clase21 - WordPress.com

Clase 21
Transporte y la ecuación de
Boltzmann
21.1.
Conservación de la masa
21.1.1.
Ecuación de continuidad
Si un sistema mecánico está fuera de equilibrio necesariamente habrá flujo de masa.
Por ejemplo, considere un fluido que fluye y en el cual hay transporte de masa. Necesitamos
conocer la función distribución de la velocidad, denotada con v = v(x, y, z, t) y dos cantidades
termodinámicas, por ejemplo, la presión p = p(x, t, z, t) y la densidad de masa ρ = ρ(x, y, z, t).
Consideremos un volumen V0 del fluido, rodeado por una superficie S que está fija en el
espacio. La masa total de este elemento de volumen es,
Z
m=
ρdV,
(21.1)
V0
y la masa fluyendo a través del elemento de superficie dS que encierra este volumen es ρv ·dS,
donde la magnitude de dS es igual al área del elemento y se considera que está dirigido a lo
largo de la normal hacia afuera y es una cantidad es positiva si el fluido sale.
H
La masa total que abandona el elemento Rde volumen por unidad de tiempo es ρv · ds,
∂
ρdV . Por lo tanto,
mientras que el decremento en la masa, − ∂t
∂
−
∂t
Z
I
ρdV =
ρv · dS,
(21.2)
por el teorema de Green, podemos escribir,
I
Z
ρv · ds =
∇ · (ρv)dv
que resulta en,
∂ρ
+ ∇ · (ρv) = 0,
∂t
1
(21.3)
2
CLASE 21. TRANSPORTE Y LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN
la cual es la ecuación de continuidad, donde el flujo de masa se puede denotar con j = ρv.
21.1.2.
La derivada total
La ecuación de continuidad 21.3 contiene la derivada temporal de la densidad del fluido.
Para cualquier cantidad fı́sica f = f (r, t) (densidad, temperatura, componentes de la velocidad, etc.), debemos tener cuidado en distinguir dos derivadas temporales distintas. La
derivada parcial ∂f /∂t indica una razón en el cambio de f en un punto particular fijo en el
espacio. Sin embargo, para definir la razón de cambio de f en un elemento de fluido dado,
mientras éste se mueve a lo largo de una trayectoria r = r(t) en el flujo, debemos usar la
derivada material, definida,
d
Df
= f (x(t), y(t), z(t), t)
Dt
dt
dx ∂f
dy ∂f
dz ∂f
∂f
+
+
+
=
∂t
dt ∂x
dt ∂y
dt ∂z
∂f
∂f
∂f
∂f
=
+ vx
+ vy
+ vz
∂t
∂x
∂y
∂z
∂f
+ v · ∇f.
=
∂t
(21.4)
La ecuación 21.4 dice que aún en un flujo independiente del tiempo ( ∂f
= 0), cualquier
∂t
elemento de volumen puede sufrir cambios en f por medio de v · ∇f , mientras se mueve en
el espacio.
La ecuación de continuidad puede reescribirse, usando la ecuación 21.4 como,
Dρ
+ ρ∇ · v = 0.
Dt
(21.5)
Para un fluido incompresible ρ =constante, independiente del espacio y tiempo,
Dρ
= 0,
Dt
21.2.
∇ · v = 0.
(21.6)
Conservación del momento
Consideremos un volumen V acotado por una superficie S que se mueve con el fluido,
siempre conteniendo a los mismos elementos materiales. Su momento es,
Z
Z
ρvdV =
V
dV ρ
V
Dv
,
Dt
(21.7)
donde hemos considerado que la masa ρdV de cada elemento material es constante. La
ecuación 21.7 debe ser igual a la fuerza neta sobre el elemento.
Hay dos tipos de fuerzas que actúan sobre cualquier fluido,
21.2. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO
3
Fuerzas externas de largo alcance que penetran la materia y actúan uniformemente sobre cualquier elemento de volumen dV del material. Por ejemplo, la fuerza de gravedad
ρgdV .
