1.7. Tipos de estado de esfuerzos

1.7 Tipos de estado de esfuerzos
1.7.
1.7.1.
Tipos de estado de esfuerzos
Estado de esfuerzo nulo
Este estado de esfuerzo corresponde a un punto en un sólido en el que no existe acción de cargas,
por lo que las invariantes de esfuerzo son nulas:
1 = 2 = 3 = 0 ⇒  1 =  2 =  3 = 0
⎡
0 0 0
⎤
⎥
⎢
⎥
σ=⎢
⎣ 0 0 0 ⎦
0 0 0
Graficando los esfuerzos principales en los ejes del sistema mostrado en la Fig. 1.22, llamado
elipsoide de Lamé, la cual se degenera a un punto.
Figura 1.22: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos.
1.7.2.
Estado uniaxial de esfuerzo
Este estado de esfuerzo corresponde a un punto en un sólido en el que sólo se presenta la acción
de cargas en una dirección, por lo que sus invariantes son:
1 6= 0, 2 = 3 = 0
La ecuación característica dada en la ec. (1.24) queda como:
 3 − 1  2 = 0 ⇒  2 ( − 1 ) = 0 ⇒ ( − 0) ( − 0) ( − 1 ) = 0
Por consiguiente, los esfuerzos principales son:
 1 = 1 ;  2 =  3 = 0
c
°Gelacio
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33
1.7 Tipos de estado de esfuerzos
⎡
1 0 0
⎢
σ=⎢
⎣ 0
0
⎤
⎥
0 0 ⎥
⎦
0 0
Graficando los esfuerzos principales mostrados en la Fig. 1.23, la elipsoide de Lamé se degenera
a una línea.
Figura 1.23: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos.
1.7.3.
Estado de esfuerzo plano
En este estado de esfuerzos sólo se presenta la acción de esfuerzos en el plano de un medio continuo, pues en la dirección perpendicular a éste los esfuerzos son nulos, por lo que sus invariantes
son:
1 6= 0, 2 6= 0, 3 = 0
La ecuación característica de la ec. (1.24) queda como:
¡
¢
 3 − 1  2 + 2  = 0 ⇒   2 − 1  + 2 = 0
Por consiguiente los esfuerzos principales son:
( − 0) ( −  1 ) ( −  2 ) = 0
Solo existen dos esfuerzos principales diferentes de ceros.
⎡
1
⎢
σ=⎢
⎣ 0
0
0
0
⎤
⎥
2 0 ⎥
⎦
0 0
Los esfuerzos principales mostrado en la Fig. 1.24, se encuentra en el plano 1y 2.
c
°Gelacio
Juárez, UAM
34
1.7 Tipos de estado de esfuerzos
Figura 1.24: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos.
1.7.4.
Estado de cortante puro
Es un estado plano de esfuerzos plano los esfuerzos principales son iguales en magnitud pero de
signo opuesto, las invariantes de esfuerzo son:
1 = 0, 2 = − 21 , 3 = 0
La ecuación característica de la ec. (1.24) queda como:
 2 + 2 = 0
Por consiguiente los esfuerzos principales son:
( −  1 ) ( +  2 ) = 0
Por ejemplo considere el siguiente estado de esfuerzos:
⎡
0
⎢
σ=⎢
⎣  
0
  0
0
0
En el que los invariantes y esfuerzos principales son:
⎤
⎥
0 ⎥
⎦
0
1 = 0, 2 = − 2 , 3 = 0
 1 = +  ,  2 = −  ,  3 = 0
En la representación de esfuerzos principales, mostrado en la Fig. 1.25, se degeneran la elipsoide
de Lamé en un círculo
c
°Gelacio
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35
1.7 Tipos de estado de esfuerzos
Figura 1.25: a) Elipsoide de Lamé degenerada a círculo y b) estado de esfuerzos.
1.7.5.
Estado de esfuerzo hidroestático
En este estado, los esfuerzos principales son iguales en magnitud:
1 = 2 = 3
Por lo que el tensor de esfuerzos se puede expresar de la forma:
⎡
1 0 0
⎤
⎥
⎢
⎥
σ = 1 ⎢
⎣ 0 1 0 ⎦ = 1 1
0 0 1
1 = 0, 2 = − 2 , 3 = 0
En la representación de esfuerzos principales, mostrado en la Fig. 1.26, se degeneran la elipsoide
de Lamé a una esfera
Figura 1.26: a) Elipsoide de Lamé degenerada a círculo y b) estado de esfuerzos.
c
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36
1.8 Esfuerzo Plano
1.7.6.
Estado general de esfuerzos
En este estado, existen esfuerzos en todas las direcciones del sistema de referencia, las invariantes
de esfuerzo son:
1 6= 0, 2 6= 0, 3 6= 0
Por consiguiente los esfuerzos principales son:
1 = 2 = 3
⎤
⎡

