Unidad 3: Programación lineal

Unidad 3: Programación lineal
RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS BÁSICOS
1. Determina, cuando sea posible, el máximo y el mínimo de la función z=3x+2y sobre las
siguientes regiones factibles:
a)
b)
Solución
a) Como la región factible no está acotada la función no alcanza un valor máximo.
Utilizando el método gráfico para hallar el mínimo;
dibujamos la recta 3x+2y=0 que pasa por el origen
y el punto (2, -3) y trazamos rectas paralelas a ella
hasta encontrarnos con la región factible, en el punto (1, 1).
La función toma el valor mínimo de 5 en el punto (1, 1).
z=3·1+2·1=5
b)
Vértices
(0, 0)
(6, 1)
(4, 4)
z=3x+2y
0
20
20
El mínimo se alcanza en el vértice (0, 0) con un valor z=0, mientras que el máximo
se consigue en los infinitos puntos del segmento que une los puntos (6, 1) y (4, 4).
2. Se considera la función f(x, y)=x-y
a) Representar el conjunto A={(x, y)|3x+y≥15, y-x≤-5, 2x+3y≤60, y≥0} y calcular el
valor máximo de f(x,y) en A. ¿Alguna de las desigualdades que definen al conjunto A
se podría eliminar de forma que siguiera siendo el mismo conjunto?
b) Decir si la función f(x, y) alcanza valor máximo en el conjunto
B={(x, y)|3x+y≤15, x-y≥5, x≥0}.
En caso afirmativo calcular dicho valor.
Solución
a) El conjunto A es la región del plano siguiente
Matemáticas CCSS II
Página 1 de 8
Unidad 3: Programación lineal
Los vértices de dicha región son A(5, 0) , B(15,
10) y C(30, 0), donde B es la solución del sistema de ecuaciones ൜
‫ݕ‬−‫ݔ‬
2‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬
=
=
−5
. El valor
60
máximo de la función se encontrará en una de
dichos vértices:
f(A)=f(5, 0)=5-0=5
f(B)=f(15, 10)=15-10=5
f(C)=f(30, 0)=30-0=30 → valor máximo
El valor máximo es 30 y se obtiene en el
punto C(30, 0).
Si eliminamos la desigualdad 3x+y≥15, el
conjunto A no varía.
b) El conjunto B es la región del plano siguiente, es no
acotado y la función puede tener un máximo o no.
El valor de f en los vértices es:
f(A)=f(0, -5)=0-(-5)=5
f(B)=f(5, 0)=5-0=5
Probamos con un punto cualquiera de B, por ejemplo el
punto (5,-15):
f(5,-15) = 5-(-15) = 20.
Se observa que dicho valor es superior al obtenido en
los vértices, y además siempre hay un punto de B
donde el valor puede ser mayor, por tanto, la función
no tiene máximo en B.
3. Se consideran las inecuaciones:
2x+y≤4;
x+y≤3;
x≥
≥0 ; y≥
≥0
a) Representar la región que delimitan
b) Maximizar la función f(x, y)=3x +y sobre la región anterior
c) Maximizar sobre dicha región la función g(x, y)=2x+y.
Solución
a) La región que delimitan las inecuaciones dadas es la
siguiente.
Los vértices de dicho cuadrilátero son:
• Punto de cote de la recta 2x+y=4 con el eje X, (2, 0)
• Punto de corte de la recta x+y=3 con el eje y, (0, 3)
•
El vértice (1, 2) es la solución del sistema de ecuacio-
nes: ൜
2‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬
‫ݔ‬+‫ݕ‬
=
=
4
3
b) f(0,0) = 3·0+0 = 0
f(2,0) = 3·2+0 = 6 → valor máximo
f(1,2) = 3·1+2 = 5
f(0,3) = 3·0+3 = 3
c) g(0, 0)=2·0+0=0
g(2, 0)=2·2+0=4 → valor máximo
Matemáticas CCSS II
Página 2 de 8
Unidad 3: Programación lineal
g(1, 2)=2·1+2=4 → valor máximo
g(0, 3)=2·0+3=0+3=3
En este caso el máximo se alcanza en los infinitos puntos del segmento que une los
vértices (2, 0) y (2, 1).
