Probabilidad y Estad´ıstica (C) Intervalos de confianza (Práctica 8

Probabilidad y Estadı́stica (C)
Intervalos de confianza (Práctica 8. Ejercicios 1 y 5 (menos 5.e)y 9 a 11)
Veamos el diálogo que mantuvieron un polı́tico(P), candidato en una ciudad muy grande y su
consultor estadı́stico(C):
P- Disculpe Artemio me gustarı́a que realice una encuesta para saber aproximadamente entre que
valores ronda mi porcentaje de votantes
C- No hay problema don Fermı́n. Encuestaremos a 1000 personas y le daremos un intervalo de
longitud aproximada 6 (digamos por ejemplo [30 %, 36 %]) dentro del cual se encuentra su porcentaje
de votantes
P- ¿Pero con sólo consultar a 1000 personas usted me puede asegurar que mi porcentaje de votantes
cae en ese intervalo? No lo puedo creer, buenı́simo!
C- No, a seguro se lo llevaron preso. Pero por la metodologı́a que utilizamos, el 95 % de las veces que
realizamos este tipo de encuestas acertamos, o sea el porcentaje verdadero efectivamente cae en el
intervalo que determinamos a partir de la encuesta.
Unos dı́as después...
C- ¿Como le va Fermı́n? Tengo buenas noticias para usted. El intervalo de confianza del 95 % para su
porcentaje de votantes dio [35,41]
P- Bueno, parece que estoy mejor de lo que creı́amos. ¿Entonces eso significa que hay un 95 % de
probabilidades de que mi porcentaje de votantes esté entre 35 % y 41 %?
C- No Fermı́n. Su porcentaje es un valor fijo p que desconocemos. Que está o no entre 35 y 41. Pero su
porcentaje de votantes no es una variable aleatoria. No tiene sentido hablar de la probabilidad de que
p esté entre 35 y 41 ya que ya no hay ninguna variable aleatoria involucrada. De cualquier manera
quédese tranquilo. Recuerde que un 95 % de la veces que calculamos intervalos de confianza de esa
manera acertamos.
P- No entendı́ mucho Artemio, pero confı́o en usted.
C- Piénselo de este modo. Si yo hubiera realizado la encuesta de 1000 personas y luego le doy el
intervalo de confianza, no una vez sino 100 veces. Es de esperar que en aproximadamente 95 de las
veces el intervalo que le doy contenga al verdadero porcentaje de votantes y en las 5 restantes no. Pero
ahora una vez realizado no sabemos si estamos en una de las 95 buenas o en una de las 5 malas.
P- Ajá, creo que ahora lo entiendo un poco mejor. De cualquier modo me resulta muy largo el
intervalo, me hubiera gustado que el intervalo sea más corto ası́ tengo más precisión sobre mi
porcentaje de votantes.
C- Ah, si hubiera querido un intervalo más corto, tendrı́amos que haber encuestado más electores y
sabe que el precio de la encuesta cambia.
P- Bueno Artemio, gracias igual. Me tengo que ir. Hoy tengo el cierre de campaña y todavı́a tengo que
ajustar algunos detalles al discurso.
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1. Se supone que la longitud de cierto tipo de eje tiene una distribución normal con desvı́o estándar
σ = 0,05 mm. Se toma una muestra de 20 ejes y se observa que la longitud media de los ejes es
de 52.3 mm.
a) Hallar un intervalo de confianza para la verdadera longitud media de nivel 0.99.
b) ¿Qué tamano debe tener la muestra para que la longitud de un intervalo de nivel 0.99 sea a
lo sumo 0.03?
2. Se supone que el tiempo de vida en horas de las baterı́as para calculadora se distribuye
exponencialmente con parámetro λ. Se tomó una muestra aleatoria de 9 baterı́as para
calculadora y se observó el tiempo de vida de cada una de ellas.
a) probar que
2λ
9
X
Xi ∼ χ218
i=1
donde Xi es el tiempo de vida de la i-ésima baterı́a.
b) Hallar un intervalo de confianza teórico de nivel 0.95 para λ.
c) Si el tiempo de vida promedio observado en las 9 baterı́as de la muestra es de 40 hs., calcule
el intervalo de confianza hallado en b) basado en esta muestra.
3. Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias i.i.d. con función de densidad
f (x, θ) =
θ
I[θ,+∞) (x),
x2
θ>0
a) Hallar θ̂n el EMV de θ.
b) Probar que la función de distribución de T =
FT (t) =
θ̂n
θ
es
0
si t < 1
1 n
1 − ( t ) si t ≥ 1
c) Hallar un intervalo de confianza de nivel 1 − α para θ
d ) Hallar la esperanza de la longitud del intervalo hallado en c)
e) Calcular un intervalo de confianza de nivel 0.90 basado en la siguiente muestra
8 10 7,5 6 9,5 11 7 9 10 6
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