El ÁTOMO de HIDRÓGENO

El ÁTOMO de
HIDRÓGENO
Dr. Andres Ozols
Dra. María Rebollo
FIUBA
2006
Dr. A. Ozols
1
ESPECTROS DE HIDROGENO
espectros de
emisión
espectro de
absorción
Dr. A. Ozols
2
ESPECTROS DE HIDROGENO
Secuencias de las líneas
2
1
n
=B 2
n −4
λ
Regiones de visible y ultravioleta del espectro de emisión
J. Balmer
Dr. A. Ozols
3
Modelo atómico de Rutherford
Ernest Rutherford (1871-1937) estudia los
rayos α (alfa) partículas con carga posita
rayos β (beta) chorros de electrones
rayos γ (gama) rayos γ ondas electromagnéticas
protón
partículas con
carga positiva
en el núcleo
Modelo planetario
Dr. A. Ozols
4
MODELO ATOMICO de BOHR
Idea de cuantificación
La absorción o emisión de radiación por la materia ≡
intercambios de energía en forma discontinua, por «saltos» o
por cuantos.
Modelo atómico de Bohr
(1911)
El átomo de hidrógeno protón
+ electrón en órbita circular
Dr. A. Ozols
5
POSTULADOS de BOHR
1º Las órbitas de los electrones en torno al núcleo son
estacionarias, es decir, el electrón gira en ellas sin emitir
ni absorber energía.
2º La emisión o la absorción de radiación por un átomo va
acompañada de saltos electrónicos de una órbita a otra
de diferente energía. La radiación emitida o absorbida
tiene una frecuencia ν tal que verifica la ecuación
E2 – E1 = hν
donde E2 y E1 son las energías de las órbitas entre las cuales
se produce la transición, siendo h la constante de Planck.
Dr. A. Ozols
6
POSTULADOS de BOHR
3. Las leyes de la mecánica clásica permiten explicar el
carácter circular de las órbitas electrónicas, pero no las
transiciones de una órbita a otra.
4. No todas las órbitas circulares están permitidas para un
electrón. Sólo aquellas que satisfacen la condición:
L = n=
n = 1,2….
Dr. A. Ozols
7
MODELO ATÓMICO de Schrödinger
"Ecuación de Onda“
Función de onda (ψ)
ψ2 es una medida de la probabilidad de
encontrar al electrón en el espacio
densidad de probabilidad
Orbital ≡ El volumen del espacio donde puede encontrar al electrón
con mayor probabilidad
Dr. A. Ozols
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ÁTOMO DE HIDRÓGENO (ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER)
p2
EC =
2m
•Energía cinética del electrón
•Energía Potencial (atracción electrostática del protón)
1
k=
4πε 0
masa reducida
Z=1
Zke2
V (r ) = −
r
me M n
µ=
me + M n
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el electrón
2
2
2
2

=2
=
∂
∂
∂
ϕ
ϕ
ϕ
2
−
∇ x , y , zϕ ) + V ϕ = −
(
 2 + 2 + 2
2µ
2 µ  ∂x
∂y
∂z
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
 + V ϕ = Eϕ

9
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
en coordenadas esféricas
Z
x = r sen θ cos φ
y = r sen θ sen φ
z = r cosθ
r
θ
φ
∇ 2x , y , z
X
z= r cosθ
rs
en
θ
Y
X= r senθ cosφ
y= r senθ senφ
∇
2
r ,θ ,φ
(4)
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10
Ecuación de Schrödinger con un Potencial Central
V(r) tiene simetría esférica -potencial central
= 2 1 ∂  2 ∂ϕ 
=2
−
r
−
2
2 µ r ∂ r  ∂r  2 µ r 2
r = (x + y + z
2
2
2
)
1
2
 1 ∂ 
∂ϕ 
1 ∂ 2ϕ 
+ V ( r )ϕ = Eϕ
 sen θ
+

2
2 
∂θ  sen θ ∂φ 
 sen θ ∂θ 
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11
SEPARACIÓN de VARIABLES
= 2 1 ∂  2 ∂ϕ  = 2
−
r
−
2
2µ r ∂r  ∂r  2µ r 2
 1 ∂ 
1 ∂ 2ϕ 
∂ϕ 
 sen θ ∂θ  sen θ ∂θ  + sen 2 θ ∂φ 2  + V ( r )ϕ = Eϕ




separación de variables
ϕ (r ,θ , φ ) = R (r )Θ(θ )Φ (φ )
reemplazando y dividiendo toda la ecuaciónϕpor
( r ,θ , φ )
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separación de variables
= 2 1  1 ∂  2 ∂R  1 1 ∂ 
1
∂Θ 
∂ 2Φ 
+ V (r ) − E = 0
−
r
+
 sen θ
+
2 
2
2 
2 µ r  R ∂r  ∂r  Θ sen θ ∂θ 
∂θ  Φ sen θ ∂φ 
multiplicando por:
agrupando:
2µ r 2
− 2 sen 2 θ
=
1- términos dependientes de r y θ en el primer miembro
2- términos dependientes de φ en segundo miembro
2
2
2
1
R
2
r
sen
sen
1
µ
θ
θ
∂
∂
∂
∂Θ
∂
Φ




sen 2 θ  r 2
E
V
(
r
)
sen
+
−
+
θ
=
−
[
]



