cuarto de círculo

Momento de inercia de un cuarto de círculo de masa M y radio R respecto a su centro de
gravedad
1
1
El área del cuarto de círculo es A = πR 2 y su masa M = σπR 2 . Consideramos que el
4
4
círculo está contenido en el plano XY.
El momento de inercia respecto al centro de gravedad se calcula por aplicación del teorema de
Steiner, calculando previamente el momento de inercia respecto al punto O. El momento de
inercia respecto a O se puede calcular directamente o calculando previamente los momentos
de inercia respecto a planos y/o ejes
Y
1º Método. El momento de inercia del cuarto de círculo
respecto al eje OX y respecto al eje OY es el mismo, por
simetría. Consideramos un elemento diferencial de masa,
x
situado a una distancia y del eje OX, cuya masa es dm = σxdy .
Tanto x como y se pueden expresar en función del ángulo ϕ, en
el cuarto de circunferencia este ángulo varía entre 0 y π/2.
dy
y
O
X
π
2
I OX = ∫∫ y 2 dm = ∫∫ y 2σxdy = σ ∫∫ ( R 2 sen 2ϕ )( R cos ϕ ) R cos ϕdϕ = σR 4 ∫ sen 2ϕ cos 2 ϕdϕ
A
A
A
0
Como sen 2ϕ = 2 sen ϕ cos ϕ , se tiene que sen 2 ϕ cos 2 ϕ = (sen ϕ cos ϕ ) =
2
1
sen 2 2ϕ
4
La integral
1
1 1 − cos 4ϕ
1
1⎡
1
⎤
sen 2 2ϕ dϕ = ∫
dϕ = ∫ (1 − cos 4ϕ )dϕ = ⎢ϕ − sen 4ϕ ⎥
∫
4
4
2
8
8⎣
4
⎦
El momento de inercia respecto al eje OX es
∫ sen
2
ϕ cos 2 ϕ dϕ =
π
π
4
2
2
1⎡
1
MR 2
⎤ 2 σR π ⎛ σπR ⎞ R
⎜
⎟
I OX = σR ∫ sen ϕ cos ϕdϕ = σR ⎢ϕ − sen 4ϕ ⎥ =
=
=
8⎣
4
8 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4
4
⎦0
0
El momento de inercia respecto a O es
Y
MR 2
I O = I OX + I OY =
2
2
4
2
2
4
2º Método. Momento de inercia respecto a O; se considera un
elemento diferencial de superficie, tira de espesor dr cuya
r
longitud es la de un cuarto de circunferencia de radio r, situada a
una distancia r (0≤r≤R) del punto O, por lo que su masa es
O
X
1
dm = σdA = σπrdr . El momento de inercia respecto a O es
2
R
R 4 ⎛ σπR 2
1
⎛ σπrdr ⎞ 1
3
I O = ∫∫ r 2 dm = ∫∫ r 2 ⎜
σπ
r
dr
σπ
=
=
= ⎜⎜
⎟
∫
2
2
2
4
⎝
⎠
⎝ 4
0
A
A
⎞ R 2 MR 2
⎟⎟
=
2
⎠ 2
El cuadrado de la distancia que separa el centro de gravedad y el punto O es
2
2
32R 2
⎛ 4R ⎞ ⎛ 4R ⎞
d2 = ⎜
⎟ +⎜
⎟ =
9π 2
⎝ 3π ⎠ ⎝ 3π ⎠
El momento de inercia respecto al centro de gravedad es
IG =
2
⎞
1
32R 2
2⎛
⎜ 9π − 64 ⎟
MR 2 − M
MR
=
⎜ 18π 2 ⎟
2
9π 2
⎠
⎝
1