Fuerzas moleculares de corto alcance, internas al fluido. Para cualquier elemento, la
fuerza neta de estas fuerzas debidas a las interacciones con otros elementos actúa en
una superficie de una capa delgada. En 3D, cada una de estos tres conjuntos de planos
acotando al elemento, experimentan una fuerza de tres componentes, resultando en un
total de 9 componentes. Estas componentes forman el tensor de estrés σ, definido en
términos la fuerza ejercida por unidad de área a lo largo de un elemento de superficie
dS ≡ n̂dS, como,
f = σ · n̂.
(21.8)
La fuerza total (elemento de volumen + superficie),
Z
F=
Z
σ · dS
dV ρg +
ZV
S
dV (ρg + ∇ · σ).
=
(21.9)
V
21.2.1.
Ecuación de Cauchy
Por la segunda ley de Newton, las ecuaciones 21.7 y 21.9 deben igualarse para cualquier
V,
ρ
21.2.2.
Dv
= ρg + ∇ · σ.
Dt
(21.10)
Ecuación de Euler
H
La fuerza total actuando sobre el elemento de fluido es la integral de la presión − pdS,
sobre toda la superficie cerrada que define V0 . Transformando en una integral de volumen,
obtenemos,
I
−
Z
pdS = −
∇pdV,
(21.11)
por lo tanto, el fluido que rodea al elemento de volumen dV ejerce una fuerza −∇p, la fuerza
por unidad de volumen. La ecuación de movimiento de Newton se escribe (en la vecindad del
volumen),
ρ
pero como v = v(r, t), entonces,
dv
= −∇p,
dt
(21.12)
4
CLASE 21. TRANSPORTE Y LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN
∂v
∂v ∂xi
∂v
∂v
∂v
dv
=
+
=
+
vi =
+ (v · ∇)v,
dt
∂t
∂xi ∂t
∂t
∂xi
∂t
(21.13)
1
∂v
+ (v · ∇)v = − ∇p,
∂t
ρ
(21.14)
la cual es la ecuación de Euler.
21.2.3.
Ecuación de Navier-Stokes
Habı́amos dicho que en general, el fluido está sujeto a fuerzas debidas a un campo externo
(fuerzas volúmétricas) más las fuerzas de contacto. Denotemos las fuerzas volumétricas con
f y a las fuerzas de contacto de deformación descritas por medio del tensor de esfuerzos σ,
Fd = ∇ · σ.
(21.15)
Es importante notar que en general el tensor de esfuerzos se puede expresar como la suma
de dos tensores de esfuerzos,
σ = pI + σ 0 ,
(21.16)
donde p es la presión hidrostática total, de compresión y tensión, dado por p = σii /3 y σ 0 es
el tensor de esfuerzos desviatorio, que contiene los esfuerzos de corte.
Finalmente, la ecuación de movimiento es,
Dv
= −∇p + ∇ · σ + f
Dt
(21.17)
la cual es la ecuación de Navier-Stokes.
Para completar hay que escribir p, σ y ρ como funciones de v,
• Para la densidad ρ es suficiente escribir la ecuación de continuidad,
Dρ
∂ρ
= ρ(∇ · v) =
+ ∇ · (ρv) = 0.
Dt
∂t
(21.18)
• El tensor de esfuerzos diagonal (p) se modela usando la ecuación de estado (por ejemplo,
en un fluido incompresible) a volumen constante el campo de velocidad cumple,
∇ · v = 0.
