Solución

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
OPCIÓN A
Julio 2015
Problema 1. Una empresa fabrica dos productos diferentes, P1 y P2, que vende a 300 y 350 €
por tonelada (t), respectivamente. Para ello utiliza dos tipos de materias primas (A y B) y
mano de obra. Las disponibilidades semanales de las materias primas son 30t de A y 36t de B,
y las horas de mano de obra disponibles a la semana son 160. En la tabla siguiente se resumen
los requerimientos (en t) de las materias primas y las horas de trabajo necesarias para la
producción de una tonelada de cada producto:
materia prima (t)
Producto
A
B
Mano de obra (h)
P1
2
3
4
P2
3
1
20
Determina la producción semanal que maximiza los ingresos de la empresa sabiendo que un
estudio de mercado indica que la demanda del producto P2 nunca supera a la del producto P1.
¿A cuánto ascienden los ingresos máximos?
Solución:
Llamando:
x = producción semanal, en t, del producto P1
y = producción semanal, en t, del producto P2
Los datos del problema los podemos resumir en la tabla:
materia prima (t)
Producto
toneladas
A
B
Mano de obra (h) Ingresos (€)
P1
x
2x
3x
4x
300 x
P2
Y
3y
1y
20 y
350 y
Restricciones
30
36
160
Como las variables x e y representan toneladas de producto deben ser mayores o iguales a cero.
La ingresos vienen dados por la función: z = 300 x + 350 y
Las restricciones las obtenemos del enunciado:
Semanalmente dispone de 30 t de A: 2 x + 3 y ≤ 30
Semanalmente dispone de 36 t de B: 3 x + y ≤ 36
Semanalmente dispone de 160 h de mano de obra: 4 x + 20 y ≤ 160; simplificando x + 5 y ≤ 40
“un estudio de mercado indica que la demanda de P2 nunca supera a la de P1”: y ≤ x
El problema a resolver es:
maximizar
z = 300 x + 350 y
2x + 3 y ≤ 30
3 x + y ≤ 36

s.a.  x + 5 y ≤ 40
y ≤ x

 x, y ≥ 0
Efectuamos los cálculos necesarios para la representación gráfica de las inecuaciones.
(a) 2 x + 3 y ≤ 30
(b) 3 x + y ≤ 36
2 x + 3 y = 30
3 x + y = 36
x
y
0 10
15
0
(c) x + 5 y ≤ 40
(d )
x + 5 y = 40
y≤x
y=x
y
x
y
x
y
0 36
0
8
0
0
40
0
x
12
0
¿(0,0 ) cumple ?
¿(0,0) cumple ?
2 . 0 + 3 . 0 ≤ 30 Sí
3 . 0 + 0 ≤ 36
Sí
40 40
¿(0,0 ) cumple ?
¿(5,0) cumple ?
0 + 5 . 0 ≤ 40 Sí
0 ≤ 5 Sí
La representación
gráfica será:
Y la región
determinada por
el sistema de
inecuaciones
(región factible)
está formada por
los puntos de la
zona sombreada.
Ampliamos la región factible y veamos los vértices que debemos calcular.
Los vértices de la región factible son A ( 0, 0 ), B, C y D ( 12 , 0 ). Los vértices A, y D los conocemos
directamente de la representación gráfica; los vértices B y C los obtendremos mediante los puntos de corte de
las rectas correspondientes.
Punto B, corte entre (a) y (d):
2 x + 3 y = 30

y = x
Sustituyendo el valor de y (de la 2ª) en la 1ª ecuación: 2 x + 3 x = 30; 5 x = 30; x = 6
Luego B ( 6 , 6 )
Punto C, corte entre (a) y (b):
2 x + 3 y = 30

3 x + y = 36
De la 2ª ecuación: y = 36 – 3 x , sustituyendo este valor de y en la 1ª ecuación:
2 x + 3 ( 36 – x ) = 30; 2 x + 108 – 9 x = 30; – 7 x = 30 – 108; – 7 x = – 78
− 78 78
78 18
x=
=
≅ 11´1429 .
Luego, y = 36 − 3
=
≅ 2´5714
−7
7
7
7
 78 18 
Por tanto, C  , 
7 7 
 78 18 
Los vértices de la región factible son A ( 0, 0 ), B ( 6 , 6 ), C  ,  y D ( 12 , 0 )
7 7 
El máximo de la función z en la región se alcanzará en alguno de los extremos de la región. Calculemos los
valores de la función en los vértices,
x,y
z = 300 x + 350 y
0,0
300 . 0 + 350 . 0 = 0
 78 18 
6,6
300 . 6 + 350 . 6 = 3900
El máximo se alcanza en el punto  ,  ≈
7 7 
78 18
78
18 29700
,
300 . + 350 .
=
≅ 4242´86 Máximo ( 11´14 , 2´57 )
7 7
7
7
7
12 , 0
300 . 12 + 350 . 0 = 3600
Por tanto, para maximizar los ingresos, semanalmente, debe producir 11´14 t del producto P1 y 2´57 t del
P2. Con esta producción los ingresos máximos serán de 4242´86 €.