4. Una dieta para animales se compone de dos alimentos A y B. Del alimento A se
comer al menos 100 g, y del otro alimento, B, se comerán más gramos que
Además, entre ambos no se deben sobrepasar los 300 g. Si el alimento A contiene
lorías por gramo y el B 60 calorías por gramo, ¿cuántos gramos de A y de B se
combinar para obtener el máximo de calorías en la dieta?
deben
del A.
50 cadeben
Solución
Sean x e y los gramos de los alimentos A y B respectivamente, que deben componer la dieta.
Así hay que maximizar la función objetivo:
C(x, y)=50x+60y
Sujeta a las siguientes restricciones: x≥100 ; y>x ;
x+y≤300 ; x≥0 ; y≥0 que nos definen la región de
vértices A(100, 100) , B(150, 150) y C(100, 200)
Observemos que la desigualdad estricta y>x da lugar
a la recta de trazo discontinuo de modo que el segmento de extremos A(100, 100) y B(150, 150) no
forma parte de la región factible.
En estas condiciones el máximo de la función se alcanza en el vértice C(100, 200) con un valor de 17000.
Por tanto para obtener 17000 calorías deberemos combinar 100 g de A y 200 g de B.
5. El tratamiento de cierta enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C1 y C2. Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C1 y 200 mg de
C2. Estos complejos se presentan en dos comprimidos diferentes: el comprimido de color
rojo que cuesta 2,5 € la unidad y que contiene 15 mg de C1 y 25 mg de C2 y el comprimido de color azul que también cuesta 2,5 € la unidad y que contiene 28 mg de C1 y 10
mg de C2.
¿Cuántos comprimidos de cada color debe tomar un individuo en una semana para que el
coste del tratamiento sea mínimo?. Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta.
Solución
Si se compran x comprimidos de color rojo e y comprimidos de color azul se tendrá:
Comprimido
Cantidad
C1
C2
Coste
Rojo
x
15x
25x
2,5x
Azul
y
28y
10y
2,5y
450 mg
200 mg
Necesidad
Se trata de minimizar el coste: C(x, y)=2,5x+2,5y
Restringida dicha función por: 15x+28y≥450; 25x+10y≥200; x≥0; y≥0
Estas restricciones determinan la región factible dada en la siguiente figura.
Como sabemos, la solución, si existe, se encuentra en uno de los vértices de esa región, que se
obtienen resolviendo los sistemas:
15‫ ݔ‬+ 28‫ݕ‬
൜
‫ݕ‬
=
=
450
⇒ (30, 0)
0
Matemáticas CCSS II
Página 3 de 8
Unidad 3: Programación lineal
25‫ ݔ‬+ 10‫ = ݕ‬200
ቄ
⇒ (0, 20)
‫= ݔ‬
0
15‫ ݔ‬+ 28‫ = ݕ‬450
൜
⇒ (2, 15)
25‫ ݔ‬+ 10‫ = ݕ‬200
Trazando las rectas de nivel asociadas a la función objetivo, cuya ecuación es 2,5x+2,5y=k, se observa que
el mínimo valor se da en el vértice (2, 15).
Por tanto, se deben comprar 2 comprimidos de color rojo y 15 comprimidos de color azul.
El coste mínimo será: C(2,15)=2,5·2+2,5·15=42,5€.
6. Se considera la función f(x, y)=x+3y, se pide:
a) Razonar si f(x, y) alcanza un valor máximo y
uno mínimo en el conjunto
S={(x, y)|2x +y≤4, x+3y≤7, x≥0, y≥0}.
