© Abel Martín Un distribuidor de software informático, que realiza

La programación lineal
1
58.– PAU – Universidad de Oviedo – Junio 2002
Un distribuidor de software informático, que realiza también funciones de servicio técnico,
tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. En base a los objetivos
marcados por el fabricante, al finalizar este año ha de conseguir al menos 20 empresas como
clientes en su cartera, y el número de clientes particulares que consiga deberá ser como
mínimo el doble que de empresas. Además, por razones de eficiencia del servicio post-venta
tiene estipulado un límite global de 90 clientes anuales. Finalmente, cada empresa le produce
286 euros de ingresos anuales y cada particular 179 euros.
(a) ¿Cuáles pueden ser las distintas opciones de composición de su cartera. Plantea el
problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
(b) ¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año?
¿a cuánto ascenderían dichos ingresos?
(c)* Con estas restricciones, ¿cuál será el máximo número de clientes de empresas que
tendrá en su cartera?
RESOLUCIÓN apartado (a)
DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ " Número de clientes de empresas"
y ≡ " Número de clientes particulares"
CONJUNTO DE RESTRICCIONES
x ≥ 20
y ≥ 2x
x + y ≤ 90
y≥0
LA REGIÓN FACTIBLE
y = 2x
x
0
30
y
0
60
x + y = 90
x
y
0
90
90
0
y ≥ 2x
B
C
A
x + y ≤ 90
10
10
x ≥ 20
Las distintas opciones de composición de su cartera viene representado por los
puntos (x, y) pertenecientes a la región factible (sombreada), donde "x" es el número de
clientes de empresas e "y" es el número de clientes particulares, con la condición de que
tanto "x" como "y" sean números naturales.
Ejemplo: (21, 50) ∈ Región factible → 21 clientes de empresas y 50 clientes particulares.
Otros puntos:
(23, 61), (25, 56), etc.
 Abel Martín
Del aula a la PAU
2
RESOLUCIÓN apartado (b)
¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año? ¿a
cuánto ascenderían dichos ingresos?
LA FUNCIÓN OBJETIVO
I(x, y): Ingresos anuales en euros
I(x, y) = 286x + 179y
LOCALIZACIÓN DE SOLUCIONES
Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función
objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de
uno de los lados.
Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono
que constituye la región factible:
CÁLCULO DE VÉRTICES
A(20, y) Resolvemos el sistema
y = 2x 

x = 20 
y = 2·20 = 40
x = 20 → y = 40
→
A(20, 40)
x = 30 → y = 60 →
B(30, 60)
B(x, y) Resolvemos el sistema
y = 2x 
 x + 2x = 90 → 3x = 90 → x = 30
x + y = 90 
C(20, y) Resolvemos el sistema
x + y = 90 

x = 20
y = 90 - 20
y = 70 → x = 20
→
C(20, 70)
ANÁLISIS DE ÓPTIMOS
Aplicamos el TEOREMA mencionado:
Vértices
A (20, 40)
B (30, 60)
C (20, 70)
I(x, y) = 286x + 179y
286·20 + 179·40 =
286·30 + 179·60 =
286·20 + 179·70 =
Valor
12 880
19 320
18 250
La combinación que le proporciona mayores ingresos al finalizar el año es de 30
clientes de empresas y 60 clientes particulares, momento en el que los ingresos
alcanzan una cantidad de 19 320 euros.
RESOLUCIÓN apartado (c*) - AMPLIACIÓN
• (*) Con estas restricciones, ¿cuál será el máximo número de clientes de empresas que
tendrá en su cartera?
Para contestar a la pregunta, habrá que observar cuál es el mayor valor que toma "x" dentro
de la región factible.
Vemos que se encuentra en el punto C(30, 60)
30 es el máximo número de clientes de empresa.
 Abel Martín
La programación lineal
3
ANÁLISIS GRÁFICO DE ÓPTIMOS CON LA AYUDA DE UNA CALCULADORA GRÁFICA
Veamos cuál es la recta que representa a la función objetivo de ingresos nulos al finalizar el
año:
286x + 179y = 0
En forma explícita → y =
− 286
x
179
De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de ingresos nulos que pasan por el conjunto de
restricciones, la que corresponde a unos ingresos máximos será aquella que corte al eje OY
por el punto más alejado del origen; para ello, y aplicando el teorema antes mencionado,
representaríamos todas aquellas que pasan por los vértices pero, EN LA PRÁCTICA, con la
calculadora gráfica, no se representan todas las líneas de nivel, cosa que se hace larga y
tediosa, sino que se representa ÚNICAMENTE la que hace los ingresos nulos
y=
− 286
x
179
para luego, mentalmente, trazar paralelas que pasen por los demás vértices y comprobar cuál
es la "línea de nivel" de mayor ordenada en el origen.
B
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Confirmamos que la combinación que le proporciona mayores ingresos al finalizar el
año es de 30 clientes de empresas y 60 clientes particulares, momento en el que los
ingresos alcanzan una cantidad de 19 320 euros.
 Abel Martín