LABORATORIO DE FISICA II PRACTICA No. 8: MOVIMIENTO ARMONICO TEORIA Cualquier movimiento que se repita a intervalos de tiempo iguales recibe el nombre de movimiento periódico. El desplazamiento de una partícula en movimiento periódico puede expresarse utilizando las funciones armónicas seno y coseno, de ahí que el movimiento periódico recibe el nombre de movimiento armónico. Cuando la partícula realiza todo un viaje, esto es, ida y vuelta sobre la misma trayectoria, el movimiento recibe el nombre de movimiento oscilatorio o movimiento vibratorio. El movimiento oscilatorio es uno de los movimientos de mayor importancia en la naturaleza. Dos ejemplos de este tipo de movimiento son el péndulo simple y el resorte. En este tipo de movimiento hay una fuerza, la fuerza restauradora, que regresa al objeto a su posición de equilibrio. Por ejemplo, en el péndulo simple la fuerza restauradora está dada por el peso del objeto que está colgando. Cuando la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento, el movimiento se conoce como movimiento armónico simple. En prácticas anteriores se habló de la Ley de Hooke F = - kx donde F es la fuerza restauradora, k es la constante del resorte o constante de restitución y x es el desplazamiento. Dado que un resorte cumple con la Ley de Hooke, su movimiento es un movimiento armónico simple. -Resortes : La Segunda Ley de Newton establece que F = ma donde m es la masa y a la aceleración. La aceleración se define como el cambio de la velocidad respecto al tiempo. La velocidad es el cambio de la posición respecto al tiempo. Esto implica que: a= d2 x dt 2 y, por lo tanto, la Segunda Ley de Newton se puede escribir como: d2 x _ k x = m dt 2 Se busca una función, x, cuya segunda derivada sea igual a la misma función con signo contrario y multiplicado por una constante. Se propone la siguiente función trigonométrica como solución: x = A cos(ωt + φ) . Substituyendo en la ecuación anterior se obtiene: d2 x = dt 2 k x m ω2A cos(ωt + φ) = ω= donde k A cos(ωt + φ) m k recibe el nombre de frecuencia angular. ν es la frecuencia representa el m número de oscilaciones o ciclos por unidad de tiempo y se relaciona con la frecuencia angular como ω = 2πν . Sea T al período de oscilación del movimiento armónico simple, esto es, el tiempo requerido para completar un viaje redondo, definimos T como: T= 2π m 1 1 = = 2π = ω ν k ω 2π - Péndulo simple : En el caso del péndulo simple la fuerza restauradora es la componente horizontal del peso (Figura 1), esto es: F = mgsenθ θ l T -mgcosθ mgsenθ -mg Figura 1. Descomposición de fuerzas para un péndulo donde m es la masa, g la gravedad θ el ángulo que forma con su posición de equilibrio, l la longitud de la cuerda y T la tensión producida en la cuerda. F= mgx . l La fuerza restauradora es proporcional al seno del desplazamiento angular. Esto implica que no es un movimiento armónico simple. Sin embargo, para ángulos pequeños senθ θ sí se cumple. Así, cumpliendo la condición de que el ángulo sea pequeño se puede decir que el movimiento del péndulo es armónico simple. Ahora bien, si consideramos el triángulo rectángulo que se forma en la figura 1 con ángulo θ, hipotenusa l y el cateto opuesto x=-mgsenθ, podremos ver que senθ = fuerza x x y por lo tanto, θ = . La l l restauradora es, entonces, En el caso del resorte vimos que F = kx . Si comparamos las dos fuerzas restauradoras mg m . Por lo tanto, si el período para el resorte es T = 2π , el del l k l . péndulo simple con ángulos pequeños debe de ser T = 2π g podríamos decir que k = PRACTICA Experimento 1 : Resortes. Obtener la k del resorte. Variar la amplitud manteniendo el peso constante. Medir el período (al menos 3 mediciones por cada amplitud y 5 diferentes amplitudes). Graficar y realizar un ajuste. Mantener fija la amplitud y variar el peso (al menos 3 mediciones por cada peso y 5 diferentes pesos). Medir el período, graficar y realizar un ajuste. ¿De qué depende el período?. Comparar con el resultado analítico esperado: T = 2π m . k Experimento 2 : Péndulo simple. Variar el desplazamiento angular (manteniendo ángulos menores a 450) y medir el período (al menos 3 mediciones por ángulo y 5 ángulos). Graficar el desplazamiento angular como variable independiente y el período como variable dependiente y realizar un ajuste (no tiene que ser lineal). Repetir manteniendo el desplazamiento angular fijo y modificando la longitud de la cuerda. (al menos 3 mediciones por longitud de cuerda y 5 diferentes longitudes) Repetir manteniendo el desplazamiento angular y la longitud de la cuerda fijos y variar la masa. ¿De qué depende el período de oscilación? Comparar con el resultado analítico esperado de T = 2π l . g Experimento 3: Poner a oscilar un péndulo. Sin detenerlo, medir el periodo y la amplitud del movimiento cada determinado número de segundos. Realizar una gráfica de la variación del periodo respecto al tiempo y otra de la variación de la amplitud respecto al tiempo. ¿Es movimiento armónico simple? ¿Porqué?