0 0
⎥
⎢ 1
⎢
σ = ⎣ 0 2 0 ⎥
⎦
0 0 3
Este estado de esfuerzos principales se representa en la Fig. 1.27 como una elipsoide tridimensional.
Figura 1.27: a) Elipsoide de Lamé y b) estado general de esfuerzos.
1.8.
Esfuerzo Plano
1.8.1.
Estado de esfuerzos sobre un plano
Un plano con normal unitaria n que forma un ángulo  con el eje  , se define un vector unitario
m en la dirección tangencial al plano y en el sentido indicado en la Fig. 1.28.
Los vectores n y m están dados por:
n=
"
cos 
sin 
#
ym=
"
sin 
− cos 
#
Sea σ el tensor de esfuerzos en el punto con componentes en la base cartesiana:
c
°Gelacio
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37
1.8 Esfuerzo Plano
Figura 1.28: Estado de esfuerzo sobre un plano.
σ=
"

 
 

#
(1.49)
Utilizando la ec. (1.9), el vector de tracción en el punto sobre el plano considerado es:
t=σ·n=
"

 
 

#"
cos 
sin 
#
=
"
 cos  +   sin 
  cos  +   sin 
#
(1.50)
Se definen el esfuerzo normal σ  y el esfuerzo tangencial τ  , sobre el plano inclinado  (Fig.
1.28) como:
σ  = t · n = [  cos  +   sin ;   cos  +   sin ]
"
cos 
sin 
#
(1.51)
σ  =   cos2  + 2  sin  cos  +   sin2 
  = t · m = [  cos  +   sin ;   cos  +   sin ]
"
sin 
− cos 
  =   sin  cos  +   sin2  −   cos2  −   sin  cos 
¤
£
  = [  −   ] sin  cos  +   sin2  − cos2 
#
(1.52)
Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas:
sin(2) = 2 sin  cos 
1 + cos(2)
cos2  =
2
1
−
cos(2)
sin2  =
2
c
°Gelacio
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(1.53)
38
1.8 Esfuerzo Plano
las ecs. (1.51) y (1.52) se pueden reescribir como:
1.8.2.
 − 
 + 
+
cos(2) +   sin (2)
2
2
 − 
sin(2) +   cos (2)
= −
2
 =
(1.54)

(1.55)
Rotación del estado de esfuerzos
Sea un estado de esfuerzos plano de la ec. (1.49), definido en un sistema de referencia  e , sus
componentes en un sistema coordenado 0 e 0 se obtienen mediante la siguiente relación.

σ 0 = r ·σ · r
(1.56)
donde r se define como:
r=
1.8.3.
"
cos  − sin 
sin 
cos 
#
(1.57)
Ejemplo
Sea el siguiente estado de esfuerzo en el sistema coordenado  e  :
σ=
"
1000
−100
−100 −800
#
(1.58)
a) Determine el esfuerzo normal   y cortante   en un plano con normal  = 30◦ y  = 120◦ en
dirección antihoraria. Utilice las ecs. (1.54) y (1.55).
b) Determine el estado de esfuerzos en un sistema coordenado 0 e  0 rotado un ángulo  = 30◦
en dirección antihoraria.
Solución
a) Para  = 30 ◦ los esfuerzos son:
1000 − 800 1000 + 800
+
cos(60 ◦ ) − 100 sin (60 ◦ ) = 463 40
2
2
1000 + 800
sin(60 ◦ ) − 100 cos (60 ◦ ) = −829 42
= −
2
 =
(1.59)