2
∂r  ∂r 
Θ ∂θ 
∂θ 
Φ ∂φ 2
=
R
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13
separación de variables
∂Θ (θ ) 
1
sen θ ∂ 
1 ∂ 2Φ
∂  2 ∂R ( r )  2 µ r 2 sen 2 θ
2
sen θ
= m2
[ E − V ( r )] +
r
+
 sen θ
=−
2
2
=
∂r 
∂r 
Θ ∂θ 
∂θ 
Φ ∂φ
R (r )
Para la función Φ:
Φ=e
∂ 2 Φ (φ )
2
+
m
Φ=0
2
∂φ
± imφ
para cada valor de φ, debe haber un solo valor de Φ
e
Φ (φ ) = Φ (φ + 2π )
e ± im 2π = 1
± imφ
=e
± im (φ + 2π )
m = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ........
Número cuántico magnético
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14
separación de variables
∂  2 ∂R  2µ r 2 sen 2 θ
∂Θ 
1
senθ ∂ 
1 ∂2Φ
2
2
θ
sen θ  r
+
E
−
V
(
r
)
+
sen
=
−
=
m
[
]



R
∂r  ∂r 
=2
Θ ∂θ 
∂θ 
Φ ∂φ 2
∂  2 ∂R  2 µ r 2 sen 2 θ
∂Θ 
1
sen θ ∂ 
2
2
+
E
−
V
r
+
θ
−
m
=0
sen θ  r
(
)
sen
[
]



2
R
∂r  ∂r 
=
Θ ∂θ 
∂θ 
Dr. A. Ozols
15
separación de variables
1 ∂  2 ∂R  2 µ r 2
1
m2
∂ 
∂Θ 
=0
r
 + 2 [ E − V (r )] +
 sen θ
−
2
R ∂r  ∂r 
=
Θ sen θ ∂θ 
∂θ  sen θ
−β
β
Ecuación de Legendre
2
1
∂ 
∂ Θ (θ )  m Θ (θ
 sen θ
−
sen θ ∂θ 
sen 2 θ
∂θ 
Dr. A. Ozols
)+
β Θ (θ
)=
0
16
ECUACIÓN de LEGENDRE
2
m
Θ (θ )
1 ∂ 
∂Θ(θ ) 
+ βΘ (θ ) = 0
 sen θ
−
2
sen θ ∂θ 
∂θ  sen θ
Las soluciones: funciones de Legendre
soluciones finitas ⇔
β = l (l + 1)
Pl m (cos θ )
l = 0, 1, 2, 3, ....
Polinomios de Legendre
m
d
Pl (θ ) = sen θ
Pl (cos θ )
m
d (cos θ )
m
m
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17
ECUACIÓN de LEGENDRE
l≥ m
Por lo tanto:
Número cuántico orbital
P0 (cos θ ) = 1
1 d (cos θ − 1)
Pl (cos θ ) = l
2 l ! d (cos θ ) l
l
2
l
P1(cos θ ) = cosθ
P2 (cos θ ) =
1
(3 cos2 θ − 1)
2
Con la cte. de normalización :
Θ lm (θ ) =
(2l + 1)(l − m )! m
Pl (θ )
2(l + m )!
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FUNCIÓN DE ONDA ANGULAR = ARMÓNICOS ESFÉRICOS
Yl
m
−1)
(
(θ , φ ) =
m
2π
Θlm (θ )Φ m (φ )
2π π
Ylm (θ ,φ )
función ortonormal ⇔
∫∫
'
Ylm (θ ,φ )* Ylm
' (θ ,φ ) senθdθdφ = δ ll 'δ mm'
0 0
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FUNCIÓN DE ONDA RADIAL
1 ∂  2 ∂R  2 µ r 2
[ E − V (r )] − β = 0
r
+
2
R ∂r  ∂ r 
=
β = l (l + 1)
ke 2
V (r ) = −
r
Ecuación de Laguerre
1 d  2 ∂R ( r )  2 µ r 2
r
+
2
r dr 
∂r 
=2

ke 2 
l (l + 1) R ( r )
=0
 E + r  R (r ) −
2
r


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20
ECUACIÓN DE LAGUERRE
Las soluciones polinomios de Laguerre asociadas con un conjunto
discreto de valores de energía.
E0
En = − 2
n
rn = a0 n 2
Rnl ( r ) = Anl e
−
r
na 0
l
 2r 
2r
)