En caso afirmativo, calcular dichos valores y los puntos en los que se alcanzan.
b) Razonar si f(x, y) alcanza un valor máximo y uno mínimo en el conjunto
T={(x, y)|2x+y≥4, x+3y≥7, x≥0, y≥0}.
En caso afirmativo, calcular dichos valores y los puntos en los que se alcanzan.
Solución
a) El conjunto S es el representado en la siguiente figura.
Los vértices de la región factible son O(0, 0), A(0, 7/3),
B(1, 2) y C(2, 0), donde B se obtiene resolviendo el
sistema formado por las rectas
2‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬
൜
‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬
=
=
4
7
En dichos puntos se encuentran, los máximos o mínimos de la función.
El valor de la función es:
f(0)=f(0,0)=0
f(A)=f(0, 7/3)=0+3·7/3=7
f(B)=f(1, 2)=1+3·2=7
f(C)=f(2, 0)=2+3·0=2
La función alcanza un mínimo en el punto O(0,0), y vale 0. Como f alcanza el mismo valor
máximo en dos vértices, la función alcanza el valor máximo en infinitos puntos: en todos los puntos del segmento que une los puntos A(0, 7/3) y B(1, 2) incluidos los dos vértices. El
máximo es 7.
b) En este caso, el conjunto T no está acotado.
En los vértices de dicha región D(0, 4), B(1, 2) y
E(7, 0), la función toma los valores:
f(D)=f(0, 4)=0+3·4=12
f(B)=7
f(E)=f(7, 0)=7+3·0=7
La función no alcanza un valor máximo, porque
al no estar acotada la región resulta que la función
siempre puede tomar un valor mayor.
El valor mínimo se alcanza en todos los puntos del
segmento de extremos B(1, 2) y E(7, 0)
Matemáticas CCSS II
Página 4 de 8
Unidad 3: Programación lineal
Se puede comprobar gráficamente trazando las rectas de nivel, cuya ecuación es x+3y=k, dichas
rectas son paralelas a la recta x+3y=7 por lo que la recta de nivel mínimo toca, a la vez, al segmento de extremos B(1, 2) y E(7, 0). Por tanto, la función alcanza el mínimo en los infinitos puntos de ese segmento. El valor mínimo es 7.
La función no alcanza máximo pues las rectas de nivel pueden desplazarse indefinidamente hacia
la arriba aumentando el valor de la función.
7. Un fabricante comercializa 2 modelos de pantalón vaquero, uno para mujer que le proporciona un beneficio de 12 euros por unidad y otro para hombre con beneficio unitario
de 20 euros. El próximo mes desea fabricar entre 50 y 750 pantalones para mujer y
siempre un número no inferior al que fabrica para hombre. Además no tiene posibilidades de fabricar mensualmente más de 1000 unidades en total.
a) Plantee un programa lineal que permita calcular el número de unidades de cada modelo que ha de fabricar para maximizar el beneficio total.
b) Resolviendo el programa anterior diga el máximo beneficio y cuántas unidades de cada modelo se han de comercializar.
c) Diga la solución del apartado anterior si el beneficio unitario es de 15 euros para cada
uno de los modelos.
NOTA: No es necesario considerar que las cantidades fabricadas sean números enteros.
Solución
a) Si se fabrican x pantalones para hombre e y pantalones para mujer, ese beneficio que debe ser
máximo viene dado por
B(x, y)=20x+ 2y
Pero está sujeto a las siguientes limitaciones:
x+y≤1000 ; 50≤y≤750 ; y≥x ; x≥0 ; y≥0
la nota del final del enunciado nos exime de considerar que x e y sean enteros como es lógico suponer.
b) Las restricciones anteriores delimitan la región factible de la imagen.
Los vértices de dicha región son A(0, 50), B(0, 750),
C(250, 750), D(500, 500) y E(50, 50).