(1.60)
Para  = 120 ◦ los esfuerzos son:
1000 − 800 1000 + 800
+
cos(240 ◦ ) − 100 sin (240 ◦ ) = −263 40
2
2
1000 + 800
sin(240 ◦ ) − 100 cos (240 ◦ ) = 829 42
= −
2
 =
(1.61)

(1.62)
c
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39
1.8 Esfuerzo Plano
b) El estado de esfuerzos en un sistema coordenado 0 e  0 rotado un ángulo  = 30 ◦ es:
σ
0
σ0
1.8.4.
=r

=
"
·σ · r =
"
cos (30 ◦ )
sin (30 ◦ )
− sin (30 ◦ ) cos (30 ◦ )
#
463 40 −829 42
#"
1000
−100
−100 −800
#"
cos (30 ◦ ) − sin (30 ◦ )
sin (30 ◦ )
cos (30 ◦ )
#
−829 42 −263 40
Tarea
Sea el siguiente estado de esfuerzo en el sistema coordenado  e  :
σ=
"
−400 −200
−200
100
#
(1.63)
a) Determine el esfuerzo normal   y cortante   en un plano con normal  = 240◦ y  = 330◦
en dirección antihoraria. Utilice las ecs. (1.54) y (1.55). Grafique los esfuerzos.
b) Determine el estado de esfuerzos en un sistema coordenado 0 e  0 rotado un ángulo  = 60◦
en dirección antihoraria. Grafique el estado de esfuerzos.
1.8.5.
Diagonalización del tensor de esfuerzos
El problema de diagonalización del tensor de esfuerzos consiste en, conocidas las componentes
del tensor en un cierto sistema de ejes  −  , obtener las direcciones y esfuerzos principales (Fig.
1.29).
Figura 1.29: Problema de diagonalización.
Las direcciones principales, asociadas a los ejes 0 e  0 , definidas por los ángulos  y 2 + 
(Fig. fm16), determinan las inclinaciones de los dos planos sobre los cuales los esfuerzos sólo
tienen componente normal   , mientras que la componente tangencial   = 0. Aplicando esta
condición en la ec. (1.55) se obtiene:
c
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40
1.8 Esfuerzo Plano
−
 − 
sin(2) +   cos (2) = 0
2
tan (2) =
(1.64)
2 
 − 
(1.65)
Sean las siguientes identidades trigonométricas:
sin(2) = ± q
1+
1
(1.66)
1
tan2 (2)
1
cos(2) = ± p
1 + tan2 (2)
(1.67)
sustituyendo la ec. (1.65) en las ecs. (1.66) y (1.67):
sin(2) = ± r³
 
´2
  − 
2
  − 
2
± r³
´
  −  2
2
cos(2) =
(1.68)
+  2
(1.69)
+  2
Las ecs. (1.68) y (1.69) proporcionan dos soluciones (asociadas a los signos + y −) 1 y
2 = 1 + 2 , que definen las dos direcciones principales ortogonales en el plano de análisis.
Los correspondientes esfuerzos principales se obtienen substituyendo el ángulo  =  en la ec.
(1.54)
σ =
 − 
 + 
+
cos(2) +   sin (2)
2
2
(1.70)
y sustituyendo las ec. (1.68) y (1.68) en la (1.70).
σ12 =
³
 −
2
 + 
± r³
´
2
  −  2
2
=
´2
³
  − 
2
´2
+  2
+  2
 + 
± r³
´
2
  −  2
+  2
2
± r³
 2
´2
  − 
2
+  2
(1.71)
Obteniéndose los esfuerzos principales:
c
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41
1.8 Esfuerzo Plano
σ12
c
°Gelacio
Juárez, UAM
 + 
±
=
2
sµ
 − 
2
¶2
+  2
(1.72)
42