(21.19)
La parte no diagonal en la ecuación 21.16 se modela con el tensor de viscosidad α,
σ 0 = α(∇v),
(21.20)
si el fluido es isotrópico, α es simétrico y puede ser expresada en términos de cantidades escalares positivas η y ξ, conocidas como las viscosidades dinámicas. Regresando a la definición
de tensor de esfuerzos, ecuación 21.16, en forma tensorial,
21.3. TRANSPORTE
5
σij ≡ −pδij + σij0
(21.21)
donde −pδij incluye todas las componentes isotrópicas sobre la diagonal, mientras que σij0
representa todas las componentes no isotrópicas (esfuerzos normales y de corte). Los esfuerzos
dinámicos están relacionados a los gradientes de velocidad de la siguiente manera, en notación
tensorial,
σij0
=η
∂vj
∂vi
+
∂xj ∂xi
+ξ
∂vl
∂xl
δij
(21.22)
con η el coeficiente de viscosidad dinámica y ξ la elasticidad de bulto (segundo coeficiente de
viscosidad). Si el fluido es incompresible,
∇·v =
X ∂vi
= 0,
∂xi
i
(21.23)
y la ecuación 21.22 se reduce a,
σij0
=η
∂vj
∂vi
+
∂xj ∂xi
,
(21.24)
y cuando i 6= j es el tensor de corte o deformación.
Para obtener la ecuación de Navier-Stojes para fluidos Newtonianos incompresibles, sustituimos la ecuación para el tensor de esfuerzos para un fluido Newtoniano,
σij = −pδij + η
∂vi
∂vj
+
∂xj ∂xi
(21.25)
en la ecuación de Euler 21.14 y obtenemos,
Dvi
∂vi
1 ∂p
∂ 2 vi
∂vi
=
+ vj
=−
+η
+
Dt
∂t
∂xj
ρ ∂xi
∂xj ∂xj
∂v
1
Dv
=
+ v · ∇v = − ∇p + η∇2 v +
Dt
∂t
ρ
fi
ρ
f
ρ
forma tensorial
forma vectorial.
(21.26)
Finalmente, la forma más general de la ecuación de Navier-Stokes,


ρ

z }| { 
∂v
+ v · ∇v  =
∂t
|{z}
aceleración
21.3.
viscosidad
convección
−∇p
| {z }
fuerza del fluido
z }| {
+ η∇2 v +
f
|{z}
.
(21.27)
fuerzas externas
Transporte
Cualquier probabilidad de transporte de masa se obtiene en términos de la función distribución de probabilidad f = f (r, v, t), que da el número de partı́culas localizadas entre r y
r + dr, con una velocidad entre v y v + dv, en el tiempo t,
6
CLASE 21. TRANSPORTE Y LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN
Z
ρ(r, t) =
d3 vf (r, v, t).
(21.28)
La velocidad media de una molécula, u, que es el promedio del campo de velocidades,
1
u = hv(r, t)i =
n(r, t)
Z
d3 vf (r, v, t)v,
(21.29)
donde u es la velocidad hidrodinámica. Definimos la velocidad peculiar como,
U = v − u,
con
hU i = 0
(21.30)
que nos dice cómo la velocidad del fluido se desvı́a del promedio en cada punto. El flujo χ,
de cualquier cantidad,
Z
Z
χ
3
fn (r, t) =
d v χ f |n · u| −
d3 v χ f |n · u|
(21.31)
n·u>0
n·u<0
donde n · u es la componente de la velocidad peculiar en la dirección considerada. El primer
término de lado derecho da el flujo que entra y el segundo término el flujo que sale.
fnχ (r, t)
Z
=
d3 v f (n · u)χ.
(21.32)
De la ecuación 21.29, podemos identificar,
fnχ (r, t) = n · F
F = nhuχi
(21.33)
Considerando una molécula, cuya función de distribución,
df
∂f X ∂f ∂xi X ∂f ∂vi
=
+
+
dt
∂t
∂xi ∂t
∂vi ∂t
i
i
(21.34)
que en equilibrio tiene que ser cero, caso especial del teorema de Liouville,
∂f
∂f
∂f
Df
=
+v·
+v
Dt
∂t
∂r
∂v
∂f
F ∂f
=
+ v · ∇f +
·
∂t
m ∂v
(21.35)
de donde podemos identificar el operador de Liouville,
L≡
∂
P
+
· ∇x + F · ∇P
∂t m
(21.36)
con P = mv. De manera general, el operador de Liouville se escribe en forma tensorial,
L̂ = pα
∂
∂
− Γαβγ pβ pγ α ,
α
∂x
∂p
(21.37)
21.3. TRANSPORTE
7
donde Γαβγ son los sı́mbolos de Christoffel. En el equilibrio tenemos L̂[f ] = 0.
