∑ xn.

TEMA 3. SERIES NUMÉRICAS
3.1 DEFINICIÓN DE SERIE DE
NÚMEROS REALES
Definición: Dada una sucesión de
números reales x n  , se considera una
nueva sucesión s n  de la forma :
s1  x1
s2  x1  x2
s3  x1  x2  x3
.
.
s k  s k−1  x k
Al par ordenado (x n , s n  se le llama
serie infinita o simplemente serie y la

escribiremos como ∑ x n .
n1
- A la sucesión s n  se le denomina
sucesión de sumas parciales.
- A los x k términos de la sucesión .
- En ocasiones no empezaremos la serie
por n  1, sino que será conveniente
empezar por n  5, n  0, . . . Aún cuando
por lo general los subíndices de los
elementos de una serie son los números
naturales.
Carácter de una serie
- Si s n  es convergente, lim s n  s ∈  ,
n→
diremos que la serie es convergente y s

será la suma de la serie: ∑ x n  s.
n1
- Si s n  es divergente, diremos que −la
serie es divergente y su suma será  :

−
∑ x n   .
n1
- Si s n  no tiene límite , diremos que la
serie es oscilante.
Nota: El carácter de una serie no se
altera si se suprime un número finito de
sumandos
3.2 SERIES CONVERGENTES.
PROPIEDADES
Teorema:
i Si las series ∑ x n y ∑ y n convergen,
entonces la serie ∑x n  y n  converge y
su suma será :
∑x n  y n   ∑ x n  ∑ y n
ii Si la serie ∑ x n converge y c ∈ ,
entonces la serie ∑ cx n converge y su
suma será :
∑ cx n  c ∑ x n
Teorema:(condición necesaria de
convergencia)

Si ∑ x n es convergente lim x n  0
n1
n→
3.3 SERIES DE TÉRMINOS NO
NEGATIVOS.

Definición: Se dice que ∑ x n es de
n1
términos positivos (o no negativos) si
x n ≥ 0, ∀n ∈ ℕ.
- Las series de términos negativos se
tratan de forma análoga a la de terminos
positivos.
- Se pueden considerar y tratar como
serie de términos positivos aquellas para
las que x n ≥ 0, ∀n  N 0.
Teorema: Una serie de términos
positivos, o es convergente o divergente,
no puede ser oscilante.
Criterios de convergencia
Definición: Dadas dos series de términos


n1
n1
positivos ∑ x n y ∑ y n , diremos que


∑ x n es mayorante de ∑ y n , si ∃n 0 ∈ ℕ
n1
n1
tal que x n ≥ y n , ∀n ≥ n 0 .


n1
n1
∑ x n es minorante de ∑ y n , si ∃n 0 ∈ ℕ
tal que x n ≤ y n , ∀n ≥ n 0 .
3.3.1 Criterios de comparación
Criterio de comparación de la
mayorante.


n1
n1
Sean ∑ x n y ∑ y n series de términos
positivos.



n1
n1
i Si ∑ x n es mayorante de ∑ y n y ∑ x n
n1

es convergente ∑ y n es convergente.
n1



n1
n1
ii Si ∑ x n es minorante de ∑ y n y ∑ x n
n1

es divergente ∑ y n es divergente.
n1
Comparación con paso al límite


n1
n1
Sean ∑ x n y ∑ y n dos series de
términos positivos con lim yx nn l ∈ 0, .
n→
i Si l ≠ 0 y l ≠ , las dos series tienen el
mismo carácter, es decir, convergen o
divergen simultáneamente.

ii Si l  0 y ∑ y n es convergente 
n1

∑ x n es convergente.
n1


n1
n1
Si l  0 y ∑ x n es divergente  ∑ y n es
divergente.


n1
n1
iii Si l   y ∑ y n es divergente∑ x n
es divergente.


n1
n1
Si l   y ∑ x n es convergente∑ y n
es convergente.
Serie armónica
Definición: Llamamos serie armónica
generalizada de orden  ∈  a la serie

∑ n1
n1
Teorema: (Convergencia de la serie
armónica generalizada).

