5. Funcion tipo V

FUNCIONES CUADRÁTICAS
1
Construcción de la gráfica de funciones cuadráticas mediante conversión en
cuadrado
2
Partiendo de la función cuadrática dada por f(x) = ax + bx + c y completando el cuadrado perfecto en x, se
llega a una ecuación de la forma:
2
f(x) = A(x – B) + C, donde A, B y C son constantes
Esta ecuación nos da la siguiente información:
y = Ax
2
2
A<0
La parábola se abre hacia abajo y mientras más pequeño sea más se estrecha
A>0
La parábola se abre hacia arriba y mientras más grande sea más se estrecha
C>0
La parábola se desplaza hacia arriba c unidades
C<0
La parábola se desplaza hacia abajo c unidades
B>0
La parábola se desplaza hacia la izquierda B unidades
B<0
La parábola se desplaza hacia la derecha B unidades
y = x +C
y = (x + B)
2
2
Partiendo de la parábola y = x se puede obtener el vértice y el eje de cualquier función cuadrática si se
conoce las traslaciones que se han producido:
Tipo de función
y = ax
Traslación
2
y = a(x – h)
Vértice
Eje de simetría
(0,0)
x=0
2
Desplazamiento horizontal
(h,0)
x=h
2
Desplazamiento vertical
(h, k)
x=h
y = a(x – h) + k
Ejemplos
2
1.- Representar f(x) = 2(x – 3) + 1
Mueve la
parábola 3
unidades a la
derecha
10
Vértice: (3, 1)
y
9
8
7
6
5
2
y = 2 (x – 3 ) + 1
4
3
2
1
La parábola se
abre hacia arriba
La abertura se
estrecha la mitad
x
0
Mueve la parábola
1 unidad hacia
arriba
0
1
2
3
4
5
Eje de simetría x = 3
6
FUNCIONES CUADRÁTICAS
2
1
2.- Representar f (x) = − (x + 1) 2 − 2
2
Vértice: (-1,- 2)
Mueve la
parábola 1 unidad
a la izquierda
0
-4
-3
-2
-1
x
0
1
2
-1
-2
1
f (x) = − (x + 1)2 − 2
2
La parábola se
abre hacia abajo
La abertura se
ensancha el doble
y
-3
-4
Mueve la parábola
2 unidades hacia
abajo
-5
Eje de simetría x = -1
2
3.- Representar f(x) = 2x – 4x + 1
•
2
Tomamos la ecuación 2x – 4x + 1 = 0 .Se completa el cuadrado en x :
P1.- Hacer a = 1, dividiendo la ecuación por a.
x 2 − 2x +
1
=0
2
P2.- Se pasa al segundo miembro al término independiente
x 2 − 2x = −
1 2
1
1
x − 2x + 1 = − + 1 x 2 − 2x + 1 =
2
2
2
P3.- Se completa el cuadrado, agregando a ambos miembros (B/2)
2
1
1
x 2 − 2x + 1 = − + 1 → x 2 − 2x + 1 =
2
2
P4.- El primer miembro es un cuadrado perfecto
( x − 1) 2 = 1 → ( x − 1) 2 − 1 = 0
2
2
P5.- Se elimina denominadores y obtenemos la función cuadrática
2(x – 1) – 1 = 0 → f(x) = 2(x – 1) – 1
2
2
La función completando el cuadrado perfecto en x es:
2
f(x) = 2(x – 1) – 1
Luego el vértice es V(1, –1) y el eje de simetría es x = 1.
Vértice: (1, -1)
y
8
f(x) = 2(x – 1)2 – 1
7
x
f(x)
6
-1
7
4
0
1
1
-1
2
1
3
7
5
3
2
1
x
0
-2
-1
-1
0
1
2
3
-2
Eje de simetría x = 1
4