La función objetivo toma los valores siguientes:
B(A)=600
B(B)=9000
B(C)=14000
B(D)=16000 → valor máximo
B(E)=1600
Así pues, el beneficio máximo se alcanza fabricando
500 unidades de cada uno de los modelos.
c) Si el beneficio unitario es de 15 euros para cada uno de los modelos: B(x, y)=15x+15y
Los valores que toma la función ahora, son:
B(A)=750
B(B)=11250
B(C)=15000 → valor máximo
B(D)=15000 → valor máximo
B(E)=1500
Y se dan todas las soluciones (enteras) posibles situadas sobre el segmento de extremos
C(250,750) y D(500,500).
El beneficio máximo que se obtiene en este caso es menor que en el anterior.
Matemáticas CCSS II
Página 5 de 8
Unidad 3: Programación lineal
8. Una empresa se dedica a la producción de dos tipos de tejidos A y B utilizando como materias primas algodón, poliéster y seda. Se dispone de 60 unidades de algodón, de 35 de
seda y de 80 de poliéster y se sabe que las unidades de cada materia prima necesarias
para la producción de 1 rollo de cada tipo de tejido vienen dadas en la siguiente tabla:
algodón
1
3
A
B
poliéster
2
2
seda
0
1
a) Calcular el beneficio total máximo, sabiendo que el beneficio obtenido de un rollo del
tejido A es de 50 euros y del B es de 70. Explicar los pasos obtenidos para obtener la solución.
b) ¿Se obtendría excedente de alguna materia prima?. En caso afirmativo decir cuántas
unidades.
c) ¿Cambiaría la solución del apartado a) si al menos hubiera que producir 15 rollos del
tejido A?. Razonar la respuesta.
Solución
a) Con los datos anteriores se obtiene:
A
B
Disponibilidades
Cantidad Algodón Poliéster Seda Beneficio
x
x
2x
0
50x
y
3y
2y
y
70y
60
80
35
El objetivo es maximizar el beneficio, esto es: B(x, y)=50x+70y
Sometida a las siguientes restricciones: x+3y ≤60; 2x+2y ≤80 ; y≤35 ; x≥0; y≥0
Estas restricciones conforman la región factible
Los vértices son: O(0, 0), A(0, 20), B(30, 10), C(40, 0): el vértice B es la solución del sistema
‫ݔ‬+‫ݕ‬
൜
‫ ݔ‬+ 3‫ݕ‬
= 40
= 60
Como sabemos la solución buscada se encuentra en uno de dichos vértices:
B(0)=0
B(A)=B(0, 20)=50·0+70·20=1400
B(B)=B(30, 10)=50·30+70·10=2200 → valor máximo
B(C)=B(40, 0)=50·40+70·0=2000
El beneficio máximo se obtiene produciendo 30 rollos de algodón y 10 de poliéster.
30 + 3 · 10 = 60 ‫݀݋݈݃ܽ ݁݀ ݏ݁݀ܽ݀݅݊ݑ‬ó݊
b) B(30, 10) → ൝2 · 30 + 2 · 10 = 80 ‫݈݅݋݌ ݁݀ ݏ݁݀ܽ݀݅݊ݑ‬é‫ݎ݁ݐݏ‬
10 ≤ 35 ‫ܽ݀݁ݏ ݁݀ ݏ݁݀ܽ݀݅݊ݑ‬
Se gastan todas las unidades de algodón y de poliéster.
Matemáticas CCSS II
Página 6 de 8
Unidad 3: Programación lineal
Hay un excedente de 35-10 = 25 unidades de seda.
c)
En este caso se añade una restricción más: x ≥15. La región factible es
Los nuevos vértices son: D(15, 0); E(15, 15); B(30, 10); C(40, 0)
Donde el valor de la función objetivo es:
B(B)=B(30, 10)=50·30+70·10=2200
B(C)=B(40, 0)=50·40+70·0=2000
B(D)=B(15, 0)=50·15+70·0=750
B(E)=B(15, 25)=50·15+70·25=2500 → valor máximo
El beneficio mayor es ahora 2500€ y se obtiene para 15 rollos de algodón y 25 de poliéster.