La serie ∑ 1 converge si   1 y
n
n1
diverge si
 ≤ 1.
3.3.3 Criterio de la raíz

Sea ∑ x n una serie de términos
n1
positivos con
n x n  l ∈ 0, 
lim
n→
Entonces se cumple:

i) Si l  1 ∑ x n es convergente.
n1

ii) Si l  1 ∑ x n es divergente.
n1
iii) Si l  1 no se sabe.
3.3.4 Criterio del cociente

Sea ∑ x n una serie de términos
n1
positivos con
x n1  l ∈ 0, 
lim
n→ x n
Entonces se cumple:

i Si l  1 ∑ x n es convergente.
n1

ii Si l  1 ∑ x n es divergente.
n1
iii Si l  1 no se sabe.
3.3.4 Criterio de Raabe

Sea ∑ x n una serie de términos
n1
positivos con
x n1   l
n1
−
lim
xn
n→
Entonces se cumple:

i Si l  1 ∑ x n es convergente.
n1

ii Si l  1 ∑ x n es divergente.
n1
iii Si l  1 no se sabe.
3.4 Series alternadas
Definición: Diremos que una serie de
términos reales es alternada si sus
sumandos son alternativamente positivos
y negativos . Es decir si x n  x n1  0
∀n ∈ ℕ.
Nota 1: La forma más común de
presentar una serie alternada es
∑−1 n1 x n ó ∑−1 n x n con x n  0.
Nota 2: La serie ∑ x n también puede
considerarse alternada si x n  x n1  0,
∀n  n 0 .
Criterio de Leibnitz

Sea ∑ −1 n1 x n una serie alternada. Si
n1
la sucesión de términos positivos x n 
verifica:
i lim x n  0
n→
ii x n1 ≤ x n ∀n (monótona
decreciente).
Entonces la serie alternada es
convergente.
Nota1: Observar que las condiciones
para aplicar el criterio son dos, no hay
que olvidar la monotonia.
1 . .
Ej: 1 − 1  1 − 12 . . . . . . .  1
−
n
5
5n
1
2
5
Esta serie es divergente aunque su
término general tienda a cero. Falla la
monotonía.
Nota 2: El criterio de Leibnitz es una
condicion suficiente pero no es
necesaria.
1
1
−
Ej: 13 − 12  13 − 12 . . . 
2
3
4
2n − 1 3
2n 2
1
Esta serie es convergente , aunque no
sea monótona.
3.5 SERIES DE TÉRMINOS
ARBITRARIOS.CONVERGENCIA
ABSOLUTA
Definición: Una serie de términos
arbitrarios, es aquella que no es
necesariamente ni de términos positivos
ni alternada.
Definición: Diremos que una serie ∑ x n
es absolutamente convergente si ∑|x n |
es convergente.
Teorema: Si una serie ∑ x n es
absolutamente convergente, entonces es
convergente.
Nota: El teorema anterior es una
estrategia a seguir cuando intentamos
estudiar el carácter de una serie de
términos arbitrarios. Estudiamos
previamente ∑|x n | que es de términos
positivos y que por tanto tenemos los
criterios para deducir su carácter.
Definición: Una serie es
condicionalmente convergente cuando
es convergente pero no absolutamente
convergente.
1. Criterio de Dirichlet.

La serie ∑ x n y n es convergente si se
n1
cumple:
i La sucesión de sumas parciales

de ∑ x n está acotada.
n1
ii) y n  es una sucesión monótona
decreciente con lim y n  0
n→
2. Criterio de Abel.

La serie ∑ x n y n esconvergente si se
n1
cumple:

iLa serie ∑ x n es convergente.
n1
ii y n  es una sucesión monótona y
acotada.
3.6 SUMA DE SERIES
3.6.1 Series aritmético -geométricas
Son de la forma:

∑ Pnr n
n0
Donde Pn es un polinomio de grado
mayor o igual que 1 y r es la razón.
Será convergente cuando ∣ r ∣ 1.
La suma se obtiene de forma similar a
las geométricas.
3.6.2 Series hipergeométricas
an  b
Son la que cumplen xxn1

an  c
n
donde a, b, c ∈ , a ≠ 0.
Son convergentes cuando c − b  a.
x1c
Su suma vale S 
c−a−b
3.3.3 Series cuyo término general es
Pn
.
de la forma
n  k!
Se hace la descomposición en fracciones
simples del término general (en p  1) y
entonces a partir de la fórmula

∑
1  1  1  1  1 . . . .  1 . .  e
n!
1!
2!
3!
n!
n0
se suman todas las series.
3.3.4 Series telescópicas.

La serie∑ x n es telescópica si su
n0
término general se puede poner de la
forma.
x n  y n − y n1 donde y n es otra sucesión.
La serie será convergente cuando
lim y n  l
n→

En este caso ∑ x n  x 1 − l.
n0
3.3.5 Series de Stirling
Son aquellas cuyo término general es el
cociente de dos polinomios de la forma:
Pn
xn 
Qn
donde Pn es un polinomio de grado p y
Qn es un polinomio de grado m ≥ p  2.
Pn
xn 
n  b 1 n  b 1  b 2  . . . n  b 1  b m 
donde b 1 ∈ ,
b 2 , b 3,........., b m ∈ ℤ.
Se hace la descomposición en fracciones
simples y al identificar coeficientes
llegamos a que:
a 0  a 1 . . . . . . . . a m  0.
Una vez hecho esto se suman las series
de las fracciones.