 L nl (
na 0
 na 0 
l ≤ n-1
a0 (radio de Bohr)
n número cuántico principal
rn y la En coinciden con las obtenidas en el átomo de Bohr
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21
SOLUCIÓN GENERAL del ÁTOMO de HIDRÓGENO
ϕ nlm ( r , θ , φ ) = N nlm Rnl ( r ) Θ lm (θ ) Φ m (φ )
n, l y m
l ≤ n-1
números cuánticos.
m ≤ l
n = 1, 2,3,.....
l = 0, 1, 2,.........n −1 (orbitales = s, p, d , f , g, etc) n valores
m = 0, ±1, ± 2,........ ± l (2l +1) valores
La solución completa
Ψ nml = ϕ nlm ( r , θ , φ ) e
Dr. A. Ozols
−
iE n
t
=
22
REGLAS de SELECCIÓN
transiciones dipolares
eléctricas
∆ m = 0; ± 1
∆l = ±1
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23
PROBABILIDAD RADIAL
P(r)dr: probabilidad de encontrar al electrón entre r y r +dr
El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es:
dV = r 2 sen θ dθ d φ
π 2π
P(r )dr = dr ∫ ∫ ϕ *ϕ r 2 sen θ dθ dφ =
dr
r
0 0
π 2π
= dr ∫ ∫ Rnl (r )*Yl m * Rnl (r )Yl m r 2 sen θ dθ dφ =
0 0
π 2π
2
= dr Rnl (r ) r 2 ∫ ∫ Yl m *Yl m sen θ dθ dφ
P ( r ) = Rnl ( r ) r
Dr. A. Ozols
24
2
0 0
2
FUNCIONES RADIALES
R(r)
DENSIDAD DE PROBABILIDAD RADIAL
2
P ( r ) = Rnl ( r ) r 2
Dr. A. Ozols
25
Orbitales atómicos
orbital s
(n = 1, l=0, m=0)
Dr. A. Ozols
26
Orbitales atómicos
orbital p
(n = 2, l=1, m=0)
Dr. A. Ozols
27
Orbitales atómicos
orbital d
(n = 3, l=2, m=0)
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28
MOMENTO ANGULAR
G G G
L=r×p
G
G
ˆ
L = r × (−i=∇ ) = −i= x
j
k
y
z
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
i
G
G
p → pˆ = − i = ∇
∂
∂ 
=
Lˆx =  − sen φ
− cot θ cos φ
i
∂θ
∂φ 
=
∂
∂ 
Lˆ y =  − cos φ
− cot θ sen φ
i
∂θ
∂φ 
= ∂
Lˆz =
i ∂φ
2


∂
∂
∂
1
1


ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
L = L + L + L = −= 
 sen θ
+
2
2 
∂
∂
∂
sen
sen
θ
θ
θ
θ
φ




2
2
x
2
y
2
z
2
Dr. A. Ozols
29
MOMENTO ANGULAR
Lˆ2ϕ nml = = 2l (l + 1)ϕ nml
L2 ; L
L=
L2 = = l (l + 1)
constantes de movimiento
Lˆ zϕ mnl = m = ϕ mnl
Lz = m=
Imposible determinar con precisión
la dirección del impulso angular
L== 6
l=2
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30
SPIN DEL ELECTRÓN
1. Stern-Gerlach observan desdoblamiento de las líneas espectrales
2. Pauli debe existir un 4º. número cuántico.
3. Goudsmit y Uhlenbeck, número cuántico ms asociado spin
.(momento angular intrínseco del electrón)
s : número cuántico de la cantidad de movimiento total del spin
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31
SPIN DEL ELECTRÓN
1
1
⇒ ms = ±
2s + 1 = 2 ⇒ s =
2
2
habrá 2s+1 valores de ms, como sólo se observan 2
z
Sz
S
3
=
S = s ( s + 1)= =
4
1
S z = ms = = ± =
2
Dr. A. Ozols
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NÚMEROS CUÁNTICOS Y TABLA PERIÓDICA
n: número cuántico principal:
1, 2, 3, ….
l: número cuántico orbital:
0, 1, 2 ….(n-1)
m: número cuántico magnético o azimutal: 0, ±1, ±2, …. ±l
ms: número cuántico de spin:
±1
PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI: dos electrones no pueden ocupar
el mismo estado cuántico
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33
CONFIGURACIONES ELECTRONICAS (4 números cuánticos)
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34
TABLA PERIÓDICA de los ELEMENTOS
siete periodos
nueve grupos
Dr. A. Ozols
35