9. Sea T la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones:
y–x–1≤0;
y+x–4≤0;
2y≥3-x
a) Representar gráficamente la región T.
b) Se considera la función f(x, y)=2y+x. Calcular, si existen, los puntos (x, y) que dan el
valor máximo de f(x, y) y los que dan el valor mínimo de f(x, y) en T.
c) ¿Cuál sería la respuesta del apartado anterior si se agrega la desigualdad y≥0?.
Solución
a) La región propuesta es la sombreada en
la siguiente figura:
b) Tres de las funciones de la familia f(x, y)=2y+x están representadas en la figura anterior:
f(x,y)=0 y dos paralelas obtenidas al desplazar esta última. Una de ellas coincide con uno de los
lados de la región T, dando infinitos mínimos y la otra, que pasa por el vértice de la región
(3/2,5/2) nos da el máximo.
Los vértices de la región T son la solución de los siguientes sistemas:
Matemáticas CCSS II
Página 7 de 8
Unidad 3: Programación lineal
‫ݕ‬−‫ݔ‬
൜
‫ݕ‬+‫ݔ‬
‫ݕ‬−‫ݔ‬
൜
2‫ ݕ‬+ ‫ݔ‬
=
=
‫ݕ‬+‫ݔ‬
൜
2‫ ݕ‬+ ‫ݔ‬
=
=
1
⇒ A(3/2, 5/2) → f(3/2, 5/2)=2·5/2+3/2=13/2 → valor máximo
4
=
=
1
⇒ (1/3, 4/3) → f(1/3, 4/3)=2·4/3+1/3=3 → valor mínimo
3
4
⇒ (5, -1) → f(5, -1)=2·(-1)+5=3 → valor mínimo
3
c) Si se agrega la desigualdad y ≥ 0, resulta la
siguiente región factible.
Esto hace que los mínimos estén ahora en los
infinitos puntos del segmento de extremos
(1/3,4/3) y (3,0).
El máximo no varía.
Los valores mínimos y máximo de la función no se
modifican.
10. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimiento del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al
menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto
y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse
a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular este.
Solución
Sean x e y los millones de euros dedicados a préstamos de riesgo alto y riesgo bajo, respectivamente.
La función objetivo a maximizar será:
B(x, y)=0,14x+0,07y
Las restricciones son: x+y≤18; y≥4; x/y≤4/5;
x≥0 ; y≥0
Dibujamos las rectas: x+y=18, 5x-4y=0, y=4 en
el primer cuadrante. Se averigua que zona del
plano es solución de cada inecuación y hallamos la
intersección de todos esos semiplanos.
La región factible es la zona sombreada de vértices A(0, 4), B(0, 18), C(8, 10) y D(16/15, 4),
siendo estos la solución de los sistemas:
‫ݔ‬+‫ݕ‬
൜
5‫ ݔ‬− 4‫ݕ‬
‫ݕ‬
൜
5‫ ݔ‬− 4‫ݕ‬
= 18
⇒ C(8, 10)
=
0
=
=
4
⇒ D(16/5, 4)
0
El máximo se encuentra en uno de los vértices de la región factible.
B(A)=B(0, 4)=0,14·0+0,7·4=0,28
B(B)=B(0,18)=0,14·0+0,7·18=0,728
B(C)=B(8, 10)=0,14·8+0,7·10=1,82
B(D)=B(16/5, 4)=0,14·16/5+0,7·4=1,26
El beneficio máximo es de 1,82 millones de euros. Para obtenerlo hay que invertir 8 millones
en préstamos de riesgo alto y 10 millones en préstamos de riesgo bajo.
Matemáticas CCSS II
Página 8 de 8