Si hay transporte verdadero entonces se tienen que considerar las colisiones. Boltzmann
razonó que el número de partı́culas entre r y r + dr, v y v + dv al tiempo t es en realidad las
que calculamos más las que lleguen ahı́ como resultado de las colisiones. Entonces la ecuación
de Boltzmann es,
(21.38)
L̂[f ] = Ĉ[f ]
donde Ĉ es el operador de colisiones. La ecuación 21.38 no serı́a útil si Boltzmann no hubiera
derivado una expresión para el operador de colisiones basada en las interacciones entre pares.
Si suponemos que la velocidad de las partı́culas no cambia debido a las fuerzas externas
durante el tiempo τ (muy pequeño) entonces τ (v0 ) = τ (v) + τ , Si esto no sucede,
0
f =n
mβ
2π
3/2
1
2
e− 2 βm(v0 −u) ,
(21.39)
la cual es la distribución de Maxwell-Boltzmann. Sea P (t) la probabilidad de que una molécula
no haya experimentado un choque durante el intervalo temporal t = 0 a t, y ω la probabilidad
de que una molécula choque en una única ocasión en el intervalo t + t + dt. Nos interesa la
probabilidad combinada, probabilidad Bayesiana,
P(t)dt = P (t)ωdt
(21.40)
de que la partı́cula no haya chocado y que choque una sóla vez. La probabilidad de chocar
hasta el tiempo t + dt ,
P (t + dt) = P (t)(1 − ωdt),
dP
= −P ω
dt
P = e−ωt
Z
ω=
(21.41)
1
τ
(21.42)
∞
τ = hti =
P(t)t dt
0
Z
∞
e−ωt ωt dt
0
Z
1 ∞ −y
1
=−
e dy = .
ω 0
ω
=
(21.43)
t0
e− τ
P(t)dt =
dt
τ
(21.44)
que es el tiempo de relajación o tiempo promedio entre colisiones. Si no hubieran colisiones,
las moléculas llegarı́an a f 0 . Ahora, fijémonos en un intervalo t − t0 = t0 , tiempo que tardan
las moléculas en llegar al equilibrio,
8
CLASE 21. TRANSPORTE Y LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN
Z
∞
dt0
f (r0 , v0 , t − t ) .
τ
0
0
f (r, v, t) =
0
(21.45)
Para tiempos muy cercanos, tenemos que esperar un tiempo t0 para que lleguen al no
equilibrio. Las moléculas que entraron a la vecindad f − f0 , es el número de moléculas que
si chocaron. Integrando por partes,
∞
Z
t0
f 0 (t0 )e− τ dt0
f (r, v, t) =
0
0
0
− tτ
0
= −f (t )e
∞ Z
+
0
∞
0
df 0 (t) − t0 0
e τ dt .
dt
(21.46)
Reordenando términos,
0
Z
∆f = f − f =
0
∞
df 0 (t) − t0 0
e τ dt .
dt
(21.47)
Entonces el término de colisiones es,
Ĉ[f ] = −
f − f0
τ0
(21.48)
donde τ0 = τ . Sustituyendo en la ecuación 21.38, obtenemos la ecuación de Boltzmann. El
tiempo promedio entre colisiones es justamente el tiempo de relación,
L̂[f ] =
f − f0
τ0
.
(21.49)
Referencias
[1] Fluid Mechanics
L. D. Landau and E. M. Lifshitz
Ed. Butterworth-Heinemann, Second Edition (1987)
[2] An Introduction to Fluid Dynamics
G. K. Batchelor
Ed. Cambridge University Press
9