.(b, p)
Para cada a, b de A y p ∈ Z+ .
(a) Probar que R es una relación de equivalencia.
(b) Calcular el conjunto cociente que la relación R determina sobre A para q = 7 y p = 18.
Solución
(a) Dado que la relación R viene caracterizada por una igualdad, será reflexiva, simétrica y transitiva,
por tanto, es de equivalencia.
220
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
(b) Calculamos el conjunto cociente cuando
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
y
aRb ⇐⇒ m.c.d.(a, 18) = m.c.d(b, 18).
Por definición,
A/R = {[a] : a ∈ A}
y
[a] = {x ∈ A : xRa}
luego,
x ∈ [a] ⇐⇒ xRa ⇐⇒ m.c.d.(x, 18) = m.c.d.(a, 18)
de aquı́ que
[a] = {x ∈ A : m.c.d.(x, 18) = m.c.d.(a, 18)} .
Entonces,
[1] =
{x ∈ A : m.c.d.(x, 18) = m.c.d.(1, 18)} = {x ∈ A : m.c.d.(x, 18) = 1} = {1, 5, 7}
[2] =
{x ∈ A : m.c.d.(x, 18) = m.c.d.(2, 18)} = {x ∈ A : m.c.d.(x, 18) = 2} = {2, 4}
[3] =
{x ∈ A : m.c.d.(x, 18) = m.c.d.(3, 18)} = {x ∈ A : m.c.d.(x, 18) = 3} = {3}
[4] =
[2]
[5] =
[1]
[6] =
{x ∈ A : m.c.d.(x, 18) = m.c.d.(6, 18)} = {x ∈ A : m.c.d.(x, 18) = 1} = {6}
[7] =
[1]
Por tanto,
A/R = {[1] , [2] , [3] , [6]} = {{1, 5, 7} , {2, 4} , {3} , {6}}
Ejemplo 8.17
En R \ {0}, se define la relación:
aRb ⇐⇒ a +
1
1
=b+
a
b
¿De qué tipo de relación se trata?
Solución
Dado que la relación viene caracterizada a través de una igualdad, será reflexiva, simétrica y transitiva,
luego es de equivalencia.
Clases de equivalencia. Sea a cualquiera de R \ {0}, entonces
[a] = {x ∈ R \ {0} : xRa}
221
Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
luego,
x ∈ [a] ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
xRa
1
1
=a+
x
a
1
1
x−a+ − =0
x a
x−a
x−a−
=0
ax
1
(x − a) 1 −
=0
ax

x=a




∨



 1− 1 =0
ax

x
=
a




∨



 x= 1
a
x+
Consecuentemente,
[a] =
1
,a
a
Conjunto cociente.
(R \ {0}) /R = {[a] : a ∈ R \ {0}}
Obsérvese que ∀a ∈ R, se verifica que
[a] =
1
1
y = [−1, 0) ∪ (0, 1]
a
a
luego en este intervalo hay un representante de cada clase, de aquı́ que
(R \ {0}) /R = {[a] : a ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]}
Ejemplo 8.18
En el conjunto A = {12, 52, 16, 17, 26, 29, 47, 35, 53} se define la relación:
aRb ⇐⇒ la suma de las cifras de a es igual a la suma de las cifras de b
siendo a y b elementos arbitrarios de A. Estudiar la relación.
Solución
Dado que la relación está definida por una igualdad, será reflexiva, simétrica y transitiva, por tanto es
de equivalencia.
Veamos el conjunto cociente.
A/R = {[a] : a ∈ R}
222
Matemática Discreta
Francisco José González Gutiérrez
Los resultados que dan la suma de las diferentes cifras de los números de A, son:
1+2=3
5+2=7
1+6=7
1+7=8
2+6=8
2 + 9 = 11
4 + 7 = 11
3+5=8
5+3=8
habrá, por tanto, cuatro clases de equivalencia:
[12]
[52] = [16]
[17] = [26] = [35] = [53]
[29] = [47]
y el conjunto cociente será:
A/R
= {[12] , [52] , [17] , [29]}
= {{12} , {16, 52} , {17, 26, 35, 53} , {29, 47}}
223